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江苏省淮州中学2012年高一数学暑假作业(5)


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高一暑假作业五
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。请把答案填写在答题卡相应的位 ....... 置上. .. 1.直线 l : x ? y ? 1 ? 0 的倾斜角为 ▲ .

2.某人射击 1 次,命中 7~10 环的概率如下表所示: 命中环 数 概率 10 环 0.12 9环 0.18 8环 0.28 7环 0.32

则该人射击一次,至少命中 9 环的概率为 ▲ . 3.某人 5 次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为 x ,8,10,11,9.已知这组数据的 平均数为 10,则其方差为 ▲ .

? y ? 1, ? 4.若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 0, 则 z ? x ? 2 y 的最大值为 ? x ? y ? 2 ? 0, ?
5 . 已 知 平 面 向量 a, b, a ? 1, b ? 2, a ? (a ? b) , 则 向 量 a 与 b 的 夹角为 ▲ . ▲ .





? ? ?

?

?

? ?

?

?

6.根据如图所示的伪代码,可知输出的结果 s 是

7.已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 .则数列 ?an ? 的 前 n 项和为 Sn = ▲ .

8.已知 AB 是圆 O 的一条直径,在 AB 上任取一点 H ,过 H 作弦 CD 与 AB 垂直,则弦 CD 的长度大于半径的概率是 ▲ . ???? ???? ???? ? ? 9.已知 ?ABC 和点 M 满足 MA ? MB ? MC ? 0 ,则 ?MBC 与 ?ABC 的面积之比为 ▲ .
? 10.在 ?ABC 中, BC ? 15 , AC ? 10 , ?A ? 60 ,则 cos B ?





11.将参加夏令营的 600 名学生编号为:001,002,? ,600.采用系统抽样方法抽取一个 容量为 50 的样本, 且随机首次抽得的号码为 003.这 600 名学生分住在三个营区, 001 从 ....... 到 300 在第Ⅰ营区,从 301 到 495 在第Ⅱ营区,从 496 到 600 在第Ⅲ营区.则第Ⅲ营区 被抽中的人数为 ▲ . ②

12.若 a ? 0 , b ? 0 , a ? b ? 2 .则下列不等式:① ab ? 1 ; ③a ?b ? 2 ; ④
2 2

a? b? 2;

1 1 ? ? 2 .其中成立的是 a b



.(写出所有正确命题的序号).

13.已知数列 an ? 满足 an?1 ? qan ? 2q ? 2 ( q 为常数, | q |? 1 ) ,若

?

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a3 , a4 , a5 , a6 ? ??18, ?6,6,30? ,则 a1 ?





14.若 0 ? b ? 1 ? a ,且关于 x 的不等式 ( x ? b)2 > (ax) 2 的解集中的整数恰有 3 个,则

b a ?1

的取值范围为 ▲ . 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明或演算步骤. 15. (本题满分 14 分) ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,且 b cos C , ? a cos A , c cos B 成等 差数列. (1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 3 , b ? c ? 2 ,求 ?ABC 的面积.

16. (本题满分 14 分) “根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定:车辆驾驶员血液酒精浓度在 20mg /100ml - 80mg /100ml (不含 80)之间,属于酒后驾车,血液酒精浓度在 80mg /100ml .... (含 80)以上时,属醉酒驾车. .... ” 某晚某市交警大队在该市一交通岗前设点对过往的车辆进行抽查, 经过两个小时共查出 血液酒精浓度不低于 20mg /100ml 驾车者 40 名, 1 是这 40 名驾车者血液酒精浓度结果的 图 频率分布直方图. (1)求这 40 名驾车者中属酒后驾车的人数; (图 1 中每组包括左端点,不包括右端点) .... (2)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值(组中值)作为代表,图 2 的程序框 图是对这 40 名驾车者血液的酒精浓度做进一步的统计. 求图 2 输出的 S 值; 2 中数据 mi (图 与 f i 分别表示图 1 中各组的组中值及频率)
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(3)本次行动中,吴、李两位先生都被酒精测试仪测得酒精浓度属于 70mg /100ml 80mg /100ml 的范围,但他俩坚称没喝那么多,是测试仪不准,交警大队王队长决定在被酒 精测试仪测得酒精浓度属于 70mg /100ml - 80mg /100ml 范围的驾车者中随机抽出 2 人抽血 检验,则吴、李两位先生至少有 1 人被抽中的概率为 ▲ .
开始

s ?0
0.025 0.020 0.015 0.010 0.005

i ?1
输入mi , fi

图1

s ? s ? mi ? f i

i ? i ?1

i ?7 Y
输出s 结束
图2

N

17. (本题满分 15 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(1, ?2) , B(a, ?1) , C (?b,0) ,且 a ? 0, b ? 0 . (1)若点 A 、 B 、 C 在直线 l 上,求 u ?

