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高二数学选修2-1导学案


2012-8-23





高二数学选修 2-1 目录 1.1 命题及其关系 1.2 充分条件与必要条件 1.3 简单的逻辑联结词 1.4 全称量词与存在量词 小结 复习训练题 2.1 曲线与方程 2.2 椭圆 2.3 双曲线 2.4 抛物线 小结 复习训练题 3.1 空间向量及其运算 第三章 空间向量与立体几何

3.2 立体几何中的向量方法 小结 复习训练题

第一章 常用逻辑用语

第二章 圆锥曲线与方程

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§ 1.1 命题及四种命题
班级: 组名: 姓名: 设计人:李红涛 审核人:魏帅举 领导审批:

学习目标 1. 掌握命题、真命题及假命题的概念; 2. 四种命题的内在联系,能根据一个命题来构造它的逆命题、否命 题和逆否命题. 学习过程 一、课前准备 复习 1:什么是陈述句? . 复习 2:什么是定理?什么是公理? . 二、新课导学 ※ 学习探究 1.在数学中,我们把用 、 、或 表达的,可以 的 做命题.其中 的语句叫做真命题, 句叫做假命题 练习:下列语句中: (1)若直线 a // b ,则直线 a 和直线 b 无公共点; (2) 2 ? 4 ? 7 (3)垂直于同一条直线的两个平面平行; (4)若 x2 ? 1 ,则 x ? 1 ; (5)两个全等三角形的面积相等; (6) 3 能被 2 整除. 其中真命题有 ,假命题有 2.命题的数学形式: “若 p ,则 q ” ,命题中的 p 叫做命题的 . q 叫做命题的 ※ 典型例题 例 1:下列语句中哪些是命题?是真命题还是假命题? (1)空集是任何集合的子集; (2)若整数 a 是素数,则 a 是奇数; (3)指数函数是增函数吗?

叫 的语



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(4)若空间有两条直线不相交,则这两条直线平行; (5) (?2)2 ? 2 ; (6) x ? 15 . 命题有 ,真命题有 假命题有 . 例 2 指出下列命题中的条件 p 和结论 q : (1)若整数 a 能被 2 整除,则 a 是偶数; (2)若四边形是菱形,则它的对角线互相垂直平分. 解: (1)条件 p : 结论 q : (2)条件 p : 结论 q : 变式:将下列命题改写成“若 p ,则 q ”的形式,并判断真假: (1)垂直于同一条直线的两条直线平行; (2)负数的立方是负数; (3)对顶角相等.

※ 动手试试 1.判断下列命题的真假: (1) 能被 6 整除的整数一定能被 3 整除; (2) 若一个四边形的四条边相等,则这个四边形是正方形; (3) 二次函数的图象是一条抛物线; (4) 两个内角等于 45? 的三角形是等腰直角三角形.

2.把下列命题改写成“若 p ,则 q ”的形式,并判断它们的真假. (1) 等腰三角形两腰的中线相等; (2) 偶函数的图象关于 y 轴对称; (3) 垂直于同一个平面的两个平面平行.

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小结:判断一个语句是不是命题注意两点: (1)是否是陈述句; (2) 是否可以判断真假. 3.四种命题的概念 (1)对两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的 结论和条件,那么我们这样的两个命题叫做 ,其中一 个命题叫做 原命题为: “若 p ,则 q ” ,则逆命题为: “ ”. (2) 一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论 的否定, 我们把这样的两个命题叫做 ,其中一个命题 叫做命题,那么另一个命题叫做原命题的 .若原命 题为: “若 p ,则 q ” ,则否命题为: “ ” (3) 一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件 的否定, 我们把这样的两个命题叫做 ,其中一个命题 叫做命题,那么另一个命题叫做原命题的 .若原命 题为: “若 p ,则 q ” ,则否命题为: “ ” 练习:下列四个命题: (1)若 f ( x) 是正弦函数,则 f ( x) 是周期函数; (2)若 f ( x) 是周期函数,则 f ( x) 是正弦函数; (3)若 f ( x) 不是正弦函数,则 f ( x) 不是周期函数; (4)若 f ( x) 不是周期函数,则 f ( x) 不是正弦函数. (1) (2)互为 (1) (3)互为 (1) (4)互为 (2) (3)互为 例 3 命题: “已知 a 、b 、 c 、 d 是实数,若子 a ? b, c ? d ,则 a ? c ? b ? d ”. 写出逆命题、否命题、逆否命题.

变式:设原命题为“已知 a 、 b 是实数,若 a ? b 是无理数,则 a 、 b 都 是无理数” ,写出它的逆命题、否命题、逆否命题.

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※ 动手试试 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题并判断它们的真假: (1)若一个整数的末位数是 0,则这个整数能被 5 整除; (2)若一个三角形的两条边相等,则这个三角形的两个角相等; (3)奇函数的图像关于原点对称.

三、总结提升: ※ 学习小结 这节课你学到了一些什么?你想进一步探究的问题是什么?

学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1.下列语名中不是命题的是( ). 2 A. x ? 0 B.正弦函数是周期函数 C. x ?{1,2,3,4,5} D. 12 ? 5 2.设 M 、 N 是两个集合,则下列命题是真命题的是( ). A.如果 M ? N ,那么 M ? N ? M B.如果 M ? N ? N ,那么 M ? N C.如果 M ? N ,那么 M ? N ? M D. M ? N ? N ,那么 N ? M 3.下面命题已写成“若 p ,则 q ”的形式的是( ). A.能被 5 整除的数的末位是 5 B.到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 C.若一个等式的两边都乘以同一个数,则所得的结果仍是等式 D.圆心到圆的切线的距离等于半径 4.下列语句中: (1) 2 ? 2 是有理数(2) 2100 是个大数(3)好人一生 平安(4) 968 能被 11 整除,其中是命题的序号是 5.将“偶函数的图象关于 y 轴对称”写成“若 p ,则 q ”的形式,则 ,q: p: 课后作业 1.写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断它们的真假

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(1)若 a, b 都是偶数,则 a ? b 是偶数; (2)若 m ? 0 ,则方程 x2 ? x ? m ? 0 有实数根.

2.把下列命题改写成“若 p ,则 q ”的形式,并写出它们的逆命题、 否命题和逆否命题,并判断它们的真假: (1)线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等; (2)矩形的对角线相等.

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§ 四种命题间的相互关系 1.1
班级: 组名: 姓名: 设计人:李红涛 审核人:魏帅举 领导审批:

学习目标 1.掌握四种命题的内在联系; 2. 能分析逆命题、否命题和逆否命题的相互关系,并能利用等价关 系转化. 学习过程 一、课前准备 复习 1:四种命题 命题 表述形式 原命题 若 p ,则 q (1) 逆命题 (2) 否命题 (3) 逆否命题 请填(1)(2) (3)空格. 复习 2:判断命题“若 a ? 0 ,则 x2 ? x ? a ? 0 有实根”的逆命题的真假.

二、新课导学 ※ 学习探究 1:分析下列四个命题之间的关系 (1)若 f ( x) 是正弦函数,则 f ( x) 是周期函数; (2)若 f ( x) 是周期函数,则 f ( x) 是正弦函数; (3)若 f ( x) 不是正弦函数,则 f ( x) 不是周期函数; (4)若 f ( x) 不是周期函数,则 f ( x) 不是正弦函数. (1) (2)互为 (1) (3)互为 (1) (4)互为 (2) (3)互为 通过上例分析我们可以得出四种命题之间有如下关系:

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2、四种命题的真假性 例 1 以“若 x2 ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 2 ”为原命题,写出它的逆命题、否命 题、逆否命题,并判断这些命题的真假并总结其规律性.

通过上例真假性可总结如: 原命 逆命题 否命题 逆否命 题 题 真 真 假 假 四上表可知四种命题的真假性之间有如下关系: (1) . (2) . 练习:判断下列命题的真假. (1)命题“在 ?ABC 中,若 AB ? AC ,则 ?C ? ?B ”的逆命题; (2)命题“若 ab ? 0 ,则 a ? 0 且 b ? 0 ”的否命题; (3)命题“若 a ? 0 且 b ? 0 ,则 ab ? 0 ”的逆否命题; (4)命题“若 a ? 0 且 b ? 0 ,则 a2 ? b2 ? 0 ”的逆命题.

反思: (1)直接判断(2)互为逆否命题的两个命题等价来判断. ※ 典型例题 例 1 证明:若 x2 ? y 2 ? 0 ,则 x ? y ? 0 .

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变式:判断命题“若 x2 ? y 2 ? 0 ,则 x ? y ? 0 ”是真命题还是假命题?

练习:证明:若 a2 ? b2 ? 2a ? 4b ? 3 ? 0 ,则 a ? b ? 1.

例 2 已知函数 f ( x) 在 (??, ??) 上是增函数, a, b ? R ,对于命题“若 a ? b ? 0 , 则 f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) .” (1) 写出逆命题,判断其真假,并证明你的结论. (2) 写出其逆否命题,并证明你的结论.

※ 动手试试 1.求证:若一个三角形的两条边不等,这两条边所对的角也不相等. 2.命题“如果 x ? a2 ? b2 ,那么 x ? 2ab ”的逆否命题是( ) 2 2 A.如果 x ? a ? b ,那么 x ? 2ab B.如果 x ? 2ab ,那么 x ? a2 ? b2 C.如果 x ? 2ab ,那么 x ? a2 ? b2 D.如果 x ? a2 ? b2 ,那么 x ? 2ab 三、总结提升: ※ 学习小结 这节课你学到了一些什么?你想进一步探究的问题是什么?

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学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 命题“若 x ? 0 且 y ? 0 ,则 xy ? 0 ”的否命题是( ). A.若 x ? 0, y ? 0 ,则 xy ? 0 B.若 x ? 0, y ? 0 ,则 xy ? 0 C.若 x, y 至少有一个不大于 0,则 xy ? 0 D.若 x, y 至少有一个小于 0,或等于 0,则 xy ? 0 2. 命题“正数 a 的平方根不等于 0”是命题“若 a 不是正数,则它的 平方根等于 0”的( ). A.逆命题 B.否命题 C.逆否命题 D.等价命题 3. 用反法证明命题“ 2 ? 3 是无理数”时,假设正确的是( ). A.假设 2 是有理数 B.假设 3 是有理数 C.假设 2 或 3 是有理数 D.假设 2 ? 3 是有理数 4. 若 x ? 1 ,则 x2 ? 1 的逆命题是 否命题是 5.命题“若 a ? b ,则 2a ? 2b ? 1 ”的否命题为 课后作业 1. 已知 a, b 是实数,若 x2 ? ax ? b ? 0 有非空解集,则 a2 ? 4b ? 0 ,写出该命 题的逆命题、否命题、逆否命题并判断其真假.

2.证明:在四边形 ABCD 中,若 AB ? CD ? AC ? CD ,则 AB ? AC .

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§ 1.2.1 充分条件与必要条件
班级: 组名: 姓名: 设计人:李红涛 审核人:魏帅举 领导审批:

学习目标 1. 理解必要条件和充分条件的意义; 2. 能判断两个命题之间的关系. 学习过程 一、课前准备 复习 1:请同学们画出四种命题的相互关系图.

复习 2:将命题“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距 离相等”改写为“若 p ,则 q ”的形式,并写出它的逆命题、否命题、 逆否命题并判断它们的真假.

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务:充分条件和必要条件的概念 问题: 1. 命题“若 x ? a2 ? b2 ,则 x ? 2ab ” (1)判断该命题的真假; (2)改写成“若 p ,则 q ”的形式,则 P: q: (3)如果该命题是真命题,则该命题可记为: 读着: 2. 1.命题“若 ab ? 0 ,则 a ? 0 ” (1)判断该命题的真假;

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(2)改写成“若 p ,则 q ”的形式,则 P: q: (3)如果该命题是真命题,则该命题可记为: 读着: 新知:一般地, “若 p ,则 q ”为真命题,是指由 p 通过推理可以得 出 q . 我 们 就 说 , 由 p 推 出 q , 记 作 p?q , 并 且 说 p 是 q 的 ,q是 p的 试试:用符号“ ? ”与“ ”填空: (1) x2 ? y 2 x? y; (2) 内错角相等 两直线平行; (3) 整数 a 能被 6 整除 a 的个位数字为偶数; (4) ac ? bc a ?b. ※ 典型例题 例 1 下列“若 p ,则 q ”形式的命题中,哪些命题中的 p 是 q 的充分条 件? (1)若 x ? 1 ,则 x2 ? 4x ? 3 ? 0 ; (2)若 f ( x) ? x ,则 f ( x) 在 (??, ??) 上为增函数; (3)若 x 为无理数,则 x 2 为无理数.

练习:下列“若 P ,则 q ”的形式的命题中,哪些命题中的 p 是 q 的充 分条件? (1)若两条直线的斜率相等,则这两条直线平行; (2)若 x ? 5 ,则 x ? 10

例 2 下列“若 p ,则 q ”形式的命题中哪些命题中的 q 是 p 必要条件? (1)若 x ? y ,则 x2 ? y 2 ; (2)若两个三角形全等,则这两个三角形面积相等;

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(3)若 a ? b ,则 ac ? bc

练习: “若 p , q ” 下列 则 形式的命题中哪些命题中的 q 是 p 必要条件? (1)若 a ? 5 是无理数,则 a 是无理数; (2)若 ( x ? a)( x ? b) ? 0 ,则 x ? a .

小结:判断命题的真假是解题的关键. ※ 动手试试 练 1. 判断下列命题的真假. (1) x ? 2 是 x2 ? 4x ? 4 ? 0 的必要条件; (2) 圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的必要条件; (3) sin ? ? sin ? 是 ? ? ? 的充分条件; (4) ab ? 0 是 a ? 0 的充分条件.

练 2. 下列各题中, p 是 q 的什么条件? (1) p : x ? 1 , q : x ? 1 ? x ? 1 ; (2) p : | x ? 2 |? 3 , q : ?1 ? x ? 5 ; (3) p : x ? 2 , q : x ? 3 ? 3 ? x ; (4) p :三角形是等边三角形, q :三角形是等腰三角形.

三、总结提升 ※ 学习小结 这节课你学到了一些什么?你想进一步探究的问题是什么?

※ 知识拓展

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设 A, B 为两个集合,集合 A ? B ,那么 x ? A 是 x ? B 的 条件. x ? B 是 x ? A的

条件,

学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 在平面内,下列哪个是“四边形是矩形”的充分条件?( ). A.平行四边形对角线相等 B.四边形两组对边相等 C.四边形的对角线互相平分 D.四边形的对角线垂直 2. x, y ? R ,下列各式中哪个是“ xy ? 0 ”的必要条件?( ). 2 2 A. x ? y ? 0 B. x ? y ? 0 C. x ? y ? 0 D. x3 ? y3 ? 0 3.平面 ? // 平面 ? 的一个充分条件是( ). A.存在一条直线 a, a // ? , a // ? B.存在一条直线 a, a ? ? , a // ? C.存在两条平行直线 a, b, a ? ? , b ? ? , a // ? , b // ? D.存在两条异面直线 a, b, a ? ? , b ? ? , a // ? , b // ? 4. p : x ? 2 ? 0 , q : ( x ? 2)( x ? 3) ? 0 , p 是 q 的 条件. 5. p : 两 个 三 角 形 相 似 ; q : 两 个 三 角 形 全 等 , p 是 q 的 条件. 课后作业 1. 判断下列命题的真假 (1) a ? b ”是“ a2 ? b2 ”的充分条件; “ (2) | a| ? b ”是“ a2 ? b2 ”的必要条件. “|

2. 已知 A ? {x | x 满足条件 p} , B ? {x | x 满足条件 q} . (1)如果 A ? B ,那么 p 是 q 的什么条件? (2)如果 B ? A ,那么 p 是 q 的什么条件?

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§ 1.2.2 充要条件
班级: 组名: 姓名: 设计人:李红涛 审核人:魏帅举 领导审批:

学习目标 1. 理解充要条件的概念; 2. 掌握充要条件的证明方法,既要证明充分性又要证明必要性. 学习过程 一、课前准备 (预习教材 P11~ P12,找出疑惑之处) 复习 1:什么是充分条件和必要条件?

复习 2: p :一个四边形是矩形 q :四边形的对角线相等. p 是 q 的什么 条件?

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:充要条件概念 问题:已知 p :整数 a 是 6 的倍数, q :整数 a 是 2 和 3 的倍数.那么 p 是 q 的什么条件? q 又是 p 的什么条件?

新知:如果 p ? q ,那么 p 与 q 互为

试试:下列形如“若 p ,则 q ”的命题是真命题吗?它的逆命题是真 命题吗? p 是 q 的什么条件? (1)若平面 ? 外一条直线 a 与平面 ? 内一条直线平行,则直线 a 与平 面 ? 平行;

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(2)若直线 a 与平面 ? 内两条直线垂直,则直线 a 与平面 ? 垂直.

反思:充要条件的实质是原命题和逆命题均为真命题.

※ 典型例题 例 1 下列各题中,哪些 p 是 q 的充要条件? (1) p : b ? 0 , q :函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 是偶函数; (2) p : x ? 0, y ? 0, q : xy ? 0 (3) p : a ? b , q : a ? c ? b ? c

变式:下列形如“若 p ,则 q ”的命题是真命题吗?它的逆命题是真 命题吗?哪些 p 是 q 的充要条件? (1) p : b ? 0 , q :函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 是偶函数; (2) p : x ? 0, y ? 0, q : xy ? 0 (3) p : a ? b , q : a ? c ? b ? c

小结:判断是否充要条件两种方法 (1) p ? q 且 q ? p ; (2)原命题、逆命题均为真命题; (3) 用逆否命题转化. 练习:在下列各题中, p 是 q 的充要条件? (1) p : x2 ? 3x ? 4 , q : x ? 3x ? 4 (2) p : x ? 3 ? 0 , q : ( x ? 3)( x ? 4) ? 0

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(3) (4)

p : b2 ? 4ac ? 0(a ? 0)
2

,

q : ax ? bx ? c ? 0(a ? 0)
p : x ? 1 是方程 ax2 ? bx ? c ? 0 的根

q:a?b?c ?0

例 2 已知: ? O 的半径为 r ,圆心 O 到直线的距离为 d .求证: d ? r 是直 线 l 与 ? O 相切的充要条件.

变式:已知: ? O 的半径为 r ,圆心 O 到直线的距离为 d ,证明: (1)若 d ? r ,则直线 l 与 ? O 相切. (2)若直线 l 与 ? O 相切,则 d ? r

小结:证明充要条件既要证明充分性又要证明必要性. ※ 动手试试 练 1. 下列各题中 p 是 q 的什么条件? (1) p : x ? 1 , q : x ? 1 ? x ? 1 ; (2) p : | x ? 2 |? 3 , q : ?1 ? x ? 5 ; (3) p : x ? 2 , q : x ? 3 ? 3 ? x ; (4) p :三角形是等边三角形, q :三角形是等腰三角形.

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练 2. 求圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 经过原点的充要条件.

三、总结提升 ※ 学习小结 这节课你学到了一些什么?你想进一步探究的问题是什么?

※ 知识拓展 设 A 、 为两个集合, 集合 A ? B 是指 x ? A ? x ? B , “ x ? A ” “ x ? B ” 则 与 B 互为 件. 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 下列命题为真命题的是( ). 2 2 A. a ? b 是 a ? b 的充分条件 B. | a |?| b | 是 a2 ? b2 的充要条件 C. x2 ? 1 是 x ? 1 的充分条件 D. ? ? ? 是 tan ? ? tan ? 的充要条件 2.“ x ? M ? N ”是“ x ? M ? N ”的( ). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.设 p : b2 ? 4ac ? 0(a ? 0) , q :关于 x 的方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有实根,则 ). p 是 q 的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2 4. 2x ? 5x ? 3 ? 0 的一个必要不充分条件是( ).

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A. ? 1 ? x ? 3
2

B. ? 1 ? x ? 0
2

C. ?3 ? x ? 1 2

D. ?1 ? x ? 6

5. 用充分条件、必要条件、充要条件填空. (1). x ? 3 是 x ? 5 的 (2). x ? 3 是 x2 ? 2x ? 3 ? 0 的 ( 3).两个三角形全等是两个三角形相似的 课后作业 1. 证明:a ? 2b ? 0 是直线 ax ? 2 y ? 3 ? 0 和直线 x ? by ? 2 ? 0 垂直的充要条件.

