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10.1简单的三角恒等变换


简单的三角恒等变换

2011· 考纲下载
掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式. ? 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的 正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化 和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆). ?

请注意!
?1.灵活运用三角公式特别是倍角公式进行三角恒等变换,<

br />
进而考查三角函数的图象和性质是高考的热点内容.
?2.以三角函数为背景、向量为载体考查恒等变形能力以及

运用正、余弦定理判定三角形的形状,求三角形的面积等
问题是在知识交汇点处命题的一个热点问题.

课前自助餐
课本导读
1.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin2α=2sinαcosα; (2)cos2α=cos α-sin α=2cos α-1= 1-2sin α; kπ π (3)tan2α= (α≠ + 且α≠ 2 2 4 1-tan α π kπ+ ). 2 2tanα
2 2 2 2

2.半角公式(不要求记忆) α (1)sin =± 2 α (2)cos =± 2 α (3)tan =± 2 1-cosα = . sinα 1-cosα ; 2 1+cosα ; 2 1-cosα sinα = 1+cosα 1+cosα

3.二倍角公式不仅限于 2α是α的二倍的形式,其它 α α 3α 如 4α=2?2α; =2? ;3α=2? 都适用. 2 4 2 4. 由 cos2α=2cos α-1=1-2sin α可得降幂公式: 1+cos2α 1-cos2α 2 cos α= ;sin α= ;升幂公式 2 2
2 2 2

cos2α=2cos α-1=1-2sin α.

2

2

教材回归
1 1.tan15°+ =( tan15° A.2 B.2+ 3 ) 4 3 D. 3

C.4

答案 C

解析

方法一

sin15° cos15° 1 tan15°+ = + tan15° cos15° sin15°

1 2 = = =4. cos15°sin15° sin30°

方法二

1-cos30° 1 1 tan15°+ = + tan15° sin30° sin30° 1+cos30°

1-cos30° 1+cos30° 2 = + = =4. sin30° sin30° sin30°

θ θ 2.已知 是第四象限角,且 cos = 2 2 则 sinθ等于( 2 1+x A.- x 2 1-x C.- x ) 2 1+x B. x 2 -1-x D. x

1+x , x

答案 D
解析 θ θ 是第四象限角,sin =- 2 2 1 - (x<0), x

θ θ sinθ=2sin cos =-2 2 2 =-2 -1-x -1-x =2 . |x| x

1 - ? x

1+x x

sinαcosα 2 3.已知 =1,tan(α-β)=- ,则 tan(β-2 3 1-cos2α α)=____.

答案
解析 cosα

1 8
由已知 sinαcosα 1-cos2α = 1,得 sinαcosα 1-?1-2sin α?
2



=1, 2sinα

高考调研 ·新课标高考总复 习

1 2 ∴tanα= ,又 tan(α-β)=- , 2 3 ∴tan(β-2α)=-tan[(α-β)+α]= - 1-tan?α-β?tanα 2 1 - + 3 2 1 =- = . 2 1 8 1-(- )? 3 2 tan?α-β?+tanα

π 2π 1 4. (2011? 衡水调研)已知 sin( +α)= , 则 cos( - 6 3 3 2α)的值等于( 5 A.- 9 5 C. 9
答案 B

)

7 B.- 9 7 D. 9

解析

π π π π ∵ +α+ -α= ,∴ sin( +α )= 6 3 2 6

π 2π π 1 cos( -α)= ,∴cos( -2α)=cos2( -α) 3 3 3 3 π 1 2 7 =2cos ( -α)-1=2?( ) -1=- ,故选 B. 3 3 9
2

4 5.(2010?新课标全国卷)若 cos α=- ,α是第三 5 α 1+tan 2 象限的角,则 =( α 1-tan 2 1 A.- 2 1 B. 2 C.2

)

D.-2

答案 A

解析

4 ∵cos α=- 且α是第三象限的角,∴sin α 5

3 =- , 5

α cos +sin 2 α α 1+tan cos 2 2 ∴ = α α 1-tan cos -sin 2 2 α cos 2 ?cos

α 2 α cos +sin 2 = α α cos -sin 2 2 α 2 = α 2

α α 2 +sin ? 2 2 = α α α α ?cos -sin ??cos +sin ? 2 2 2 2 3 1- 1+sin α 1+sin α 5 1 = = =- . 4 2 α α cos α 2 2 - cos -sin 5 2 2 故选 A.

授人以渔
题型一 化简问题

例1

1+cosx-sinx 1-cosx-sinx 已知 f(x)= + 且 1-sinx-cosx 1-sinx+cosx

π x≠2kπ+ ,k∈Z.且 x≠kπ+π,k∈Z. 2 (1)化简 f(x); x 1+tan x 2 (2)是否存在 x,使得 tan ?f(x)与 相等?若 2 sinx
2

存在,求 x 的值;若不存在,请说明理由.

