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2010年全国高中数学联赛模拟题12(一试)


乌鲁木齐市高级中学 2010 年高中数学联赛辅导

yf6504@163.com

杨帆

2010 年全国高中数学联赛 12
一试
考试时间上午 8:00~9:20,共 80 分钟,满分 120 分 一、填空题(本题满分 64 分,每小题 8 分) 1. 设 a1 , a2 ,
2009

log 2009 a1 ? log a2 ?

, a10 ? (1, ??) ,则

? log 2009 a10
a10
x?1

log 2009 a1a2

的最小值是



2. 已知 x, y ? N * ,且 1 ? 2 ? 析式是 y ?

? y ? 1 ? 9 ? 92 ?


? 9 ,则将 y 表示成 x 的函数,其解
。 。 。

3. 已知函数 f ( x) ?| x2 ? 2 | ,若 f (a) ? f (b) ,且 0 ? a ? b ,则 ab 的取值范围是

1 3 ] ? ? y 2 ? y ? 的所有实数对 ( x, y) ? 2 2cos ( xy) 4 5. 若 [ a ] 表示不超过实数 a 的最大整数,则方程 [tan x] ? 2sin 2 x 的解是
4. 满足方程 log 2 [2cos ( xy) ?
2

6. 不等式 2 ? 3 ? 2 ? 4 ? 2 的解集是 7. 设 A 是由不超过 2009 的所有正整数构成的集合,即 A ? {1, 2,
2x 2 x

x? x



, 2009} ,集合 L ? A ,

且 L 中任意两个不同元素之差都不等于 4 ,则集合 L 元素个数的最大可能值 是 。 8. 给出一个凸 10 边形及其所有对角线, 在以该凸 10 边形的顶点及所有对角线的交点为顶点 的三角形中,至少有两个顶点是该凸 10 边形顶点的三角形有 个。 二、解答题 9.(本题满分 16 分)设函数 f ( x ) 定义于区间 [0,1] ,满足 f (0) ? 0, f (1) ? 1 ,且对任意

x, y ?[0,1], x ? y ,都有 f (
求 a 的值。

x? y ) ? (1 ? a 2 ) f ( x) ? a 2 f ( y ) ,其中常数 a 满足 0 ? a ? 1 , 2

10. (本题满分 20 分)如图, A 是双曲线

x2 ? y 2 ? 1的右顶 4

y

点, 过点 A 的两条互相垂直的直线分别与双曲线的右支交于点 M, N , 问直线 MN 是否一定过 x 轴上一定点?如果不存在这 样的定点, 请说明理由; 如果存在这样的定点 P 试求出这个定 点 P 的坐标。
O A

M

x N

11. (本题满分 20 分)设正整数构成的数列 {an } 使得 a10k ?9 ? a10k ?8 ?

? a10k ? 19 对一切

k ? N * 恒成立。记该数列若干连续项的和
证:所有 S (i, j ) 构成的集合等于 N * 。

p ?i ?1

?a

j

p

为 S (i, j ) ,其中 i, j ? N * ,且 i ? j 。求

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2010 年全国高中数学联赛 12
参考答案

? 1 3 ?1 (k? + , )( k ?Z ) ; 3、 (0, 2) ; 4、 2 2 2 ? 5、 x ? k? 或 x ? l? ? (k , l ? Z ) ; 6、 [0, 4] ; 7、 1005 ; 8、 960 。 4 1 0? 1 0 ?1 1 2 ) ? a2 f ( 1 ) ? a2 ) ? a2 , f ( ) ? f ( 二、9、解:因为 f ( ) ? f ( 2 2 4 2 2 1 ?1 3 1 f ( ) ? f ( 2 ) ? (1 ? a 2 ) f ( ) ? a 2 f (1) ? 2a 2 ? a 4 4 2 2 1 3 ? 1 1 3 所以 f ( ) ? f ( 4 4 ) ? (1 ? a 2 ) f ( ) ? a 2 f ( ) ? ?2a 6 ? 3a 4 8分 2 2 4 4 2 2 6 4 由此得 a ? ?2a ? 3a ,而 0 ? a ? 1 ,所以 a ? 14 分 2 10、解法一: A(2, 0) ,将 y 轴向右平移 2 个单位,使点 A 成为新直角坐标系的原点,
x

一、1、 100 ;

2、

( x '? 2)2 ? y 2 ? 1 ,即 4 y 2 ? x '2 ? 4x ' ? 0 (*) 4 4 4 4 4 若 MN ? x 轴, 则 k AM ? 1 , 即 l AM : y ? x ' , 代入 (*) 式可得 M ( , ) , 进而 N ( , ? ) 。 3 3 3 3 4 10 所以 P ( , 0) ,则点 P 在原坐标系中的坐标为 ( , 0) 。 5分 3 3 y ? kx ' ? 1, 若 MN 不垂直 x 轴,设 lMN : y ? kx '? t (t ? 0) ,则 t y ? kx ' y y 2 2 ? 0 ,即 4t ( ) 2 ? 4( ) ? 4k ? t ? 0 于是(*)可以改写成 4 y ? x ' ? 4 x '? t x' x' 该方程的两个根 k1 , k2 既是 AM , AN 的斜率。 4k ? t ? ?1 , 因为 AM ? AN ,所以 k1k2 ? 10 分 4t 4 4 4 所以 t ? ? k ,故 lMN : y ? kx '? k ? k ( x '? ) 3 3 3 4 10 所以过定点 P ( , 0) ,则点 P 在原坐标系中的坐标为 ( , 0) 。 3 3 10 综上所述,直线 MN 过 x 轴上的定点 P ( , 0) 14 分 3 1 解法二:设直线 AM 的斜率为 k (k ? 0, k ? ? , k ? ?2) 2 2 2 2 ?x ? 4 y ? 4 2k 2 ? 8 ?4k 8k ? 2 4k , ) 由? ? M( 2 , 2 ) ,同理得 N ( 4 ? k2 4 ? k2 4k ? 1 4k ? 1 ? y ? k ( x ? 2) 10 10 当 k ? ?1 时, xM ? xN ? ,所以过 ( , 0) 8分 3 3
在新坐标系下,双曲线的方程为
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1 10 时,由直线 MN 的方程得, y ? k '( x ? ) 2 3 10 所以,直线 MN 过 x 轴上的定点 P ( , 0) 14 分 3 11 证明:显然 S (i, j ) ? N * 2分 下证对任意 n0 ? N * ,存在 S (i, j ) ? n0
当 k ? ?1, k ? 2, k ? ? 用 Sn 表示数列 {an } 的前 n 项和,考虑 10n0 ? 10 个前 n 项和:

10 分

S1 ? S2 ?

? S10n0 ?10
? a10 ) ? (a11 ? ? a20 ) ?

(1)

由题设 S10n0 ?10 ? (a1 ? a2 ?

? (a10n0 ?1 ?
(2)

? a10n0 ?10 )

6分

另外,再考虑如下 10n0 ? 10 个正整数:

S1 ? n0 ? S2 ? n0 ?
显然

? S10n0 ?10 ? n0

S1 0n0 ? 1 ? 0 n ? 020n ? 019

10 分

这样(1) , (2)中出现 20n0 ? 20 个正整数,都不超过 20n0 ? 19 , 由抽屉原理,必有两个相等。由于(1)式中各数两两不相等, (2)式中各数也两两不等, 故存在 i, j ? N * ,使得 S j ? Si ? n0 ,即 j ? i ,且 n0 ? S j ? Si ? S (i, j ) 所以,所有 S (i, j ) 构成的集合等于 N * 。 20 分

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