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反三角函数


反三角函数
是一种数学术语。反三角函数并不能狭义的理解为三角函数的反函数,是个多 值函数。它是反正弦 Arcsin x,反余弦 Arccos x,反正切 Arctan x,反余切 Arccot x 这些函数的统称,各自表示其正弦、余弦、正切、余切为 x 的角。

数学术语
为限制反三角函数为单值函数,将反正弦函数的值 y 限在-π/2≤y≤

π/2,将 y 作为反正弦函数的主值,记为 y=arcsin x;相应地,反余弦函数 y=arccos x 的 主值限在 0≤y≤π;反正切函数 y=arctan x 的主值限在-π/2<y<π/2;反余切 函数 y=arccot x 的主值限在 0<y<π。 反三角函数实际上并不能叫做函数, 因为它并不满足一个自变量对应一个函 数值的要求,其图像与其原函数关于函数 y=x 对称。其概念首先由欧拉提出, 并且首先使用了【arc+函数名】的形式表示反三角函数,而不是 f-1(x) 。 ⑴正弦函数 y=sin x 在[-π/2,π/2]上的反函数,叫做反正弦函数。arcsin x 表示一个正弦值为 x 的角,该角的范围在[-π/2,π/2]区间内。 【图中红线】 ⑵余弦函数 y=cos x 在[0,π]上的反函数,叫做反余弦函数。arccos x 表示一 个余弦值为 x 的角,该角的范围在[0,π]区间内。 【图中蓝线】 ⑶正切函数 y=tan x 在(-π/2,π/2)上的反函数,叫做反正切函数。arctan x 表示一个正切值为 x 的角,该角的范围在(-π/2,π/2)区间内。 【图中绿线】 注释: 【图的画法根据反函数的性质即:反函数图像关于 y=x 对称】 反三角函数主要是三个: y=arcsin(x) ,定义域[-1,1] ,值域[-π/2,π/2]图象用深红色线条; y=arccos(x) ,定义域[-1,1] , 值域[0,π],图象用深蓝色线条; y=arctan(x) ,定义域(-∞,+∞) ,值域(-π/2,π/2) ,图象用浅绿色线 条; y=arccot(x) ,定义域(-∞,+∞) ,值域(0,π) ,暂无图象; sin(arcsin x)=x,定义域[-1,1],值域 [-1,1] arcsin(-x)=-arcsinx 证明方法如下:设 arcsin(x)=y,则 sin(y)=x,将这两个式子代入上式即可 得

其他几个用类似方法可得 cos(arccos x)=x,arccos(-x)=π-arccos x tan(arctan x)=x,arctan(-x)=-arctanx

公式
反三角函数其他公式: cos(arcsinx)=(1-x^2)^0.5 arcsin(-x)=-arcsinx arccos(-x)=π-arccosx arctan(-x)=-arctanx arccot(-x)=π-arccotx arcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotx sin(arcsinx)=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)=x arcsin x = x + x^3/(2*3) + (1*3)x^5/(2*4*5) + 1*3*5(x^7)/(2*4*6*7 ) … … +(2k+1)!!*x^(2k-1)/(2k!!*(2k+1))+ … … (|x|<1) !!表示双阶乘 arccos x = π -(x + x^3/(2*3) + (1*3)x^5/(2*4*5) +

1*3*5(x^7)/(2*4*6*7)……) (|x|<1) arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -……

举例
当 x∈[-π/2,π/2] 有 arcsin(sinx)=x x∈[0,π], arccos(cosx)=x x∈(-π/2,π/2) , arctan(tanx)=x

x∈(0,π) , arccot(cotx)=x x>0,arctanx=π/2-arctan1/x,arccotx 类似 若 (arctanx+arctany ) ∈ ( - π /2 , π /2 ) , 则 arctanx+arctany=arctan((x+y)/(1-xy)) 例如, arcsinχ表示角α, 满足α∈[-π/2, π/2]且 sinα=χ;arccos(-4/5) 表示角β,满足β∈[0,π]且 cosβ=-4/5;arctan2表示角φ,满足φ∈(-π /2,π/2)且 tanφ=2


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