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河南省郑州市2015届高考数学三模试卷(理科)


河南省郑州市 2015 届高考数学三模试卷(理科)
一、选择题,共 12 小题吗,每小题 5 分,共 60 分 1. (5 分)已知集合 U={1,2,3,4,5},A={1,4},B={2,3},则 A∩(?uB)等于() A.{1,4,5} B.{1,4} C.{4} D.{1,2,3,4} 2. (5 分)复数 Z= A.(1,3) (i 为虚数单位)在复平面内对

应点的坐标是() B.(﹣1,3) C.(3,﹣1) D.(2,4)

3. (5 分)已知实数 4,m,9 构成一个等比数列,则圆锥曲线 A. B. C. 或

的离心率为() D. 或 7
2

4. (5 分) 某班有 50 名学生, 一次数学考试的成绩 ξ 服从正态分布 N (105, 10 ) , 已知 P (95≤ξ≤105) =0.32,估计该班学生数学成绩在 115 分以上的人数为() A.10 B. 9 C. 8 D.7 5. (5 分)执行如图所示的程序框图,输出的 k 值为()

A.7

B. 9

C.11

D.13

6. (5 分)已知等比数列{an}中,a2=1,则其前 3 项的和 S3 的取值范围是() A. (﹣∞,﹣1] B. (﹣∞,0)∪(1,+∞) C. ∪ 17. (12 分)在锐角△ ABC 中,a,b,c 分别为角 A、B、C 所对的边,且 a=2csinA. (Ⅰ)确定角 C 的大小; (Ⅱ)若 c= ,且△ ABC 的面积为 ,求 a+b 的值.

18. (12 分)交通指数是交通拥堵指数的简称,是综合反映道路间畅通或拥堵的概念.记交通 指数为 T.其范围为,分别有五个级别:T∈严重拥堵.早高峰时段(T≥3) ,从郑州市交通指 挥中心随机选取了三环以内的 50 个交通路段,依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如 图 所示: (Ⅰ)据此频率分布直方图估算交通指数 T∈时的中位数和平均数; (Ⅱ)据此频率分布直方图求出该市早高峰三环以内的 3 个路段至少有两个严重拥堵的概率 是多少? (Ⅲ)某人上班路上所用时间若畅通时为 25 分钟,基本畅通为 35 分钟,轻度拥堵为 40 分钟; 中度拥堵为 50 分钟;严重拥堵为 60 分钟,求此人所用时间的数学期望.

19. (12 分)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 是菱形,AC=2, BD=2 ,E 是 PB 上任意一点. (Ⅰ)求证:AC⊥DE; (Ⅱ)已知二面角 A﹣PB﹣D 的余弦值为 角的正弦值. ,若 E 为 PB 的中点,求 EC 与平面 PAB 所成

20. (12 分) 已知椭圆

=1 (a>b>0) 的右焦点为 F, A 为短轴的一个端点, 且|OA|=|OF|=

(其中 O 为坐标原点)连结 CM 交椭圆于点 P. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若 C、D 分别是椭圆长轴的左、右端点,动点 M 满足 MD⊥CD,交椭圆于点 P,试问: x 轴上是否存在异于点 C 的定点 Q,使得以 MP 为直径的圆经过直线 OP、MQ 的交点;若存 在,求出点 Q 的坐标,若不存在,说明理由.

21. (12 分) (Ⅰ)求证:不等式 lnx≤k (Ⅱ)设数列{an}的通项公式为 an=

对 k≥1 恒成立. ,前 n 项和为 Sn,求证:Sn≥ln(2a+1)

几何证明选讲 22.如图,四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E,且 CB=CE. (Ⅰ)证明:∠D=∠E; (Ⅱ)设 AD 不是⊙O 的直径,AD 的中点为 M,且 MB=MC,证明:△ ADE 为等边三角形.

坐标系与参数方程 23.已知曲线 C1= ,曲线 C2:ρ=sinθ.

(Ⅰ)求曲线 C1 的普通方程与曲线 C2 的直角坐标方程; (Ⅱ)已知直线 l:x+y﹣8=0,求曲线 C1 上的点到直线 l 的最短距离.

不等式选讲 24. (10 分)已知函数 f(x)=|x+a|+|x﹣2| (1)当 a=﹣3 时,求不等式 f(x)≥3 的解集; (2)若 f(x)≤|x﹣4|的解集包含,求 a 的取值范围.

