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[原创]2012年数学一轮复习精品试题第30讲


第三十讲

数列求和

班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________ 一、选择题:(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分,将正确答案的代号填在题后的 括号内.) 1.数列{an}的通项公式为 an=(-1)n 1·(4n-3),则它的前 100 项之和 S100 等于(


)

A.200 C.400 D.-400

B.-200

解析:S100=1-5+9-13+…+(4×99-3)-(4×100-3)=50×(-4)=-200. 答案:B 1 1 1 2.数列 1, , ,…, 的前 n 项和为( 1+2 1+2+3 1+2+…+n 2n A. 2n+1 B. 2n n+1 )

n+2 n D. C. 2n+1 n+1 解析:该数列的通项为 an= 1,2,3,…,则 Sn= 1 1 1 1 1 1 1 2?1-2+2-3+3-4+…+n-n+1?. 1 1 2 ,分裂为两项差的形式为 an=2?n-n+1?,令 n= ? ? n(n+1)

?

?

1 2n ∴Sn=2?1-n+1?= ? ? n+1. 答案:B 3.设 f(n)=2+24+27+210+…+23n 2 2 + A. (8n-1) B. (8n 1-1) 7 7 2 + 2 + C. (8n 3-1) D. (8n 4-1) 7 7 2(1-8n 4) - 解析: f(n)为等比数列{23n 2}的前 n+4 项的和, 首项为 2, 公比为 8, f(n)= 故 1-8
+ +10

(n∈N),则 f(n)等于(

)

2 + = (8n 4-1). 7 答案:D 3 4. 若数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且满足 Sn= an-3, 则数列{an}的前 n 项和 Sn 等于( 2 A.3n 1-3 B.3n-3


)

C.3n 1+3 D.3n+3


1

3 3 3 解析:∵Sn= an-3,∴Sn+1= an+1-3,两式相减得:Sn+1-Sn= (an+1-an). 2 2 2 a n+ 1 3 即 an+1= (an+1-an),∴ =3. 2 an 3 3 又∵S1= a1-3,即 a1= a1-3, 2 2 ∴a1=6. ∴an=a1·qn 1=6×3n 1=2×3n.
- -

3 3 + ∴Sn= an-3= ×2×3n-3=3n 1-3,故应选 A. 2 2 答案:A 1 1 1 1 1 5.数列 1 ,3 ,5 ,7 ,…,(2n-1)+ n,…的前 n 项和 Sn 的值等于( 16 2 2 4 8 1 A.n2+1- n 2 C.n2+1- 1 B.2n2-n+1- n 2 )

1 1 D.n2-n+1- n - 2 2n 1

1 解析:该数列的通项公式为 an=(2n-1)+ n, 2 1 1 1 1 则 Sn=[1+3+5+…+(2n-1)]+?2+22+…+2n?=n2+1- n.故选 A. ? ? 2 答案:A 6.数列 an= 1 9 ,其前 n 项之和为 ,则在平面直角坐标系中,直线(n+1)x+y+n 10 n(n+1) )

=0 在 y 轴上的截距为( A.-10 B.-9 C.10 D.9

解析:设数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 Sn=a1+a2+…+an, 1 1 又∵an= - , n n+1 1 1 1 1 1 n ∴Sn=1- + - +…+ - = , 2 2 3 n n+1 n+1 n 9 又∵ = ,∴n=9, n+1 10 ∴原题变为求 10x+y+9=0 在 y 轴上的截距,令 x=0,得 y=-9, ∴直线在 y 轴上的截距为-9.故选 B. 答案:B 二、 填空题: (本大题共 4 小题, 每小题 6 分, 24 分, 共 把正确答案填在题后的横线上. ) 7.已知函数 f(x)对任意 x∈R,都有 f(x)=1-f(1-x),则 f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)

2

+f(3)=________. 解析:由条件可知:f(x)+f(1-x)=1. 而 x+(1-x)=1, ∴f(-2)+f(3)=1,f(-1)+f(2)=1, f(0)+f(1)=1, ∴f(-2)+f(-1)+…+f(2)+f(3)=3. 答案:3 n 1 2 3 4 8. + 2+ 3+ 4+…+ n-2 等于________. 2 2 2 2 2 n 1 2 3 解析:设 S= + 2+ 3+…+ n, 2 2 2 2 n-1 1 1 2 n 则 S= 2+ 3+…+ n + n+1. 2 2 2 2 2 1 1 1 1 n 相减,得 S= + 2+…+ n- n+1 2 2 2 2 2 1 1? 1- n? 2? 2 ? n = - n+1. 1 2 1- 2 1 n ∴S=2- n-1- n. 2 2 ∴原式=- 1 n - - n. 2n 1 2

1 n 答案:- n-1- n 2 2 1 1 1 1 9.数列 2 , 2 , 2 , 2 …的前 n 项和等于________. 1 +2 2 +4 3 +6 4 +8 1 1 1 1 解析:an= 2 = ?n-n+2?, 2? ? n +2n

