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2010年全国高中数学联合竞赛加试及参考答案及评分标淮(B卷)[Word版]2010.10.17


安徽高中数学

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2010 年全国高中数学联合竞赛加试 试题参考答案及评分标准(B 卷)
说明: 1. 评阅试卷时,请严格按照本评分标准的评分档次给分. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当 划分档次评分,10 分为一个档次,不要增加其他中间档次。 一、 (本题满分 40 分) 如图,锐角三角形 ABC 的外心为 O,K 是边 BC 上一点(不是边 BC 的中点) 是线段 AK 延 ,D 长线上一点,直线 BD 与 AC 交于点 N,直线 CD 与 AB 交于点 M.求证:若 OK⊥MN,则 A,B,D, C 四点共圆. 证明:用反证法.若 A,B,D,C 不四点共圆,设 A 三角形 ABC 的外接圆与 AD 交于点 E,连接 BE 并延长交 直线 AN 于点 Q, 连接 CE 并延长交直线 AM 于点 P, 连接 PQ. 因为 PK ? P 的幂(关于⊙O)? K 的幂(关于⊙O)
2

O

? ? PO 2 ? r 2 ? ? ? KO 2 ? r 2 ? ,
同理 所以 故

B

EK D

C

QK ? ? QO ? r
2 2

2

? ? ? KO
2

2

?r
2

2

?,
M

P

Q

N

P O ? P K ? Q O?
2 2

Q, K

OK ⊥ PQ .
由题设,OK⊥MN,所以 PQ∥MN,于是

(10 分)

AQ AP . ? QN PM
由梅内劳斯(Menelaus)定理,得



NB DE AQ ? ? ? 1, BD EA QN



MC DE AP ? ? ? 1. CD EA PM
由①,②,③可得



NB MC , ? BD CD
所以

(30 分)

ND MD ,故△DMN ∽ △DCB,于是 ?DMN ? ?DCB ,所以 BC∥MN,故 OK⊥BC,即 ? BD DC
(40 分)

K 为 BC 的中点,矛盾!从而 A, B, D, C 四点共圆.

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注 1:“ PK 2 ? P 的幂(关于⊙O) ? K 的幂(关于⊙O)”的证明:延长 PK 至点 F,使得

PK ? KF ? AK ? KE ,
则 P,E,F,A 四点共圆,故



?PFE ? ?PAE ? ?BCE ,
从而 E,C,F,K 四点共圆,于是

PK ? PF ? PE ? PC ,
⑤-④,得



PK 2 ? PE ? PC ? AK ? KE
. ? P 的幂(关于⊙O) ? K 的幂(关于⊙O)

注 2:若点 E 在线段 AD 的延长线上,完全类似.
A

O F B EK D P C

Q

N M

二、 (本题满分 40 分) 设 m 和 n 是大于 1 的整数,求证:

1m ? 2m ? ? ? n m?

m m1 ? n ? 1 ? ( ? n ? 1 ) Cm n ? ? Cm ?1 ? i ? ) . ? k k j ? 1 ( ji? 1 j m ?1? k ?1 ?

证明:由(q ? 1)

m ?1

j ? ? Cm ?1q j 得到 j ?0

m ?1

j (q ? 1) m?1 ? q m?1 ? ? Cm?1q j , j ?0

m

分别将q ? 1, 2,?, n代入上式得:
j 2m ?1 ? 1 ? ? Cm ?1 , j ?0 m

j 3m ?1 ? 2m ?1 ? ? Cm ?1 2 j , j ?0

m

??

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j n m ?1 ? (n ? 1) m ?1 ? ? Cm ?1 (n ? 1) j , j ?0 m

m

j (n ? 1) m?1 ? n m?1 ? ? Cm ?1n j . j ?0

将上面n个等式两边分别相加得到:
j (n ? 1) m ?1 ? 1 ? ? (Cm ?1 ? i j ), j ?0 i ?1 m n

(20 分)

(n ? 1)(n ? 1) m ? 1 ? n ? ? Cm ?1 ? i j) (m ? 1)? i m , ( j ?
j ?1 i ?1 i ?1

m ?1

n

n

1m ? 2m ? ? ? n m ?
三、 (本题满分 50 分) 设 x, y, z 为非负实数, 求证:

m m ?1 n 1 ? k k j j ? ?(n ? 1)? Cm n ? ? (Cm ?1 ? i ) ? . m ?1? k ?1 j ?1 i ?1 ?

