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2012江苏高考数学试卷(含答案)


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2012 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)

数学Ⅰ
参考公式:
1 棱锥的体积 V ? Sh ,其中 S 为底面积, h 为高. 3 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上 . ........
1.已知集合 A ? {1, 2, 4} , B ? {2 , 4, 6} ,则 A ? B ? ▲ .

2.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 3 : 3 : 4 ,现用分层抽样的方法从该校高中三 个年级的学生中抽取容量为 50 的样本,则应从高二年级抽取 ▲ 名学生. 3.设 a , b ? R , a ? bi ?

11 ? 7i (i 为虚数单位) ,则 a ? b 的值 1 ? 2i

开始 k←1 N

为 ▲ . 4.右图是一个算法流程图,则输出的 k 的值是 ▲ . 5.函数 f ( x) ? 1 ? 2log 6 x 的定义域为 ▲ . 6.现有 10 个数,它们能构成一个以 1 为首项, ?3 为公比的 等比数列,若从这 10 个数中随机抽取一个数,则它小于 8 的概率是 ▲ .

k2-5k+4>0 Y 输出 k 结束

k←k +1

(第 4 题) 7.如图,在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? AD ? 3cm , AA1 ? 2cm , D1 则四棱锥 A ? BB1 D1 D 的体积为 ▲ cm3.

C1 B1
D B C

A1

x2 y2 8.在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 ? 2 ? 1 的离心率 m m ?4 A
为 5 ,则 m 的值为 ▲ . D BC ? 2 ,点 E 为 BC 的中点, 9.如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 2 ,

(第 7 题) F C

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 点 F 在边 CD 上,若 AB ? AF ? 2 ,则 AE ? BF 的值是 ▲ .
10.设 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间 [?1, 1] 上,

E

A
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B

? 1≤ x ? 0 , ?ax ? 1, ? 其中 a , f ( x) ? ? bx ? 2 b ? R .若 , 0 ≤ x ≤ 1, ? ? x ?1
则 a ? 3b 的值为 ▲ .

?1? ?3? f ? ? ? f ? ?, ?2? ? 2?

(第 9 题)

?? 4 ?? ? ? 11.设 ? 为锐角,若 cos ? ? ? ? ? ,则 sin ? 2? ? ? 的值为 ▲ . 12 ? 6? 5 ? ?
12.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 8x ? 15 ? 0 ,若直线 y ? kx ? 2 上至少存 在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值是 ▲ .

13. 已知函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? b(a , 若关于 x 的不等式 f ( x) ? c 的 b ? R) 的值域为 [0 , ? ?) , 解集为 (m , m ? 6) ,则实数 c 的值为 ▲ . 14. 已知正数 a , 5c ? 3a ≤ b ≤ 4c ? a , c ln b ≥ a ? c ln c ,则 b, c 满足:

b 的取值范围是 ▲ . a

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字说 ....... 明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分)

??? ? ???? ??? ? ??? ? 在 ?ABC 中,已知 AB ? AC ? 3BA? BC .
(1)求证: tan B ? 3tan A ;

5 ,求 A 的值. 5 16. (本小题满分 14 分)
(2)若 cos C ? 如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB CC1 上的点(点 D E 分别是棱 BC , 1 1 ? AC 1 1 ,D, 不同于点 C) ,且 AD ? DE , F 为 B1C1 的中点. 求证: (1)平面 ADE ? 平面 BCC1B1 ; (2)直线 A1 F // 平面 ADE.

A1
F

C1
E

B1

A D B (第 16 题)

C

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17. (本小题满分 14 分) 如图,建立平面直角坐标系 xOy,x 轴在地平面上,y 轴垂直于地平面,单位长度为 1 千 1 米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程 y ? kx ? (1 ? k 2 ) x 2 (k ? 0) 表示的 20 曲线上,其中 k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小) ,其飞行高度为 3.2 千米,试问它的横坐标 a 不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由. y(千米)

O

(第 17 题)

x(千米)

18. (本小题满分 16 分) 若函数 y ? f ( x ) 在 x=x0 取得极大值或者极小值则 x=x0 是 y ? f ( x ) 的极值点 已知 a,b 是实数,1 和 ?1 是函数 f ( x) ? x3 ? ax 2 ? bx 的两个极值点. (1)求 a 和 b 的值; (2)设函数 g ( x) 的导函数 g ?( x) ? f ( x) ? 2 ,求 g ( x) 的极值点; (3)设 h( x) ? f ( f ( x)) ? c ,其中 c ?[?2 , 2] ,求函数 y ? h( x) 的零点个数.