【解析】

1+cosx-sinx (1)∵ 1-sinx-cosx

x x 2x 2cos -2sin cos 2 2 2 = x x 2x 2sin -2sin cos 2 2 2 x x x x 2cos (cos -sin ) cos 2 2 2 2 = =- , x x x x -2sin (cos -sin ) sin 2 2 2 2

x sin 1-cosx-sinx 2 同理得 =- x 1-sinx+cosx cos 2 x x cos sin 2 2 ∴f(x)=- - x x sin cos 2 2
2x 2x cos +sin 2 2 2 =- =- , x x sinx sin ?cos 2 2

π 且 x≠2kπ+ ,k∈Z; 2

高考调研 ·新课标高考总复 习
x 1+tan x 2 (2)若 tan ?f(x)= , 2 sinx
2

x 2x 2tan 1+tan 2 2 则- = , sinx sinx x 2tan 2

∴ =-1,即 sinx=-1, 2x 1+tan 2 3π 此时 x=2kπ+ ,(k∈Z),即为存在的值. 2

? 探究1

分式的化简关键是将分子、分母、分解因式,然后约分,运用二倍

角的变形公式.可将一些多项式化为完全平方式,便于分解因式.同学们 应熟练掌握下列公式. ? 1±sin2α =(sinα ±cosα )2 ? 1+cos2α =2cos2α ? 1-cos2α =2sin2α ? 在一些根式的化简中也经常用到上述公式.

思考题 1

化简:

α α ?1+sinα+cosα(sin -cos ) 2 2 (π<α<2π). 2+2cosα 【解析】 (2cos
2

原式=

α α α α α +2sin cos )(sin -cos ) 2 2 2 2 2 α 4cos 2
2

α α α α α 2cos (cos +sin )(sin -cos ) 2 2 2 2 2 = α 2|cos | 2 α α α α 2 2 cos (sin -cos ) cos (-cosα) 2 2 2 2 = = , α α |cos | |cos | 2 2

π α α ∵π<α<2π,∴ < <π.∴cos <0. 2 2 2 α -cos cosα 2 ∴原式= =cosα. α -cos 2 例2 (1)函数f(x)=sin4x+cos2x的最小正周

期为______. (2)函数f(x)=sin4x+2 值域为____. 【解析】 ①f(x)=sin4x+cos2x 3 sinxcosx-cos4x的

1-cos2x 2 1+cos2x =( )+ 2 2

1 3 1 1+cos4x 3 2 = cos 2x+ = ? + 4 4 4 2 4 1 7 = cos4x+ 8 8 2π π ∴f(x)的最小正周期为 T= = 4 2 ②f(x)=sin x+2 3sinxcosx-cos x =(sin x+cos x)(sin x-cos x)+ 3sin2x = 3sin2x-cos2x π =2sin(2x- ) 6 ∴f(x)的值域为[-2,2]
2 2 2 2 4 4

探究 2

三角函数式的化简,经常需要降次,下列公式

经常用于降次 cos x-sin x=cos2x 1-cos2x 1+cos2x 2 sin x= ,cos x= 2 2
2 2 2

1 2 2 sinxcosx= sin2x,sin x+cos x=1. 2 思考题 2 (2011? 成都诊断)已知 f(x)=sin x+cos x+
4 4

3 3 2sin xcosx-sinxcosx- ,求 f(x)的最小正周期. 4 【解析】 f(x)= π 2 cos(4x+ ), 4 4 π T= 2

题型二
例3

求值问题
求值:

1 3 ① - ; sin10° cos10° ②sin10°?sin50°?sin70°. 【解析】 cos10°- 3sin10° ①原式= sin10°cos10°

1 3 2( cos10°- sin10°) 2 2 = sin10°cos10° 4(sin30°cos10°-cos30°sin10°) = 2sin10°cos10° 4sin(30°-10°) = =4. sin20°

②原式=cos20°cos40°cos80° 2sin20°cos20°cos40°cos80° = 2sin20° 2sin40°cos40°cos80° 2sin80°cos80° = = 4sin20° 8sin20° sin160° sin20° 1 = = = . 8sin20° 8sin20° 8

? 探究3 对于给角求值问题,一般所给出的角都是非特殊角,从表面来看是 很难的,应仔细观察非特殊角与特殊角的关系,利用观察得到的关系,结 合三角公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解.有时还可 逆用、变形运用公式.

思考题3

求值:

(1)sin6°sin42°sin66°sin78°; (2)(tan10°- 3)sin40°. 【解析】
4

(1)原式=sin6°cos48°cos24°cos12°

2 sin6°cos6°cos12°cos24°cos48° = 4 2 cos6° 2 sin12°cos12°cos24°cos48° = 4 2 cos6° 2 sin24°cos24°cos48° = 4 2 cos6°
2 3

2sin48°cos48° = 4 2 cos6° sin96° cos6° 1 = 4 = 4 = . 2 cos6° 2 cos6° 16 sin10° (2)原式=( - 3)sin40° cos10° sin10°- 3cos10° = sin40° cos10° 2sin(10°-60°) = cos50° cos10° sin50°cos50° =-2 cos10° sin100° =- =-1 cos10°