(40 分)

xy ? yz ? zx 3 x2 ? y 2 ? z 2 3 2 2 2 2 2 2 ( ) ? ( x ? xy ? y )( y ? yz ? z )( z ? zx ? x ) ? ( ) . 3 2
证明:首先证明左边不等式. 因为

1 1 x 2 ? xy ? y 2 ? [( x ? y ) 2? 3( x ? y ) ]2? ( x ? y ) , 2 4 4
(10 分)

同理,有

1 1 2 y 2 ? yz ? z 2 ? ( y ? z ) , z 2 ? zx ? x 2 ? ( z ? x)2 ; 4 4
于是

( x 2 ? xy ? y 2 ) ( 2? yz ? z y ?

2

2 1 ) ( ? zx ? x ?) z 2 x [ (y y ? z z ? x ( ? )( ) 64

2

)]
(20 分)

1 [ (x ? y ? z )xy ? yz ? zx ?) xyz 2 ; ] ( 64 1 由算术-几何平均不等式, 得 xyz ? ( x ? y ? z )( xy ? yz ? zx) ,所以 9 2 1 ( x 2 ? xy ? y 2 ) ( 2? yz ? z 2 ) ( ? zx ? x ?) x ? y ? z xy ? yz ? zx y z 2 ( )2 ( 81 1 xy ? yz ? zx 3 2 ? ( x 2 ? y 2 ? z 2? 2xy ? 2 ? zx xy( ? yz ? zx ? ( yz 2 ) ) ) . 81 3 左边不等式获证, 其中等号当且仅当 x ? y ? z 时成立.
下面证明右边不等式. 根据欲证不等式关于 x, y, z 对称, 不妨设 x ? y ? z , 于是
2 2 ( z 2 ? z x? x) ( y ? y ? z 2

2

)

(30 分)

) ? z

2

x 2y , z x 2 ) x? ( ?
2

所以
2 2 ( x 2 ? x y? y) ( y ? y ? z 2

) ( 2z z ?

? x

? y2 ) .y2 2 y x x

(40 分)

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运用算术-几何平均不等式, 得

x 2 ? xy ? y 2 ? xy 2 ) ? xy 2 x 2 ? xy ? y 2 ? xy 2 x 2 ? y 2 x2 ? y 2 3 x2 ? y 2 ? z 2 3 ?( ) ?( ) ?( ) ?( ) . 2 2 2 2 右边不等式获证, 其中等号当且仅当 x, y, z 中有一个为 0,且另外两个相等时成立. ( x 2 ? xy ? y 2 ) x 2 y 2 ? ( x 2 ? xy ? y 2 ) ? xy ? xy ? (
四、 (本题满分 50 分) 设 k 是给定的正整数, r ? k ?

(50 分)

1 (1) (l ) .记 f (r ) ? f (r ) ? r ? r ? , f (r ) ? ? ? 2

f ( f (l ?1) (r )), l ? 2 .证明:存在正整数 m,使得 f ( m ) ( r ) 为一个整数.这里, ? x ? 表示不小于实数 x ? ?
的最小整数,例如: ? ? ? 1 , ?1? ? 1 . ?? 2 证明:记 v2 ( n) 表示正整数 n 所含的 2 的幂次.则当 m ? v2 (k ) ? 1 时, f 下面我们对 v2 ( k ) ? v 用数学归纳法. 当 v ? 0 时,k 为奇数, k ? 1 为偶数,此时 f ( r ) ? ? k ? 数. 假设命题对 v ? 1(v ? 1) 成立. 对于 v ? 1 ,设 k 的二进制表示具有形式
(m)

?1? ? ?

( r ) 为整数.

? ?

1?? 1? ? 1 ? ? ? k ? ? ? ? k ? ?? k ?1? 为整 2?? 2? ? 2?
(10 分)

k ? 2v ? ? v ?1 ? 2v ?1 ? ? v ? 2 ? 2v ? 2 ?? ,
这里, ? i ? 0 或者 1, i ? v ? 1, v ? 2, ?. 于是 (20 分)

1 ?? 1? ? 1? ? f (r ) ? ? k ? ? ? k ? ? ? ? k ? ? ? k ? 1? 2?? 2? ? 2? ?

?

1 k ? ? k2 ? k 2 2 1 v ?1 ? ? 2 ? (? v ?1 ? 1) ? 2v ? (? v ?1 ? ? v ? 2 ) ? 2v ?1 ? ? ? 22v ? ? 2 1 ① (40 分) ? k? ? , 2

这 里 k? ? 2

v ?1

v v ? ? (? v ?1 ? 1)? 2 ? ? v? 1 ? ? v? 2 ?) 21 ? ? ? 2 v? ? . 显 然 k ? 中 所 含 的 2 的 幂 次 为 ( 2

1 v ? 1.故由归纳假设知, r ? ? k ? ? 经过 f 的 v 次迭代得到整数,由①知, f ( v ?1) (r ) 是一个整数, 2
这就完成了归纳证明. (50 分)

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