2.求证: ?ABC 是等边三角形的充要条件是 a2 ? b2 ? c2 ? ab ? ac ? bc ,这里 a, b, c 是 ?ABC 的三边.

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§ 简单的逻辑联结词 1.3
班级: 组名: 姓名: 设计人:李红涛 审核人:魏帅举 领导审批:

1. 2. 3. 4.

学习目标 了解“或” “且” “非”逻辑联结词的含义; 掌握 p ? q, p ? q, ?p 的真假性的判断; 正确理解 ?p 的意义,区别 ?p 与 p 的否命题; 掌握 p ? q, p ? q, ?p 的真假性的判断,关键在于 p 与 q 的真假的判断.

学习过程 一、课前准备 (预习教材 P14~ P16,找出疑惑之处) 复习 1:什么是充要条件?

复习 2:已知 A ? {x | x 满足条件 p} , B ? {x | x 满足条件 q} (1)如果 A ? B ,那么 p 是 q 的什么条件; (2) 如果 B ? A ,那么 p 是 q 的什么条件; (3) 如果 A ? B ,那么 p 是 q 的什么条件.

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:“且“的意义 问题:下列三个命题有什么关系? (1)12 能被 3 整除; (2)12 能被 4 整除; (3)12 能被 3 整除且能被 4 整除.

新知:1.一般地,用逻辑联结词“且”把命题 p 和命题 q 联结起来就得 到一个新命题,记作“ ” ,读作“ ”. 2.规定:
p

q

p?q

真 真 假 假

真 假 真 假

真 假 假 假

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试试:判断下列命题的真假: (1)12 是 48 且是 36 的约数; (2)矩形的对角线互相垂直且平分.

反思: p ? q 的真假性的判断,关键在于 p 与 q 的真假的判断. 探究任务二:“或“的意义 问题:下列三个命题有什么关系? (1) 27 是 7 的倍数; (2)27 是 9 的倍数; (3)27 是 7 的倍数或是 9 的倍数.

新知:1.一般地,用逻辑联结词“或”把命题 p 和命题 q 联结起来就得 到一个新命题,记作“ ” ,读作“ ”. 2.规定:
p

q

p?q

真 真 真 真 假 真 假 真 真 假 假 假 试试:判断下列命题的真假: (1) 47 是 7 的倍数或 49 是 7 的倍数; (2) 等腰梯形的对角线互相平分或互相垂直.

反思: p ? q 的真假性的判断,关键在于 p 与 q 的真假的判断. 探究任务三:“非“的意义 问题:下列两个命题有什么关系? (1) 35 能被 5 整除; (2)35 不能被 5 整除; 新知:1.一般地,对一个命题的全盘否定就得到一个新命题,记作 “ ” ,读作“ ”或“ ”. 2.规定:
p

?p

真 假

假 真

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试试:写出下列命题的否定并判断他们的真假: (1)2+2=5; (2)3 是方程 x2 ? 9 ? 0 的根; (3) (?1)2 ? ?1 反思: ?p 的真假性的判断,关键在于 p 的真假的判断. ※ 典型例题 例 1 将下列命题用“且”联结成新命题并判断他们的真假: (1) p :平行四边形的对角线互相平分, q :平行四边形的对角线相 等; (2) p :菱形的对角线互相垂直, q :菱形的对角线互相平分; (3) p :35 是 15 的倍数, q :35 是 7 的倍数

变式:用逻辑联结词“且”改写下列命题,并判断他们的真假: (1)1 既是奇数,又是素数; (2)2 和 3 都是素数.

小结: p ? q 的真假性的判断,关键在于 p 与 q 的真假的判断. 例 2 判断下列命题的真假 (1) 2 ? 2 ; (2) 集合 A 是 A ? B 的子集或是 A ? B 的子集; (3) 周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等.

变式:如果 p ? q 为真命题,那么 p ? q 一定是真命题吗?反之, p ? q 为 真命题,那么 p ? q 一定是真命题吗? 小结: p ? q 的真假性的判断,关键在于 p 与 q 的真假的判断. 例 3 写出下列命题的否定,并判断他们的真假: (1) p : y ? sin x 是周期函数; (2) p : 3 ? 2 (3)空集是集合 A 的子集.

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小结: ?p 的真假性的判断,关键在于 p 的真假的判断. 三、总结提升 ※ 学习小结 这节课你学到了一些什么?你想进一步探究的问题是什么? ※ 知识拓展 阅读教材第 18 页,理解逻辑联结词“且” “或” “非”与集合运算 “交” “并” “补”的关系. 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. “ p 或 q 为真命题”是“ p 且 q 为真命题”的( ). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.命题 P :在 ?ABC 中,?C ? ?B 是 sin C ? sin B 的充要条件;命题 q :a ? b 是 ). ac2 ? bc 2 的充分不必要条件,则( A. p 真 q 假 B. p 假 q 假 C.“ p 或 q ”为假 D.“ p 且 q ”为真 3.命题: (1)平行四边形对角线相等; (2)三角形两边的和大于或等 于第三边; (3)三角形中最小角不大于 60? ; (4)对角线相等的菱 形为正方形.其中真命题有( ). A.1 B.2 C.3 D.4 4.命题 p :0 不是自然数,命题 q :? 是无理数,在命题“ p 或 q ” p 且 “ “ “ ,真命题 q ” 非 p ” 非 q ”中假命题是 是 . 2 5. 已知 p : | x ? x |? 6 , q : x ? Z , p ? q, ?q 都是假命题,则 x 的值组成的集 合为 课后作业 1. 写出下列命题,并判断他们的真假: (1) p ? q ,这里 p : 4 ?{2,3} , q : 2 ?{2,3} ; (2) p ? q ,这里 p : 4 ?{2,3} , q : 2 ?{2,3} ; (3) p ? q ,这里 p :2 是偶数, q :3 不是素数; (4) p ? q ,这里 p :2 是偶数, q :3 不是素数. 2.判断下列命题的真假: (1) 5 ? 2 且 7 ? 3 (2) 7 ? 8

(3) 3 ? 4 或 3 ? 4

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§ 全称量词与存在量词 1.4
班级: 组名: 姓名: 设计人:李红涛 审核人:魏帅举 领导审批:

学习目标 1. 掌握全称量词与存在量词的的意义; 2. 掌握含有量词的命题:全称命题和特称命题真假的判断. 学习过程 一、课前准备 (预习教材 P21~ P23,找出疑惑之处) 复习 1:写出下列命题的否定,并判断他们的真假: (1) 2 是有理数; (2)5 不是 15 的约数 (3) 8 ? 7 ? 15 (4)空集是任何集合的真子集

复习 2:判断下列命题的真假,并说明理由: (1) p ? q ,这里 p : ? 是无理数, q : ? 是实数; (2) p ? q ,这里 p : ? 是无理数, q : ? 是实数; (3) p ? q ,这里 p : 2 ? 3 , q : 8 ? 7 ? 15 ; (4) p ? q ,这里 p : 2 ? 3 , q : 8 ? 7 ? 15 .

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:全称量词的意义 问题:1.下列语名是命题吗?(1)与(3)(2)与(4)之间有什么 , 关系? (1) x ? 3 ; (2) 2x ? 1 是整数; (3)对所有的 x ? R, x ? 3 ; (4)对任意一个 x ? Z , 2x ? 1 是整数.

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2. 下列语名是命题吗?(1)与(3)(2)与(4)之间有什么关系? , (1) 2x ? 1 ? 3 ; (2) x 能被 2 和 3 整除; (3)存在一个 x0 ? R ,使 2x0 ? 1 ? 3 ; (4)至少有一个 x0 ? Z , x0 能被 2 和 3 整除. 新知:1.短语“ ” “ ”在逻辑中通常叫做 全称量词,并用符号“ ”表示,含有 的命题,叫做全称命题.其基本形式为: ?x ? M , p( x) ,读作: 2. 短语“ ” “ ”在逻辑中通常叫 做存在量词, 并用符号 “ ” 表示, 含有 的 命题,叫做特称称命题. 其基本形式 ?x0 ? M , p( x0 ) ,读作: 试试:判断下列命题是不是全称命题或者存在命题,如果是,用量词符 号表示出来. (1)中国所有的江河都流入大海; (2)0 不能作为除数; (3)任何一个实数除以 1,仍等于这个实数; (4)每一个非零向量都有方向.

反思:注意哪些词是量词是解决本题的关键,还应注意全称命题和存 在命题的结构形式. ※ 典型例题 例 1 判断下列全称命题的真假: (1)所有的素数都是奇数; (2) ?x ? R, x2 ? 1 ? 1 ; (3)对每一个无理数 x , x 2 也是无理数.

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变式:判断下列命题的真假: (1) ?x ? (5,8), f ( x) ? x2 ? 4 x ? 2 ? 0 (2) ?x ? (3, ??), f ( x) ? x2 ? 4x ? 2 ? 0

小结:要判定一个全称命题是真命题,必须对限定集合 M 中每一个元 素 x 验证 p( x) 成立; 但要判定全称命题是假命题, 却只要能举出集合 M 中的一个 x ? x0 ,使得 p( x0 ) 不成立即可. 例 2 判断下列特称命题的真假: (1) 有一个实数 x0 ,使 x02 ? 2 x0 ? 3 ? 0 ; (2) 存在两个相交平面垂直于同一条直线; (3) 有些整数只有两个正因数.

变式:判断下列命题的真假: (1) ?a ? Z , a2 ? 3a ? 2 (2) ?a ? 3, a2 ? 3a ? 2

小结:要判定特称命题“ ?x0 ? M , p( x0 ) ” 是真命题只要在集合 M 中找 一个元素 x0 ,使 p( x0 ) 成立即可;如果集合 M 中,使 P( x) 成立的 元素 x 不存在,那么这个特称命题是假命题. ※ 动手试试 练 1. 判断下列全称命题的真假: (1)每个指数都是单调函数; (2)任何实数都有算术平方根; (3) ?x ?{x | x 是无理数}, x 2 是无理数.

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练 2. 判定下列特称命题的真假: (1) ?x0 ? R, x0 ? 0 ; (2)至少有一个整数,它既不是合数,也不是素数; (3) ?x0 ?{x | x 是无理数}, x0 2 是无理数.

三、总结提升 ※ 学习小结 这节课你学到了一些什么?你想进一步探究的问题是什么?

※ 知识拓展 数理逻辑又称符号逻辑,是用数学的方法研究推理过程的一门学 问. 德国启蒙思想家 莱布尼茨(1646—1716)是数理逻辑的创始人。 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 下列命题为特称命题的是( ). A.偶函数的图像关于 y 轴对称 B.正四棱柱都是平行六面体 C.不相交的两条直线都是平行线 D.存在实数大于等于 3 2.下列特称命题中真命题的个数是( ). (1) ?x ? R, x ? 0 ;(2)至少有一个整数它既不是合数也不是素数; (3) 2 ?x ?{x | x 是无理数}, x 是无理数. A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.4 个 3.下列命题中假命题的个数( ). 2 (1) ?x ? R, x ? 1 ? 1 ; (2) ?x ? R,2x ? 1 ? 3 ; (3) ?x ? Z , x 能被 2 和 3 整除; (4) ?x ? R, x2 ? 2x ? 3 ? 0 A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.4 个 4.下列命题中 (1)有的质数是偶数; (2)与同一个平面所成的角相等的两条直线 平行; (3)有的三角形三个内角成等差数列; (4)与圆只有一个公共

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点的直线是圆的切线,其中全称命题是 特称命题是 . 5. 用符号“ ? ”与“ ? ”表示下列含有量词的命题. (1)实数的平方大于等于 0: (2)存在一对实数使 2x ? 3 y ? 3 ? 0 成立: 课后作业 1. 判断下列全称命题的真假: (1)末位是 0 的整数可以被子 5 整除; (2)线段的垂直平分线上的点到这条线段两端点距离相等; (3)负数的平方是正数; (4)梯形的对角线相等.

2. 判断下列全称命题的真假: (1)有些实数是无限不循环小数; (2)有些三角形不是等腰三角形; (3)有的菱形是正方形.

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§ 1.4.3 含一个量词的命题的否定
班级: 组名: 姓名: 设计人:李红涛 审核人:魏帅举 领导审批:

学习目标 1. 掌握对含有一个量词的命题进行否定的方法,要正确掌握量词否 定的各种形式; 2. 明确全称命题的否定是存在命题,存在命题的否定是全称命题. 学习过程 一、课前准备 (预习教材 P24~ P25,找出疑惑之处) 复习 1:判断下列命题是否为全称命题: (1)有一个实数 ? , tan ? 无意义; (2)任何一条直线都有斜率;

复习 2:判断以下命题的真假: (1) ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0
4

(2) ?x ? Q, x

2

?3

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:含有一个量词的命题的否定 问题:1.写出下列命题的否定: (1)所有的矩形都是平行四边形; (2)每一个素数都是奇数; (3) ?x ? R, x2 ? 2x ? 1 ? 0 . 这些命题和它们的否定在形式上有什么变化? 2.写出下列命题的否定: (1)有些实数的绝对值是正数;

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(2)某些平行四边形是菱形; (3) ?x0 ? R, x02 ? 1 ? 0 . 这些命题和它们的否定在形式上有什么变化?

新知:1.一般地,对于一个含有一个量词的全称命题的否定有下面的 结论: 全称命题 p : ?x ? p, p( x) , 它的否定 ?p : ?x0 ? M , ?p( x0 ) 2. 一般地,对于一个含有一个量词的特称命题的否定有下面的结论: 特称命题 p : ?x0 ? M , p( x0 ) , 它的否定 ?p : ?x ? M , p( x) . 试试:1.写出下列命题的否定: (1) ?n ? Z , n ? Q ; (2)任意素数都是奇数; (3)每个指数函数都是奇数.

2. 写出下列命题的否定: (1) 有些三角形是直角三角形; (2)有些梯形是等腰梯形; (3)存在一个实数,它的绝对值不是正数.

反思:全称命题的否定变成特称命题. ※ 典型例题 例 1 写出下列全称命题的否定: (1) p :所有能被 3 整除的数都是奇数;

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(2) p :每一个平行四边形的四个顶点共圆; (3) p :对任意 x ? Z , x 2 的个位数字不等于 3.

变式:写出下列全称命题的否定,并判断真假. (1) p : ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0
4

(2)

p :所有的正方形都是矩形.

例 2 写出下列特称命题的否定: (1) p : ?x0 ? R, x02 ? 2x0 ? 2 ? 0 ; (2) p :有的三角形是等边三角形; (3) p :有一个素数含有三个正因数.

变式:写出下列特称命题的否定,并判断真假. (1) p : ?x ? R, x2 ? 2x ? 2 ? 0 ; (2) p :至少有一个实数 x ,使 x3 ? 1 ? 0 .

小结:全称命题的否定变成特称命题. ※ 动手试试 练 1. 写出下列命题的否定: (1) ?x ? N , x3 ? x2 ; (2) 所有可以被 5 整除的整数,末位数字都是 0; (3) ?x0 ? R, x02 ? x0 ? 1 ? 0 ;

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(4) 存在一个四边形,它的对角线是否垂直.

练 2. 判断下列命题的真假,写出下列命题的否定: (1)每条直线在 y 轴上都有截矩; (2)每个二次函数都与 x 轴相交; (3)存在一个三角形,它的内角和小于 180? ; (4)存在一个四边形没有外接圆.

三、总结提升 ※ 学习小结 这节课你学到了一些什么?你想进一步探究的问题是什么?

※ 知识拓展 英国数学家布尔(G.BOOL)建立了布尔代数,并创造了一套符号系 统,利用符号来表示逻辑中的各种概念.他不建立了一系列的运算法 则,利用代数的方法研究逻辑问题,初步奠定了数理逻辑的基础. 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ).

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※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 命题“原函数与反函数的图象关于 y ? x 对称”的否定是( ). A. 原函数与反函数的图象关于 y ? ?x 对称 B. 原函数不与反函数的图象关于 y ? x 对称 C.存在一个原函数与反函数的图象不关于 y ? x 对称 D. 存在原函数与反函数的图象关于 y ? x 对称 2.对下列命题的否定说法错误的是( ). A. p :能被 3 整除的数是奇数; ?p :存在一个能被 3 整除的数不 是奇数 B. p :每个四边形的四个顶点共圆; ?p :存在一个四边形的四个 顶点不共圆 C. p :有的三角形为正三角形; ?p :所有的三角形不都是正三角 形 D. p : ?x ? R, x2 ? 2x ? 2 ? 0 ; ?p : ?x ? R, x2 ? 2 x ? 2 ? 0 3.命题“对任意的 x ? R, x3 ? x2 ? 1 ? 0 ”的否定是( ). A. 不存在 x ? R, x3 ? x2 ? 1 ? 0 B. 存在 x ? R, x3 ? x2 ? 1 ? 0 C. 存在 x ? R, x3 ? x2 ? 1 ? 0 D. 对任意的 x ? R, x3 ? x2 ? 1 ? 0 4. 平行四边形对边相等的否定是 5. 命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是 . 课后作业 1. 写出下列命题的否定: (1)若 2x ? 4 ,则 x ? 2 ; (2)若 m ? 0, 则 x2 ? x ? m ? 0 有实数根; (3)可以被 5 整除的整数,末位是 0; (4)被 8 整除的数能被 4 整除; (5)若一个四边形是正方形,则它的四条边相等.

2. 把下列命题写成含有量词的命题: (1)余弦定理; (2)正弦定理.

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第一章 常用逻辑用语(复习)
班级: 组名: 姓名: 设计人:李红涛 审核人:魏帅举 领导审批:

学习目标 1. 命题及其关系 (1)了解命题的逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题间的 相互关系; (2)理解必要条件、充分条件与充要条件的意义. 2. 简单的逻辑联结词 了解逻辑联结词“或” “且” “非”的含义. 3. 全称量词与存在量词 (1) 理解全称量词与存在量词的意义; (2)能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 学习过程 一、课前准备 复习 1:

复习 2: 1.什么是命题?其常见的形式是什么?什么是真命题?什么是假命题?

2.有哪四种命题?他们之间的关系是怎样的?

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3.什么是充分条件、必要条件和充要条件?

4 你学过哪些逻辑联结词?四逻辑联结词联结而成的命题的真假性怎 样?

5.否命题与命题的否定有什么不同?

6.什么是全称量词和存在量词?

7.怎样否定含有一个量词的命题?

二、新课导学 ※ 典型例题 例 1 命题“若 x2 ? 1,则 ?1 ? x ? 1 ”的逆否命题是( A.若 x2 ? 1,则 x ? 1 或 x ? ?1 B.若 ?1 ? x ? 1 ,则 x2 ? 1



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C.若 x ? 1 或 x ? ?1 ,则 x2 ? 1 D.若 x ? 1 或 x ? ?1 ,则 x2 ? 1 变 式 : 命 题 “ 若 是
x ?1



x ? ?1

, 则 .

x2 ? 1

” 的 逆 否 命 题

小结:弄清四种命题之间的关系是解决此类问题的关键. 例 2 下列各小题中, p 是 q 的充要条件的是( ). 2 (1) p : m ? ?2 或 m ? 6 ; q : y ? x ? mx ? m ? 3 有两个不同的零点 (2) p :
f (? x) ? 1 ; q : y ? f ( x) 是偶函数 f ( x)

(3) p : cos? ? cos ? ; q : tan ? ? tan ? (4) p : A ? B ? A ; q : c 痧B ? U A U A.(1)(2) B.(2)(3) C.(3)(4) D.(1)(4) 变式:设命题 p : | 4x ? 3|? 1 ,命题 q : x2 ? (2a ? 1) x ? a(a ? 1) ? 0 ,若 ?p 是 ?q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围.

小结:处理充分、必要条件的问题首先要分清条件和结论,有时利用 逆否命题与原命题等价的性对解题很有帮助. 例 3 给出下列命题: 关于 x 的不等式 x2 ? (a ? 1) x ? a2 ? 0 的解集是 R ,q : 函数 y ? lg(2a2 ? a) x 是 p: 增函数. (1) 若 p ? q 为真命题,求 a 的取值范围. (2) 若 p ? q 为真命题,求 a 的取值范围.

