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全国高中数学联合竞赛试题


全国高中数学联合竞赛试题
一、选择题
1. 已知△ABC,若对任意 t ∈ R , BA ? t BC ≥ AC ,则△ABC 一定为 已知△ , A.锐角三角形 .
2

10.方程 ( x 2006 + 1)(1 + x 2 + x 4 + ? + x 2004 ) = 2006 x 2005 的正实数解的个数为 . 11.等

比数列 a + log 2 3 , a + log 4 3 , a + log 8 3 的公比是_________。 . 的公比是_________。 _________

.

三. 解答题
12. 在△ABC 中,M 为 BC 边的中点,∠B=2∠C,∠C 的平分线交 AM 于 D。 边的中点, B=2∠ 证明: MDC≤45° 证明:∠MDC≤45°。

B. 钝角三角形

C. 直角三角形

D. 答案不确定

2. 设 log x (2 x + x ? 1) > log x 2 ? 1 ,则 x 的取值范围为 A. .

1 < x <1 2

B. x > .

1 ,且 x ≠ 1 2

C. x > 1 .

D. 0 < x < 1 .

3. 已知集合 A = x 5 x ? a ≤ 0 , B = x 6 x ? b > 0 , a, b ∈ N ,且 A ∩ B ∩ N = {2,3, 4} , 则整数对 (a, b ) 的个数为 A. 20 B. 25 C. 30 D. 42 的三个内角。 13.设∠A,∠B,∠C 是ΔABC 的三个内角。若向量

{

}

{

}

4. 在直三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 中, ∠BAC =

π
2

已知G , AB = AC = AA1 = 1 . 已知G与E分别为

9 A? B? A? B? ? ?5 m = ?1 ? cos( A + B), cos ?, n = ? , cos ? , 且 m?n= . 8 2 ? 2 ? ? ?8
(1)求证:tanA? (1)求证:tanA?tanB= 求证

A1 B1 和 CC1 的中点, 与F分别为线段 AC 和 AB 上的动点 不包括端点) 若 GD ⊥ EF , 的中点, D与 . D (不包括端点)
则线段 DF 的长度的取值范围为 A. ?

1 ab sin C (2)求 的最大值。 ;(2)求 2 的最大值。 9 a + b2 ? c2

? 1 ? , 1? ? 5 ?

B. ? , 2 ?

?1 ?5

? ?

C. ?1,

?

2

)

D. ?

? 1 , ? 5

? 2? ?

5. 设 f ( x ) = x 3 + log 2 x +

(

x 2 + 1 ,则对任意实数 a, b , a + b ≥ 0 是 f (a ) + f (b) ≥ 0 的
充分而不必要条件 既不充分也不必要条件 ) C, 14.如图,已知矩形 ABCD 中,AB=1,BC= a ( a > 0) ,PA ⊥ 平面 ABCD,且 PA=1. .如图, ABCD,且 (1)问 QD?并说明理由 并说明理由; (1)问 BC 边上是否存在点 Q 使得 PQ ⊥ QD?并说明理由; QD,求这时二面角 的正切. (2)若边上有且只有一个点 Q,使得 (2)若边上有且只有一个点 Q,使得 PQ ⊥ QD,求这时二面角 Q ? PD ? A 的正切. D,

)

A. 充分必要条件 B. C. 必要而不充分条件 D. 棱长为的正八面体的外接球的体积是( 6.棱长为的正八面体的外接球的体积是( A,

π
6

B,

4 3 π 27

8 2 π 3

2 π 3
P

二、填空题
7. 设 f ( x ) = sin 4 x ? sin x cos x + cos 4 x ,则 f (x ) 的值域是

A 8.若对一切 θ ∈ R,向量 z = ( a + cos θ , 2a ? sin θ ) 的模不超过 2,则实数 a 的取值范围为 . , , 9. 底面半径为 1cm 的圆柱形容器里放有四个半径为 B Q C

D

1 cm 的实心铁球,四个球两两相切, 的实心铁球,四个球两两相切, 2

其中底层两球与容器底面相切. 现往容器里注水,使水面恰好浸没所有铁球, 其中底层两球与容器底面相切 现往容器里注水,使水面恰好浸没所有铁球,则需要注水 cm3.

答案: 1. 已知△ABC,若对任意 t ∈ R , BA ? t BC ≥ AC ,则△ABC 一定为 已知△ , A.锐角三角形 . B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 答案不确定 【答】 ( C )

则线段 DF 的长度的取值范围为 A. ?