例4

π 3π π 3 已知cos( -α)= ,- <α<- . 4 5 2 2

π 求cos(2α- )的值. 4 【解析】 方法一 π π 2 cos2(α- )=2cos ( -α)-1 4 4

3 2 7 =2?( ) -1=- . 5 25 7π π 3π π 3 ∵- <α- <- ,且cos( -α)= >0, 4 4 4 4 5 π 4 从而sin(α- )= , 4 5 π π π 24 sin2(α- )=2sin(α- )cos(α- )= , 4 4 4 25

π π π cos(2α- )=cos[2(a- )+ ] 4 4 4 = π π 2 31 [cos2(α- )-sin2(α- )]=- 2. 2 4 4 50 π 3 由cos( -α)= , 4 5

方法二



2 3 (cosα+sinα)= ① 2 5

18 两边平方,得1+2cosαsinα= , 25 7 sin2α=2cosαsinα=- , 25 7 32 2 (cosα-sinα) =1-(- )= . 25 25

3π π 7 据2cosαsinα=- <0及- <α<- , 25 2 2 3π 知- <α<-π,所以cosα<0,sinα>0. 2 4 2 故有cosα-sinα=- ② 5 24 ①?②,得cos2α=- , 25 π 2 31 cos(2α- )= (cos2α+sin2α)=- 2. 4 2 50

探究4

①该题对三角函数性质和三角公式的考查有一

定的综合性和灵活性.演算的推理性较强,尤其表现在确 定三角函数值的正负时,必须应用一定的技巧,增添了解 答的难度.不过,所需要用到的公式和性质,都是最基础 的,为多数考生所熟悉.因此,绝大多数的考生都能入手 解题,不致束手无策. π ②解决此类问题相对来说,已知条件中的角α+ , 4 尽量不拆开而作为一个整体去表示其他角,这样可减少运 算量.

注意下列变换: π π sin2x=cos( -2x),sin2x=-cos( +2x) 2 2 π π cos2x=sin( -2x),cos2x=sin( +2x) 2 2 π 以上变换,结合二倍角公式可将2x的三角函数与 ±x的三 4 角函数联系在一起. 思考题4 π 3 17 7 若cos( +x)= , π<x< π, 4 5 12 4
2

sin2x+2sin x 求 的值. 1-tanx

【解析】

17π 7π ∵ <x< , 12 4

5π π ∴ < +x<2π. 3 4 π π 3 4 又cos( +x)= ,sin( +x)=- . 4 5 4 5 π π cosx=cos[( +x)- ] 4 4 π π π π =cos( +x)cos +sin( +x)sin 4 4 4 4 2 =- 10 7 2 ∴sinx=- , tanx=7. 10

sin2x+2sin x 2sinxcosx+2sin x = 1-tanx 1-tanx 7 2 2 7 2 2 2(- )?(- )+2(- ) 10 10 10 28 = =- 75 1-7

2

2

题型三
? ? ? ? ? ? ? ?

三角恒等式的证明

例5 已知sin(2α +β )=2sinβ ,求证:tan(α +β )=3tanα . 【分析】 2α +β =(α +β )+α ,β =(α +β )-α 【证明】 ∵sin(2α +β )=2sinβ ∴sin[(α +β )+α ]=2sin[(α +β )-α ] ∴sin(α +β )cosα +cos(α +β )sinα =2sin(α +β )cosα -2cos(α +β )sinα ∴3cos(α +β )sinα =sin(α +β )cosα ∴tan(α +β )=3tanα

?
?

探究5 1.证明恒等式的方法:
①从左到右;②从右到左;③从两边化到同一式子.

?
? ?

原则上是化繁为简,必要时也可用分析法.
2.三角恒等式的证明主要从两方面入手: (1)看角:分析角的差异,消除差异,向结果中的角转化;

?

(2)看函数:统一函数,向结果中的函数转化.

思考题5 【证明】

若tan α=2tan β+1,求证:sin β=2sin α-1. sin α sin β 由已知得 = 2 ? +1, 2 2 cos α cos β sin β
2 2 2

2

2

2

2

即 =2? +1, 2 2 1-sin α 1-sin β sin β+1 即 = , 2 2 1-sin α 1-sin β 即sin α-sin αsin β =sin β+1-sin α-sin αsin β. ∴sin β=2sin α-1,即等式成立.
2 2 2 2 2 2 2 2 2

sin α

2

sin α

2

2

本课总结

求值、化简、证明是三角函数中最常见的题型,其解题一般思路为“五遇六
想”即:遇切割,想化弦;遇多元,想消元;遇差异,想联系;遇高次,想 降次;遇特角,想求值;想消元,引辅角.“五遇六想”作为解题经验的总

结和概括,操作简便,十分有效.其中蕴含了一个变换思想(找差异,抓联
系,促进转化),两种数学思想(转化思想和方程思想);三个追求目标(化为 特殊角的三角函数值,使之出现相消项或相约项),三种变换方法(切割化弦 法,消元降次法,辅助元素法). ?


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