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※ 动手试试 练 1. 如果命题“p 且 q”与命题“p 或 q”都是假命题,那么 ( )

A.命题“非 p”与命题“非 q”的真值不同 B.命题 p 与命题“非 q”的真值相同 C.命题 q 与命题“非 p”的真值相同 D.命题“非 p 且非 q”是真命题 练 2. 若命题 p 的逆命题是 q,命题 p 的否命题是 r,则 q 是 r 的 ( ) A.逆命题 B.否命题 C.逆否命题 D.以上结论都不正确 三、总结提升 ※ 学习小结 这节课你学到了一些什么?你想进一步探究的问题是什么? ※ 知识拓展 已知函数 f ( x) ? 4x2 ? 2( p ? 2) x ? 2 p2 ? p ? 1 在区间 [?1,1]的所有的 x ,都有 f ( x ) ? 0恒成立,求 p 的取值范围. 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 下列语句不是命题的有( ).

① x2 ? 3 ? 0 ; ② 与 一 条 直 线 相 交 的 两 直 线 平 行 吗 ? ③ 3 ? 1 ? 5 ; ④ 5x ? 3 ? 6 A.①③④ B.①②③ C.①②④ D.②③④ 2. 给出命题:p: 3 ? 1 ,q: 4 ?{2,3} ,则在下列三个复合命题:“p 且 q” “p 或 q” “非 p”中,真命题的个数为( ). A.0 B.3 C.2 D.1 3. 若 a、b、c 是 常 数 , 则 “ a ? 0且b2 ? 4ac ? 0 ” 是 “ 对 任 意 x ? R , 有 ). a x2 ? b x? c?0 ”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

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C.充要条件 D.即不充分也不必要条件 4. 已知 a,b 是两个命题,如果 a 是 b 的充分条件,那么 ? a 是 ? b 的 条件. 5. “ tan ? ? tan ? ”的 条件是“ ? ? ? ” 课后作业 1. 写出命题“若 x2 ? 7 x ? 8 ? 0 ,则 x ? ?8 或 x ? 1 ”的逆命题、否命题、逆 否命题,并分别判断它们的真假。

2. 写出下列命题的否定: (1)所有的矩形都是平行四边形; (2)有些实数的绝对值是正数.

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常用逻辑用语测试题
班级: 组名: 姓名: 设计人:李红涛 审核人:魏帅举 领导审批:

一、选择题 1.下列语句不是命题的有( ).

① x2 ? 3 ? 0 ;②与一条直线相交的两直线平行吗?③ 3 ? 1 ? 5 ;④ 5x ?3 ?6 A.①③④ C.①②④ B.①②③ D.②③④

2.给出命题:p: 3 ? 1 ,q: 4 ?{2,3} ,则在下列三个复合命题: 且 q” “p “p 或 q” “非 p”中,真命题的个数为( ). A.0 B.3 C.2 D.1 3.如果命题“p 且 q”与命题“p 或 q”都是假命题,那么( A.命题“非 p”与命题“非 q”的真值不同 B.命题 p 与命题“非 q”的真值相同 C.命题 q 与命题“非 p”的真值相同 D.命题“非 p 且非 q”是真命题 4.命题“若 a ? b ,则 ac2 ? bc2 ( a、b ? R ) ”与它的逆命题、否命题中,真 命题的个数为( ). A.3 B.2 C.1 D.0 5.若 p、 是两个简单命题, “p 或 q” q 且 的否定是真命题, 则必有 ( ) . A.p 真,q 真 B.p 假,q 假 C .p 真,q 假 D.p 假,q 真 6.有下列三个命题:①“若 x ? y ? 0 ,则 x、y 互为相反数”的逆命题; ②“若 x ? y ,则 x2 ? y 2 ”的逆否命题;③“若 x ? ?3 ,则 x2 ? x ? 6 ? 0 ” 。 其中假命题的个数为( ). A.0 B.3 C.2 D.1 7.如果命题“非 p 或非 q”是假命题,则在下列各结论中,正确的为 ( ). ①命题“p 且 q”是真命题 ②命题“p 且 q”是假命题 ③命题“p 或 q”是真命题 ④命题“p 或 q”是假命题 ).

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A.①③ B.②④ C.②③ D.①④ 8.若命题 p 的逆命题是 q,命题 p 的否命题是 r,则 q 是 r 的( ). A.逆命题 B.否命题 C.逆否命题 D.以上结论都不正确 9.若 a、b、c 是常数, “ a ? 0且b2 ? 4ac ? 0 ” “对任意 x ? R , x 2b? ? ? 0 ” 则 是 有a x c 的( ). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件 2 10.一元二次方程 ax ? 2x ? 1 ? 0( a ? 0 )有一个正根和一个负根的充分不 必要条件是( ). A. a ? 0 B. a ? 0 C. a ? ?1 D. a ? 1 11.若非空集合 M 是集合 N 的真子集, “ a ? M 或 a ? N ” “ a ?M ? ” 则 是 N 的( ). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件 12.已知 ?、? 均为锐角,若 p: sin ? ? sin(? ? ? ) ,q: ? ? ? ? ? ,则 p 是 q
2

的(

).

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件 13.设 a、b、c 分别是 ?ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边,则 a 2 ? b(b ? c) 是 A=2B 的( ). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件 14.已知 p: a ? 0 ;q: ab ? 0 ,则 p 是 q 的( ). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件 15.在 ?ABC 中,设命题 p:
a b c ,命题 ? ? sin B sin C sin A

q: ?ABC 是等边三角

形,那么命题 p 是命题 q 的(

).

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件 16.如果 p 是 q 的充分不必要条件,r 是 q 的必要不充分条件;那么 ( ). ? p ?? r A. B. ? p ?? r C. ? p ?? r D. p ? r

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二 填空题 17.已知 a,b 是两个命题,如果 a 是 b 的充分条件,那么 ? a 是 ? b 的 条件. 18.“ a ? 5 且 b ? 2 ”的否定是 19.若 p: “平行四边形一定是菱形” ,则“非 p”为 .(真 命题或假命题). 20.“ tan ? ? tan ? ”的 条件是“ ? ? ? ”. 21.“若 A 则 B”为真命题,而“若 B 则 C”的逆否命题为真命题, 且“若 A 则 B”是“若 C 则 D”的充分条件,而“若 D 则 E” 是“若 B 则 C”的充要条件,则 B 是 E 的 条件; ? A 是 ? E 的 条件. 三 解答题 22.写出下列命题的否定命题和否命题: (1)若 abc ? 0 ,则 a、b、c 中至少有一个为零;

(2)若 x2 ? y 2 ? 0 ,则 x、y 全为零;

(3)平行于同一条直线的两条直线平行.

23. 写出命题“若 x2 ? 7 x ? 8 ? 0 ,则 x ? ?8 或 x ? 1 ”的逆命题、否命题、 逆否命题,并分别判断它们的真假.

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§ 2.1.1 曲线与方程(1)
班级: 组名: 姓名: 设计人:李红涛 审核人:魏帅举 领导审批:

学习目标 1.理解曲线的方程、方程的曲线; 2.求曲线的方程. 学习过程 一、课前准备 (预习教材理 P34~ P36,找出疑惑之处) 复习 1:画出函数 y ? 2 x2 (?1 ? x ? 2) 的图象.

复习 2:画出两坐标轴所成的角在第一、三象限的平分线,并写出其 方程.

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一: 到两坐标轴距离相等的点的集合是什么?写出它的方程.

问题:能否写成 y ? x ,为什么?

新知:曲线与方程的关系:一般地,在坐标平面内的一条曲线 C 与一 个二元方程 F ( x, y) ? 0 之间, 如果具有以下两个关系: 1.曲线 C 上的点的坐标,都是 的解;

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2.以方程 F ( x, y) ? 0 的解为坐标的点,都是 的点, 那么,方程 F ( x, y) ? 0 叫做这条曲线 C 的方程; 曲线 C 叫做这个方程 F (x, y) ? 0 的曲线. 注意:1? 如果??,那么??; 2? “点”与“解”的两个关系,缺一不可; 3? 曲线的方程和方程的曲线是同一个概念,相对不同角度的 两种说法; 4? 曲线与方程的这种对应关系,是通过坐标平面建立的. 试试: 1.点 P(1, a) 在曲线 x2 ? 2 xy ? 5 y ? 0 上,则 a=___ . 2.曲线
x2 ? 2 xy ? by ? 0 上有点 Q(1, 2) ,则 b =



新知:根据已知条件,求出表示曲线的方程. ※ 典型例题 例 1 证明与两条坐标轴的距离的积是常数 k (k ? 0) 的点的轨迹方程式 是 xy ? ?k .

变式:到 x 轴距离等于 5 的点所组成的曲线的方程是 y ? 5 ? 0 吗?

例 2 设 A, B 两点的坐标分别是 (?1, ?1) ,(3,7) , 求线段 AB 的垂直平分线的

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方程.

变式: 已知等腰三角形三个顶点的坐标分别是 A(0,3) , (?2,0) , (2,0) . 中 C B 线 AO ( O 为原点)所在直线的方程是 x ? 0 吗?为什么?

反思: BC 边的中线的方程是 x ? 0 吗? 小结:求曲线的方程的步骤: ①建立适当的坐标系,用 M ( x, y) 表示曲线上的任意一点的坐标; ②写出适合条件 P 的点 M 的集合 P ? {M | p(M )} ; ③用坐标表示条件 P ,列出方程 f ( x, y) ? 0 ; ④将方程 f ( x, y) ? 0 化为最简形式; ⑤说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上. ※ 动手试试 练 1.下列方程的曲线分别是什么? (1)
y? x2 x

(2)

y?

x?2 x2 ? 2 x

(3)

y ? a loga x

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练 2.离原点距离为 2 的点的轨迹是什么?它的方程是什么?为什 么?

三、总结提升 ※ 学习小结 1.曲线的方程、方程的曲线; 2.求曲线的方程的步骤: ①建系,设点; ②写出点的集合; ③列出方程; ④化简方程; ⑤验证. ※ 知识拓展 求轨迹方程的常用方法有:直接法,定义法,待定系数法,参数法, 相关点法(代入法) ,交轨法等.

学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 与曲线 y ? x 相同的曲线方程是( ) .

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2





A. y ? x

x

B. y ?

x2
2

C. y ? 3 x3 D. y ? 2log x ???? 2. 直角坐标系中, 已知两点 A(3,1) , (?1,3) , 若点 C 满足 OC = ? B 其中 ? , ? ? R , ? + ? = 1 , 则点 C 的轨迹为 ( ) . A.射线 B.直线 C.圆 D.线段 3. A(1,0) , B(0,1) ,线段 AB 的方程是( ) . A. x ? y ? 1 ? 0 B. x ? y ? 1 ? 0 (0 ? x ? 1) C. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 1 ? 0 (0 ? x ? 1) 4.已知方程 ax2 ? by 2 ? 2 的曲线经过点 A(0, 5 ) 和点 B(1,1) ,则 a =
3

??? ? ??? ? OA + ? OB ,



. 5.已知两定点 A(?1,0) , B(2,0) ,动点 p 满足 PA ? 1 ,则点 p 的轨迹方程
b=
PB 2





课后作业 1. 点 A(1, ?2) , B(2, ?3) , C(3,10) 是否在方程 x 2 ? xy ? 2 y ? 1 ? 0 表示的曲线上?为什么?

2 求和点 O(0,0) , A(c,0) 距离的平方差为常数 c 的点的轨迹方程.

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§ 2.1.2 曲线与方程(2)
班级: 组名: 姓名: 设计人:李红涛 审核人:魏帅举 领导审批:

学习目标 1. 求曲线的方程; 2. 通过曲线的方程,研究曲线的性质. 学习过程 一、课前准备 (预习教材理 P36~ P37,找出疑惑之处) 复习 1:已知曲线 C 的方程为 y ? 2 x2 ,曲线 C 上有点 A(1, 2) , A 的坐标 是不是 y ? 2 x2 的解?点 (0.5, t ) 在曲线 C 上,则 t =___ .

复习 2:曲线(包括直线)与其所对应的方程 f ( x, y) ? 0 之间有哪些关 系?

二、新课导学 ※ 学习探究 引入: 圆心 C 的坐标为 (6,0) ,半径为 r ? 4 ,求此圆的方程.

问题:此圆有一半埋在地下,求其在地表面的部分的方程.

探究:若

AB ? 4 ,如何建立坐标系求 AB 的垂直平分线的方程.

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※ 典型例题 例 1 有一曲线,曲线上的每一点到 x 轴的距离等于这点到 A(0,3) 的距离 的 2 倍,试求曲线的方程.

变式:现有一曲线在 x 轴的下方,曲线上的每一点到 x 轴的距离减去 这点到点 A(0, 2) ,的距离的差是 2 ,求曲线的方程.

小结:点 P(a, b) 到 x 轴的距离是 点 P(a, b) 到 y 轴的距离是 点 P(1, b) 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离是

; ; .

例 2 已知一条直线 l 和它上方的一个点 F ,点 F 到 l 的距离是 2 ,一条 曲线也在 l 的上方,它上面的每一点到 F 的距离减去到 l 的距离的差都 是 2 ,建立适当的坐标系,求这条曲线的方程.

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※ 动手试试 练 1. 有一曲线,曲线上的每一点到 x 轴的距离等于这点到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离的 2 倍,试求曲线的方程.

练 2. 曲线上的任意一点到 A(?3,0) , B(3,0) 两点距离的平方和为常数 26 , 求曲线的方程.

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 求曲线的方程; 2. 通过曲线的方程,研究曲线的性质. ※ 知识拓展 圆锥曲线的统一定义: 到定点的距离与到定直线的距离之比为常数 e 的点的轨迹是圆锥 曲线. 0 ? e ? 1 :椭圆; 抛物线; e ?1: 双曲线. e ?1:

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学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1.方程 (3x ? 4 y ? 12) ?log2 ( x ? 2 y) ? 3? ? 0 的曲线经过点 A(0, ?3) ,B(0, 4) ,C(4,0) ,
5 7 D( , ? ) 中的( 3 4

).

A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 2.已知 A(1,0) , B(?1,0) ,动点满足 ). MA ? MB ? 2 ,则点 M 的轨迹方程是( A. y ? 0(?1 ? x ? 1) B. y ? 0( x ? 1) C . y ? 0( x ? ?1) D. y ? 0( x ? 1) 3.曲线 y ? ? 1 ? x 2 与曲线 y ? x ? 0 的交点个数一定是( ) . A. 0 个 B. 2 个 C. 4 个 D. 3 个 ? ? 4 . 若 定 点 A(1, 2) 与 动 点 P( x, y)满 足 O P? O A 4 , 则 点 P 的 轨 迹 方 程 ? 是 . 5 . 由 方 程 x ?1 ? y ?1 ? 1 确 定 的 曲 线 所 围 成 的 图 形 的 面 积 是 . 课后作业 1.以 O 为圆心, 2 为半径,上半圆弧的方程是什么?在第二象限的 圆弧的方程是什么?

2. 已知点 C 的坐标是 (2, 2) , 过点 C 的直线 CA 与 x 轴交于点 A , 过点 C 且 与直线 CA 垂直的直线 CB 与 y 轴交于点 B .设点 M 是线段 AB 的中点, 求点 M 的轨迹方程.

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§ 2.2.1 椭圆及其标准方程(1)
班级: 组名: 姓名: 设计人:李红涛 审核人:魏帅举 领导审批:

学习目标 1.从具体情境中抽象出椭圆的模型; 2.掌握椭圆的定义; 3.掌握椭圆的标准方程. 学习过程 一、课前准备 (预习教材理 P38~ P40,文 P32~ P34 找出疑惑之处) 复习 1:过两点 (0,1) , (2,0) 的直线方程 . 复习 2: 方程 ( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 4 表示以 为圆心, 为半径的 .

二、新课导学 ※ 学习探究 取一条定长的细绳, 把它的两端都固定在图板的同一个点处,套上铅笔,拉紧绳子, 移动笔尖,这时笔尖画出的轨迹是一个 . 如果把细绳的两端拉开一段距离,分别固定在图板的两个点处, 套上铅笔,拉紧绳子, 移动笔尖, 画出的轨迹是什么曲 P 线?
F1 F2

思考:移动的笔尖(动

点)满足的几何条件是什么? 保持不变,

经过观察后思考: 在移动笔尖的过程中, 细绳的 即笔尖 等于常数.

新知1: 我们把平面内与两个定点 F1 , F2 的距离之和等于常数(大于 F1 F2 )的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间 的距离叫做椭圆的焦距 . 反思:若将常数记为 2a ,为什么 2a ? F1F2 ? 当 2a ? F1F2 时,其轨迹为 ; 当 2a ? F1F2 时,其轨迹为 . 试试:

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已知 F1 (?4,0) ,F2 (4,0) ,到 F1 ,F2 两点的距离之和等于 8 的点的轨迹 是 .

小结:应用椭圆的定义注意两点: ①分清动点和定点; ②看是否满足常数 2a ? F1F2 . 新知2:焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程
x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2

其中 b2 ? a2 ? c2 ,

若焦点在 y 轴上,两个焦点坐标 则椭圆的标准方程是 . ※ 典型例题 例 1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程: ⑴ a ? 4, b ? 1 ,焦点在 x 轴上; ⑵ a ? 4, c ? 15 ,焦点在 y 轴上; ⑶ a ? b ? 10, c ? 2 5 .

变式:方程 围

x2 y ? ?1 4 m

表示焦点在 x 轴上的椭圆,则实数 m 的范



小结:椭圆标准方程中: a2 ? b2 ? c2 ; a ? b .

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例 2

已知椭圆两个焦点的坐标分别是 ? ?2, 0? , (2,0) ,并且经过点 .

?5 3? ? , ? ? ,求它的标准方程 ?2 2?

变式:椭圆过点 ? ?2,0 ? , (2,0) , (0,3) ,求它的标准方程.

小结:由椭圆的定义出发,得椭圆标准方程 . ※ 动手试试 练 1. 已知 ?ABC 的顶点 B 、 C 在椭圆 x
2

3

? y 2 ? 1 上,顶点 A 是椭圆的一个

焦点,且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上,则 ?ABC 的周长是( ) . A. 2 3 B.6 C. 4 3 D.12

练 2 .方程 x

2

9

?

y ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,求实数 m 的范围. m

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三、总结提升 ※ 学习小结 1. 椭圆的定义: 2. 椭圆的标准方

彗星 太阳

程:

※ 知识拓展 1997 年初,中国科学院紫金山天文台发布了一条消息,从 1997 年 2 月中旬起,海尔· 波普彗星将逐渐接近地球,过 4 月以后,又将渐渐 离去,并预测 3000 年后,它还将光临地球上空 1997 年 2 月至 3 月间, 许多人目睹了这一天文现象 天文学家是如何计算出彗星出现的准确 时间呢?原来,海尔· 波普彗星运行的轨道是一个椭圆,通过观察它 运行中的一些有关数据,可以推算出它的运行轨道的方程,从而算出 它运行周期及轨道的的周长.
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ) . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1.平面内一动点 M 到两定点 F1 、 F2 距离之和为常数 2a ,则点 M 的轨 迹为( ) . A.椭圆 B.圆 C.无轨迹 D.椭圆或线段或无轨迹 2 2 2.如果方程 x ? ky ? 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范 围是( ) . A. (0, ??) B. (0, 2) C. (1, ??) D. (0,1) 3.如果椭圆
x2 y2 ? ? 1 上一点 P 到焦点 F1 的距离等于 100 36

6,那么点 P 到另

一个焦点 F2 的距离是( ) . A.4 B.14 C.12 D.8 4.椭圆两焦点间的距离为 16 ,且椭圆上某一点到两焦点的距离分别 等于 9 和 15 ,则椭圆的标准方程 是 . 5 . 如 果 点 M ( x, y) 在 运 动 过 程 中 , 总 满 足 关 系 式 x 2 ? ( y ? 3)2 ? x 2 ? ( y ? 3)2 ? 10 ,点 M 的轨迹是 ,它的 方程 是 . 课后作业 1. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程:

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⑴焦点在 x 轴上,焦距等于 4 ,并且经过点 P ? 3, ?2 ⑵焦点坐标分别为 ? 0, ?4? , ? 0, 4 ? , a ? 5 ; ⑶ a ? c ? 10, a ? c ? 4 .

6

?;

2. 椭圆 x

2

4

?

y2 ? 1 的焦距为 2 ,求 n 的值. n

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§ 2.2.1 椭圆及其标准方程(2)
班级: 组名: 姓名: 设计人:李红涛 审核人:魏帅举 领导审批:

学习目标 1.掌握点的轨迹的求法; 2.进一步掌握椭圆的定义及标准方程. 学习过程 一、课前准备 (预习教材理 P41~ P42,文 P34~ P36 找出疑惑之处) 复习 1:椭圆上 x
2

25

?

y2 ? 1 一点 P 到椭圆的左焦点 F1 的距离为 3 ,则 P 到 9

椭圆右焦点 F2 的距离 是 .

