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上海版教材


矩阵、行列式和算法
一、填空题

cos
1.行列式

?
3

sin cos

?
6

sin

?
3

?
6

的值是

.

/>
2.行列式

a b ( a, b, c, d ?{?1,1, 2} )的所有可能值中,最大的是 c d

.

?2 x ? 0 ? 3.将方程组 ?3 y ? z ? 2 写成系数矩阵形式为 ?5 x ? y ? 3 ?

.

4.若由命题 A :“

2 x > 0 ”能推出命题 B :“ x ? a ” ,则 a 的取值范围是 3 1- x 2
开始



5.若方程组 ?

?a1 x ? b1 y ? c1 的解为 x ? 1, y ? 2 ,则方程组 ?a2 x ? b2 y ? c2
,y? .

?2b1 x ? 5a1 y ? 3c1 ? 0 的解为 x ? ? ?2b2 x ? 5a 2 y ? 3c 2 ? 0
1
6.方程 1

输入 x1 , x2 , x3 , x4

i ? 1, x ? 0
.

2

4

x x 2 ? 0 的解集为 1 ?3 9

x ? x ? xi
开始

i ? i ?1
开始 是

7.把

x2 y2 x3 y3

?2

x1 y1 x3 y3

?4

x1 y1 x2 y2
.

i ? 4?
开始 否
x? x 4

表示成一个三阶行列式为

8.若 ?ABC 的三个顶点坐标为 A(1, ?2), B(?2,3), C (?4, ?5) , 其面积为 .

2x
9.在函数 f ? x ? ? ? x

1 ?x 2

?1 x 中 x3 的系数是 x
.

输出 x

1

结束

图1 .

10.若执行如图 1 所示的框图,输入 x1 ? 1, x2 ? 2, x3 ? 4, x4 ? 8, 则输出的数等于

11.矩阵的一种运算 ? ?

? a b ? ? x ? ? ax ? by? ?a b? ? ? ? ?? ?? , 该运算的几何意义为平面上的点 ( x, y ) 在矩阵 ? ? ? ? ? ? ?c d ? ? 的作用下 ? c d ? ? y ? ? cx ? dy ? ? ?
1

变换成点 (ax ? by, cx ? dy) ,若曲线 x ? y ? 1 ? 0 在矩阵 ? ? 值为 .

?1 a ? ? ? 的作用下变换成曲线 x ? y ? 1 ? 0 ,则 a ? b 的 ? b 1?

12.在集合 ?1, 2,3, 4,5 ? 中任取一个偶数 a 和奇数 b 构成以原点为起点的向量 ? ? ? a, b? .从所有得到的以原点为 起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形,记所有作成的平行四边形的个数为 n ,其中面积不超过 ...4 的平 行四边形的个数为 m ,则

m ? n

二.选择题 13.系数行列式 D ? 0 是三元一次方程组无解的( ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件 14.下列选项中错误的是( ). A.

a b c d ?? c d a b
a ? 3c b ? 3d a b ? c d c d a b ?a ?b ?? c d ?c ?d

B.

a b d b ? c d c a

C.

开始

D.

i?0
S ?0

15.若 a, b, c 表示 ?ABC 的三边长,

a a2 2 且满足 b b c c2

a?b?c a?b?c ? 0, a?b?c

S ? S ? 2i ? 1

i ?i?2


则 ?ABC 是( ). A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 16. 右边 (图 2) 的程序框图输出结果 S ?( A.20 B. 35 C. 40 D .45

i?8

是 ) 输出 S

结束 图2

三、解答题:

2

1 ? | x | ?5 ? 1 ? ? | x | ?1 m 17. 已知 P:矩阵 ? ? 的某个列向量的模不小于 2 , Q:行列式 x ? 2 ? 0 1 ? 2? ? ?
余子式的值不小于 2 .若 P 是 Q 成立的充分条件 ,求实数 m 的取值范围. ....