19. (本小题满分 16 分) 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 椭圆

x2 y 2 右焦点分别为 F1 (?c , ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、 0) , a 2 b2

? 3? e , F2 (c , 0) .已知 (1, e) 和 ? ? 都在椭圆上,其中 e 为椭圆的离心率. ? 2 ? ? ? y (1)求椭圆的离心率; A
(2)设 A,B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点,且直线 AF1 与直线 BF2 平行, AF2 与 BF1 交于点 P. P B

F1

O

F2

x

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(第 19 题)

6 ,求直线 AF1 的斜率; 2 (ii)求证: PF1 ? PF2 是定值.
(i)若 AF1 ? BF2 ?

20. (本小题满分 16 分) 已知各项均为正数的两个数列 {an } 和 {bn } 满足: an ?1 ?

an ? bn an ? bn
2 2

, n ? N? .

2 ? bn ?? bn ? ? ? ? (1)设 bn ?1 ? 1 ? ,n ? N ,求证:数列 ?? ? ? 是等差数列; a an ? ?? n ? ? ?

(2)设 bn ?1 ? 2 ?

bn ,n ? N? ,且 {an } 是等比数列,求 a1 和 b1 的值. an

绝密★启用前

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数学Ⅱ(附加题)
注 意 事 项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求: 准考证号 1.本试卷共 2 页,均为非选择题(第 21 题~第 23 题) 。本卷满分为 40 分。考试时间为 30 分钟。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。 2.答题前,请您务必将自己的姓名、考试证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及 答题卡的规定位置。
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3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 4.作答试题必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答,在其它位置

21.[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作 ................... 答. 若多做,则按作答的前两题评分. .. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.[选修 4 - 1:几何证明选讲](本小题满分 10 分) 如图,AB 是圆 O 的直径,D,E 为圆上位于 AB 异侧的两点,连结 BD 并延长至点 C, C 使 BD = DC,连结 AC,AE,DE. 求证: ?E ? ?C . A O E (第 21-A 题) B.[选修 4 - 2:矩阵与变换](本小题满分 10 分) D B

? 1 3 ? ?? 4 4 ? 已知矩阵 A 的逆矩阵 A?1 ? ? ? ,求矩阵 A 的特征值. ? 1 ? 1? ? 2 ? 2? ?
C.[选修 4 - 4:坐标系与参数方程](本小题满分 10 分) 在极坐标中, 已知圆 C 经过点 P 点,求圆 C 的极坐标方程. D.[选修 4 - 5:不等式选讲](本小题满分 10 分)

?

2,

? ? 3 , 圆心为直线 ? sin ? ? 与极轴的交 ?? 3 2 4

?

?

?

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已知实数 x,y 满足: | x ? y |?

1 1 5 求证: | y |? . , | 2 x ? y |? , 3 6 18

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域内 作答,解答时应写 ........ 出文字说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 设 ? 为随机变量,从棱长为 1 的正方体的 12 条棱中任取两条,当两条棱相交时,? ? 0 ;当 两条棱平行时, ? 的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时, ? ? 1 . (1)求概率 P(? ? 0) ; (2)求 ? 的分布列,并求其数学期望 E (? ) .

23. (本小题满分 10 分) 设集合 Pn ? {1, 2, n}, n ? N? .记 f (n) 为同时满足下列条件的集合 A 的个数: …, ① A ? Pn ;②若 x ? A ,则 2x ? A ;③若 x ? ? Pn A ,则 2 x ? ? Pn A . (1)求 f (4) ; (2)求 f (n) 的解析式(用 n 表示) .

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