? 1 ? , 1? ? 5 ?

B. ? , 2 ?

?1 ?5

? ?

C. ?1,

?

2

)

D. ?

? 1 , ? 5

? 2? ?

( 【答】 A )

【解】令 ∠ABC = α ,过 A 作 AD ⊥ BC 于 D。由 BA ? t BC ≥ AC ,推出

【解】建立直角坐标系,以A为坐标原点,AB为x轴,AC为y轴,AA1 为z轴,则

BA ? 2t BAi BC + t 2 BC ≥ AC ,令 t =
BA ? 2 BA cos 2 α + cos 2 α BA ≥ AC
2 2 2

2

2

2

BAi BC
2

,代入上式,得

BC
2

1 1 F (t1 , 0, 0) ( 0 < t1 < 1 ) E (0,1, ) , G ( , 0,1) , D (0, t2 , 0) ( 0 < t2 < 1 ) 所 以 , 。 2 2 1 1 EF = (t1 , ?1, ? ) , GD = (? , t2 , ?1) 。 因 为 GD ⊥ EF , 所 以 t1 + 2t2 = 1 , 由 此 推 出 2 2
2

, 即

BA sin 2 α ≥ AC

2

,

也 即

BA sin α ≥ AC 。从而有 AD ≥ AC 。由此可得 ∠ACB =
2. 设 log x (2 x + x ? 1) > log x 2 ? 1 ,则 x 的取值范围为
2

π
2

0 < t2 <

2 2 1 1 2 2 2 。又 DF = (t1 , ?t2 , 0) , DF = t1 + t2 = 5t2 ? 4t2 + 1 = 5(t2 ? ) + , 2 5 5 1 ≤ DF < 1 。 5

。 从而有

A. .

1 < x <1 2

B. x > .

1 ,且 x ≠ 1 2

C. x > 1 .

D. 0 < x < 1 .

( 【答】 B )

5. 设 f ( x ) = x 3 + log 2 x + A. 充分必要条件 C. 必要而不充分条件

(

x 2 + 1 ,则对任意实数 a, b , a + b ≥ 0 是 f (a ) + f (b) ≥ 0 的
B. 充分而不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答】 ( A )

)

? x > 0, x ≠ 1 1 2 【解】因为 ? 2 ,解得 x > , x ≠ 1 . 由 log x (2 x + x ? 1) > log x 2 ? 1 2x + x ?1 > 0 2 ?
? 0 < x <1 ? log x (2 x + x ? x) > log x 2 ? ? 3 2 ?2 x + x ? x < 2
3 2

【解】显然 f ( x ) = x 3 + log 2 x +

(

x 2 + 1 为奇函数,且单调递增。于是

)

解得

0 < x < 1;

若 a + b ≥ 0 ,则 a ≥ ?b ,有 f ( a ) ≥ f ( ?b) ,即 f ( a ) ≥ ? f (b) ,从而有 f ( a ) + f (b) ≥ 0 . 反之,若 f ( a ) + f (b) ≥ 0 ,则 f ( a ) ≥ ? f (b) = f ( ?b) ,推出 a ≥ ?b ,即 a + b ≥ 0 。 6.棱长为的正八面体的外接球的体积是( 棱长为的正八面体的外接球的体积是( 球的体积是 A, ) C,



x >1 ? ? 3 2 ?2 x + x ? x > 2

解得

1 x > 1 ,所以 x 的取值范围为 x > , 且 x ≠ 1 . 2

3. 已知集合 A = x 5 x ? a ≤ 0 , B = x 6 x ? b > 0 , a, b ∈ N ,且 A ∩ B ∩ N = {2,3, 4} , 则整数对 (a, b ) 的个数为 A. 20 【解】 B. 25 C. 30 D. 42 【答】 ( C )

{

}

{

}

π
6

B,

4 3 π 27

8 2 π 3

D,

2 π 3

【解】可由两个相同的四棱锥底面重合而成,有 2r =

2 ,得 r =

5x ? a ≤ 0 ? x ≤

a b ; 6 x ? b > 0 ? x > 。要使 A ∩ B ∩ N = {2,3, 4} ,则 5 6
外接球的体积 V =

2 , 2

? b ?1 ≤ 6 < 2 ? 6 ≤ b < 12 ? 1 1 ,即 ? 。所以数对 (a, b ) 共有 C6C5 = 30 。 ? ?20 ≤ a < 25 ?4 ≤ a < 5 ? 5 ?
4. 在直三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 中, ∠BAC =

4 3 2 πr = π ,选 D. 3 3

二、 填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 7. 设 f ( x ) = sin x ? sin x cos x + cos x ,则 f ( x ) 的值域是
4 4

π
2

已知G , AB = AC = AA1 = 1 . 已知G与E分别为

9? ? ?0, 8 ? ? ?