河南省郑州市 2015 届高考数学三模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题,共 12 小题吗,每小题 5 分,共 60 分 1. (5 分)已知集合 U={1,2,3,4,5},A={1,4},B={2,3},则 A∩(?uB)等于() A.{1,4,5} B.{1,4} C.{4} D.{1,2,3,4}

考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 由全集 U 及 B,求出 B 的补集,找出 A 与 B 补集的交集即可. 解答: 解:∵集合 U={1,2,3,4,5},A={1,4},B={2,3}, ∴?UB={1,4,5}, 则 A∩(?UB)={1,4}, 故选:B. 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.

2. (5 分)复数 Z= A.(1,3)

(i 为虚数单位)在复平面内对应点的坐标是() B.(﹣1,3) C.(3,﹣1) D.(2,4)

考点: 复数的代数表示法及其几何意义. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数的运算法则、几何意义即可得出. 解答: 解:复数 Z= = =(1+2i) (1﹣i)=3+i 在复平面内对应点的

坐标是(3,1) . 故选:A. 点评: 本题考查了复数的运算法则、几何意义,属于基础题.

3. (5 分)已知实数 4,m,9 构成一个等比数列,则圆锥曲线 A. B. C. 或

的离心率为() D. 或 7

考点: 椭圆的简单性质;双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由实数 4, m, 9 构成一个等比数列, 得 m=± 的离心率. 解答: 解:∵实数 4,m,9 构成一个等比数列, ∴m=± =±6, 当 m=6 时,圆锥曲线 a= ,c= ,其离心率 e= 为 ; 为﹣ = . , , =±6, 由此能求出圆锥曲线

当 m=﹣6 时,圆锥曲线 a=1,c= 故选 C. ,其离心率 e=

点评: 本题考查圆锥曲线的离心率的求法,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答,注 意等比中项公式的应用. 4. (5 分) 某班有 50 名学生, 一次数学考试的成绩 ξ 服从正态分布 N (105, 10 ) , 已知 P (95≤ξ≤105) =0.32,估计该班学生数学成绩在 115 分以上的人数为() A.10 B. 9 C. 8 D.7 考点: 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 专题: 计算题;概率与统计. 2 分析: 根据考试的成绩 ξ 服从正态分布 N(105,10 ) .得到考试的成绩 ξ 关于 ξ=105 对称, 根据 P(95≤ξ≤105)=0.32,得到 P(ξ≥105)= (1﹣0.64)=0.18,根据频率乘以样本容量得 到这个分数段上的人数. 2 解答: 解:∵考试的成绩 ξ 服从正态分布 N(105,10 ) . ∴考试的成绩 ξ 关于 ξ=105 对称, ∵P(95≤ξ≤105)=0.32, ∴P(ξ≥105)= (1﹣0.64)=0.18, ∴该班数学成绩在 115 分以上的人数为 0.18×50=9 故选:B. 点评: 本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义,是一个基础题,解题的关键是考试 的成绩 ξ 关于 ξ=105 对称,利用对称写出要用的一段分数的频数,题目得解. 5. (5 分)执行如图所示的程序框图,输出的 k 值为()
2

A.7

B. 9

C.11

D.13

考点: 程序框图. 专题: 图表型;算法和程序框图. 分析: 模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 S,k 的值,当 S=﹣lg11 时,满足条件 S<﹣1,退出循环,输出 k 的值为 11. 解答: 解:模拟执行程序框图,可得

S=0,k=1 不满足条件 S<﹣1,S=﹣lg3,k=3 不满足条件 S<﹣1,S=﹣lg5,k=5 不满足条件 S<﹣1,S=﹣lg7,k=7 不满足条件 S<﹣1,S=﹣lg9,k=9 不满足条件 S<﹣1,S=﹣lg11,k=11 满足条件 S<﹣1,退出循环,输出 k 的值为 11. 故选:C. 点评: 本题主要考查了程序框图和算法, 依次写出每次循环得到的 S, k 的值是解题的关键, 属于基本知识的考查. 6. (5 分)已知等比数列{an}中,a2=1,则其前 3 项的和 S3 的取值范围是() A. (﹣∞,﹣1] B. (﹣∞,0)∪(1,+∞) C. ∪∪ 故选:A. 点评: 本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系,即当导函数大于 0 时原 函数单调递增,当导函数小于 0 时原函数单调递减. 11. (5 分)定义在(0, tanx 成立,则() A. ( f( ) )> f( D. ) B.f(1)<2f( f( )<f( )sin1 C. ) f( )>f )上的函数 f(x) ,f′(x)是它的导函数,且恒有 f(x)<f′(x)

