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高中数学 3-2补集及集合运算的综合应用课件 新人教A版必修1


第2课时 补集及集合运算的综合应用
【课标要求】 1.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定集

合的补集.
2.熟练掌握集合的交、并、补运算. 【核心扫描】 1.求给定集合的补集.(重点) 2.交、并、补的综合运算.(难点)

新知导学1.全集 (1)定义:如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的 所有元素 ,

那么就称这个集合为全集. (2)记法:全集通常记作 U .

2.补集

文字语
言 符号语 言 图形语

对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素
组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,记作 ?UA.

?UA= {x|x∈U,且x?A} .



温馨提示:(1)补集是集合之间的一种运算.求集合A的补集

的前提是A是全集U的子集,随着所选全集的不同,得到的
补集也是不同的. (2)?UA的数学意义包括两个方面: 首先必须具备A?U;其次是定义?UA={x|x∈U,且x?A}.

3.补集的性质

?UU=?,?U?=U,?U(?UA)= A .

互动探究 探究点1 全集一定包含任何一个元素吗?若全集是数集,则 一定是实数集R吗? 提示 全集仅包含我们研究问题所涉及的全部元素,而非任

何元素,我们研究的问题并不一定是实数集,也有可能为整
数集、自然数集或有理数集等等. 探究点2 ?AC与?BC相等吗? 提示 不一定相等.当A=B时,二者相等,否则不相等. 探究点3 集合A与集合A在全集U中的补集有公共元素吗?

提示

没有,A∩(?UA)=?.

类型一

补集的运算

【例1】 (1)已知全集U={0,1,2,3,4},集合A={1,2,3},B=
{2,4},则(?UA)∪B为( A.{1,2,4} C.{0,2,4} ). B.{2,3,4} D.{0,2,3,4}

(2)设全集U=R,集合A={x|x≥-3}, B={x|-3<x≤2}. ①求?UA,?UB;

②判断?UA与?UB的关系.

[思路探索]

依补集的意义,由定义或Venn图求解.

(1)解析 由U={0,1,2,3,4},A={1,2,3}.
∴?UA={0,4},从而(?UA)∪B={0,2,4},选C. 答案 (2)解 C ①∵A={x|x≥-3},

∴?UA=?RA={x|x<-3}.

又∵B={x|-3<x≤2},
∴?UB={x|x≤-3或x>2}. ②由数轴可知:

显然,?UA? ?UB.

[规律方法]

1.如果所给集合是有限集,则先把集合中的元

素一一列举出来,然后结合补集的定义来求解,并注意借助
Venn图. 2.如果所给集合是无限集,则常借助于数轴,把已知集合 及全集分别表示在数轴上,然后再根据补集的定义求解,这 样处理比较形象直观,解答过程中注意边界问题.

【活学活用1】 设U={x|-5≤x<-2,或2<x≤5,x∈Z},

A={x|x2-2x-15=0},B={-3,3,4},求?UA、?UB.
解 ∵U={x|-5≤x<-2,或2<x≤5,x∈Z} ={-5,-4,-3,3,4,5}, 又∵A={x|x2-2x-15=0}={-3,5}. 由补集的定义知:?UA={-5,-4,3,4},

?UB={-5,-4,5}.

类型二

补集的应用

【例2】 已知全集U=R,集合A={x|x<-1},B={x|2a<x
<a+3},且B??RA,求a的取值范围. [思路探索] 可先求出?RA,再结合B??RA列出关于a的不 等式组求a的取值范围.



由题意得?RA={x|x≥-1}.

(1)若 B=?,则 a+3≤2a, 即 a≥3,满足 B??RA. (2)若 B≠?,则由 B??RA, 1 得 2a≥-1 且 2a<a+3,即- ≤a<3. 2 1 综上可得 a≥- . 2

[规律方法]

解答本题的关键是利用B??UA,对B=?与B≠?

进行分类讨论,转化为与之等价的不等式(组)求解.不等式 中的等号在补集中能否取到,要引起重视,注意检验.

【活学活用2】 设U={0,1,2,3},A={x∈U|x2 +mx=0},若

?UA={1,2},则实数m=________.
解析 ∵U={0,1,2,3},?UA={1,2},∴A={0,3}. -3 又0,3是方程x2+mx=0的两根,∴m=-3. 答案

类型三

交、并、补的综合运算

【例 3】 设 A={x|2x2+ax+2=0}, B={x|x2+3x+2a=0},A ∩B={2}. (1)求 a 的值及 A,B; (2)设全集 U=A∪B,求(?UA)∪(?UB); (3)写出(?UA)∪(?UB)的所有子集. [思路探索] B. (2)利用集合的运算求(?UA)∪(?UB)进而求出所有子集. (1)由 A∩B={2}?2∈A 且 2∈B?解出 a 及 A,



(1)∵A∩B={2},∴2∈A,且 2∈B,代入可求 a=-5.
2

∴A={x|2x

?1 ? ? ? ? ,2?, -5x+2=0}=?2 ? ? ?

