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高二文科数学半期考


永定一中 2014—2015 学年度下期期中考试
高二数学试题(文科)
一.选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的). 1.设集合 U ? {1, 2,3, 4,5} , A ? {1, 2,3} , B ? {3, 4,5} ,则 CU ( A I B) 等于( B ) A. {1

, 2,3, 4,5} B. {1, 2, 4,5} C. {1, 2,5} D. {3}

2.在复平面内,复数 z ? ?1 ? 2i 对应的点位于( B ) A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 3.某知识竞赛规则如下:主办方预设 3 个问题,选手能正确回答出这 3 个问题,即可晋级 下一轮,假设某选手回答正确的个数为 0,1,2 的概率分别是 0.1,0.2,0.3,则该选手 晋级下一轮的概率为( D ) A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 4.设 p、q 是简单命题,则“p 或 q 是假命题” 是 “非 p 为真命题”的( A ) A. 充分而不必要条件 C. 充要条件 B. 必要而不充分条件 D. 非充分非必要条件

5.用反证法证明“ a, b ? N? , a, b 可被 5 整除,那么, a , b 中至少有一个能被 5 整除”时, 假设的内容是( C ) A. a 不能被 5 整除 B. b 不能被 5 整除 C. a、 b 都不能被 5 整除 D.以上都不对 6.为了解儿子身高与其父亲身高的关系,随机抽取 5 对父子身高数据如下 父 亲 身 高 x (cm) 儿 子 身 高 y 174 175 176 175 176 176 176 177 178 177

(cm) 则 y 对 x 的线性回归方程为 ( C ) A. y ? x ? 1 B. y ? x ? 1 C. y ? 88 ?

1 x 2

D. y ? x ?1
2

7.命题“存在 x ? R, x3 ? x2 ? 1 ? 0 ”的否定的是( B ) A.不存在 x ? R, x ? x ? 1 ? 0
3 2

B.对任意的 x ? R, x ? x ? 1 ? 0
3 2

C.存在 x ? R, x ? x ? 1 ? 0
3 2 2 2

D.对任意的 x ? R, x ? x ? 1 ? 0
3 2

8.若函数 f ( x) ? ax ? (2a ? a ?1) x ? 1 为偶函数,则实数 a 的值为( C ) A.1 B. ?

1 2

C .1 或 ?

1 2

D.0

9.下列命题正确的个数是

①命题 p :“ ?x ? R,sin x ? cos x ? 2 ” ,则 ? p 是真命题; ②函数 f ( x) ? cos 2 ax ? sin 2 ax 的最小正周期为 ? ”是“ a ? 1 ”的必要不充分条件; ③ x 2 ? 2 x ? ax 在 x ? ?1, 2? 上恒成立 ? ( x 2 ? 2 x) min ? (ax) max 在 x ? ?1, 2? 上恒成立; ④“平面向量 a 与 b 的夹角是钝角”的充分必要条件是“ a ? b ? 0 ”.( A ) A.1 10.定义运算 a ? b ? ? B.2 C.3 D.4

?a(a ? b), 则函数 f ( x) ? 1 ? 2x 具有如下性质( D ) ?b(a ? b),
B. 在区间 (0, +?) 上单调递增 D. 最大值为 1

A.在区间 (??, 0) 上单调递减 C.最小值为 1 11 .设曲线 y ? x
n?1

(n ? N * ) 在点( 1 , 1 )处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn , 则

x1 ? x2 ?
A.

? xn 的值为( B )
B.

1 n

1 n ?1

C.

n n ?1

D. 1

12 . 函 数 f ( x ) 的 定 义 域 为

D, 若 存 在 非 零 实 数 l 使 得 对 于 任 意

x ? M (M ? D), 有x ? l ? D, 且f ( x ? l ) ? f ( x) ,则称 f ( x) 为 M 上的 l 高调函数。如果定
义域为 R 的函数 f ( x ) 是奇函数,当 x ? 0时,f ( x) ?| x ? a 2 | ?a 2 , 且 f ( x ) 为 R 上的 4 高调 函数,那么实数 a 的取值范围是( A. 0 ? a ? 1 B ) C. -2 ? a ? 2 D. -2<a ? 2 B. -1 ? a ? 1

二.填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题卡相应横线上). 13.若复数 (a ? 3a ? 2) ? (a ?1)i 是纯虚数,则实数 a 的值为 2
2

14.函数 y ?

x ln(1 ? x) 的定义域为

[0,1)

15.设函数 f ( x ) 是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数,当 x ?[0,1]时,f ( x) ? x ? 1,

则f (2015.5) ?

1.5

16.设集合 A ? R ,如果 x0 ? R 满足:对任意 a ? 0 ,都存在 x ? A ,使得 0 ?| x ? x0 |? a , 那么称 x0 为集合 A 的一个聚点.则在下列集合中: ①Z
?