考点: 导数的运算. 专题: 计算题;导数的综合应用. 分析: 把给出的等式变形得到 f′(x)sinx﹣f(x)cosx>0,由此联想构造辅助函数 g(x) = (0, ,由其导函数的符号得到其在 )上为增函数,则 ,整理后即可得到答案. ) ,所以 sinx>0,cosx>0.

解答: 解:因为 x∈(0,

由 f(x)<f′(x)tanx,得 f(x)cosx<f′(x)sinx. 即 f′(x)sinx﹣f(x)cosx>0. 令 g(x)= x∈(0, ) ,则 .

所以函数 g(x)=

在 x∈(0,

)上为增函数,



,即

,所以







故选 D. 点评: 本题考查了导数的运算法则,考查了利用函数导函数的符号判断函数的单调性,考 查了函数构造法,属中档题型.

12. (5 分)已知双曲线



=1,a,b∈R,F1,F2 分别为双曲线的左右焦点,O 为坐标原

点,点 P 为双曲线上一点满足|OP|=3a,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列,则此双曲线的离心 率为() A. B. C. D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 通过等比数列、双曲线的定义,结合平行四边形四边的平方和等于对角线的平方和, 即可求出离心率. 解答: 解:由题意,|PF1|、|F1F2|、|PF2|成等比数列可知,|F1F2| =|PF1||PF2|, 2 即 4c =|PF1||PF2|, 2 2 2 由双曲线的定义可知|PF1|﹣|PF2|=2a,即|PF1| +|PF2| ﹣2|PF1||PF2|=4a , 2 2 2 2 可得|PF1| +|PF2| =8c +4a …① 因为|OP|=3a, 所以 2(|PF1| +|PF2| )=4c +4(3a) , 2 2 2 2 所以 2(8c +4a )=4c +4(3a) , 2 2 所以 7a =3c , 所以 e= = .
2 2 2 2 2

故选:D. 点评: 本题考查双曲线的定义,以及等比数列的应用,考查分析问题解决问题的能力,是 有难度的综合问题. 二、填空题,共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分 2 2 13. (5 分)已知(1+ax) (1+x) 的展开式中 x 的系数为 5,则 a=2. 考点: 二项式定理的应用. 专题: 计算题;二项式定理. 2 分析: 由题意可得展开式中 x 的系数为前一项中常数项与后一项 x 的二次项乘积加上第一 项 x 的系数与第二项 x 的系数乘积之和等于 5,由此解得 a 的值. 2 2 解答: 解:已知(1+ax) (1+x) =(1+ax) (1+2x+x )

展开式中 x 的系数为 1+2a=5,解得 a=2, 故答案为:2. 点评: 本题主要考查二项式定理的应用,二项式展开式的通项公式,求展开式中某项的系 数,属于中档题. 14. (5 分)A,B,C,D 四人猜想自己所买彩票的中奖情况. A 说:“如果我中奖了,那么 B 也中奖了” B 说:“如果我中奖了,那么 C 也中奖了” C 说:“如果我中奖了,那么 D 也中奖了” 结果三人都没有说错,但是只有两人中奖了,这两人是 C,D. 考点: 进行简单的合情推理. 专题: 综合题;推理和证明. 分析: 先分析 A,B 没有中奖,再确定 C,D 中奖,可得结论. 解答: 解:若 A 中奖,则 B,C,D 都中奖, 所以 A,B 没有中奖, 因为只有两人中奖了,所以 C,D 中奖, 故答案为:C,D. 点评: 本题考查合情推理,考查学生分析解决问题的能力,比较基础.