A1 B1 和 CC1 的中点, 与F分别为线段 AC 和 AB 上的动点 不包括端点) 若 GD ⊥ EF , 的中点, D与 . D (不包括端点)

【解】

1 1 f ( x) = sin 4 x ? sin x cos x + cos 4 x = 1 ? sin 2 x ? sin 2 2 x 。令 t = sin 2 x ,则 2 2

1 1 9 1 1 9 1 9 f ( x) = g (t ) = 1 ? t ? t 2 = ? (t + )2 。因此 min g (t ) = g (1) = ? i = 0, ?1≤t ≤1 2 2 8 2 2 8 2 4 1 9 1 9 9 max g (t ) = g (? ) = ? i0 = 。 即得 0 ≤ f ( x) ≤ 。 ?1≤t ≤1 2 8 2 8 8
8. 若对一切 θ ∈ R,向量 Z = ( a + cos θ , 2a ? sin θ ) 的模不超过 2,则实数 a 的取值范围为 , ,

要使等号成立,必须

1 1 1 x = , x 3 = 3 ,? , x 2005 = 2005 ,即 x = ±1 。 x x x 但是 x ≤ 0 时,不满足原方程。所以 x = 1 是原方程的全部解。因此原方程的实数解个
1 _____。 _____。 3

数为 1 。 11.等比数列 a + log 2 3 , a + log 4 3 , a + log 8 3 的公比是____ . 的公比是____ 设公比为 q,由已知条件知,

? 5 , ?? ? 5

5? ?. 5 ?

【解】依题意,得

q=

z ≤ 2 ? (a + cos θ ) 2 + (2a ? sin θ ) 2 ≤ 4 ? 2a(cos θ ? 2sin θ ) ≤ 3 ? 5a 2
? ?2 5a sin(θ ? ? ) ≤ 3 ? 5a 2
( ? = arcsin

a + log 4 3 a + log 8 3 = , a + log 2 3 a + log 4 3

由比例性质,

1 ) (对任意实数 θ 成立) 5
5? ?。 5 ?

? 2 5 a ≤ 3 ? 5a 2

?a ≤

? 5 5 . 故 a 的取值范围为 ? ? , 5 5 ?

1 1 log 2 3 ? log 2 3 a + log 4 3 ? (a + log 8 3) log 4 3 ? log 8 3 2 1 3 q= = = = 1 a + log 2 3 ? (a + log 4 3) log 2 3 ? log 4 3 3 log 2 3 ? log 2 3 2
边的中点, B=2∠ 12.在△ABC 中,M 为 BC 边的中点,∠B=2∠C,∠C 的平分线交 AM 于 D。 证明: MDC≤45° 证明:∠MDC≤45°。 证明:设∠B 的平分线交 AC 于 E,易证 EM⊥BC 作 EF⊥AB 于 F,则有 EF=EM, ∴AE≥EF=EM,从而∠EMA≥∠EAM,即 90°-∠AMB≥∠EAM。又 2∠MDC=2(∠MAC+∠ACD)=2∠MAC+∠ACM=∠MAC+∠AMB, ∴90°≥∠AMD+∠MAC=2∠MDC,∴∠MDC≤45°。 的三个内角。 13.设∠A,∠B,∠C 是ΔABC 的三个内角。若向量

9. 底面半径为 1cm 的圆柱形容器里放有四个半径为

1 cm 的实心铁球,四个球两两相切, 的实心铁球,四个球两两相切, 2

其中底层两球与容器底面相切. 现往容器里注水,使水面恰好浸没所有铁球, 其中底层两球与容器底面相切 现往容器里注水,使水面恰好浸没所有铁球,则需要注水

1 2 ( + )π cm3. 3 2
【解】设四个实心铁球的球心为 O1 , O2 , O3 , O4 ,其中 O1 , O2 为下层两球的球心, A, B, C , D

9 A? B? A? B? ? ?5 m = ?1 ? cos( A + B), cos ?, n = ? , cos ? , 且 m?n= . 8 2 ? 2 ? ? ?8
(1)求证:tanA? (1)求证:tanA?tanB= 求证 (2)求 (2)求

分别为四个球心在底面的射影。则 ABCD 是一个边长为
3

2 的正方形。所以注水高为 2

1 ; 9

1+

2 1 2 2 4 ?1? 。故应注水 π (1 + ) ? 4× π ? ? = ( + )π 。 2 3 2 2 3 ?2?
.