??? ??? ???? ? ? (2)若以线段 AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长相等, OA ? ( AB ? AC) ? 5 , 且 求 a 、 b 的值.

1 2 ? 的最小值,并求此时直线 l 的方程; a b

18. (本题满分 15 分) 已知数列 {an } 满足: a1 ? 1, a2 ? a(a ? 0) ,数列 {bn } 满足 bn ? an an?1 (n ? N *) . (1)若 {an } 是等差数列,且 b3 ? 12, 求 a 的值及 {an } 的通项公式; (2)若 {an } 是等比数列,求 {bn } 的前 n 项和 S n ; (3) {bn } 是公比为 a ? 1 的等比数列, 若 问是否存在正实数 a , 使得数列 {an } 为等比数列? 若存在,求出 a 的值;若不存在,请说明理由.

19. (本题满分 16 分) 2010 年上海世博会某国要建一座八边形的展馆区,它的主体造型的平面图是由两个相 2 同的矩形 ABCD 和 EFGH 构成的面积为 200 m 的十字型地域, ..... 计划在正方形 MNPQ 上 建一座“观景花坛” ,造价为 4200 元 / m ,在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花 岗岩地坪, 造价为 210 元 / m ,再在四个空角 (如 ?DQH 等) 上铺草坪, 造价为 80 元 / m .
2 2 2

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设 AD 长为 xm , DQ 长为 ym . (1)试找出 x 与 y 满足的等量关系式; (2)设总造价为 S 元,试建立 S 与 x 的函数关系; (3)若总造价 S 不超过 138000 元,求 AD 长 x 的取值范围.

20. (本题满分 16 分) 设正项等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,其中 a1 ? a2 . am、ak、an 是数列 {an } 中满足

an ? ak ? ak ? am 的任意项. (1)求证: m ? n ? 2k ; (2)若 Sm , Sk , Sn 也成等差数列,且 a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式;
(3)求证:

1 1 2 ? ? . Sm Sn Sk

高一数学暑假作业五参考答案 1.
3 ? ? 1 ; 2.0.3; 3.2; 4.3;5. ; 6.13; 7. n 2 ? 2n ; 8. ; 9. ; (或 2 4 3 3

填1 : 3 )
6 ; 11.8; 12.①③④; 13.126; 14. (2,3] . 3 15. (1)? b cos C , ?a cos A , c cos B 成等差数列 ? ?2a cos A ? b cos C ? c cos B

10.

??..2 ??..5分

分 由正弦定理得 ?2sin A cos A ? sin B cos C ? sin C cos B ? sin( B ? C ) ? sin A

1 (另解:由射影定理得 b cos C ? c cos B ? a , ?2a cos A ? a ,? cos A ? ? ) 2
? 0 ? A ? ? ,? cos A ? ?

1 2? ,? A ? 2 3

??..7分 ??..9分 ??..11 分 ??..14

(2)由余弦定理得 b2 ? c 2 ? bc ? a 2 ,
?(b ? c)2 ? bc ? a2 , 由条件得 bc ? 1
1 3 ? S ? bc sin A ? 2 4


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、 16. (1)40 名驾车者中醉酒驾车的频率为 0.05 ,人数为 2 人, 所 以 酒 后 驾 车 的 人 数 为 人; ??..4 分 ( 2 S ? 25 ? 0.25 ? 35 ? 0.15 ? 45 ? 0.2 ? 55 ? 0.15 ? 65 ? 0.1 ? 75 ? 0.1 ? 85 ? 0.05 ? 48 ??..9 分 ( 3 ??..14 分

38 ) )

5 6
??? ? ???? 17. (1)? AB ? (a ? 1,1) , AC ? ? ?b ? 1,2? ,


??..1

A 、 B 、 C 三点共线, ? 2(a ? 1) ? ?b ? 1,即 2a ? b ? 1


??..2

1 2 1 2 b 4a ? a ? 0, b ? 0 ,? ? ? ( ? )(2a ? b) ? 4 ? ? ?8 a b a b a b
1 ? ?a ? 4 b 4a ? 当且仅当 ? ,即 ? 时取等号. a b ?b ? 1 ? ? 2 1 ? ?a ? 4 ? 当? 时,? ?min ? 8 , ?b ? 1 ? ? 2