2

15. (5 分)若实数 x、y,满足

,则 z=

的取值范围是



考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用 z 的几何意义即可得到结论. 解答: 解:z 的几何意义是区域内的点到 D(﹣1,﹣3)的斜率, 作出不等式组对应的平面区域如图:A(3,0) ,B(0,4) , 由图象可知,当 AD 的斜率最小为 故 z 的取值范围 故答案为: , = ,BD 的斜率最大为 =7,

点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用直线斜率的几何意义是解决本题的关键,注意 要数形结合.
x
﹣x

16. (5 分)已知函数 f(x)=2015 ﹣log2015( (3x+1)+f(x)>4 的解集为(﹣ ,+∞) .

﹣x)﹣2015 +2,则关于 x 的不等式 f

考点: 函数单调性的性质. 专题: 函数的性质及应用;导数的综合应用. 分析: 可先设 g (x) = , 根据要求的不等式,

可以想着判断 g(x)的奇偶性及其单调性:容易求出 g(﹣x)=﹣g(x) ,通过求 g′(x) ,并 判断其符号可判断其单调性,从而原不等式可变成,g(3x+1)>g(﹣x) ,而根据 g(x)的 单调性即可得到关于 x 的一元一次不等式,解该不等式即得原不等式的解. 解答: 解:设 g(x)= g(﹣x)= =﹣g(x) ;
﹣x



g′(x)= ∴g(x)在 R 上单调递增; ∴由 f(3x+1)+f(x)>4 得,g(3x+1)+2+g(x)+2>4; ∴g(3x+1)>g(﹣x) ; ∴3x+1>﹣x; 解得 x ; .

+2015 ln2015>0;

∴原不等式的解集为

故答案为: (

,+∞) .

点评: 考查对数的运算,平方差公式,奇函数的判断方法,根据函数导数符号判断函数单 调性的方法,函数单调性定义的运用,并注意正确求导. 三、简单题共题,共 70 分 17. (12 分)在锐角△ ABC 中,a,b,c 分别为角 A、B、C 所对的边,且 (Ⅰ)确定角 C 的大小; (Ⅱ)若 c= ,且△ ABC 的面积为 ,求 a+b 的值.

a=2csinA.

考点: 正弦定理;余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (I)由 锐角,即可得出. (2)由 c= 得:c = 解答: 解: (I)∵ ∴由正弦定理可得 又 sinA≠0, ∴sinC= , . ,且△ ABC 的面积为 ,化为 ab=6, = =(a+b) ﹣3ab,
2 2

a=2csinA.利用正弦定理可得

sinA,sinC=

,由于 A 为



,且△ ABC 的面积为 化简即可得出. a=2csinA. sinA,

,可得

=

,ab,由余弦定理可

∵A 为锐角,∴ (2)∵c= ∴ = ,



由余弦定理可得:

∴a+b=5. 点评: 本题考查了正弦定理与余弦定理、三角形的面积计算公式,考查了推理能力与计算 能力,属于中档题. 18. (12 分)交通指数是交通拥堵指数的简称,是综合反映道路间畅通或拥堵的概念.记交通 指数为 T.其范围为,分别有五个级别:T∈严重拥堵.早高峰时段(T≥3) ,从郑州市交通指 挥中心随机选取了三环以内的 50 个交通路段,依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如 图 所示: (Ⅰ)据此频率分布直方图估算交通指数 T∈时的中位数和平均数; (Ⅱ)据此频率分布直方图求出该市早高峰三环以内的 3 个路段至少有两个严重拥堵的概率 是多少?

(Ⅲ)某人上班路上所用时间若畅通时为 25 分钟,基本畅通为 35 分钟,轻度拥堵为 40 分钟; 中度拥堵为 50 分钟;严重拥堵为 60 分钟,求此人所用时间的数学期望.

考点: 离散型随机变量的期望与方差;频率分布直方图. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)直接利用频率分布表求出 T∈时交通指数的中位数,T∈时交通指数的平均数即 可. (Ⅱ)设事件 A 为“一条路段严重拥堵”,则 P(A)=0.1,利用独立重复试验的概率求解 3 条 路段中 DP 至少有两条路段严重拥堵的概率. (Ⅲ)列出所用时间 x 的分布列,然后求解期望即可. 解答: 解: (Ⅰ)由直方图知:T∈时交通指数的中位数为 5+1× = …(2 分)T∈时交