Z ? ; ② R?

1 n ? ? ? ? R? ; ③ ? x | x ? , n ? N * ? ;④ ? x | x ? , n ? N* ? . n n ?1 ? ? ? ?

以 0 为聚点的集合的序号为 ②③

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 74 分。需写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 已知 M ? {1,(m2 ? 2m) ? (m2 ? m ? 2)i} , P ? {1, ?1, 4i} ,若 M ? P ,求实数 m . 解:由题意, (1)当 (m2 ? 2m) ? (m2 ? m ? 2)i ? ?1时, 所以 ?

? m 2 ? 2 m ? ?1 ?m ? m ? 2 ? 0
2

,解得 ?

? m ?1 ,所以 m ? 1 .-------------6分 ?m ? 1或 ? 2

(2)当 (m2 ? 2m) ? (m2 ? m ? 2)i ? 4i 时, 所以 ?

? m 2 ? 2m ? 0 ?m ? m ? 2 ? 4
2

,解得 ?

? m ? 0或 2 ,所以 m ? 2 . ? m ? 2或 ? 3

综上得 m ? 1 或 m ? 2 .-------------12分 18. (本小题满分 12 分) 已知命题 p: ?x∈[1,2], x2-a≥0.命题 q: ?x0∈R, 使得 x2 0+(a-1)x0+1<0.若“p 或 q” 为真,“p 且 q”为假,求实数 a 的取值范围. 解: 由条件知,a≤x2 对?x∈[1,2]成立,∴a≤1; 。
2 ∵?x0∈R,使 x0 +(a-1)x0+1<0 成立,

∴不等式 x2+(a-1)x+1<0 有解,∴Δ=(a-1)2-4>0,∴a>3 或 a<-1; 。 ∵p 或 q 为真,p 且 q 为假,∴p 与 q 一真一假. 。 ① p 真 q 假时, ?

?a ? 1 ? ?1 ? a ? 1 。 ??1 ? a ? 3

② ②p 假 q 真时, ?

?a ? 1 ?a?3。 ?a ? ?1或a ? 3

③ ∴实数 a 的取值范围是 a ?[?1,1] ? (3, ??) 。??12 分 19.在对人们的休闲方式的一次调查中,共调查了 110 人,其中女性 60 人,男性 50 人。女 性中有 40 人主要的休闲方式是看电视,另外 20 人主要的休闲方式是运动;男性中有 20 人 主要的休闲方式是看电视,另外 30 人主要的休闲方式是运动。 (1)根据以上数据建立一个 2×2 的列联表; (2)判断性别与休闲方式是否有关系。 参考公式与表格: k ?
2

n(ad ? bc)2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

P(k2>k)

0.50

0.40

k

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.84

5.024

6.635

7.879

10.83

解: (1)2×2 的列联表
休闲方式 性别 女 男 总计 40 20 60 20 30 50 60 50 110 看电视 运动 总计

(2)由公式得

K2 ?

110 ? (40 ? 30 ? 20 ? 20) 2 ? 7.8 60 ? 50 ? 60 ? 50
2

因为 K ? 6.635 ,所以有理由认为假设“休闲方式与性别无关”是不合理的, 即有 99%的把握认为“休闲方式与性别有关” 19.(本小题满分 12 分) 有以下三个不等式:

(12 ? 4 2 )(9 2 ? 52 ) ? (1? 9 ? 4 ? 5) 2 ; (6 2 ? 82 )(2 2 ? 122 ) ? (6 ? 2 ? 8 ? 12) 2 ; (202 ? 102 )(1022 ? 7 2 ) ? (20?102? 10? 7) 2 .
请你观察这三个不等式,猜想出一个一般性的结论,并证明你的结论。 解:结论为: (a ? b )(c ? d ) ? (ac ? bd) .
2 2 2 2 2

???????5 分

证明: (a ? b )(c ? d ) ? (ac ? bd)
2 2 2 2

2

? a 2 c 2 ? a 2 d 2 ? b 2 c 2 ? b 2 d 2 ? (a 2 c 2 ? b 2 d 2 ? 2abcd)
2 2 2 2 2 ? a d ? b c ? 2abcd ? (ad ? bc) ? 0 ,

所以 (a ? b )(c ? d ) ? (ac ? bd) .
2 2 2 2 2

????????????12 分

20.已知 f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且满足 f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1. (1)求证:f(8)=3 (2)求不等式 f(x)-f(x-2)>3 的解集. (1) 【证明】 由题意得 f(8)=f(4×2)=f(4)+f(2)=f(2×2)+f(2)=f(2)+f(2)+f(2)=3f(2) 又∵f(2)=1 ∴f(8)=3 (2)【解】 不等式化为 f(x)>f(x-2)+3 ∵f(8)=3 ∴f(x)>f(x-2)+f(8)=f(8x-16) ∵f(x)是(0,+∞)上的增函数