?1

4

0 ?3 中元素 ?1 的代数 ?2 1

18.已知等比数列 {an } 的首项 a1 ? 1 ,公比为 q , (1)求二阶行列式

a1 a2

a3 a4

的值;

(2)试就 q 的不同取值情况,讨论二元一次方程组 ?

? a1 x ? a3 y ? 3 何时无解,何时有无穷多解? ?a 2 x ? a 4 y ? ?2

1
19.已知函数 f ( x) ? 0

sin x

3 cos x sin x 0

sin x 2m 0

的定义域为 ? 0,

? ?? ,最大值为 4 .试求函数 g ( x) ? m sin x ? 2cos x ? 2? ?

( x ? R )的最小正周期和最值.

3

20. 将等差数列 an ? 2n ? 1 (n ? N * ) 中 n 个项依次排列成下列 n 行 n 列的方阵,在方阵中任取一个元素,记为 x1 ,
2

划去 x1 所在的行与列,将剩下元素 按原来得位置关系组成(n-1)行(n-1)列方阵,任取其中一元素 x2 ,划去 x2 所在的 行与列 ? ,将最后剩下元素记为 xn ,记 Sn ? x1 ? x2 ?? xn ,求 lim

n??

Sn 的值。 2n ? n 2
3

3 5 ? 1 ? 2n ? 3 2n ? 5 ? 2n ? 1 ? 4n ? 1 4n ? 3 4n ? 5 ? ? ? ? ? ? 2n 2 ? 2n ? 1 2n 2 ? 2n ? 3 ? ?

? 2n ? 1 ? ? ? 4n ? 1 ? ? 6n ? 1 ? ? ? ? ? ? 2n 2 ? 1 ? ?

21.按程序框图 3,可以打印出一个数列,设这个数列为 {xn } , 开始 (1)写出这个数列 {xn } 的前 4 项,并建立数列 {xn } 的递推公式; (2)设 an ? xn?1 ? xn ,证明: {an } 是等比数列; (3)求数列 {xn } 的通项公式.

i ? 1, a ? 0, b ? 1

xi ? (a ? b) / 2
开始 输出 xi

a ? b, b ? xi ?1

i ? i ?1

i ? 100
否 结束 图3



4

矩阵、行列式和算法作业答案

一、填空题 1. 0 2. 6 .

3.

? 2 0 0? ? x ? ? 0 ? ? 0 3 1? ? y ? ? ? 2 ? ? ?? ? ? ? 5 1 0 ? ? ? ?? ?z? ? ? ? 3? ?

.

4. (-∞,-2] . 5. x ? -3 , y ? -5/3 .
6. [-3,2] 7. .

开始

? x1 ?x ? 2 ? ? x3

y1 y2 y3

1 ? ? 2? ? ? 4? ?

.

输入 x1 , x2 , x3 , x4

i ? 1, x ? 0

8. 17 . 9. -2 .

x ? x ? xi 10.若执行如图 1 所示的框图,输入 x1 ? 1, x2 ? 2, x3 ? 4, x4 ? 8, 则输出的数等于
开始 11.矩阵的一种运算 ? ?

.

i ? i ?1

开始 a b? ? a b ? ? x ? ? ax ? by? i ? 4? ( x, y ) 在矩阵 ? ? ? ? ? ? ? 该运算的几何意义为平面上的点 ? ? , ? ? y ? ? cx ? dy ? ?c d ? ? 的作用下 c d ? ? ? ? ? ? ? 是 ? 开始 否

?1 a ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 a ? b 的 变换成点 (ax ? by, cx ? dy) ,若曲线 x ? y ? 1 ? 0 在矩阵 ? ? b 1? ? 的作用下变换成曲线 x x? ? ?
4

值为 2

.

输出 x 图1

解析:若 P(x,y)是变换后得到的曲线上任一点。与 P 对应的点为 Q(x0,y0)且 Q 点在直线 x+y-1=0 上,则

? x0 ? ay0 ? x ? x0 ? ( x ? ay) /(1 ? ab) x ? ay y ? bx ? ?1 ? 0 ?? 代入直线 x+y-1=0? ? 1 ? ab 1 ? ab bx ? y ? y y ? ( y ? bx ) /( 1 ? ab ) 0 ? 0 ? 0
?