复习 2:在椭圆的标准方程中, a ? 6 , b ? 圆的标准方程是

35 ,则椭



二、新课导学 ※ 学习探究 问题:圆 x2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 的圆心和半径分别是什么?

问题:圆上的所有点到 径) ;

(圆心)的距离都等于

(半



反之,到点 (?3,0) 的距离等于 2 的所有点都在 上.

※ 典型例题 例 1 在圆 x2 ? y 2 ? 4 上任取一点 P , 过点 P 作 x 轴的垂线段 PD ,D 为垂足. 当点 P 在圆上运动时,线段 PD 的中点 M 的轨迹是什么?

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变式: 若点 M 在 DP 的延长线上, 且

DM 3 则点 M 的轨迹又是什么? ? , DP 2

小结:椭圆与圆的关系:圆上每一点的横(纵)坐标不变,而纵(横) 坐标伸长或缩短就可得到椭圆. 例 2 设点 A, B 的坐标分别为 ? ?5,0? , ? 5,0 ? ,.直线 AM , BM 相交于点 M ,且它 们的斜率之积是 ? 4 ,求点 M 的轨迹方程 .
9

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变式:点 A, B 的坐标是 ? ?1,0 ? , ?1,0 ? ,直线 AM , BM 相交于点 M ,且直线 AM 的斜率与直线 BM 的斜率的商是 2 ,点 M 的轨迹是什么?

※ 动手试试 练 1.求到定点 A ? 2,0? 与到定直线 x ? 8 的距离之比为 方程.
2 2

的动点的轨迹

练 2.一动圆与圆 x2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 外切,同时与圆 x2 ? y 2 ? 6 x ? 91 ? 0 内切, 求动圆圆心的轨迹方程式,并说明它是什么曲线.

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三、总结提升 ※ 学习小结 1. ①注意求哪个点的轨迹,设哪个点的坐标,然后找出含有点相关 等式; ②相关点法:寻求点 M 的坐标 x, y 与中间 x0 , y0 的关系,然后消去 x0 , y0 , 得到点 M 的轨迹方程. ※ 知识拓展 椭圆的第二定义: 到定点 F 与到定直线 l 的距离的比是常数 e (0 ? e ? 1) 的点的轨迹. 定点 F 是椭圆的焦点; 定直线 l 是椭圆的准线; 常数 e 是椭圆的离心率. 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1.若关于 x, y 的方程 x2 sin ? ? y 2 cos? ? 1 所表示的曲线是椭圆,则 ? 在 ( ) . A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.若 ?ABC 的个顶点坐标 A(?4,0) 、 B(4,0) , ?ABC 的周长为 18 ,则顶点 C 的轨迹方程为( ) .

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A.

x2 y 2 ? ?1 25 9 2 2 D. x ? y ? 1 ( y ? 0) 25 9

B.

y 2 x2 ? ?1 25 9

( y ? 0)

C.

x2 y 2 ? ? 1 ( y ? 0) 16 9

3.设定点 F1 (0, ? 2) , F2 (0, 2) ,动点 P 满足条件

PF1 ? PF2 ? m ?

4 (m ? 0) , m

则点 P 的轨迹是( ) . A.椭圆 B.线段 C.不存在 D.椭圆或线段 4.与 y 轴相切且和半圆 x2 ? y 2 ? 4(0 ? x ? 2) 内切的动圆圆心的轨迹方程 是 . 5. 设 F1 , F2 为定点,| F1F2 |= 6 ,动点 M 满足 | MF1 | ? | MF2 |? 6 ,则动点 M 的轨 迹是 . 课后作业 1.已知三角形 ? ABC 的一边长为 6 ,周长为 16 ,求顶点 A 的轨迹方程.

2.点 M 与定点 F (0, 2) 的距离和它到定直线 y ? 8 的距离的比是 1: 2 ,求点 的轨迹方程式,并说明轨迹是什么图形.

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§ 2.2.2 椭圆及其简单几何性质(1)
班级: 组名: 姓名: 设计人:李红涛 审核人:魏帅举 领导审批:

学习目标 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质,并正确地画出它的图形; 2.根据几何条件求出曲线方程,并利用曲线的方程研究它的性质, 画图. 学习过程 一、课前准备 (预习教材理 P43~ P46,文 P37~ P40 找出疑惑之处) 复习 1: 椭圆 x 点的距离是
2

16

?

y2 ? 1 上一点 P 到左焦点的距离是 2 ,那么它到右焦 12



复习 2:方程 x 是

2

5

?

y2 ? 1 表示焦点在 y m

轴上的椭圆,则 m 的取值范围



二、新课导学 ※ 学习探究 问题 1:椭圆的标准方程 x2 ? y2
a b
2 2

? 1 (a ? b ? 0) ,它有哪些几何性质呢?

图形:

范围: x : 对称性:椭圆关于 顶点: ( )( ,

y:

轴、

轴和

都对称; )( , ) ;

)( ,

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长轴,其长为 离心率:刻画椭圆 记 e ? c ,且 0 ? e ? 1 . a
2

;短轴,其长为 程度.
a



椭圆的焦距与长轴长的比 c 称为离心率,

试试:椭圆 y 图形:

16

?

x2 ? 1 的几何性质呢? 9

范围: x : 对称性:椭圆关于 顶点: ( )( ,

y:

轴、

轴和

都对称; )( , ) ; ;

)( ,

长轴,其长为 离心率:
e? c = a

;短轴,其长为 .

反思: b 或 c 的大小能刻画椭圆的扁平程度吗?
a b

※ 典型例题 例 1 求椭圆 16x2 ? 25 y 2 ? 400 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的 坐标.

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变式:若椭圆是 9 x2 ? y 2 ? 81 呢?

小结:①先化为标准方程,找出 a, b ,求出 c ; ②注意焦点所在坐标轴. 例 2 点 M ( x, y) 与定点 F (4,0) 的距离和它到直线 l : x ? 25 的距离的比是常
4

数4 5

,求点 M 的轨迹.

小结:到定点的距离与到定直线的距离的比为常数(小于 1)的点的 轨迹是椭圆 . ※ 动手试试

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练 1.求适合下列条件的椭圆的标准方程: ⑴焦点在 x 轴上, a ? 6 , e ? 1 ;
3 ⑵焦点在 y 轴上, c ? 3 , e ? 3 ; 5

⑶经过点 P(?3,0) , Q(0, ?2) ; ⑷长轴长等到于 20 ,离心率等于 3 .
5

三、总结提升 ※ 学习小结 1 .椭圆的几何性质: 图形、范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率; 2 .理解椭圆的离心率. ※ 知识拓展 (数学与生活)已知水平地面上有一篮球,在斜平行光线的照射下, 其阴影为一椭圆,且篮球与地面的接触点是椭圆的焦点. 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1.若椭圆 x A. 3
y2 10 ,则 m 的值是( ? 1 的离心率 e ? 5 5 m B. 3 或 25 C. 15 D. 15 或 5 15 3 3 ?
2

) .

2.若椭圆经过原点,且焦点分别为 F1 (1,0) , F2 (3,0) ,则其离心率为

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( ) . A. 3
4

B. 2
3
5

C. 1
3

2

D. 1

4

3.短轴长为

,离心率 e ? 2 的椭圆两焦点为 F1 , F2 ,过 F1 作直线交椭 ) . D. 24

圆于 A, B 两点,则 ?ABF2 的周长为( A. 3 B. 6 C. 12 4.已知点 P 是椭圆 x
2

5

?

y2 ? 1 上的一点,且以点 P 及焦点 F1 , F2 为顶点的 4

三 角 形 的 面 积 等 于 1 , 则 点 P 的 坐 标 是 . 5.某椭圆中心在原点,焦点在 x 轴上,若长轴长为 18 ,且两个焦点恰 好将长轴三等分,则此椭圆的方程是 . 课后作业 1.比较下列每组椭圆的形状,哪一个更圆,哪一个更扁? ⑴ 9 x2 ? y 2 ? 36 与 x
y2 ?1 16 12 2 2 ⑵ x2 ? 9 y 2 ? 36 与 x ? y ? 1 6 10 ?
2

; .

2.求适合下列条件的椭圆的标准方程: ⑴经过点 P(?2 2,0) , Q(0, 5) ; ⑵长轴长是短轴长的 3 倍,且经过点 P(3,0) ; ⑶焦距是 8 ,离心率等于 0.8 .

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§ 2.2.2 椭圆及其简单几何性质(2)
班级: 组名: 姓名: 设计人:李红涛 审核人:魏帅举 领导审批:

学习目标 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质; 2.椭圆与直线的关系. 学习过程 一、课前准备 (预习教材理 P46~ P48,文 P40~ P41 找出疑惑之处) 复习 1: 椭圆 x
2

16

?

y2 ?1 的 12

焦点坐标是( 长轴长 离心率

) ( 、短轴长 .

) ; ;

复习 2:直线与圆的位置关系有哪几种?如何判定?

二、新课导学 ※ 学习探究 问题 1:想想生活中哪些地方会有椭圆的应用呢?

问题 2:椭圆与直线有几种位置关系?又是如何确定?

反思:点与椭圆的位置如何判定?

※ 典型例题 例 1 一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴 旋转一周形成的曲面)的一部分.过对称轴的截口 BAC 是椭圆的一部 分,灯丝位于椭圆的一个焦点 F1 上,片门位于另一个焦点 F2 上,由椭

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圆一个焦点 F1 发出的光线,经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点 F2 ,已知 BC ? F1F2 , F1 B ? 2.8cm , F1 F2 ? 4.5cm ,试建立适当的坐标系,求 截口 BAC 所在椭圆的方程.

变式:若图形的开口向上,则方程是什么?

小结:①先化为标准方程,找出 a, b ,求出 c ; ②注意焦点所在坐标轴. (理)例 2 已知椭圆 x 离是多少?
2

25

?

y2 ? 1 ,直线 l : 9

4 x ? 5 y ? 40 ? 0 。椭圆上是否存在一点,它到直线 l 的距离最小?最小距

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变式:最大距离是多少?

※ 动手试试 练 1 已知地球运行的轨道是长半轴长 a ? 1.50 ? 108 km ,离心率 e ? 0.0192 的椭圆,且太阳在这个椭圆的一个焦点 上,求地球到太阳的最大和最小距离.

练 2.经过椭圆 x

2

2

? y 2 ? 1 的左焦点 F1 作倾斜角为 60? 的直线 l ,直线 l 与

椭圆相交于 A, B 两点,求 AB 的长.

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三、总结提升 ※ 学习小结 1 .椭圆在生活中的运用; 2 .椭圆与直线的位置关系: 相交、相切、相离(用 ? 判定) . ※ 知识拓展 直线与椭圆相交,得到弦, 弦长 l ? 1 ? k 2 x1 ? x2
2 ? (1 ? k 2 ) ?? x1 ? x2 ? ? 4x1 x2 ? ? ?

其中 k 为直线的斜率, ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ) 是两交点坐标. 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1.设 P 是椭圆
x2 y 2 ? ?1 , P 16 12

到两焦点的距离之差为 ,则 ?PF1F2 是

( ) . A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 2.设椭圆的两个焦点分别为 F1、 2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭 、F 圆于点 P , 若△F1PF2 为等腰直角三角形, 则椭圆的离心率是 ( ) .

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2 ?1 C. 2 ? 2 D. 2 ? 1 2 2 2 3. 已知椭圆 x ? y ? 1 的左、 右焦点分别为 F1 , F2 , 点 16 9

A.

2 2

B.

P 在椭圆上, P、 若 ) .

F1、 2 是一个直角三角形的三个顶点, F 则点 P 到 x 轴的距离为 ( A.
9 5

B. 3

C.

9 4

D.

9 7 7

4.椭圆的焦距、短轴长、长轴长组成一个等到比数列,则其离心率 为 . 5.椭圆 x
2

45

?

y2 ? 1 的焦点分别是 F1 和 F2 ,过原点 O 作直线与椭圆相交于 20

A, B 两点,若 ?ABF2 的面积是 20 ,则直线 AB 的方程式是



课后作业 1. 求下列直线 3x ? 10 y ? 25 ? 0 与椭圆 x
2

25

?

y2 ? 1 的交点坐标. 4

2.若椭圆 x

2

4

?

y2 3 ? 1 ,一组平行直线的斜率是 9 2

⑴这组直线何时与椭圆相交? ⑵当它们与椭圆相交时, 这些直线被椭圆截得的线段的中点是否在一 直线上?

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§ 2.3.1 双曲线及其标准方程
班级: 组名: 姓名: 设计人:李红涛 审核人:魏帅举 领导审批:

学习目标 1.掌握双曲线的定义; 2.掌握双曲线的标准方程. 学习过程 一、课前准备 (预习教材理 P52~ P55,文 P45~ P48 找出疑惑之处) 复习 1:椭圆的定义是什么?椭圆的标准方程是什么?

复习 2:在椭圆的标准方程 x2 ? y2
a b

2

2

? 1 中, a, b, c 有何关系?若 a ? 5, b ? 3 ,

则 c ? ? 写出符合条件的椭圆方程.

二、新课导学 ※ 学习探究 问题 1:把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”,那么点的轨迹 会怎样? 如图 2-23,定点 F1 , F2 是两个按钉, MN 是一个细套管,两条细绳 分别拴在按钉上且穿过套管,点 M 移动时, MF1 ? MF2 是常数,这样就画出一条曲线; 由 MF2 ? MF1 是同一常数,可以画出另一支.

新知 1:双曲线的定义: 平面内与两定点 F1 , F2 的距离的差的 点的轨迹叫做双曲线。 两定点 F1 , F2 叫做双曲线的 ,

等于常数(小于

F1 F2

)的

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两焦点间的距离 F1 F2 叫做双曲线的



反思:设常数为 2a ,为什么 2a ? F1 F2 ? ; 2a ? F1 F2 时,轨迹是 . 2a ? F1 F2 时,轨迹 试试: A(1,0) , (?1,0) , C C 点 若 A B? 则点 C 的轨迹是 ?1, B 新知 2:双曲线的标准方程:
x2 y 2 ? ? 1,(a ? 0, b ? 0, c 2 ? a 2 ? b2 ) (焦点在 x 轴) a 2 b2



其焦点坐标为 F1 (?c,0) , F2 (c,0) . 思考:若焦点在 y 轴,标准方程又如何?

※ 典型例题 例 1 已知双曲线的两焦点为 F1 (?5,0) ,F2 (5,0) , 双曲线上任意点到 F1 , F2 的 距离的差的绝对值等于 6 ,求双曲线的标准方程.

变式:已知双曲线 x

2

16

?

y2 ? 1 的左支上一点 P 到左焦点的距离为 9

10,则

点 P 到右焦点的距离为



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例 2 已知 A, B 两地相距 800m ,在 A 地听到炮弹爆炸声比在 B 地晚 2s , 且声速为 340m / s ,求炮弹爆炸点的轨迹方程.

变式:如果 A, B 两处同时听到爆炸声,那么爆炸点在什么曲线上?为 什么?

小结:采用这种方法可以确定爆炸点的准确位置. ※ 动手试试 练 1:求适合下列条件的双曲线的标准方程式: (1)焦点在 x 轴上, a ? 4 , b ? 3 ; (2)焦点为 (0, ?6),(0,6) ,且经过点 (2, ?5) .

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练 2.点 A, B 的坐标分别是 (?5,0) , (5,0) ,直线 AM , BM 相交于点 M , 且它们斜率之积是 4 ,试求点 M 的轨迹方程式,并由点 M 的轨迹方程
9

判断轨迹的形状.

三、总结提升 ※ 学习小结 1 .双曲线的定义; 2 .双曲线的标准方程. ※ 知识拓展 GPS(全球定位系统): 双曲线的一个重要应用. 在例 2 中,再增设一个观察点 C ,利用 B , C 两处测得的点 P 发出的 信号的时间差,就可以求出另一个双曲线的方程,解这两个方程组成 的方程组,就能确定点 P 的准确位置. 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 动点 P 到点 M (1,0) 及点 N (3,0) 的距离之差为 2 , 则点 P 的轨迹是 ( ) . A. 双曲线 B. 双曲线的一支 C. 两条射线 D. 一条射线 2 2 2.双曲线 5x ? ky ? 5 的一个焦点是 ( 6,0) ,那么实数 k 的值为( ) . A. ?25 B. 25 C. ?1 D. 1 3.双曲线的两焦点分别为 F1 (?3,0), F2 (3,0) ,若 a ? 2 ,则 b ? ( ) .

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A. 5 B. 13 C. 5 D. 13 4.已知点 M (?2,0), N (2,0) ,动点 P 满足条件 | PM | ? | PN |? 2 轨迹方程为 . 5.已知方程 围
x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则 m 的取值范 2 ? m m ?1

2.

则动点 P 的



课后作业 1. 求适合下列条件的双曲线的标准方程式: (1)焦点在 x 轴上, a ? 2 5 ,经过点 A(?5, 2) ; (2)经过两点 A(?7, ?6 2) , B(2 7,3) .

2.相距 1400m A, B 两个哨所,听到炮弹爆炸声的时间相差 3s ,已知声 速是 340m / s ,问炮弹爆炸点在怎样的曲线上,为什么?

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§ 2.3.2 双曲线的简单几何性质(1)
班级: 组名: 姓名: 设计人:李红涛 审核人:魏帅举 领导审批:

学习目标 1.理解并掌握双曲线的几何性质. 学习过程 一、 课前准备: (预习教材理 P56~ P58,文 P49~ P51 找出疑惑之处) 复习 1:写出满足下列条件的双曲线的标准方程: ① a ? 3, b ? 4 ,焦点在 x 轴上; ②焦点在 y 轴上,焦距为 8, a ? 2 .

复习 2:前面我们学习了椭圆的哪些几何性质?

二、新课导学: ※ 学习探究 问题 1:由椭圆的哪些几何性质出发,类比探究双曲线 x2 ? y2
a b
2 2

? 1 的几

何性质?

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范围: x : 对称性:双曲线关于 顶点: ( )( , 实轴,其长为 离心率: e ? c ? 1 .
a

y:

轴、

轴及

都对称.

) . ;虚轴,其长为



渐近线: 双曲线 x2 ? y2
a b
2 2

? 1 的渐近线方程为:

x y ? ? 0. a b

问题 2:双曲线 y2 ? x2
a b

2

2

? 1 的几何性质?

图形: 范围: x :
y:

对称性:双曲线关于 顶点: ( )( , 实轴,其长为 离心率: e ? c ? 1 .
a

轴、

轴及

都对称.

) ;虚轴,其长为



渐近线: 双曲线 y2 ? x2
a b
2 2

? 1 的渐近线方程为:

. 双曲线.

新知:实轴与虚轴等长的双曲线叫 ※ 典型例题 例 1 求双曲线 x
2

49

?

y2 ? 1 的实半轴长、虚半轴的长、焦点坐标、离心率 25

及渐近线的方程.

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变式:求双曲线 9 y 2 ? 16 x2 ? 144 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离 心率、渐近线方程.

例 2 求双曲线的标准方程: ⑴实轴的长是 10,虚轴长是 8,焦点在 x 轴上; ⑵离心率 e ? 2 ,经过点 M (?5,3) ; ⑶渐近线方程为 y ? ? 2 x ,经过点 M ( 9 , ?1) .
3 2

※ 动手试试 练 1.求以椭圆 x 线的方程.
2

8

?

y2 ? 1 的焦点为顶点,以椭圆的顶点为焦点的双曲 5

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练 2.对称轴都在坐标轴上的等到轴双曲线的一个焦点是 F1 (?6,0) ,求 它的标准方程和渐近线方程.

三、总结提升: ※ 学习小结 双曲线的图形、范围、顶点、对称性、离心率、渐近线. ※ 知识拓展 与双曲线 x2 ? y2
a b
(? ? 0)
2 2

? 1 有相同的渐近线的双曲线系方程式为

x2 y 2 ? ?? a 2 b2

学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 双曲线 x A. 8 、 4
2

16
2

?

y2 ? 1 实轴和虚轴长分别是( 8

) .

B. 8 、 2

2

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C.4、 4 2 D.4、 2 2 2 2 2.双曲线 x ? y ? ?4 的顶点坐标是( ) . A. (0, ?1) B. (0, ?2) C. (?1,0) D. ?,2 ) (0 3. 双曲线 x
2

4

?

y2 ? 1 的离心率为( 8

) .