??..5



1 4 此时 C (? ,0) ,又 A(1, ?2) ,? kl ? ? , 2 3 4 1 直线 l 的方程为 y ? ? ( x ? ) ,即: 4 x ? 3 y ? 2 ? 0 . 3 2 ??? ???? ? (2)由条件得 AB ? AC ,所以 AB ? AC ? 0 ,
??? ? ???? 而 AB ? (a ? 1,1) , AC ? ? ?b ? 1,2?
? ab ? a ? b ? 3 ? 0

??..6 分 ??..8 分 ??..9 分

① ②

??..11 分 ??..13 分

??? ??? ???? ? ? 又 OA ? ( AB ? AC) ? 5 ,? a ? b ? 3 ? 0

?a ? 2 ?a ? 3 ?a ? 2 由①②得 ? 或? (舍去) ? ? , . ?b ? 1 ?b ? 0 ?b ? 1

??..15 分

18. (1)因为 {an } 是等差数列,? a3 ? 2a ? 1, a4 ? 3a ? 2 ,
? (2a ? 1)(3a ? 2) ? 12 ,

??..2 分

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5 解之得 a ? 2 或者 a ? ? (舍去) 6
? an ? n .

??..4 分 ??..5 分 ??..6 分 ??..7 分 ??..8 分 ??..10 分 ??..11 分 ??..12 分 ??..13 分

(2)若 {an } 是等比数列,其中 a1 ? 1, 公比 q ? a ,? an ? an?1 ,
?bn ? an an?1 ? a2n?1 ,
? a ? 0 ,当 a ? 1 时, Sn ? na ;

当 a ? 1 时, Sn ?

a(1 ? a2n ) 1 ? a2

(3)因为 {bn } 是公比为 a ? 1 的等比数列,所以 bn ? a(a ? 1)n?1 , 若 {an } 为等比数列,则 an ? an?1 , an?1 ? a n ,
? a(a ? 1)n?1 ? a2n?1 ,即? (a ? 1)n?1 ? a2n?2 (n ? N *) ,

? a 2 ? a ? 1 ,无解.? 不存在正实数 a ,使得数列 {an } 为等比数列.??..15 分

另解:因为 {bn } 是公比为 a ? 1 的等比数列,?

a b2 ? a ? 1 , 3 ? a ? 1 , ??..12 分 a1 b1

若 {an } 为等比数列,则? a1 ? 1, a2 ? a ,? a3 ? a2 ,

??..13 分

? a 2 ? a ? 1 ,无解,? 不存在正实数 a ,使得数列 {an } 为等比数列.??..15 分

19.(1) 4xy ? x2 ? 200 (2)由(1)得 y ?

??..4 分

200 ? x2 4x

??..6 分

S ? 4200x2 ? 210 ? 4xy ? 80 ? 2 y 2 ? 4000x2 ?
(3)由 S ? 138000 ,得 x2 ?

400000 ? 38000 , ( x ? 0) ;??..10 分 x2
??..12 分 ??..15 分 ??..16 分

100 ? 25 , x2

( x2 ? 5)( x2 ? 20) ? 0 , 5 ? x 2 ? 20 ,即 5 ? x ? 2 5 ,

所以 AD 长 x 的取值范围是 ? 5, 2 5 ? . ? ? 20. (1)设等差数列 {an } 的公差为 d , 因为 a1 ? a2 ,所以 d ? 0 , 又 an ? ak ? ak ? am ,? (n ? k )d ? (m ? k )d ,

??..1 分 ??..3 分

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所以 n ? k ? m ? k ,即 m ? n ? 2k ; (2)由已知取 m ? 1, k ? 2, n ? 3 ,即 2 S2 ? S1 ? S3 把 a1 ? 1 代入解得 d ? 2 ,? an ? 2n ? 1 . 又 an ? 2n ? 1 时, Sn ? n2 ,? Sn ? n

?..4 分 ??..6 分 ??..9 分

? 当 m ? n ? 2k 时, Sm , Sk , Sn 都成等差数列;
? an ? 2n ? 1 ;

??..10 分

(3)由条件得 Sm , Sk , Sn 都大于 0,
m(m ? 1)d ? ? n(n ? 1)d ? ? ? Sm ? Sn ? ? ma1 ? ? ? ? na1 ? ? 2 2 ? ? ? ? (m ? 1)d ? ? (n ? 1)d ? ? ? mn ? a1 ? ? ? ? a1 ? 2 2 ? ? ? ? ?

m?n 2 ?( ) ?[ 2

a1 ?

(m ? 1)d (n ? 1)d ? a1 ? 2 2 ]2 ? k 2 ? [a ? (k ? 1)d ]2 ? S 2 ??..14 分 1 k 2 2

?

1 1 1 2 ? ?2 ? , Sm Sn Sm Sn Sk



1 1 2 ? ? . Sm Sn Sk

??..16 分

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