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解答:2009年清华自主招生数学试题解答WORD


2009 年清华大学自主招生数学试题解答
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【另解】显然 s 是复数,利用复数的运算性质,结合三角恒等变换即可.

? (sin t ) 2 ? (cos t ) 2 ? 1, (sin t ? cos t ) 2 ? 1 ? 2sin t cos t ? sin t cos t ? 0, ? sin t ? 0
或 cos t ? 0 当 sin t ? 0 时, cos t ? 1, s ? i, f (s) ? 1 ? s ? s 2 ? ...... ? s n ? 当 cos t ? 0 时, sin t ? 1, s ? 1, f (s) ? 1 ? 1 ? ... ? 1 ? n ? 1 【评析】本问题是三角函数与复数的综合,总体上不是很困难,问题的关键是求出 t 和分类 讨论.本题涉及到的知识点包括:三角的恒等变换、复数的概念、等比数列求和;对于 sin t ? cos t ? 1 ,也可以用辅助角公式:
1 ? s n ?1 1 ? i n ?1 ? 1? s 1? i

b a sin x ? b cos x ? a 2 ? b2 sin( x ? ? )(tan ? ? ) ,则 a sin t ? cos t ? 12 ? 12 sin( x ? ) ? 2 sin( x ? ) ,解方程即可。 4 4
对于等比数列求和一定要注意两点:公比是否为 0,求和项数是多少; 令外本题也是求解下列两式的一般方法:

?

?

sin ? ? sin 2? ? sin 3? ? ... ? sin n? cos? ? cos 2? ? cos3? ? ... ? cos n?
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