A.1 B. 2 C. 3 D.2 4.双曲线 x2 ? 4 y 2 ? 1 的渐近线方程是 . 5.经过点 A(3, ?1) ,并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程 是 . 课后作业 1.求焦点在 y 轴上,焦距是 16, e ? 4 的双曲线的标准方程.
3

2.求与椭圆 x

2

49

?

y2 5 ? 1 有公共焦点,且离心率 e ? 的双曲线的方程. 24 4

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§ 2.3.2 双曲线的简单几何性质(2)
班级: 组名: 姓名: 设计人:李红涛 审核人:魏帅举 领导审批:

学习目标 1.从具体情境中抽象出椭圆的模型; 2.掌握椭圆的定义; 3.掌握椭圆的标准方程. 学习过程 一、课前准备 (预习教材理 P58~ P60,文 P51~ P53 找出疑惑之处) 复习 1:说出双曲线的几何性质?

复习 2:双曲线的方程为 x 其顶点坐标是( 渐近线方程

2

9

?

y2 ?1, 14

),( .

);

二、新课导学 ※ 学习探究 探究 1:椭圆 x2 ? 4 y 2 ? 64 的焦点是?

探究 2: 双曲线的一条渐近线方程是 x ?

3y ? 0 , 则可设双曲线方程为?

问题:若双曲线与 x2 ? 4 y 2 ? 64 有相同的焦点,它的一条渐近线方程是 x ? 3 y ? 0 ,则双曲线的方程是?

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※ 典型例题 例 1 双曲线型冷却塔的外形, 是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的 曲面, 它的最小半径为 12m , 上口半径为 13m , 下口半径为 25m , 高为 55m , 试选择适当的坐标系,求出此双曲线的方程.

例 2 点 M ( x, y) 到定点 F (5,0) 的距离和它到定直线 l : x ? 16 的距离的比是
5

常数 5 ,求点 M 的轨迹.
4

(理)例 3 过双曲线 x

2

3

?

y2 ? 1 的右焦点,倾斜角为 30? 的直线交双曲线 6

于 A, B 两点,求 A, B 两点的坐标.

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变式:求

AB



思考: ?AF1B 的周长?

※ 动手试试 练 1.若椭圆 x
2

4

?

y2 x2 y 2 ? 1 与双曲线 ? ? 1 的焦点相同,则 a =____. a2 a 2

练 2 .若双曲线 x 坐标.

2

4

?

y2 3 ? 1 的渐近线方程为 y ? ? x ,求双曲线的焦点 2 m

三、总结提升 ※ 学习小结 1.双曲线的综合应用:与椭圆知识对比,结合; 2.双曲线的另一定义; 3. (理)直线与双曲线的位置关系. ※ 知识拓展 双曲线的第二定义:

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到定点的距离与到定直线的距离之比大于 1 的点的轨迹是双曲 线.

学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1.若椭圆 x A. 21
2
2

25

?

y2 x2 y 2 ? 1 和双曲线 ? ? 1 的共同焦点为 16 4 5

F1,F2,P 是两曲

线的一个交点,则 PF1 ? PF2 的值为( B. 84
2

) . D. 21 ) .

C. 3

2. 以椭圆 x A. C.

y2 离心率为 2 的双曲线的方程 ( ? 1 的焦点为顶点, 25 16 2 2 x2 y 2 B. x ? y ? 1 ? ?1 16 48 9 27 x2 y 2 x2 y 2 ? ?1或 ? ? 1 D. 以上都不对 16 48 9 27 ?

3.过双曲线的一个焦点 F2 作垂直于实轴的直线,交双曲线于 P 、 Q ,
F1 是另一焦点,若∠ PF1Q ?

?

A. 2 ? 1 B. 2 C. D. 2 ? 2 4.双曲线的渐近线方程为 x ? 2 y ? 0 ,焦距为 10 ,这双曲线的方程为 _______________. 5.方程 围 课后作业 1.已知双曲线的焦点在 x 轴上,方程为 x2 ? y2
a b
2 2

2 2 ?1

,则双曲线的离心率 e 等于(

) .

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 4 ? k 1? k

x 轴上的双曲线,则 k 的取值范



? 1 ,两顶点的距离为 8 ,

一渐近线上有点 A(8,6) ,试求此双曲线的方程.

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§ 2.4.1 抛物线及其标准方程
班级: 组名: 姓名: 设计人:李红涛 审核人:魏帅举 领导审批:

学习目标 掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形. 学习过程 一、课前准备 (预习教材理 P64~ P67,文 P56~ P59 找出疑惑之处) 复习 1:函数 y ? 2 x2 ? 6 x ? 1 的图象是 ,它的顶点坐标是 ( ) ,对称轴是 .

复习 2:点 M 与定点 F (2,0) 的距离和它到定直线 x ? 8 的距离的比是 1: 2 , 则点 M 的轨迹是什么图形?

二、新课导学 ※ 学习探究 探究 1:若一个动点 p( x, y) 到一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等, 这个点的运动轨迹是怎么样的呢?

新知 1:抛物线 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的 距离 的点的轨迹叫做抛物线. 点 F 叫做抛物线的 直线 l 叫做抛物线的 ; .

新知 2:抛物线的标准方程 定点 F 到定直线 l 的距离为 p ( p ? 0 ) . 建立适当的坐标系,得到抛物线的四种标准形式: 图形 标准方 焦点坐 准线方

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y ? 2 px
2


?p ? ? ,0 ? ?2 ?


x?? p 2

试试: 抛物线 y 2 ? 20 x 的焦点坐标是( 准线方程是 抛物线 x2 ? ? 1 y 的焦点坐标是(
2

) , ; ) , .

准线方程是

※ 典型例题 例 1 (1)已知抛物线的标准方程是 y 2 ? 6 x ,求它的焦点坐标和准线 方程; (2)已知抛物线的焦点是 F (0, ?2) ,求它的标准方程.

变式:根据下列条件写出抛物线的标准方程: ⑴焦点坐标是(0,4); ⑵准线方程是 x ? ? 1 ;
4

⑶焦点到准线的距离是 2 .

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例 2 一种卫星接收天线的轴截面如图所示,卫星波束呈近似平行状 态的射入轴截面为抛物线的接收天线,经反射聚集到焦点处,已知接 收天线的口径为 4.8m ,深度为 0.5m ,试建立适当的坐标系,求抛物线 的标准方程和焦点坐标.

※ 动手试试 练 1.求满足下列条件的抛物线的标准方程: (1) 焦点坐标是 F (?5,0 ) ; (2) 焦点在直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 上.

练2 . 抛物线 y 2 ? 2 px 准线的距离是

( p ? 0) 上一点 M 到焦点距离是 a (a ?

p 则点 M 到 ), 2

,点 M 的横坐标是



三、总结提升 ※ 学习小结 1.抛物线的定义; 2.抛物线的标准方程、几何图形.

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※ 知识拓展 焦半径公式: 设 M 是抛物线上一点, 焦点为 F , 则线段 MF 叫做抛物线的焦半径. 若 M ( x0 , y0 ) 在抛物线 y 2 ? 2 px 上,则 MF ? x0 ? p
2

学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1.对抛物线 y ? 4 x2 ,下列描述正确的是( ) . A.开口向上,焦点为 (0,1) B.开口向上,焦点为 (0, 1 )
16

C.开口向右,焦点为 (1, 0) D.开口向右,焦点为 (0, 1 )
16

2.抛物线 x ? 8 y ? 0 的准线方程式是( ) . A. x ? 2 B. x ? ?2 C. y ? 2 D. y ? ?2 3.抛物线 y 2 ? 10 x 的焦点到准线的距离是( ) .
2

A.

5 2

B.

5

C.

15 2

D.

10

4 . 抛 物 线 y 2 ? 12 x 上 与 焦 点 的 距 离 等 于 9 的 点 的 坐 标 是 . 2 5.抛物线 x ? 4 y 上一点 A 的纵坐标为 4,则点 A 与抛物线焦点的距离 为 . 课后作业 1.点 M 到 F (0,8) 的距离比它到直线 y ? ?7 的距离大 1,求 M 点的轨迹方 程.

2.抛物线 y 2 ? 2 px 坐标.

( p ? 0) 上一点 M 到焦点 F

的距离 MF

? 2 p ,求点 M 的

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§ 2.4.2 抛物线的简单几何性质(1)
班级: 组名: 姓名: 设计人:李红涛 审核人:魏帅举 领导审批:

学习目标 1.掌握抛物线的几何性质; 2.根据几何性质确定抛物线的标准方程. 学习过程 一、课前准备 (预习教材理 P68~ P70,文 P60~ P61 找出疑惑之处) 复习 1: 准线方程为 x=2 的抛物线的标准方程是 .

复习 2:双曲线 x

2

16

?

y2 ? 1 有哪些几何性质? 9

二、新课导学 ※ 学习探究 探究 1:类比椭圆、双曲线的几何性质,抛物线又会有怎样的几何性 质?

新知:抛物线的几何性质 图形 标 准 方程 焦点
p (0, ? ) 2

准线 顶点 对 称
(0,0) (0,0)

y??

p 2

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轴 x轴 离 心 率

试试:画出抛物线 y ? 8x2 的图形, 顶点坐标( ) 、焦点坐标( ) 、 准线方程 、对称轴 、 离心率 . ※ 典型例题 例 1 已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点 M (2, ?2 2) ,求它的标准方程.

变式:顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且经过点 M (2, ?2 物线有几条?求出它们的标准方程.

2) 的抛

小结:一般,过一点的抛物线会有两条,根据其开口方向,用待定系 数法求解. 例 2 斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F ,且与抛物线相交于 A , B 两点,求线段 AB 的长 .

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变式:过点 M (2,0) 作斜率为 1 的直线 l ,交抛物线 y 2 ? 4 x 于 A , B 两点, 求 AB .

小结:求过抛物线焦点的弦长:可用弦长公式,也可利用抛物线的定 义求解. ※ 动手试试 练 1. 求适合下列条件的抛物线的标准方程: ⑴顶点在原点,关于 x 轴对称,并且经过点 M (5 , ?4) ; ⑵顶点在原点,焦点是 F (0,5) ; ⑶焦点是 F (0, ?8) ,准线是 y ? 8 .

三、总结提升 ※ 学习小结 1.抛物线的几何性质 ; 2.求过一点的抛物线方程; 3.求抛物线的弦长. ※ 知识拓展 抛物线的通径:过抛物线的焦点且与对称轴垂直的直线,与抛物线 相交所得的弦叫抛物线的通径. 其长为 2 p . 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1.下列抛物线中,开口最大的是( ) .

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A. y 2 ? 1 x
2

B. y 2 ? x

C. y 2 ? 2 x D. y 2 ? 4 x 2.顶点在原点,焦点是 F (0,5) 的抛物线方程( ) . A. y 2 ? 20 x B. x2 ? 20 y C. y 2 ?
1 x 20

D. x2 ?

1 y 20

3.过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点作直线 l ,交抛物线于 A ,B 两点,若线段 AB 中点的横坐标为 3 ,则 AB 等于( ) . A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 4.抛物线 y ? ax2 (a ? 0) 的准线方程是 . 2 5.过抛物线 y ? 2 x 的焦点作直线交抛物线于 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 两点,如 果 x1 ? x2 ? 6 ,则 AB = .

课后作业 1. 根据下列条件,求抛物线的标准方程,并画出 图形: ⑴顶点在原点,对称轴是 x 轴,并且顶点与焦点的距离等到于 6 ; ⑵顶点在原点,对称轴是 y 轴,并且经过点 P(?6, ?3) .

2

M 是抛物线 y 2 ? 4 x 上一点, F

是抛物线的焦点, ?xFM ? 60? ,求 FA .

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§ 2.4.2 抛物线的简单几何性质(2)
班级: 组名: 姓名: 设计人:李红涛 审核人:魏帅举 领导审批:

学习目标 1.掌握抛物线的几何性质; 2.抛物线与直线的关系. 学习过程 一、课前准备 (预习教材理 P70~ P72,文 P61~ P63 找出疑惑之处) 复习 1:以原点为顶点,坐标轴为对称轴,且过点 P(?2,3) 的抛物线的 方程为( ) . A. y 2 ? 9 x C.
4 4 x2 ? y 3

B. D.

9 4 y 2 ? ? x 或 x2 ? ? y 4 3 9 4 y2 ? ? x 或 x2 ? y 2 3

复习 2:已知抛物线 y 2 ? ?2 px( p ? 0) 的焦点恰好是椭圆 x 点,则 p = .

2

16

?

y2 ? 1 的左焦 12

二、新课导学 ※ 学习探究 探究 1:抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上一点的横坐标为 6,这点到焦点距离为 10,则: ① 这点到准线的距离为 ;

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② 焦点到准线的距离为 ③ 抛物线方程 ④ 这点的坐标是

; ; ; .

⑤ 此抛物线过焦点的最短的弦长为

※ 典型例题 例 1 过抛物线焦点 F 的直线交抛物线于 A , B 两点,通过点 A 和抛物 线顶点的直线交抛物线的准线于点 D , 求证: 直线 DB 平行于抛物线的 对称轴.

(理)例 2 已知抛物线的方程 y 2 ? 4 x ,直线 l 过定点 P(?2,1) ,斜率为 k k 为何值时,直线 l 与抛物线 y 2 ? 4 x :只有一个公共点;有两个公共点; 没有公共点?

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小结: ① 直线与抛物线的位置关系:相离、相交、相切 ; ②直线与抛物线只有一个公共点时, 它们可能相切,也可能相交. ※ 动手试试 练 1. 直线 y ? x ? 2 与抛物线 y 2 ? 2 x 相交于 A , B 两点,求证: OA ? OB .

2.垂直于 x 轴的直线交抛物线 y 2 ? 4 x 于 A , B 两点,且 线 AB 的方程.

AB ? 4 3 ,求直

三、总结提升 ※ 学习小结 1.抛物线的几何性质 ; 2.抛物线与直线的关系. ※ 知识拓展 过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 的直线交抛物线于 M , N 两点,则

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1 1 ? MF NF

为定值,其值为 2 .
p

学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1.过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 焦点的直线交抛物线于 A , B 两点,则 AB 的 最小值为( ) . A. p B. p C. 2 p D. 无法确定
2

2.抛物线 y 2 ? 10 x 的焦点到准线的距离是( A.
5 2

) .

B.

5

C.

15 2

D.

10

3.过点 (0,1) 且与抛物线 y 2 ? 4 x 只有一个公共点的直线有( ) . A. 1 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 0 条 2 4.若直线 x ? y ? 2 与抛物线 y ? 4 x 交于 A 、 B 两点,则线段 AB 的中点坐 标是______. 5.抛物线上一点 (?5, 2 5) 到焦点 F ( x,0) 的距离是 6 ,则抛物线的标准方 程是 . 课后作业 1.已知顶点在原点,焦点在 x 轴上的抛物线与直线 y ? 2x ? 1 交于 P ,Q 两点, PQ = 15 ,求抛物线的方程.

2. 从抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上各点向 x 轴作垂线段,求垂线段中点的轨 迹方程,并说明它是什么曲线.

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第二章 圆锥曲线与方程(复习)
班级: 组名: 姓名: 设计人:李红涛 审核人:魏帅举 领导审批:

学习目标 1.掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程; 2.掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质; 3.能解决直线与圆锥曲线的一些问题. 学习过程 一、课前准备 (预习教材理 P78~ P81,文 P66~ P69 找出疑惑之处) 复习 1:完成下列表格: 椭圆 双曲线 抛物线 定义

图形

标准方 程 顶点坐 标 对称轴 焦点坐 标 离心率 (以上每类选取一种情形填写) 复习 2: ① 若椭圆 x2 ? my 2 ? 1 的离心率为
3 2

,则它的长半轴长为__________;

②双曲线的渐近线方程为 x ? 2 y ? 0 ,焦距为 10 ,则双曲线的方程 为 ;

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③以椭圆 x 为

2

25

?

y2 ? 1 的右焦点为焦点的抛物线方程 16



二、新课导学 ※ 典型例题 例 1 当 ? 从 0? 到 180? 变化时,方程 x 2 ? y 2 cos ? ? 1 表示的曲线的形状怎样变化?

变式:若曲线 x

2

k

?

y2 ? 1 表示椭圆,则 k 的取值范围是 1? k



小结:掌握好每类标准方程的形式. 例 2 设 F1 , F2 分别为椭圆 C: x 2 ? y2 =1
a b
(a ? b ? 0) 的左、右两个焦点. ⑴若椭圆 C 上的点 A(1, 3 )到 2
2 2

F1、F2 两点的距离之和等于 4,写

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出椭圆 C 的方程和焦点坐标; ⑵设点 K 是(1)中所得椭圆上的动点,求线段 F1K 的中点的轨迹方 程.

变式:双曲线与椭圆 x 线的方程.

2

27

?

y2 ? 1 有相同焦点,且经过点 ( 15, 4) ,求双曲 36

※ 动手试试 练 1.已知 ?ABC 的两个顶点 A , B 坐标分别是 (?5,0) ,(5,0) ,且 AC , BC 所在直线的斜率之积等于 m (m ? 0) ,试探求顶点 C 的轨迹.

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2



练 2.斜率为 2 的直线 l 与双曲线 x 求直线 l 的方程.

3

?

y2 ? 1 交于 A , B 两点,且 AB ? 4 , 2

三、总结提升 ※ 学习小结 1.椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程; 2.椭圆、双曲线、抛物线的几何性质; 3.直线与圆锥曲线. ※ 知识拓展 圆锥曲线具有统一性: ⑴它们都是平面截圆锥得到的截口曲线; ⑵它们都是平面内到一个定点的距离和到一条定直线(不经过定点) 距离的比值是一个常数的点的轨迹, 比值的取值范围不同形成了不同 的曲线; ⑶它们的方程都是关于 x , y 的二次方程. 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1.曲线 x
2

25

?

y2 x2 y2 ? 1 与曲线 ? ?1 9 25 ? k 9 ? k

(k ? 9) 的(

) . A.长轴长相等 C.离心率相等

B.短轴长相等 D.焦距相等

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2.与圆 x2 ? y 2 ? 1 及圆 x2 ? y 2 ? 8x ? 12 ? 0 都外切的圆的圆心在( ) . A.一个椭圆上 B.双曲线的一支上 C.一条抛物线上 D.一个圆上 3.过抛物线 y 2 ? 8x 的焦点作直线 l ,交抛物线于 A ,B 两点,若线段 AB 中点的横坐标为 3 ,则 AB 等于( ) . A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 2 2 4.直线 y ? kx ? 1 与双曲线 x ? y ? 4 没有公共点,则 k 的取值范 围 . 5.到直线 y ? x ? 3 的距离最短的抛物线 y 2 ? 4 x 上的点的坐标 是 . 课后作业 1.就 m 的不同取值,指出方程 (m ? 1) x2 ? (3 ? m) y 2 ? (m ? 1)(3 ? m) 所表示的曲 线的形状.

2. 抛物线 y ? ? x 与过点 M (0, ?1) 的直线 l 相交于 A ,B 两点,O 为原点,
2

2

若 OA 和 OB 的斜率之和为 1 ,求直线 l 的方程.

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§3.1.1 空间向量及其运算
班级: 组名: 姓名: 设计人:李红涛 审核人:魏帅举 领导审批:

学习目标 1. 理解空间向量的概念,掌握其表示方法; 2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律; 3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问 题. 学习过程 一、课前准备 (预习教材 P84~ P86,找出疑惑之处) 复习 1:平面向量基本概念: 具有 和 的量叫向量, 叫向量的模(或长度) ; 叫零向量,记着 ; 叫单位向量. ? 叫相反向量, a 的相反向量记着 . 叫相 等 向 量 . 向 量 的 表 示 方 法 有 , , 和 共三种方法. 复习 2:平面向量有加减以及数乘向量运算: 1. 向 量 的 加 法 和 减 法 的 运 算 法 则 有 和 法则.