通指数的平均数 3.5×0.1+4.5×0.2+5.5×0.24+6.5×0.2+7.5×0.16+8.5×0.1=5.92…(4 分) (Ⅱ)设事件 A 为“一条路段严重拥堵”,则 P(A)=0.1…(5 分) 则 3 条路段中 DP 至少有两条路段严重拥堵的概率为: …(7 分) ∴3 条路段中至少有两条路段严重拥堵的 MQ 概率为 …(8 分)

(Ⅲ)由题意,所用时间 x 的分布列如下表: x 35 40 50 60 P 0.1 0.44 0.36 0.1 则 Ex=35×0.1+40×0.44+50×0.36+60×0.1=45.1…(11 分) ∴此人经过该路段所用时间的数学期望是 45.1 分钟…(12 分) 点评: 本题考查离散型独立重复试验的概率的求法,频率分布直方图的应用,期望的求法, 考查计算能力. 19. (12 分)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 是菱形,AC=2, BD=2 ,E 是 PB 上任意一点. (Ⅰ)求证:AC⊥DE; (Ⅱ)已知二面角 A﹣PB﹣D 的余弦值为 角的正弦值. ,若 E 为 PB 的中点,求 EC 与平面 PAB 所成

考点: 用空间向量求直线与平面的夹角;空间中直线与直线之间的位置关系;直线与平面 所成的角;与二面角有关的立体几何综合题. 专题: 综合题. 分析: (I)证明线线垂直,正弦证明线面垂直,即证 AC⊥平面 PBD; (II)分别以 OA,OB,OE 方向为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,设 PD=t,用坐标表示点, 求得平面 PBD 的法向量为 ,平面 PAB 的法向量为 ,可求 t 的值,从而可得 P

,根据二面角 A﹣PB﹣D 的余弦值为

的坐标,再利用向量的夹角公式,即可求得 EC 与平面 PAB 所成的角. 解答: (I)证明:∵PD⊥平面 ABCD,AC?平面 ABCD ∴PD⊥AC 又∵ABCD 是菱形,∴BD⊥AC,BD∩PD=D ∴AC⊥平面 PBD,∵DE?平面 PBD ∴AC⊥DE…(6 分) (II)解:分别以 OA,OB,OE 方向为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,设 PD=t,则

由(I)知:平面 PBD 的法向量为



令平面 PAB 的法向量为

,则根据





因为二面角 A﹣PB﹣D 的余弦值为

,则

,即





…(9 分)

∴ 设 EC 与平面 PAB 所成的角为 θ,

∵ ∴

, …(12 分)

点评: 本题考查线线垂直,考查线面角,解题的关键是掌握线面垂直的判定,利用空间向 量解决线面角问题,属于中档题.

20. (12 分) 已知椭圆

=1 (a>b>0) 的右焦点为 F, A 为短轴的一个端点, 且|OA|=|OF|=

(其中 O 为坐标原点)连结 CM 交椭圆于点 P. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若 C、D 分别是椭圆长轴的左、右端点,动点 M 满足 MD⊥CD,交椭圆于点 P,试问: x 轴上是否存在异于点 C 的定点 Q,使得以 MP 为直径的圆经过直线 OP、MQ 的交点;若存 在,求出点 Q 的坐标,若不存在,说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)通过|OA|=|OF|= 可得 b、c 的值,进而可得结论; (Ⅱ)通过(1)知 C(﹣2,0) ,D(2,0) ,设直线 CM 方程并与椭圆联立,利用韦达定理 可得点 P 坐标,利用 =0,计算即得结论. ,∴ ,

解答: 解: (Ⅰ)∵|OA|=|OF|= 2 2 2 ∴a =b +c =4, ∴椭圆方程为: ;

(Ⅱ)结论:存在 Q(0,0) ,使得以 MP 为直径的圆恒过直线 DP、MQ 的交点. 理由如下: 由(1)知:C(﹣2,0) ,D(2,0) . 由题意可设 CM:y=k(x+2) ,P(x1,y1) . ∵MD⊥CD,∴M(2,4k) ,

联立
2 2

,消去 y,整理得: (1+2k )x +8k x+8k ﹣4=0,
2 2

2

2

2

2

∴△=(8k ) ﹣4(1+2k ) (8k ﹣4)>0, ∴ ∴ , ,





设 Q(x0,0) ,且 x0≠﹣2, 若以 MP 为直径的圆恒过 DP,MQ 的交点, 则 MQ⊥DP,∴ ∵ =0 恒成立, , ,







恒成立,∴x0=0.