10. 方程 ( x 2006 + 1)(1 + x 2 + x 4 + ? + x 2004 ) = 2006 x 2005 的实数解的个数为 1 【解】 ( x 2006 + 1)(1 + x 2 + x 4 + ? + x 2004 ) = 2006 x 2005

? (x +

1
x
2005

)(1 + x 2 + x 4 + ? + x 2004 ) = 2006 1
x
2005

? x + x 3 + x5 + ? + x 2005 + ? 2006 = x +

+

1
x
2003

+

1
2001

1 1 + x 3 + 3 + ? + x 2005 + 2005 ≥ 2i1003 = 2006 x x x

x 1

+? +

1 = 2006 x

ab sin C 的最大值。 的最大值。 a + b2 ? c2 9 (1)由 m?n= ,得 8 5 5 1 + cos( A ? B) 9 A?B 9 = , 亦即 [1 ? cos( A + B)] + cos 2 = , 即 [1 ? cos( A + B)] + 8 2 8 8 2 8 1 4cos(A-B)=5cos(A+B).所以 tanA?tanB= . 9 ab sin C ab sin C 1 (2)因 2 = = tan C ,而 2 2 2ab cos C 2 a +b ?c tan A + tan B 9 9 3 tan( A + B) = = (tan A + tan B ) ≥ × 2 tan A ? tan B = . 1 ? tan A ? tan B 8 8 4
2

所以 tan(A+B)有最小值

3 1 。当且仅当 tanA=tanB= 时,取得最小值。 4 3 3 又 tanC=-tan(A+B),则 tanC 有最大值 ? . 4 ab sin C 3 故 2 的最大值为 ? . 2 2 8 a +b ?c

14.如图,已知矩形 ABCD 中,AB=1,BC= a ( a > 0) ,PA ⊥ 平面 ABCD,且 PA=1. .如图, ABCD,且 (1)问 QD?并说明理由 并说明理由; (1)问 BC 边上是否存在点 Q 使得 PQ ⊥ QD?并说明理由; (2)若边上有且只有一个点 Q,使得 QD,求这时二面角 的正切. (2)若边上有且只有一个点 Q,使得 PQ ⊥ QD,求这时二面角 Q ? PD ? A 的正切. 解:(1)(如图)以 A 为原点建立空间直角坐标系,设 BQ = x ,则 Q (1, x, 0) ,P(0,0,1),D (0, a, 0) 得 PQ = (1, x, ?1) , QD = ( ?1, a ? x, 0) 由 PQ ⊥ QD , 有 (1, x, ?1) ? ( ?1, a ? x, 0) = 0 , 得 x ? ax + 1 = 0
2

P ① D Q C

A 若方程①有解,必为正数解,且小于 a .由 ? = ( ?a ) 2 ? 4 ≥ 0 , a > 0 , B 得a ≥ 2. (i)当 a ≥ 2 时,BC 上存在点 Q,使 PQ ⊥ QD; (ii)当 0 < a < 2 时, BC 上不存在点 Q,使 PQ ⊥ QD. (2)要使 BC 边上有且只有一个点 Q,使 PQ ⊥ QD,则方程①有两个相等的实根, 这时, ? = ( ?a ) 2 ? 4 = 0 ,得 a = 2 ,有 x = 1 . 又平面 APD 的法向量 n1 = (1, 0, 0) ,设平面 PQD 的法向量为 n2 = ( x, y , z ) 而 QD = ( ?1,1, 0) , PD = (0, 2, 0) ? (0, 0,1) = (0, 2, ?1) , 由?

?n2 ? QD = 0 ?( x, y, z ) ? (?1,1, 0) = 0 ? ,得 ? ,解得 x = y , z = 2 y 有 n2 = (1,1, 2) ,则 ?n2 ? PD = 0 ?( x, y, z ) ? (0, 2, ?1) = 0 ?

cos < n1 , n2 >=

n1 ? n2 (1, 0, 0) ? (1,1, 2) 1 = = , 则 tan < n1 , n2 >= 5 所 以 二 面 角 n1 ? n2 1? 6 6

Q ? PD ? A 的正切为 5 .


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