法则

2. 实数与向量的积: 实数 λ 与向量 a 的积是一个 量,记作 ,其长度和方向规定如 下: (1)|λa|= . (2)当 λ>0 时,λa 与 A. ; 当 λ<0 时,λa 与 A. ; 当 λ=0 时,λa= . 3. 向量加法和数乘向量,以下运算律成立吗? 加法交换律:a+b=b+a 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 数乘分配律:λ(a+b)=λa+λb 二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:空间向量的相关概念

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问题: 什么叫空间向量?空间向量中有零向量,单位向量,相等向 量吗?空间向量如何表示? 新知:空间向量的加法和减法运算: 空间任意两个向量都可以平移 到同一平面内, 变为两个平面向 量的加法和减法运算, 例如右图 中, ??? ? , OB ? ??? ? , AB ? 试 试 : 1. 分别用平行四边形法则和三角形法则求

? ? ? ? a ? b, a ? b.
???? AC ?

a.b
??? ? BC ?

2. 点 C 在线段 AB 上,且 AC ? 5 ,则
??? ? AB ,
CB 2 ??? ? AB .

反思:空间向量加法与数乘向量有如下运算律吗? ⑴加法交换律:A. + B. = B. + a; ⑵加法结合律:(A. + b) + C. =A. + (B. + c); ⑶数乘分配律:λ(A. + b) =λA. +λb. ※ 典型例题 例 1 已知平行六面体 ABCD ? A' B ' C ' D ' (如图) ,化简下列向量表达式, 并标出化简结果的向量:
???? ???? ? ⑴ AB ? BC ;

???? ???? ???? ? ? ???? ???? 1 ????? ? ⑵ AB ? AD ? AA '; AB ? AD ? CC ' ⑶ 2

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? ? 1 ???? ???? ???? ⑷ ( AB ? AD ? AA ' ). 2

变式:在上图中,用 AB, AD, AA' 表示 A'C , BD ' 和 DB' .

??? ???? ???? ?

???? ???? ? ?

???? ?

小结:空间向量加法的运算要注意:首尾相接的若干向量之和,等于 由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量, 求空间若干向量之和 时,可通过平移使它们转化为首尾相接的向量. 例 2 化简下列各式: ??? ???? ??? ????? ? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? ⑴ AB ? BC ? CA ; ⑵ AB ? MB ? BO ? OM ; ??? ???? ??? ??? ? ? ? ??? ???? ???? ? ⑶ AB ? AC ? BD ? CD; ⑷ OA ? OD ? DC .

变式:化简下列各式: ??? ???? ??? ??? ? ? ? ⑸ OA ? OC ? BO ? CO ; ??? ???? ???? ? ⑹ AB ? AD ? DC ; ???? ??? ???? ???? ? ? ⑺ NQ ? QP ? MN ? MP .

小结:化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则,遇

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到减法既可转化成加法,也可按减法法则进行运算,加法和减法可以 转化. ※ 动手试试 练 1. 已知平行六面体 ABCD ? A' B ' C ' D ' , M 为 A 1 C 1 与 B 1 D 1 的交点, 化简 下列表达式: ???? ????? ⑴ AA1 ? A1B1 ; ⑵ ⑶ ⑷
1 ????? 1 ????? A1 B1 ? A1 D1 ; 2 2 ???? 1 ???? 1 ????? ? AA1 ? A1 B1 ? A1D1 2 2 ??? ??? ???? ????? ???? ? ? ? AB ? BC ? CC1 ? C1 A1 ? A1 A .

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 空间向量基本概念; 2. 空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律 ※ 知识拓展 平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移, 而空间向量 研究的是空间的平移,它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同 的方向移动相同的长度” ,空间的平移包含平面的平移. 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 下列说法中正确的是( ) ? ? ? ? A. 若∣ a ∣=∣ b ∣,则 a , b 的长度相同,方向相反或相同; ? ? ? ? B. 若 a 与 b 是相反向量,则∣ a ∣=∣ b ∣; C. 空间向量的减法满足结合律; ??? ???? ???? ? D. 在四边形 ABCD 中,一定有 AB ? AD ? AC . ? ????? ???? ????? ? 2. 长方体 ABCD ? A' B ' C ' D ' 中,化简 AA ' ? A' B' ? A' D' = 3. 已知向量 a ,b 是两个非零向量,a0 , b0 是与 a ,b 同方向的单位向量,
? ?

?? ?? ? ?

?

?

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那么下列各式正确的是( ) ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ?? ? A. a0 ? b0 B. a0 ? b0 或 a0 ? ?b0 ?? ? ? ? C. a0 ? 1 D. ∣ a 0 ∣=∣ b 0 ∣ ???? ??? ???? ? 4. 在四边形 ABCD 中,若 AC ? AB ? AD ,则四边形是( ) A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形 5. 下列说法正确的是( ) A. 零向量没有方向 B. 空间向量不可以平行移动 C. 如果两个向量不相同,那么它们的长度不相等 D. 同向且等长的有向线段表示同一向量 课后作业 1. 在三棱柱 ABC-A'B'C'中,M,N 分别为 BC,B'C'的中点,化简下列式 子: ????? ???? ???? ? ???? ????? ⑴ AM + BN ⑵ A ' N - MC' + BB'

2. 如图,平行六面体 ABCD ? A1B1C1D1 中,点 M 为 AC 与的 BD 的交点, ???? ? ??? ? ? ???? ? AB ? a , AD ? b , A1 A ? c , ????? 则下列向量中与 B1 M 相等的是( ) A. B. C. D.
1? 1? ? ? a? b?c 2 2 ? 1? ? 1 a? b?c 2 2 ? 1? ? 1 a? b?c 2 2 1? 1? ? ? a? b?c 2 2

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§3.1.2 空间向量的数乘运算(一)
班级: 组名: 姓名: 设计人:李红涛 审核人:魏帅举 领导审批:

学习目标 1. 掌握空间向量的数乘运算律,能进行简单的代数式化简; 2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论; 3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问 题. 学习过程 一、课前准备 (预习教材 P86~ P87,找出疑惑之处) 复习 1:化简: ? ? ? ? ⑴ 5( 3a ? 2b )+4( 2b ? 3a ) ;



? ? ? ? ? ? 6 a ? 3b ? c ? ?a ? b ? c

?

? ?

?.

复习 2:在平面上,什么叫做两个向量平行? ? ? ? ? ? 在平面上有两个向量 a, b , 若 b 是非零向量,则 a 与 b 平行的充要条件 是 二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:空间向量的共线 问题:空间任意两个向量有几种位置关系?如何判定它们的位置关 系? 新知:空间向量的共线: 1. 如 果 表 示 空 间 向 量 的 所在的直线互相 或 ,则这些向量叫共线向量,也叫平行向量. 2. 空间向量共线: ? ? ? ? 定理:对空间任意两个向量 a, b ( b ? 0 ) ,
? ? a // b 的充要条件是存在唯一

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实数 ? ,使得 推论:如图,l 为经过已 量的直线,对空间的任 充要条件是 知点 A 且平行于已知非零向 意一点 O,点 P 在直线 l 上的

试试:已知 AB ? a ? 5b, BC ? ?2a ? 8b, ??? ? ? ? CD ? 3 ? a ? b ? ,求证: A,B,C 三点共线.

??? ?

?

? ??? ?

?

?

反思:充分理解两个向量 a, b 共线向量的充要条件中的 b ? 0 ,注意零向 量与任何向量共线. ※ 典型例题 ??? ? ??? ? ??? ? 例 1 已知直线 AB,点 O 是直线 AB 外一点,若 OP ? xOA ? yOB ,且 x+y =1,试判断 A,B,P 三点是否共线?

? ?

?

?

变式: 已知 A,B,P 三点共线, O 是直线 AB 外一点, OP ? 1 OA ? tOB , 点 若
2

??? ?

??? ?

??? ?

那么 t=

例 2 已知平行六面体 ABCD ? A' B ' C ' D ' ,点 M 是棱 AA ' 的中点,点 G 在 ? ? ? ? ??? ? ???? ? ? ??? ? ? 对角线 A ' C 上, CG:GA ' =2:1,设 CD = a ,CB ? b, CC ' ? c , 且 试用向量 a, b, c ??? ???? ???? ???? ? ? 表示向量 CA, CA' , CM , CG .

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变式 1:已知长方体 ABCD ? A' B ' C ' D ' ,M 是对角线 AC ' 中点,化简下列 表达式: ???? ??? ? ⑴ AA' ? CB ; ???? ????? ????? ? ⑵ AB' ? B'C ' ? C ' D' ???? ???? ??? ? ⑶ 1 AD ? 1 AB ? 1 A' A
2 2 2

变式 2: 如图, 已知 A, B, C 不共线, 从平面 ABC 外任一点 O , 作出点 P, Q, R, S , 使得: ??? ??? ? ? ??? ? ???? ⑴ OP ? OA ? 2 AB ? 2 AC ???? ??? ? ??? ? ???? ⑵ OQ ? OA ? 3 AB ? 2 AC ??? ??? ? ? ??? ? ???? ⑶ OR ? OA ? 3 AB ? 2 AC ??? ??? ? ? ??? ? ???? OS ? OA ? 2 AB ? 3 AC . ⑷

小结:空间向量的化简与平面向量的化简一样,加法注意向量的首尾 相接,减法注意向量要共起点,并且要注意向量的方向. ※ 动手试试 练 1. 下列说法正确的是( ) ? ? ? ? ? ? A. 向量 a 与非零向量 b 共线, b 与 c 共线,则 a 与 c 共线; B. 任意两个共线向量不一定是共线向量; C. 任意两个共线向量相等; ? ? ? ? D. 若向量 a 与 b 共线,则 a ? ? b .

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? ? ? ? ? ? ? 2. 已知 a ? 3m ? 2n, b ? ( x ? 1)m ? 8n , a ? 0 ,若 a // b ,求实数 x.

?

?

?

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 空间向量的数乘运算法则及它们的运算律; 2. 空间两个向量共线的充要条件及推论. ※ 知识拓展 平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移, 而空间向量 研究的是空间的平移,它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同 的方向移动相同的长度” ,空间的平移包含平面的平移. 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 下列说法正确的是( ) ? ? ? ? ? ? A. a 与非零向量 b 共线, b 与 c 共线,则 a 与 c 共线 B. 任意两个相等向量不一定共线 C. 任意两个共线向量相等 ? ? ? ? D. 若向量 a 与 b 共线,则 a ? ? b 2. 正 方 体 A B C D A B C D , 点 E 是 上 底 面 A' B ' C ' D '的 中 心 , 若 ? ' ' ' 中 ' ???? ???? ???? ??? ? ' ' BB ? x AD ? y AB ? z AA , 则 x= ,y= ,z= . ??? ? ??? ? 3. 若点 P 是线段 AB 的中点,点 O 在直线 AB 外,则 OP ? OA + ??? ? OB . 4. 平 行 六 面 体 ABCD ? A' B ' C ' D ' , O 为 A 1 C 与 B 1 D 的 交 点 , 则
? 1 ??? ???? ????' ( AB ? AD ? AA ) ? 3
???? AO

5. 已 知 平 行 六 面 体 A B C D A B C D M 是 AC 与 BD 交 点 , 若 ? ' ' ' , ' ????? ??? ? ???? ? ????' ? ? ' AB ? a, AD ? b, AA ? c ,则与 B M 相等的向量是( )

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A. C.

1? 1? ? ? a? b?c ; 2 2 1? 1? ? a ? b?c; 2 2

B. D.

1? 1? ? a ? b ? c; 2 2 1? 1? ? ? a? b?c. 2 2

课后作业:

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§3.1.2 空间向量的数乘运算(二)
班级: 组名: 姓名: 设计人:李红涛 审核人:魏帅举 领导审批:

学习目标 1. 掌握空间向量的数乘运算律,能进行简单的代数式化简; 2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论; 3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问 题. 学习过程 一、课前准备 (预习教材 P86~ P87,找出疑惑之处) ? ? ? 复习 1:什么叫空间向量共线?空间两个向量 a, b , 若 b 是非零向量, ? ? 则 a 与 b 平行的充要条件是
??? ? ??? ? ??? ?

复习 2:已知直线 AB,点 O 是直线 AB 外一点,若 OP ? 1 OA ? 2 OB ,试
3 3

判断 A,B,P 三点是否共线?

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:空间向量的共面 ??? 问题:空间任意两个向量不共线的两个向量 a,b 有怎样的位置关系? 空间三个向量又有怎样的位置关系? 新知:共面向量: 同一平面的向量.

2. 空间向量共面: ? ? ? ? ? ? 定理:对空间两个不共线向量 a, b ,向量 p 与向量 a, b 共面的充要条件 是存在 , 使得 . 推论: 空间一点 P 与不在同一直线上的三点 A,B,C 共面的充要条件是: ⑴ 存在 ,使 ⑵ 对空间任意一点 O,有

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试 试 : 若 空 间 任 意 一 点 O 和 不 共 线 的 三 点 A,B,C 满 足 关 系 式 ??? 1 ??? 1 ??? 1 ???? ? ? ? OP ? OA ? OB ? OC ,则点 P 与 A,B,C 共面吗?
2 3 6

反 思 : 若 空 间 任 意 一 点 O 和 不 共 线 的 三 点 A,B,C 满 足 关 系 式 ??? ? ??? ? ??? ? ???? OP ? xOA ? yOB ? zOC ,且点 P 与 A,B,C 共面,则 x ? y ? z ? . ※ 典型例题 例 1 下列等式中,使 M,A,B,C 四点共面的个数是( ) ???? ??? ??? ???? ? ? ? ? ① OM ? OA ? OB ? OC; ???? ? ??? ? ??? ? ???? ? ② OM ? 1 OA ? 1 OB ? 1 OC;
5 3 2 ???? ???? ???? ? ? ③ MA ? MB ? MC ? 0; ???? ??? ??? ???? ? ? ? ? ④ OM ? OA ? OB ? OC ? 0 .

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

变式:已知 A,B,C 三点不共线,O 为平面 ABC 外一点,若向量
??? 1 ??? 7 ??? ? ? ? ???? OP ? OA ? OB ? ?OC ? ? ? R ? , 5 3

则 P,A,B,C 四点共面的条件是 ? ?

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例 2 如图,已知平行四边形 ABCD,过平面 AC 外一点 O 作射线 OA,OB,OC,OD, 在 四 条 射 线 上 分 别 取 点 E,,F,G,H, 并 且 使
O E ? O A O F ? O B O G O H ? k, ? O C O D

求证:E,F,G,H 四点共

面.

变式:已知空间四边形 ABCD 的四个顶点 A,B,C,D 不共面,E,F,G,H 分 别 是 AB,BC,CD,AD 的中点, 求证: A E,F,G,H 四点共面.
E
B

H
D G

F

C

小结:空间向量的化简与平面向量的化简一样,加法注意向量的首尾 相接,减法注意向量要共起点,并且要注意向量的方向. ※ 动手试试 练 1. 已 知 A, B, C 三 点 不 共 线 , 对 平 面 外 任 一 点 , 满 足 条 件 ? ? ?? 1 ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? 2 2 ,试判断:点 P 与 A, B, C 是否一定共面? O P? O A ? OB ? OC
5 5 5

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? ? ? ? ? ? ? 练 2. 已知 a ? 3m ? 2n, b ? ( x ? 1)m ? 8n , a ? 0 ,若 a // b ,求实数 x.

?

?

?

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 空间向量的数乘运算法则及它们的运算律; 2. 空间两个向量共线的充要条件及推论. ※ 知识拓展 平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移, 而空间向量 研究的是空间的平移,它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同 的方向移动相同的长度” ,空间的平移包含平面的平移. 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: ???? ???? ????? ? ? 1. 在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中, 向量 D1 A 、D1C 、A1C1 是 ( ) A. 有相同起点的向量 B.等长向量 C.共面向量 D.不共面向量. 2. 正 方 体 A B C D A B C D , 点 E 是 上 底 面 A' B ' C ' D '的 中 心 , 若 ? ' ' ' 中 ' ???? ???? ???? ??? ? ' ' BB ? x AD ? y AB ? z AA , 则 x= ,y= ,z= . ??? ? ??? ? 3. 若点 P 是线段 AB 的中点,点 O 在直线 AB 外,则 OP ? OA + ??? ? OB . 4. 平 行 六 面 体 ABCD ? A' B ' C ' D ' , O 为 A 1 C 与 B 1 D 的 交 点 , 则

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? 1 ??? ???? ????' ( AB ? AD ? AA ) ? 3

???? AO .

5. 在下列命题中:①若 a、b 共线,则 a、b 所在的直线平行;②若 a、 b 所在的直线是异面直线,则 a、b 一定不共面;③若 a、b、c 三向 量两两共面,则 a、b、c 三向量一定也共面;④已知三向量 a、b、 c,则空间任意一个向量 p 总可以唯一表示为 p=xa+yb+zc.其中 正确命题的个数为 ( ). A.0 B.1 C. 2 D. 3 课后作业:

? ? ? ? ? ? ? 1. 若 a ? 3m ? 2n ? 4 p, b ? ( x ? 1)m ? 8n ? 2 yp , ? ? ? ? a ? 0 ,若 a // b ,求实数 x, y .

?

2.已知两个非零向量 e1 , e2 不共线, AB ? e1 ? e2 , 证: A, B, C, D 共面.

?? ?? ?

??? ?

??

?? ?

???? ?? ?? ???? ? ?? ?? ? AC ? 2e1 ? 8e2 , AD ? 3e1 ? 3e2 .



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§3.1.3.空间向量的数量积(1)
班级: 组名: 姓名: 设计人:李红涛 审核人:魏帅举 领导审批:

学习目标 1. 掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法; 2. 掌握两个向量的数量积的计算方法,并能利用两个向量的数量积 解决立体几何中的一些简单问题. 学习过程 一、课前准备 (预习教材 P90~ P92,找出疑惑之处) ? ? 复习 1:什么是平面向量 a 与 b 的数量积?
??? ??? ? ?

复习 2:在边长为 1 的正三角形⊿ABC 中,求 AB ? BC .

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:空间向量的数量积定义和性质 问题:在几何中,夹角与长度是两个最基本的几何量,能否用向量的 知识解决空间两条直线的夹角和空间线段的长度问题? 新知: ? ? 1) 两个向量的夹角的定义:已知两非零向量 a, b ,在空间 ??? ? ??? ? ? ? ? ? 作 OA ? a, OB ? b ,则 ?AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角,记作 试试: ? ? ⑴ 范围: ?? a, b ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a, b? =0 时, a 与 b ; ? a, b? =π 时, a 与 b ? ? ? ? ⑵ ? a, b ??? b , a ? 成立吗? ? ? ? ? ⑶ ? a, b ?? ,则称 a 与 b 互相垂直,记作 2) 向量的数量积: ? ? 已 知 向 量 a, b , 则 ? ? . a ?b ?
?

一点 O , .

.
?

? ? 叫 做 a, b 的 数 量 积 , 记 作 a ? b , 即

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规定:零向量与任意向量的数量积等于零.

反思: ⑴ 两个向量的数量积是数量还是向量? ? ? ? ⑵ 0?a ? (选 0 还是 0 ) ? ? ⑶ 你能说出 a ? b 的几何意义吗? 3) 空间向量数量积的性质: ? ? ? ? ? ? (1)设单位向量 e ,则 a ? e ?| a | cos ? a, e ? . ? ? ? ? (2) a ? b ? a ? b ? . ? ? (3) a ? a ? = . 4) 空间向量数量积运算律: ? ? ? ? ? ? (1) (? a) ? b ? ? (a ? b ) ? a ? (?b ) . ? ? ? ? (2) a ? b ? b ? a (交换律) . ? ? ? ? ? ? ? (3) a ? (b ? c ) ? a ? b ? a ? c (分配律 反思: ? ? ? ? ? ? ⑴ (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 吗?举例说明. ⑵ 若 a ? b ? a ? c ,则 b ? c 吗?举例说明. ⑶ 若 a ? b ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0 吗?为什么? ※ 典型例题 例 1 用向量方法证明:在平面上的一条直线,如果和这个平面的一 条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.
? ? ? ? ? ?

?

?

?

?

?

?

变式 1:用向量方法证明:已知:m, n 是平面 ? 内的两条相交直线,直 线 l 与平面 ? 的交点为 B ,且 l ? m, l ? n . 求证: l ? ? .

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例 2 如图,在空间四边形 ABCD 中, AB ? 2 , BC ? 3 , BD ? 2 ?ABD ? 30? , ?ABC ? 60? ,求 AB 与 CD 的夹角的余弦值
王新敞
奎屯 新疆

3 ,CD ? 3 ,

D

A B

C

变式:如图,在正三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 中,若 AB= 2 BB 1 ,则 AB 1 与 C 1 B 所成的角为( ) A. 60° B. 90° C. 105° D. 75°

例 3 如 图 , 在 平 行 四 边 形 ABCD-A A B 4 , A? D, 3 ' ? 5 , ?BAD ? 90? , ?BAA' = ? AA ' ?DAA =60°,求 AC ' 的长.