∴存在 Q(0,0) ,使得以 MP 为直径的圆恒过直线 DP、MQ 的交点. 点评: 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题,考查求椭圆方程,考查运算求解能力,注意 解题方法的积累,属于难题. 21. (12 分) (Ⅰ)求证:不等式 lnx≤k (Ⅱ)设数列{an}的通项公式为 an= 对 k≥1 恒成立. ,前 n 项和为 Sn,求证:Sn≥ln(2a+1)

考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;函数恒成立问题;数列的求和. 专题: 综合题;导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)构造函数,换元,确定 f(x)在几何证明选讲 22.如图,四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E,且 CB=CE. (Ⅰ)证明:∠D=∠E; (Ⅱ)设 AD 不是⊙O 的直径,AD 的中点为 M,且 MB=MC,证明:△ ADE 为等边三角形.

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 选作题;立体几何. 分析: (Ⅰ)利用四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,可得∠D=∠CBE,由 CB=CE,可得 ∠E=∠CBE,即可证明:∠D=∠E; (Ⅱ)设 BC 的中点为 N,连接 MN,证明 AD∥BC,可得∠A=∠CBE,进而可得∠A=∠E, 即可证明△ ADE 为等边三角形. 解答: 证明: (Ⅰ)∵四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形, ∴∠D=∠CBE, ∵CB=CE, ∴∠E=∠CBE, ∴∠D=∠E; (Ⅱ)设 BC 的中点为 N,连接 MN,则由 MB=MC 知 MN⊥BC, ∴O 在直线 MN 上, ∵AD 不是⊙O 的直径,AD 的中点为 M, ∴OM⊥AD, ∴AD∥BC, ∴∠A=∠CBE, ∵∠CBE=∠E, ∴∠A=∠E, 由(Ⅰ)知,∠D=∠E, ∴△ADE 为等边三角形.

点评: 本题考查圆的内接四边形性质,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 坐标系与参数方程 23.已知曲线 C1= ,曲线 C2:ρ=sinθ.

(Ⅰ)求曲线 C1 的普通方程与曲线 C2 的直角坐标方程; (Ⅱ)已知直线 l:x+y﹣8=0,求曲线 C1 上的点到直线 l 的最短距离. 考点: 参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: (I) 利用 cos θ+sin θ=1 可把曲线 C1=
2 2 2

化为普通方程; 曲线 C2: ρ=sinθ

化为 ρ =ρsinθ,利用

即可化为直角坐标方程. , 利用点到直线的距离公式

(Ⅱ) 设曲线 C1 上任意一点 P 的坐标为 与三角函数的单调性有界性即可得出. 解答: 解: (Ⅰ) 曲线 ,

曲线 (Ⅱ)设曲线 C1 上任意一点 P 的坐标为 则点 P 到直线 l 的距离为

. ,

其中

,当 sin(θ+φ)=1 时等号成立.

点评: 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距 离公式与三角函数的单调性有界性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 不等式选讲 24. (10 分)已知函数 f(x)=|x+a|+|x﹣2| (1)当 a=﹣3 时,求不等式 f(x)≥3 的解集; (2)若 f(x)≤|x﹣4|的解集包含,求 a 的取值范围. 考点: 绝对值不等式的解法;带绝对值的函数. 专题: 计算题;压轴题. 分析: (1)不等式等价于 ,或 ,或 ,

求出每个不等式组的解集, 再取并集即得所求. (2)原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x 在上恒成立,由此求得求 a 的取值范围.

解答: 解: (1)当 a=﹣3 时,f(x)≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3,即①

,或





或③



解①可得 x≤1,解②可得 x∈?,解③可得 x≥4. 把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为 {x|x≤1 或 x≥4}. (2)原命题即 f(x)≤|x﹣4|在上恒成立,等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x 在上恒成立, 等价于|x+a|≤2,等价于﹣2≤x+a≤2,﹣2﹣x≤a≤2﹣x 在上恒成立. 故当 1≤x≤2 时,﹣2﹣x 的最大值为﹣2﹣1=﹣3,2﹣x 的最小值为 0, 故 a 的取值范围为. 点评: 本题主要考查绝对值不等式的解法,关键是去掉绝对值,化为与之等价的不等式组 来解,体现了分类讨论的数学思想, 属于中档题.


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