结束

1? b 1? a x? y ?1 ? 0, 1 ? ab 1 ? ab

此曲线与变换后得到的曲线 x-y-1=0 是同一条曲线。故有:

?1 ? b ? 1 ?a ? 2 ?? ?a+b=2. ? ?1 ? a ? ?1 ?b ? 0
12.在集合 ?1, 2,3, 4,5 ? 中任取一个偶数 a 和奇数 b 构成以原点为起点的向量 ? ? ? a, b? .从所有得到的以原点为 起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形,记所有作成的平行四边形的个数为 n ,其中面积不超过 ...4 的平
5

行四边形的个数为 m ,则

m ? 1/3 . n

解析:在集合 ?1,2,3,4,5? 中任取一个偶数 a 和奇数 b 构成以原点为起点的向量 ? ? ? a, b? ,这些向量为: (2,1),(2,3),(2,5),(4,1),(4,3),(4,5)共六个向量。依次记为 α1,α2,α3,α4,α5,α6.

若从原点出发的向量 α=(x1,y1)与 β=(x2,y2),由它们构成的平行四边形面积为:
0 x2 0 1

S= | x1 y 2 1 | =|x1y2-x2y1|。而 S≤4 的向量对为(α1,α2), (α1,α4), (α1,α5), (α3,α4), (α3,α6),
y2 1

即 m=5,而 n= C62 ? 15,从而 m/n=1/3.
二.选择题 13. B 14.(D ). 15.( A ). 解析:由行列式计算得: (a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a)=0 从而:a=b 或 b=c 或 c=a,即?ABC 是等腰三角形。 三、解答题:

1 ? | x | ?5 ? 1 ? ? | x | ?1 m 17. 已知 P:矩阵 ? ? 的某个列向量的模不小于 2 , Q:行列式 x ? 2 ? 0 1 ? 2? ? ?
余子式的值不小于 2 .若 P 是 Q 成立的充分条件 ,求实数 m 的取值范围. ....

?1

4

0 ?3 中元素 ?1 的代数 ?2 1

? | x | ?5 ? 1 ? | x | ?5 ? | x | ?1 解析:矩阵 ? ? 的某个列向量的模为: | x | ?1 ,而另一个向量的模为 3 ? 0 ? 2? ? ?
其中模不小于 2 只可能为

| x | ?5 ? 2 ?|x|≤3?-3≤x≤3; | x | ?1

-1 的代数余子式 ( ?1)1?2

x ? 2m 1

?3 1

? ?( x ? 2 m ? 3)

2m ? x ? 5
m . (5+x) 由 P 是 Q 成立的充分条件知: 2 =8 max . . . ...... .≥ . . . . . . . .

? m ≥ 3. . . . . . 18.已知等比数列 {an } 的首项 a1 ? 1 ,公比为 q ,

6

(1)求二阶行列式

a1 a2

a3 a4

的值;

(2)试就 q 的不同取值情况,讨论二元一次方程组 ?

? a1 x ? a3 y ? 3 何时无解,何时有无穷多解? a x ? a y ? ? 2 4 ? 2

解:(1)

a1 a2 a3 a4

a3 a4
=0

=

1 q2 =0 q q3

(2)D=

a1 a2

Dx=

3 a3 3 2 =3q -2q =0?q=2/3; 2 a4 a1 a2 3 =3q-2=0?q=2/3; 2

Dy=

1 当 q=2/3 时,方程有无穷多组解; ○ 2 当 q≠2/3 且 q≠0 时,方程无解; ○

1
19.已知函数 f ( x) ? 0

sin x

3 cos x sin x 0

sin x 2m 0

的定义域为 ? 0,

? ?? ,最大值为 4 .试求函数 g ( x) ? m sin x ? 2 cos x ? 2? ?

( x ? R )的最小正周期和最值.