?8( x ? 2) ? 0 16 ∴? 解得 2<x< 7 ? x ? 8( x ? 2)
21.某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品, 其生产的总成本 y(万无) 与年产量 x (吨)之间的函数关系式可以近似地表示为 y ?

x2 ? 48 x ? 8000 ,已知此生产线年产 5

量最大为 210 吨。 (1)求年产量为多少吨时,生产每吨产品平均成本最低,并求最低成本。 (2)若每吨产品平均出厂价为 40 万元,那么当年产量为多少吨时,可以获得最大利润?最 大利润是多少? 解: (1)生产每吨产品的平均成本为



由于



当且仅当

时,即

时等号成立。

答:年产量为 200 吨时,每吨平均成本最低为 32 万元;

(2)设年利润为 ,则

, 由于 在 上为增函数,故当 时, 的最大值为 1660。 答:年产量为 210 吨时,可获得最大利润 1660 万元。 22.设函数 f ( x) ? ?

1 3 x ? x 2 ? (m 2 ? 1) x, ( x ? R, )其中 m ? 0 3

时 ,曲线 y ? f ( x)在点( 1,f( 1 )) (Ⅰ)当 m ? 1 处的切线斜率
(Ⅱ)求函数的单调区间与极值;

x1 , x 2 , (Ⅲ) 已知函数 f ( x ) 有三个互不相同的零点 0, 且 x1 ? x 2 。 若对任意的 x ? [ x1 , x 2 ] ,
f ( x) ? f (1) 恒成立,求 m 的取值范围。





m ? 1时, f ( x) ?

1 3 x ? x 2 , f / ( x) ? x 2 ? 2 x, 故f ' (1) ? 1 所 以 曲 线 3

处的切线斜率为 1………….2 分 y ? f ( x)在点( 1,f( 1 )) (2)解析 f ' ( x) ? ? x 2 ? 2 x ? m 2 ? 1,令 f ' ( x) ? 0 ,得到 x ? 1 ? m, x ? 1 ? m 因为 m ? 0, 所以 1? m ? 1? m 当 x 变化时, f ( x), f ' ( x) 的变化情况如下表:

x
f ' ( x)
f ( x)

(??,1 ? m)
+

1? m
0 极小值

(1 ? m,1 ? m)
-

1? m
0 极大值

(1 ? m,??)
+

f ( x) 在 (??,1 ? m) 和 (1 ? m,??) 内减函数,在 (1 ? m,1 ? m) 内增函数。

2 3 1 m ? m2 ? 3 3 2 3 1 2 函数 f ( x ) 在 x ? 1 ? m 处取得极小值 f (1 ? m) ,且 f (1 ? m) = ? m ? m ? 3 3
函数 f ( x ) 在 x ? 1 ? m 处取得极大值 f (1 ? m) ,且 f (1 ? m) = ……………………………7 分 (3) 由题设, f ( x) ? x(?

1 2 1 x ? x ? m 2 ? 1) ? ? x( x ? x1 )( x ? x 2 ) 3 3

1 2 x ? x ? m 2 ? 1 =0 由 两 个 相 异 的 实 根 x1 , x 2 , 故 x1 ? x2 ? 3 , 且 3 4 1 1 ? ? 1 ? ( m 2 ? 1) ? 0 ,解得 m ? ? (舍),m ? 3 2 2 3 因为 x1 ? x 2 , 所以2 x 2 ? x1 ? x 2 ? 3, 故x 2 ? ? 1 2 1 若 x1 ? 1 ? x 2 , 则f (1) ? ? (1 ? x1 )(1 ? x 2 ) ? 0 ,而 f ( x1 ) ? 0 ,不合题意 3
所以方程 ? 若 1 ? x1 ? x2 , 则对任意的 x ? [ x1 , x 2 ] 有 x ? x1 ? 0, x ? x2 ? 0, 则 f ( x) ?? ?

1 x( x ? x1 )( x ? x 2 ) ? 0 又 f ( x1 ) ? 0 , 所以函数 f ( x ) 在 x ? [ x1 , x 2 ] 的最 3

小 值 为 0 , 于 是 对 任 意 的 x ? [ x1 , x 2 ] , f ( x) ? f (1) 恒 成 立 的 充 要 条 件 是

f (1) ? m 2 ?

1 3 3 ? 0 ,解得 ? ?m? 3 3 3

综上,m 的取值范围是 ( ,

1 3 ) 2 3 …………….13 分


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