??1- ?+? - ?+? - ?+…+? 1 ? 3? ?2 4? ?3 5? ∴S = ? ? 2 ?1 1 ? - ??n n+2? ?
1 1 1 1 1
n

1 1 1 1 = ?1+2-n+1-n+2? 2? ? 2n+3 3 = - . 4 2(n+1)(n+2) 2n+3 3 答案: - 4 2(n+1)(n+2)

3

?n2 ? 10.函数 f(n)= ? 2 ? ?-n

(n为奇数) (n为偶数) ,且 an =f(n)+f(n+1),则 a1 +a2 +…+a1000 =

__________. 解析:a2n=f(2n)+f(2n+1)=-4n2+(2n+1)2 =4n+1,a2n-1=f(2n-1)+f(2n) =-(2n)2+(2n-1)2 =-4n+1 所以数列的前 1000 项和可分为两部分: (a1+a3+a5+…+a999)+(a2+a4+a6+…+a1000)=1000. 答案:1000 三、解答题:(本大题共 3 小题,11、12 题 13 分,13 题 14 分,写出证明过程或推演步 骤.) 1 11.已知数列{an}中,a1=1,当 n≥2 时,其前 n 项和 Sn 满足 S2=an?Sn-2?. n ? ? (1)求 Sn 的表达式; Sn (2)设 bn= ,求{bn}的前 n 项和 Tn. 2n+1 1 解:(1)∵S2=an?Sn-2?, n ? ? an=Sn-Sn-1(n≥2), 1 ∴S2=(Sn-Sn-1)?Sn-2?, n ? ? 即 2Sn-1Sn=Sn-1-Sn① 由题意 Sn-1·Sn≠0, 1 1 故①式两边同除以 Sn-1·Sn,得 - =2. S n S n- 1 1 1 1 ∴数列{ }是首项为 = =1,公差为 2 的等差数列, Sn S1 a1 1 ∴ =1+2(n-1)=2n-1, Sn 1 ∴Sn= . 2n-1 Sn 1 (2)∵bn= = 2n+1 (2n-1)(2n+1) 1 1 1 = ?2n-1-2n+1?, 2? ? ∴Tn=b1+b2+…+bn

4

1 1 1 1 1 1 = ??1-3?+?3-5?+…+?2n-1-2n+1?? ? ? ? 2?? ? ?? 1 1 n = ?1-2n+1?= 2? ? 2n+1. 12.等差数列{an}是递增数列,前 n 项和为 Sn,且 a1,a3,a9 成等比数列,S5=a2. 5 (1)求数列{an}的通项公式; n2+n+1 ,求数列{bn}的前 99 项的和. (2)若数列{bn}满足 bn= an·an+1 解:(1)设数列{an}的公差为 d(d>0), ∵a1,a3,a9 成等比数列,∴a2=a1a9, 3 ∴(a1+2d)2=a1(a1+8d),∴d2=a1d, ∵d>0,∴a1=d,① ∵S5=a2, 5 5×4 ∴5a1+ ·d=(a1+4d)2② 2 3 3 由①②得 a1= ,d= , 5 5 3 3 3 ∴an= +(n-1)× = n(n∈N*). 5 5 5 n2+n+1 (2)bn= 3 3 n· (n+1) 5 5
2 25 n +n+1 = · 9 n(n+1)



1 ? 25? 1 1+ - n n+1?, 9?

∴b1+b2+b3+…+b99

?1+1-2+1+2-3+1+3-4+…? 25 ? 1 25 = ×? ?= 9 ×?99+1-100? ? 9 1 1 +1+ - ? 99 100 ?
=275+2.75=277.75. 13.(2011·沈阳市模拟)在数列{an}中,a1=1, 1 2an+1=?1+n?2·an(n∈N*). ? ? an (1)证明:数列{ 2}是等比数列,并求数列{an}的通项公式; n 1 (2)令 bn=an+1- an,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 2

1

1

1

1 1

5

解:(1)证明:由条件得 an 又 n=1 时, 2=1, n

a n+ 1 1 an 2= · 2, (n+1) 2 n

1 an 故数列{ 2}构成首项为 1,公比为 的等比数列. 2 n an 1 n2 从而 2= n-1,即 an= n-1. n 2 2 (n+1)2 n2 2n+1 (2)由 bn= - n= n 得 2n 2 2 2n+1 3 5 Sn= + 2+…+ n 2 2 2 2n-1 2n+1 1 3 5 ? Sn= 2+ 3+…+ n + n+1 , 2 2 2 2 2 1 2n+1 1 1 3 1 两式相减得 Sn= +2?22+23+…+2n?- n+1 , ? 2 2 ? 2 2n+5 所以 Sn=5- n . 2

6


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