解析:f(x)=2m(sin x- 3 sin x?cos x)=m-2msin(2x+π/6);
2

0≤x≤π/2 ? π/6 ≤ (2x+π/6) ≤ 7π/6; 1 m>0 ○ 由 fmax=2m=4?m=2;

g ( x) ? m sin x ? 2 cos x = 2 sin x ? 2 cos x = 2 2 sin( x ?
T=2π,gmin=- 2 2 ,gmax= 2 2 ;
2 m<0 ○ 由 fmax=-m=4?m=-4;

?
4

) ( x? R)

g ( x) ? ?4 sin x ? 2 cos x = 2 5 sin(? ? x) ( x ? R ) ,其中 ? ? arctan
T=2π,gmin=- 2 5 ,gmax= 2 5 ;

1 2

20. 将等差数列 an ? 2n ? 1 (n ? N ) 中 n 个项依次排列成下列 n 行 n 列的方阵,在方阵中任取一个元素,记为 x1 ,
*
2

7

划去 x1 所在的行与列,将剩下元素 按原来得位置关系组成(n-1)行(n-1)列方阵,任取其中一元素 x2 ,划去 x2 所在的 行与列 ? ,将最后剩下元素记为 xn ,记 Sn ? x1 ? x2 ?? xn ,求 lim

n??

Sn 的值。 2n ? n 2
3

3 5 ? 1 ? 2n ? 3 2n ? 5 ? 2n ? 1 ? 4n ? 1 4n ? 3 4n ? 5 ? ? ? ? ? ? 2n 2 ? 2n ? 1 2n 2 ? 2n ? 3 ? ?

? 2n ? 1 ? ? ? 4n ? 1 ? ? 6n ? 1 ? ? ? ? ? ? 2n 2 ? 1 ? ?

解析:a11=1, a12=1+2?1, a13=1+2?2, a14=1+2?4,????, a1n=1+2?(n-1); a21=1+2n?1; a31=1+2n?2, a41=1+2n?3, a51=1+2n?4, ????, an1=1+2n?(n-1); 从而知: aij=1+2n?(i-1)+2(j-1); 记经 x1 ? ai1 j1 , x2 ? ai2 j2 ,?????, xn ? ain jn x ? ai
j

显然每次划去 xi 所在行所在列, 故 i1 , i2 , ?, in 是 1-n 的某一个全排列, 同样 j1 , j2 , ?, jn 也是 1-n 的一个全排列。

x1 ? x2 ? ? ? xn ? [1 ? 2n(i1 ? 1) ? 2( j1 ? 1)] ? [1 ? 2n(i2 ? 1) ? 2( j2 ? 1)] +????+ [1 ? 2n(in ? 1) ? 2( jn ? 1)]
=n+2n(1+2+3+?????+n-n)+ 2(1+2+3+?????+n-n)=n
3

lim

Sn n3 ? =1/2 n ?? 2 n 3 ? n 2 2n 3 ? n 2

21.按程序框图 3,可以打印出一个数列,设这个数列为 {xn } , 开始 (1)写出这个数列 {xn } 的前 4 项,并建立数列 {xn } 的递推公式; (2)设 an ? xn?1 ? xn ,证明: {an } 是等比数列; (3)求数列 {xn } 的通项公式. 解析: (1) x1 ? (2)

i ? 1, a ? 0, b ? 1

1 3 5 11 , x 2 ? , x3 ? , x4 ? ; 2 4 8 16

xi ? (a ? b) / 2
开始 输出 xi

a ? b, b ? xi ?1

1 1 an 1 ? ? ; a1 ? , a n ? ( ? ) n ?1 4 2 a n ?1 2

(3) x n ?1 ? x n ? ( ? )

1 2

n ?1

i ? i ?1

xn ? ( xn ? xn?1 ) ? ( xn?1 ? xn?2 ) ? ? ? ( x2 ? x1 ) ? x1
=

i ? 100
否 结束 图3
8



2 2 1 n ?1 2 1 1 n ? (? ) ? ? (? ) 3 3 2 3 3 2

(n=1,2,3,???,100).


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