1

B

1

C

1

D

1

中 ,

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※ 动手试试 ? ?? ?? ? ? 练 1. 已知向量 a, b 满足 a

? ? ? ? ? ? 1 , b ? 2 , a ? b ? 3 ,则 a ? b ? ____.

练 2.

? ? 2 ? ? 已知 a ? 2 2 , b ? , a?b ? ? 2 , 2

则 a 与b 的夹角大小为_____.

?

?

三、总结提升 ※ 学习小结 1..向量的数量积的定义和几何意义. 2. 向量的数量积的性质和运算律的运用. ※ 知识拓展 向量给出了一种解决立体几何中证明垂直问题, 求两条直线的夹角和 线段长度的新方法. 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 下列命题中: ? ? ? ? ? ①若 a ? b ? 0 ,则 a , b 中至少一个为 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ②若 a ? 0 且 a ? b ? a ? c ,则 b ? c ? ? ? ? ? ? ③ (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) ④ (3a ? 2b) ? (3a ? 2b) ? 9 a
? ? ? ? ?2 ?2 ?4 b

正确有个数为( ) A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 ?? ?? ? ?? ?? ? 2. 已知 e1 和 e2 是两个单位向量,夹角为 ? ,则下面向量中与 2e2 ? e1 垂
3

直的是( ) ?? ?? ? ?? ?? ? ?? ?? ? A. e1 ? e2 B. e1 ? e2 C. e1 D. e2 3.已知 ?ABC 中, ?A, ?B, ?C 所对的边为 a, b, c ,且 a ? 3,b ? 1, ?C ? 30? ,则

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??? ??? ? ? BC ? CA =

4. 已知 a

?

? ? ? ? ? ? ? ? 4 , b ? 2 ,且 a 和 b 不共线,当 a ? ? b 与 a ? ? b 的夹角是锐角

时, ? 的取值范围是 ? ?? ?? ? ? 5. 已知向量 a, b 满足 a

. ? ?4, b

? ? ? ? ? 2 , a ? b ? 3 ,则 a ? b ? ____

课后作业: 1. 已知空间四边形 ABCD 中, AB ? CD , AC ? BD ,求证: AD ? BC .
D

A B

C

2. 已知线段 AB、BD 在平面 ? 内,BD⊥AB, 线段 AC ? ? ,如果 AB=a,BD= b,AC=c,求 C、D 间的距离.

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§3.1.4 空间向量的正交分解 及其坐标表示
班级: 组名: 姓名: 设计人:李红涛 审核人:魏帅举 领导审批:

学习目标 1. 掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示; 2. 掌握空间向量的坐标运算的规律; 学习过程 一、课前准备 (预习教材 P92-96 找出疑惑之处) 复习 1:平面向量基本定理: ??? ?? 对平面上的任意一个向量 P , a,b 是平面上两个 向量,总 ??? ?? 是存在 实 数 对 ? x, y ? , 使 得 向 量 P 可 以 用 a,b 来 表 示 , 表 达 式 ??? ? ? 为 ,其中 a,b 叫做 . 若 a ? b ,则称向量 ?? P 正交分解. 复习 2:平面向量的坐标表示: 平面直角坐标系中,分别取 x 轴和 y 轴上的 向量 ?? ? i, j 作为基底,对平面上任意向量 a ,有且只有一对实数 x,y,使得 ? ? ? ,则称有序对 ? x, y ? a ? xi ? y j , ? ? 为向量 a 的 ,即 a = . 二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:空间向量的正交分解 ? 问题:对空间的任意向量 a ,能否用空间的几个向量唯一表示?如果 能,那需要几个向量?这几个向量有何位置关系? 新知: ? ⑴ 空间向量的正交分解:空间的任意向量 a ,均可分解为不共面的 ?? ? ?? ? ?? ? ? ?? ?? ?? ? ?? ?? ?? ? ? ? a 22 三个向量 ?1 a1 、?2 a2 、?3 a3 , a ? ?1 1 ? ? a ?3?3a . 如果 a1 , a2 , a3 两两 使 , 这种分解就是空间向量的正交分解. (2)空间向量基本定理:如果三个向量 a, b, c , ? ? ? ? ? ? ? 对空间任一向量 p ,存在有序实数组 {x, y, z} ,使得 p ? xa ? yb ? zc . 把 ? ? ? 的一个基底, a, b, c 都叫做基向量. 反思:空间任意一个向量的基底有 个.
? ? ?

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⑶单位正交分解:如果空间一个基底的三个基向量互相 ,长度都 为 ,则这个基底叫做单位正交基底,通常用{i,j,k}表示. ⑷空间向量的坐标表示:给定一个空间直角坐标系 O-xyz 和向量 a, 且设 i、j、k 为 x 轴、y 轴、z 轴正方向的单位向量,则存在有序实数 ? ? ? ? 组 {x, y, z} ,使得 a ? xi ? y j ? zk ,则称有序实数组 {x, y, z} 为向量 a 的坐标, ? ? 记着 p ? . ⑸设 A ( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x2 , y2 , z2 ) ,则 AB = ⑹向量的直角坐标运算: 设 a= (a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) ,则 ⑴a+b= (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; ⑵a-b= (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; ⑶λa= (?a1 , ?a2 , ?a3 ) (? ? R) ; ⑷a·b= a1b1 ? a2b2 ? a3b3 . 试试: ? ? ? ? ? 1. 设 a ? 2i ? j ? 3k ,则向量 a 的坐标为 . ???? 2. 若 A (1,0, 2) ,B (3,1, ?1) ,则 AB = . 3. 已知 a= (2, ?3,5) ,b= (?3,1, ?4) ,求 a+b,a-b,8a,a·b
????

.

※ 典型例题 ? ? ? ? ? ? 例 1 已知向量 a, b, c 是空间的一个基底,从向量 a, b, c 中选哪一个向量, ? ? ?? ? ? ? ? 一定可以与向量 p ? a ? b, q ? a ? b 构成空间的另一个基底?

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变式:已知 O,A,B,C 为空间四点,且向量 OA, OB, OC 不构成空间的一个 基底,那么点 O,A,B,C 是否共面?

??? ??? ???? ? ?

小结:判定空间三个向量是否构成空间的一个基底的方法是:这三个 向量一定不共面. 例 2 如图, M,N 分别是四面体 QABC 的边 OA,BC 的中点, 是 MN P,Q ??? ??? ???? ? ? 的三等分点,用 OA, OB, OC ???? ??? ? 表示 OP 和 OQ .

变式:已知平行六面体 ABCD ? A' B ' C ' D ' ,点 G ? ? ? ? ???? ? ???? ? ??? ? ? 是侧面 BB'C'C 的中心,且 OA ? a ,OC ? b, OO' ? c ,试用向量 a, b, c 表示下列 向量: ???? ???? ???? ? ???? ⑴ OB' , BA' , CA' ; ⑵ OG .

※ 动手试试 ? ? ? 练 1. 已知 a ? ? 2, ?3,1? , b ? ? 2,0,3? , c ? ? 0,0, 2? ,求: ? ? ? ? ? ? ⑴ a ? ?b ? c ? ; ⑵ a ? 6b ? 8c .

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练 2. 正方体 ABCD ? A' B ' C ' D ' 的棱长为 2, A 为坐标原点, AB,AD,AA' 以 以 ? ???? ???? 为 x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系,则点 D1 , AC , AC ' 的坐 标分别是 , , .

? ??? ???? ???? ?

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 空间向量的正交分解及空间向量基本定理; 2. 空间向量坐标表示及其运算 ※ 知识拓展 建立空间直角坐标系前,一定要验证三条轴的垂直关系,若图中没有 建系的环境,则根据已知条件,通过作辅助线来创造建系的图形. 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: ? ???? 1. 若 ?a,b,c? 为空间向量的一组基底,则下列各项中,能构成基底的是 ( ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? A. a, a ? b, a ? b B. b, a ? b, a ? b ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? C. c, a ? b, a ? b D. a ? 2b, a ? b, a ? b 2. 设 i、j、k 为空间直角坐标系 O-xyz 中 x 轴、y 轴、z 轴正方向的单 ??? ? ? ? ? 位向量,且 AB ? ?i ? j ? k ,则点 B 的坐标是 3. 在三棱锥 OABC 中,G 是 ?ABC 的重心(三条中线的交点) ,选取 ??? ??? ???? ? ? ???? OA, OB, OC 为基底,试用基底表示 OG = ? ??? ???? ???? ? 4. 正方体 ABCD ? A' B ' C ' D ' 的棱长为 2, A 为坐标原点, AB,AD,AA' 为 以 以 x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系,E 为 BB1 中点,则 E 的 坐标是 . ? ? ? 5. 已知关于 x 的方程 x2 ? ? t ? 2? x ? t 2 ? 3t ? 5 ? 0 有两个实根, c ? a ? tb ,且 ? ? a ? ? ?1,1,3? , b ? ?1,0, ?2 ? , ? 当 t= 时, c 的模取得最大值. 课后作业

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1. 已知 A ? ? 3,5, ?7 ? , B ? ? ?2, 4,3? ,求 AB, BA, 线段 AB 的中点坐标及线段 AB 的 长度.

??? ??? ? ?

2. 已知 a, b, c 是空间的一个正交基底,向量 a ? b, a ? b, c 是另一组基底, ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 若 p 在 a, b, c 的坐标是 ?1, 2,3? ,求 p 在 a ? b, a ? b, c 的坐标.

? ? ?

?

? ?

??

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§3.1.5 空间向量运算的坐标表示
班级: 组名: 姓名: 设计人:李红涛 审核人:魏帅举 领导审批:

学习目标 1. 掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐 标公式; 2. 会用这些公式解决有关问题. 学习过程 一、课前准备 (预习教材 P95~ P97,找出疑惑之处) 复习 1:设在平面直角坐标系中,A (1,3) ,B (?1, 2) ,则线段︱AB︱ = . 复习 2:已知 a ? ? ?3, 2,5? , b ? ?1,5, ?1? ,求: ⑴a+B. ⑵3a-b; ⑶6A. ; ⑷a·b.
? ?

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:空间向量坐标表示夹角和距离公式 问题:在空间直角坐标系中,如何用坐标求线段的长度和两个向量之 间的夹角? 新知: 1. 向量的模:设 a= (a1 , a2 , a3 ) ,则|a|= 2. 两个向量的夹角公式: 设 a= (a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) , 由向量数量积定义: a·b=|a||b|cos<a,b>, 又由向量数量积坐标运算公式:a·b= 由此可以得出:cos<a,b>= 试试: ① 当 cos<a、b>=1 时,a 与 b 所成角是 ② 当 cos<a、b>=-1 时,a 与 b 所成角是 ③ 当 cos<a、b>=0 时,a 与 b 所成角是 即 a 与 b 的位置关系是 ,用符合表示为



; ; , .

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反思: 设 a= (a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) ,则 ⑴ a//B. ? a 与 b 所成角是 为 ; ⑵ a⊥b ? a 与 b 的坐标关系为

?

a 与 b 的坐标关系 ;

3. 两点间的距离公式: 在空间直角坐标系中,已知点 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 ) ,则线段 AB 的长 度为: AB ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? ( z1 ? z2 )2 . 4. 线段中点的坐标公式: 在空间直角坐标系中,已知点 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 ) ,则线段 AB 的中 点坐标为: . ※ 典型例题 例 1. 如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,点 E1 , F1 分别是 A1B1 , C1D1 的一个四 等分点,求 BE1 与 DF1 所成的角的余弦值.

变式: 如上图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,B1E1 ? D1F1 ? A1B1 , BE1 与 DF1 所 求
3

成角的余弦值.

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例 2. 如图,正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,点 E,F 分别是 BB1 , D1B1 的中点,求 证: EF ? DA1 .

变式:如图,正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,点 M 是 AB 的中点,求 DB1 与 CM 所成角的余弦值.

小结: 求两个向量的夹角或角的余弦值的关键是在合适的直角坐标系 中找出两个向量的坐标,然后再用公式计算. ※ 动手试试 练 1. 已知 A(3,3,1)、B(1,0,5),求: ⑴线段 AB 的中点坐标和长度;

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⑵到 A、B 两点距离相等的点 P( x, y, z) 的坐标 x、y、z 满足的条件.

练 2. 如图,正方体的棱长为 2,试建立适当的空间直角坐标系,写 出正方体各顶点的坐标,并和你的同学交流.

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公 式; 2. 解决立体几何中有关向量问题的关键是如何建立合适的空间直角 坐标系,写出向量的坐标,然后再代入公式进行计算. ※ 知识拓展 在平面内取正交基底建立坐标系后,坐标平面内的任意一个向量,都 可以用二元有序实数对表示,平面向量又称二维向量.空间向量可用 三元有序实数组表示,空间向量又称三维向量.二维向量和三维向量 统称为几何向量. 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: ? ? 1. 若 a= (a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) ,则 a1 ? a2 ? a3 是 a // b 的( )
b1 b2 b3

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不不要条件 ? ? ? ? 2. 已知 a ? ? 2, ?1,3? , b ? ? ?4, 2, x ? ,且 a ? b ,

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则 x= . ??? ? ??? ? ??? ? 3. 已知 A ?1,0,0? , B ? 0, ?1,1? , OA ? ?OB 与 OB 的夹角为 120°, ? 的值为 则 ( ) A. 4.
6 B. 6 C. ? 6 D. ? 6 ? 6 6 6 ? ? ? ? 若 a ? ? x, 2,0 ? , b ? ? 3, 2 ? x, x 2 ? ,且 a, b 的夹角为钝角,则 x 的取值范围是

( ) A. x ? ?4 B. ?4 ? x ? 0 C. 0 ? x ? 4 D. x ? 4 ? ? 5. 已知 a ? ?1, 2, ? y ? , b ? ? x,1, 2 ? , 且 ? ? ? ?? ? (a ? 2b) //(2a ? b) ,则( ) A. C.
1 x ? , y ?1 3
x ? 2, y ? ? 1 4

B. D.

1 x ? , y ? ?4 2

x ? 1, y ? ?1

课后作业: 1. 如图,正方体 ABCD ? A' B'C ' D' 棱长为 a , ⑴ 求 A' B, B'C 的夹角;⑵求证: A' B ? AC ' .

2. 如图,正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,点 M,N 分别为棱 A1 A, B1 B 的中点,求 CM 和 D1 N 所成角的余弦值.

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§3.1 空间向量及其运算(练习)
班级: 组名: 姓名: 设计人:李红涛 审核人:魏帅举 领导审批:

学习目标 1. 熟练掌握空间向量的加法,减法,向量的数乘运算,向量的数量 积运算及其坐标表示; 2. 熟练掌握空间线段的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中 点坐标公式,并能熟练用这些公式解决有关问题. 学习过程 一、课前准备: (阅读课本 p115) 复习: 1. 具 有 和 的量叫向量, 叫零向量,记着 ; 叫单位向量. 2. 向 量 的 加 法 和 减 法 的 运 算 法 则 有 和 法则. 3.实数 λ 与向量 a 的积是一个 量,记作 如下: (1)|λa|= . (2)当 λ>0 时,λa 与 A. ; 当 λ<0 时,λa 与 A. ; 当 λ=0 时,λa= . 4. 向量加法和数乘向量运算律: 交换律:a+b= 结合律:(a+b)+c= 数乘分配律:λ(a+b)=

叫向量的模; 具有

法则

,其长度和方向规定

5. ① 表 示 空 间 向 量 的 所在的直线互相 或 ,则这些向量叫共线向量,也叫平行向量. ? ? ? ? ? ? ②空间向量共线定理:对空间任意两个向量 a, b ( b ? 0 ) a // b 的充 , 要条件是存在唯一实数 ? , 使得 ; ? ③ 推论: l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线,对空 间的任意一点 O,点 P 在直线 l 上的充要条件是 6. 空间向量共面: ①共面向量: 同一平面的向量. ? ? ? ? ? ? ②定理:对空间两个不共线向量 a, b ,向量 p 与向量 a, b 共面的充要条

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件是存在 , 使得 . ③推论: 空间一点 P 与不在同一直线上的三点 A,B,C 共面的充要条件 是: ⑴ 存在 ,使 ⑵ 对空间任意一点 O,有 ? ? 7. 向量的数量积: a ? b ? . 8. 单位正交分解:如果空间一个基底的三个基向量互相 ,长度 都为 ,则这个基底叫做单位正交基底,通常用{i,j,k}表示. 9.空间向量的坐标表示:给定一个空间直角坐标系 O-xyz 和向量 a, 且设 i、j、k 为 x 轴、y 轴、z 轴正方向的单位向量,则存在有序实数 ? ? ? ? 组 {x, y, z} ,使得 a ? xi ? y j ? zk ,则称有序实数组 {x, y, z} 为向量 a 的坐标, ? ? 记着 p ? . 10. 设 A ( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x2 , y2 , z2 ) ,则 AB =
????

.

11. 向量的直角坐标运算: 设 a= (a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) ,则 ⑴a+b= ; ⑵a-b= ⑶λa= ; ⑷a·b=



※ 动手试试 1.在下列命题中:①若 a、b 共线,则 a、b 所在的直线平行;②若 a、 b 所在的直线是异面直线,则 a、b 一定不共面;③若 a、b、c 三向 量两两共面,则 a、b、c 三向量一定也共面;④已知三向量 a、b、 c,则空间任意一个向量 p 总可以唯一表示为 p=xa+yb+zc.其中 正确命题的个数为( ) A.0 B. 1 C. 2 D. 3
D 2. 在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中, 向量 D1 A 、 1C 、A1C1 是 ( A.有相同起点的向量 B.等长向量 C.共面向量 D.不共面向量 ???? ? ???? ? ?????



3.已知 a=(2,-1,3) ,b=(-1,4,-2) , c=(7,5,λ ) ,若 a、b、c 三向量共面,则实数 λ=( 62 63 A. B. C. 64 D. 65
7
7



7

7

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4.若 a、b 均为非零向量,则 a ? b ?| a || b | 是 a 与 b 共线的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件



5.已知△ABC 的三个顶点为 A(3,3,2) ,B(4,-3,7) ,C(0, 5,1) ,则 BC 边上的中线长为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 6.
? ?? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? a ? 3i ? 2 j ? k , b ? i ? j ? 2k , 则 5a ? 3b ? (

A.-15

B.-5

C.-3

) D.-1

※ 典型例题 ??? ????? ? ? ? 例 1 如图,空间四边形 OABC 中, OA ? a,OB ? b , ???? ? OC ? c , 点 M 在 OA 上 , 且 OM=2MA, 点 N 为 ???? ? . MN ?

BC

的中点,则

变式: 如图, 平行六面体 ABCD ? A' B'C ' D' 中,AB ? a, AD ? b ,AA' ? c ,点 P, M , N 分别是 CA' , CD' , C ' D' 的中点,点 Q 在 CA' 上,且 CQ' ? 4 ,用基底 a, b, c 表示下
QA 1

??? ?

??????

?

????

?

? ? ?

列向量: ??? ? ⑴ AP ; ⑵

???? ? AM ;



???? AN ;



???? AQ .

? 例 2 如图, 在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中, ABC ? 90?, CB ? 1, CA ? 2, AA1 ? 点 M 是 CC1 的中点,求证: AM ? BA1 .

6,

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变式:正三棱柱 ABC—A1B1C1 的侧棱长为 2,底面边长为 1,点 M 是 BC 的中点,在直线 CC1 上求一点 N,使得 MN ? AB1

学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: ???? ? ???? ??? ? ??? ? CC 1. 直三棱柱 ABC—A1B1C1 中, CA ? a , ? b , 1 ? c , 则 A1 B ? 若 ( ) CB A. a ? b ? c B. a ? b ? c C. ?a ? b ? c D. ?a ? b ? c ?? ? ?? ? ? ? ? 2. m ? a, m ? b, 向量n ? ? a ? ? b(? , ? ? R且? 、 ? ? 0)则 ( ) ?? ? ?? ? A. m // n B. m 与 n 不平行也不垂直 ?? ? C. m ? n , D.以上情况都可能. ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3. 已知 a + b + c = 0 ,| a |=2,| b |=3,| c |= 19 ,则向量 a 与 b 之间的夹 ? ? 角 ? a, b ? 为( ) A.30° B.45° C.60° D.以上都不对 ? ? ? ? ? ? 4.已知 a ? ?1,1,0? , b ? ? ?1,0, 2 ? , 且 ka ? b 与 2a ? b 互相垂直,则 k 的值是( ) A. .1 B.
1 5

C.