B={x|x2+3x-10=0}={-5,2}. (2)由(1)可知
? ? 1 ? ? ?-5, ,2?, U=? 2 ? ? ?

?1? ? ? ∴?UA={-5},?UB=?2?. ? ? ? ? ? 1? ? ? ?-5, ?. ∴(?UA)∪(?UB)= 2? ? ? ? ?1? ? 1? ? ? ? ? ? ?, -5, ?. ? (3)由(2)可知(?UA)∪(?UB)的所有子集为?, {-5}, 2? ? 2? ? ? ? ? ?

[规律方法]

1.在第(2)问中,易误认为“?UA=B,?UB=A”

导致逻辑错误.
2.进行集合的交、并、补运算时应紧扣定义,适当借助 Venn图及数轴等工具.

【活学活用3】 设全集为R,A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},
求?R(A∪B)及(?RA)∩B. 解 把全集R和集合A、B在数轴上表示如下:

由图知,A∪B={x|2<x<10},
∴?R(A∪B)={x|x≤2或x≥10}, ∵?RA={x|x<3或x≥7}, ∴(?RA)∩B={x|2<x<3或7≤x<10}.

方法技巧

补集思想的应用

有些数学问题,若直接从正面解决,或解题思路不明朗, 或需要考虑的因素太多,可用补集思想考虑其对立面,即从

结论的反面去思考,探索已知和未知之间的关系,从而化繁
为简,化难为易,开拓解题思路.

【示例】 已知集合A={y|y>a2+1,或y<a},B={y|2≤y≤4},

若A∩B≠?,求实数a的取值范围.
[思路分析] 由于集合A包含两个不等式,若直接利用交集

不为空集求解,则分情况较多,因此考虑从交集为空集的角 度入手.



因为 A={y|y>a2+1,或 y<a},B={y|2≤y≤4},我们不

妨先考虑当 A∩B=?时 a 的取值范围,如图所示.

?a≤2, ? 由? 2 ?a +1≥4, ?

?a≤2, ? 得? ?a≥ 3或a≤- ?

3,

故 a≤- 3或 3≤a≤2. 因此当 A∩B≠?时,a>2 或- 3<a< 3. [题后反思] “正难则反”策略运用的是补集思想,即已知全集 U,求子集 A,若直接求 A 困难,可先求?UA,再由?U(?UA)=A 求 A.

课堂达标 1.若全集 M={1,2,3,4,5},N={2,4},则?MN=( A.? C.{2,4} 解析 答案 ?MN={1,3,5},所以选 B. B B.{1,3,5} D.{1,2,3,4,5} ).

2.设全集U=M∪N={1,2,3,4,5},M∩?UN={2,4},则N=

(
A.{1,2,3} C.{1,4,5} 解析 B.{1,3,5} D.{2,3,4}

).

∵M∩?UN={2,4},∴元素2,4是? UN中的元素,即

2,4一定不是N中的元素,故A、C、D错误.

答案

B

4.已知全集U={2,5,8},且?UA={2},则集合A的真子集有

________个.
解析 ∵? UA={2},∴A={5,8},A的真子集为{5},{8}, 3 ?共3个. 答案

5.已知全集 U=R,A={x|-4≤x≤2},B={x|-1<x≤3},P
? 5? ? ? =?x|x≤0或x≥2?, ? ? ? ?

(1)求 A∩B; (2)求(?UB)∪P; (3)求(A∩B)∩(?UP).



借助数轴,数形结合.

(1)A∩B={x|-1<x≤2}. (2)易知?UB={x|x≤-1 或 x>3},
? 5? ? ? ?x|x≤0或x≥ ?. ∴(?UB)∪P=? 2? ? ? ? 5? ? ? (3)?UP=?x|0<x<2?, ? ? ? ? ? 5? ? ? ?x|0<x< ? ∴(A∩B)∩(?UP)={x|-1<x≤2}∩? 2? ? ?

={x|0<x≤2}.

课堂小结 1.求集合 A 的补集的前提是 A 是全集 U 的子集,所选全集不 同,得到的补集也是不同的. 2.?UA 的数学意义包括四个方面:①A?U;②?UA 的每一个 元素都属于 U,即?UA?U;③?UA 的每一个元素都不属于 A, 即(?UA)∩A=?; UA 含有 U 中所有不属于 A 的元素, ④? 即?U(?UA)=A.

3.补集的性质:

(1)?UU=?,?U?=U;
(2)A∪(?UA)=U,A∩(?UA)=?; (3)?U(?UA)=A; (4)?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB); ?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB).


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