3 5

D.

7 5

5. 若 A(m+1,n-1,3), B. (2m,n,m-2n), C(m+3,n-3,9)三点共线,则 m+n=

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课后作业 如图, 在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E, F , G 分别是 DD1 , BD, BB1 点 的中点. ⑴ 求证: EF ? CF ; ⑵ 求 EF 与 CG 所成角的 余弦; ⑶ 求 CE 的长.

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§3.2 立体几何中的向量方法(1)
班级: 组名: 姓名: 设计人:李红涛 审核人:魏帅举 领导审批:

学习目标 1. 掌握直线的方向向量及平面的法向量的概念; 2. 掌握利用直线的方向向量及平面的法向量解决平行、垂直、夹角 等立体几何问题. 学习过程 一、课前准备 (预习教材 P102~ P104,找出疑惑之处) 复习 1: 可以确定一条直线;确定一个平面的方法 有哪些?

复习 2:如何判定空间 A,B,C 三点在一条直线上?

复习 3:设 a= (a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) , a·b= 二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一: 向量表示空间的点、直线、平面 问题:怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置? 新知: ⑴ 点:在空间中,我们取一定点 O 作为基点,那么空间中任意一点 P ??? ? ??? ? 的位置就可以用向量 OP 来表示,我们把向量 OP 称为点 P 的位置向量. ⑵ 直线: ① 直线的方向向量:和这条直线平行或共线的非零向量. ??? ? ??? ? ② 对于直线 l 上的任一点 P ,存在实数 t ,使得 AP ? t AB ,此方程称为 直线的向量参数方程. ⑶ 平面: ① 空间中平面 ? 的位置可以由 ? 内两个不共线向量确定.对于平面 ? ? ? 上的任一点 P , a, b 是平面 ? 内两个不共线向量, 则存在有序实数对 ( x, y) ,

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使得 OP ? xa ? yb . ② 空间中平面 ? 的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表 示空间中平面的位置. ? ⑷ 平面的法向量:如果表示向量 n 的有向线段所在直线垂直于平面 ? ? ? ? ,则称这个向量 n 垂直于平面 ? ,记作 n ⊥ ? ,那 么向量 n 叫做平面 ? 的法向量. 试试: . ? ? ? ? 1.如果 a, b 都是平面 ? 的法向量,则 a, b 的关系 . ? ? ? 2.向量 n 是平面 ? 的法向量, 向量 a 是与平面 ? 平行或在平面内, n 与 则 ? . a 的关系是 反思: 1. 一个平面的法向量是唯一的吗? 2. 平面的法向量可以是零向量吗?

??? ?

?

?

⑸ 向量表示平行、垂直关系: ? ? ? ? 设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ,平面 ? , ? 的法向量分别为 u, v ,则 ? ? ? ? ① l ∥ m ? a ∥ b ? a ? kb ? ? ? ? ② l ∥? ? a ? u ? a ?u ? 0 ? ? ? ? ③ ? ∥ ? ? u ∥ v ? u ? kv. ※ 典型例题 例 1 已知两点 A ?1, ?2,3? , B ? 2,1, ?3? ,求直线 AB 与坐标平面 YOZ 的交点.

变式: 已知三点 A ?1, 2,3? , B ? 2,1, 2 ? , P ?1,1, 2 ? ,点 Q 在 OP 上运动 为坐标原点) (O ,

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求当 QA ? QB 取得最小值时,点 Q 的坐标.

??? ??? ? ?

小结:解决有关三点共线问题直接利用直线的参数方程即可. 例 2 用向量方法证明两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条 相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行.

变式: 在空间直角坐标系中,已知 A ? 3,0,0? , B ? 0, 4,0 ? , C ? 0,0, 2 ? ,试求平面 ABC 的一个法向量.

小结:平面的法向量与平面内的任意向量都垂直. ※ 动手试试 ? ? 练 1. 设 a, b 分别是直线 l1 , l2 的方向向量,判断直线 l1 , l2 的位置关系:

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⑴ ⑵

? ? a ? ?1, 2, ?2 ? , b ? ? ?2,3, 2 ? ; ? ? a ? ? 0, 0,1? , b ? ? 0, 0,3? .

练 2. 设 u, v 分别是平面 ? , ? 的法向量,判断平面 ? , ? 的位置关系: ? ? ⑴ u ? ?1, 2, ?2 ? , v ? ? ?2, ?4, 4 ? ; ? ? ⑵ u ? ? 2, ?3,5? , v ? ? ?3,1, ?4 ? .

? ?

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 空间点,直线和平面的向量表示方法 2. 平面的法向量求法和性质. ※ 知识拓展: 求平面的法向量步骤: ? ⑴设平面的法向量为 n ? ( x, y, z) ; ⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标; ⑶根据法向量的定义建立关于 x, y, z 的方程组; ⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量. 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: ? ? 1. 设 a ? ? 2, ?1, ?2? , b ? ? 6, ?3, ?6 ? 分别是直线 l1 , l2 的方向向量,则直线 l1 , l2 的位 置关系是 . ? ? 2. 设 u ? ? ?2, 2,5? , v ? ? 6, ?4, 4 ? 分别是平面 ? , ? 的法向量,则平面 ? , ? 的位置 关系是 . ? 3. 已知 n ? ? ,下列说法错误的是( ) ? ? A. 若 a ? ? ,则 n ? a B.若 a // ? ,则 n ? a ?? ?? ? ?? ? ?? C.若 m ? ? , ,则 n // m D.若 m ? ? , ,则 n ? m 4.下列说法正确的是( ) A.平面的法向量是唯一确定的 B.一条直线的方向向量是唯一确定的 C.平面法向量和直线的方向向量一定不是零向量

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D.若 m 是直线 l 的方向向量, l // ? ,则 m // ? ??? ? ???? 5. 已知 AB ? ?1, 0, ?1? , AC ? ? 0,3, ?1? ,能做平面 ABC 的法向量的是( ) A. ?1, 2,1? B. ?1, 1 ,1? ? ?
? 3 ?

??

??

C. ?1,0,0 ?

D. ? 2,1,3?

课后作业 ???? ? 1. 在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,求证: DB1 是平面 ACD1 的一个法向量.

2.已知 AB ? ? 2, 2,1? , AC ? ? 4,5,3? ,求平面 ABC 的一个法向量.

??? ?

????

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§3.2 立体几何中的向量方法(2)
班级: 组名: 姓名: 设计人:李红涛 审核人:魏帅举 领导审批:

学习目标 1. 掌握利用向量运算解几何题的方法,并能解简单的立体几何问题; 2. 掌握向量运算在几何中求两点间距离和求空间图形中的角度的计 算方法. 学习过程 一、课前准备 (预习教材 P105~ P107,找出疑惑之处. ? ? ?? ? ? ?? ? ? 复习 1:已知 a ? b ? 1 , a ? 1, b ? 2 ,且 m ? 2a ? b ,求 m .

复习 2:什么叫二面角?二面角的大小如何度量?二面角的范围是什 么?

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:用向量求空间线段的长度 问题:如何用向量方法求空间线段的长度? 新知: 用空间向量表示空间线段, 然后利用公式 a
? ?2 ? a 求出线段长度.

试试:在长方体 ABCD ? A' B ' C ' D ' 中,已知 AB ? 1, BC ? 2, CC ' ? 1 ,求 AC ' 的长.

反思:用向量方法求线段的长度,关键在于把未知量用已知条件中的 向量表示.

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※ 典型例题 例 1 如图,一个结晶 中,以顶点 A 为端点 彼此的夹角都是 点的晶体的对角线的

体的形状为平行六面体,其 的三条棱长都相等,且它们 60°,那么以这个顶点为端 长与棱长有什么关系?

变式 1:上题中平行六面体的对角线 BD1 的长与棱长有什么关系?

变式 2:如果一个平行六面体的各条棱长都相等,并且以某一顶点为 端点的各棱间的夹角都等于 ? , 那么由这个平行六面体的对角线的长 可以确定棱长吗?

探究任务二:用向量求空间图形中的角度 例 2 如图,甲站在水库底面上的点 A 处,乙站在水坝斜面上的点 B 处.从 A, 到直线 l(库底与水坝的交线) B 的距离 AC, BD 分别为 a, b ,CD 的长为 c , AB 的长为 d .求库底与水坝所成二面角的余弦值.

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变式:如图, 60? 的二面角的棱上有 A, B 两点,直线 AC, BD 分别在这个 二面角的两个半平面内,且都垂直于 AB, 已知 AB ? 4, AC ? 6, BD ? 8,求 CD 的长.

※ 动手试试 练 1. 如图,已知线段 AB 在平面 α 内,线段 AC ? ? ,线段 BD⊥AB, 线段 DD ' ? ? , ?DBD ' ? 30? ,如果 AB=a,AC=BD=b,求 C、D 间的 距离.

练 2. 如图,M、N 分别是棱长为 1 的正方体 ABCD ? A' B ' C ' D ' 的棱 BB ' 、 求异面直 线 MN 与 CD ' 所成的角. B ' C ' 的中点.

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 求出空间线段的长度:用空间向量表示空间线段,然后利用公式 ? ?2 a ? a ; 2. 空间的二面角或异面直线的夹角,都可以转化为
? ? ? ? a ?b 利用公式 cos a, b ? ? ? a?b

求解.

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※ 知识拓展 解空间图形问题时,可以分为三步完成: (1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及 的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题(还常建立坐标 系来辅助); (2)通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们 之间距离和夹角等问题; (3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义. 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 已知 A ?1,02 ? , B ? ?1,1,3? ,则 AB ? . 2. 已知 cos
? ? ? ? 1 a, b ? ? ,则 a, b 的夹角为 2

.

3. 若 M、N 分别是棱长为 1 的正方体 ABCD ? A' B ' C ' D ' 的棱 A' B ', BB' 的中 点,那么直线 AM , CN 所成的角的余弦为( ) A.
3 2

B.

10 10

C. 3
5

D. 2
5

4. 将锐角为 60? 边长为 a 的菱形 ABCD 沿较短的对角线折成 60? 的二面 角,则 AC, BD 间的距离是( )
3 a 4 ???? ? ???? ? 5.正方体 ABCD ? A' B ' C ' D ' 中棱长为 a , AM ? 1 AC ' , N 是 BB' 的中点,则 MN 3

A. 3 a
2

B.

3 a 2

C. 3 a
4

D.



( ) A.
21 a 6

B.

6 a 6

C.

15 a 6

D.

15 a 3

课后作业 1. 如图,正方体 ABCD ? A' B ' C ' D ' 的棱长为 1, M , N 分别是 BB' , B'C ' 的中点,求: ⑴ MN , CD' 所 成 角 的 大 小; ⑵ MN , AD 所 成 角 的 大 小; ⑶ AN 的长度.

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§3.2 立体几何中的向量方法(3)
班级: 组名: 姓名: 设计人:李红涛 审核人:魏帅举 领导审批:

学习目标 1. 进一步熟练求平面法向量的方法; 2. 掌握向量运算在几何中如何求点到平面的距离和两异面直线间距 离的计算方法; 3. 熟练掌握向量方法在实际问题中的作用. 学习过程 一、课前准备 复习 1:已知 A ?1, 2,0? , B ? 0,1,1? , C ?1,1, 2 ? ,试求平面 ABC 的一个法向量.

复习 2:什么是点到平面的距离?什么是两个平面间距离?

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:点到平面的距离的求法 问题:如图 A ??, 空间一点 P 到平面 ? 的距离为 d ,已知平面 ? 的一个法 ? ??? ? ? ??? ? ? 向量为 n ,且 AP 与 n 不共线,能否用 AP 与 n 表示 d ? 分析:过 P 作 PO ⊥ ? 于 O, 连结 OA,则 ??? ? ??? ? d=| PO |= | PA | ? cos ?APO. ? ??? ? ? ∵ PO ⊥ ? , n ? ? , ??? ? ? ∴ PO ∥ n . ??? ? ? ∴cos∠APO=|cos ? PA, n? | ??? ? ? ??? ? ∴D. =| PA ||cos ? PA, n? |
?P
?O
? ?

n
A?

???? ? ? ??? ? ? ??? ? ? | PA |? | n | ? | cos? PA, n? | | PA ? n | ??? ? = = ?? |n| |n|

新知:用向量求点到平面的距离的方法:

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设 A ??, 空间一点 P 到平面 ? 的距离为 d ,平面 ? 的一个法向量为 n ,则 D. =
??? ? ? | PA ? n | ?? ? |n|

?

试试:在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A' B ' C ' D ' 中, 求点 C ' 到平面 A' BCD' 的距离.

反思:当点到平面的距离不能直接求出的情况下,可以利用法向量的 方法求解. ※ 典型例题 例 1 已知正方形 ABCD 的边长为 4,E、F 分别是 AB、AD 的中点, GC⊥平面 ABCD,且 GC=2,求点 B 到平面 EFG 的距离.

变式: 如图, ABCD 是矩形, PD ? 平面 ABCD , PD ? DC ? a , AD ? 是 AD 、PB 的中点,求点 A 到平面 MNC 的距离.
P

2a , M 、N 分别

N D C

M A

B

小结:求点到平面的距离的步骤: ⑴ 建立空间直角坐标系,写出平面内两个不共线向量的坐标;⑵ 求

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平面的一个法向量的坐标; ⑶ 找出平面外的点与平面内任意一点连接向量的坐标;⑷ 代入公式 求出距离. 探究任务二:两条异面直线间的距离的求法 例 2 如图, 两条异面直线 a, b 所成的角为 ? , 在直线 a, b 上分别取点 A' , E 和 A, F ,使得 AA' ? a ,且 AA' ? b .已知 A' E ? m, AF ? n, EF ? l ,求公垂线 AA' 的长.

变 式 : 已 知 直 三 棱 柱 ABC ─A1B1C1 的 侧 棱 AA1 ? 4 , 底 面 △ABC 中 , ? AC ? BC ? 2 ,且 ?BCA ? 90 , E 是 AB 的中点,求异面直线 CE 与 AB1 的距离.

小结:用向量方法求两条异面直线间的距离,可以先找到它们的公垂 ? 线方向的一个向量 n ,再在两条直线上分别取一点 A, B ,则两条异面
? ??? ? n ? AB ? 直线间距离 d ? ?? n

求解.

三、总结提升 ※ 学习小结 1.空间点到直线的距离公式 2.两条异面直线间的距离公式 ※ 知识拓展 用向量法求距离的方法是立体几何中常用的方法.

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学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A' B ' C ' D ' 中,平面 ABB' A' 的一个法向量 为 ; 2. 在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A' B ' C ' D ' 中,异面直线 A' B 和 CB' 所成角 是 ; 3. 在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A' B ' C ' D ' 中,两个平行平面间的距离 是 ; 4. 在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A' B ' C ' D ' 中,异面直线 A' B 和 CB' 间的距 离是 ; 5. 在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A' B ' C ' D ' 中,点 O 是底面 A' B'C ' D' 中心,则 ' 点 O 到平面 ACDB' 的距离是 . 课后作业 1. 如图,正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 1,点 M 是棱 AA1 中点,点 O 是 BD1 中点,求证: OM 是异面直线 AA1 与 BD1 的公垂线,并求 OM 的长.

2. 如图,空间四边形 OABC 各边以及 AC, BO 的长都是 1,点 D, E 分别是 边 OA, BC 的中点,连结 DE . ⑴ 计算 DE 的长; ⑵ 求点 O 到平面 ABC 的距离.

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§第三章
班级: 组名: 姓名:

空间向量(复习)
设计人:李红涛 审核人:魏帅举 领导审批:

学习目标 1. 掌握空间向量的运算及其坐标运算; 2. 立体几何问题的解决──熟练掌握向量是很好的工具. 学习过程 一、课前准备 (预习教材 P115-116,找出惑之处) ??? ? ??? ? ???? ? ? ? 复习 1:如图,空间四边形 OABC 中,OA ? a, OB ? b, OC ? c .点 M 在 OA 上, ???? ? 且 OM=2MA, N 为 BC 中点,则 MN ?

复习 2:平行六面体 ABCD ? A ' B ' C ' D' 中, AB ? a ???? ? ????' ? AD ? b, AA ? c ,点 P,M,N 分别是 CA' , CD' , C ' D' 的中点,点 Q 在 CA' 上,且 CQ : QA' ? 4 :1 ,用基底 ? ? ? ?a, b, c? 表示下列向量: ⑴
??? ? AP ;

??? ?

?



???? ? AM

; ⑶

???? AN ;



???? AQ .

※主要知识点: 1. 空间向量的运算及其坐标运算: 空间向量是平面向量的推广, 有关运算方法几乎一样,只是“二维 的”变成 “三维的”了. 2. 立体几何问题的解决──向量是很好的工具 ①平行与垂直的判断 ②角与距离的计算 ※ 典型例题 例 1 如图,一块均匀

的正三角形面的钢板的质量

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为 500kg ,在它的顶点处分别受力 F1 、 F2 、 F3 ,每个力与同它相邻的三 ? ?? ?? ? ? ? ? 角形的两边之间的夹角都是 60? ,且 F1 ? F2 ? F3 ? 200kg .这块钢板在这些 力的作用下将会怎样运动?这三个力最小为多大时, 才能提起这块钢 板?

?? ?

?? ?

?? ?

变式:上题中,若不建立坐标系,如何解决这个问题?

小结:在现实生活中的问题,我们可以转化我数学中向量的问题来解 决,具体方法有坐标法和直接向量运算法,对能建立坐标系的题,尽 量使用坐标计算会给计算带来方便. 例 2 如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, ?ABC ? 90?, CB ? 1, CA ? 2, AA1 ? M 是 CC1 的中点,求证: AM ? BA1 .
6 ,点

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变式:正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的底面边长为 1,棱长为 2,点 M 是 BC 的中点,在直线 CC1 上求一点 N,使 MN ? AB .

例3

如图,长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,点 E,F 分别在 BB1 , DD1 上,且 AE ? A1 B , AF ? A1 D . ⑴ 求证: A1C ? 平面 AEF ; ⑵ 当 AB ? 4, AD ? 3, AA1 ? 5 时,求平面 AEF 与平面 D1B1BD 所成的角的余弦 值.

※ 动手试试 练 1. 如图,正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的底面边长为 a ,侧棱长为 ⑴试建立适当的坐标系,写出点 A, B, A1 , C 1 的坐标 ⑵ 求 AC1 的侧面 ABB1 A1 所 成的角.

2a .

练 2. 已知点 A(1,-2,0),向量 a ? ? ?3, 4,12 ? ,求点 B 的坐标,使得 AB // a , ??? ? ? 且 AB ? 2a .

?

??? ? ?

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 空间向量的运算与平面向量的方法相同;

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2. 向量的数量积和平面的法向量是向量解决立体几何问题常用的方 法. ※ 知识拓展 ?? ?? ? ? 若二面角两个面的法向量分别是 n1 , n2 ,二面角为 ? 则 cos? ? ? cos
?? ?? ? ? n1 , n2

,而

? ? n ?n ? ? cos ? n1 , n2 ?? ?1 ?2 . | n1 || n2 |

学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: ? ? ? ? ? ? 1.已知 a ? ?1,1,0 ? , b ? ? ?1,0, 2 ? ,且 (ka ? b) ? (2a ? b) ,则 k= ; ? ? ? ? 2. 已知 a ? ?1 ? t , 2t ? 1,0? , b ? ? 2, t , t ? ,则 b ? a 的最小值是( ) A. 5 B. 6 C. 2 D. 3 ??? ? ??? ? ???? 3.空间两个单位向量 OA ? ? m, n, 0? , OB? ? 0, n, ? 与 OC ? ?1,1,1? 的夹角都等于 p
? 4

,则 cos ?AOB ?

4.将正方形 ABCD 沿对角线 AC 折成直二面角后, 异面直线 AB, CD 所成角 的余弦值为 . ???? ? ???? ? 5. 正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 a , AM ? 1 AC1 ,N 是 BB1 的中点,则 MN
3

=( A.
21 a 6

) B.
6 a 6

C.

15 a 6

D.

15 a 3

课后作业 1. 如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD? DD1 , BD, BB1 的中点. ⑴ 求证: EF ? CF ; ⑵ 求 EF 与 CG 所成角的余弦值; ⑶ 求 CE 的长.

1

ABC D 1 1 1中,点 E, F , G

分别为

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