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数列小题专题复习1(老师)(1)


数列小题专题训练 1

1. 己知等差数列 ?an ? 的公差 d ? 0 , 且 a1 , a 成等比数列, 若 a1 ? 1 ,S n 为数列 ?an ? 的 3 ,a 1 3 前 n 项和, 则
2 S n ? 144 的最小值为( an ? 5

) B.
27 2
67 5

A.

4 19 ? 4

121 C. 9
【答案】C 【解析】

D.

2 试题分析: 因为 a1 , a3 , a13 成等比数列且 a1 ? 1 , 可得 a3 即1 ( ? 2 )d 2 1? 1 2? ? a1a13 ,

d,

? 1 ?) ?2 n ? 2 ?1 Sn ? n ? 解 得 d ? 2 , 所 以 an ? 1 ? ( 2

n( n ? 1 ) 2 ? ? n2 ,所以 2

72 2Sn ? 144 2n2 ? 144 72 利用函数 f ? x ? ? x ? 在区间 [1,6 2) 上单调递减, ? ? n? , x an ? 1 2n n
在 (6 2, ??) 单调递增,所以当 n ? 6 时,

2Sn ? 144 121 有最小值 ,故选 C. 9 an ? 1

考点:等差数列的通项公式与前 n 项和. 【方法点晴】本题主要考查了等差数列的通项公式与前 n 项和,其中解答中涉及到等比 中项公式的应用,数列的单调性、基本不等式和函数的单调性等知识点的综合考查,试 题综合性强,有一定的难度,属于中档试题,着重考查了学生分析问题和解答问题的能

72 的性质是解答一个难点. x S S 2.已知数列 {an } 为等差数列, Sn 为前 n 项和,公差为 d ,若 2017 ? 17 ? 100 ,则 d 2017 17
力, 以及转化与化归思想的应用, 同时掌握函数 f ? x ? ? x ? 的值为( A. ) B.

1 20

1 10

C . 10

D.20 【答案】B 【解析】 试题分析: 由 Sn ? 首项,

S S d d d 2 d n ? (a1 ? )n 可得 n ? n ? (a1 ? ) ,故数列 { n } 是以 a1 为 2 2 n 2 2 n

S S d d 为公差的等差数列 ,所以由 2017 ? 17 ? 100 可得 (2017 ? 17 ) ? 100 ,解之 2017 17 2 2 1 得d ? ,故应选 B. 10
考点:等差数列的前 n 项和与通项公式及运用.
试卷第 1 页,总 7 页

?1? ? ? an ? ? ? 2 x ? 1? dx a ?b ? b ? n ?8 , S 0 3. ,数列 ? n ? 的前 n 项和为 n ,数列 n 的通项公式为 n
n



bn Sn 的最小值为(

) B . ?4 C. 3

A . ?3 D. 4 【答案】B 【解析】 试
n









n an ? ? ? 2 x ? 1? dx ? ( x 2 ? x) |0 ? n2 ? n ? 0

1 1 1 1 1 1 ? ? Sn ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? an n(n ? 1) 1 2 2 3

1 1 1 ?( ? ) ? 1? n n ?1 n ?1 1 ?n ? 8 ?(n ? 1) ? 9 ? bn Sn ? (n ? 8)(1 ? ) ? n? ? 8 ? (n ? 1) ? ?9 n ?1 n ?1 n ?1

? (n ? 1) ?

9 9 , 故选 B. ? 10 ? 2 (n ? 1) ? ?10 ? ?4(当且仅当 n ? 2 时取等号) n ?1 n ?1

考点:1、定积分;2、数列的前 n 项和;3、不等式. 4. 在数列 {an } 中,a1 ? 2 ,a2 ? 2 , 且 an?2 ? an ? 1 ?( ? 则 S100 ?( 1 ) (n n? N )? , A.0 D.2602 【答案】C 【解析】 B . 1300 )

C . 2600

试题分析:由 an?2 ? an ? 1 ? (?1)n (n ? N? ) ,当 n ? 1 时,得 a 3 ? a1 ? 0 ,即 a3 ? a1 ; 当 n ? 2 时,得 a 4 ? a2 ? 2 ,由此可得,当 n 为奇数时, a n ? a1 ;当 n 为偶数时,

an ? 2 ?

n?2 ? a2 , 2

∴ S100 ? a1 ? a2 ? ? ? a100 ? (a1 ? a3 ? ? ? a99 ) ? (a2 ? a4 ? ? ? a100 )

? 50a1 ? ?a2 ? (a2 ? 2) ? (a2 ? 4) ? ?(a2 ? 98)?
? 2600 .

? 50 ? 50a2 ? (2 ? 4 ? ?98)

考点:1、数列递推式;2、数列的分组求;3、等差数列的前 n 项和. 5. 设数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn , 若 等于( ) A. 5048 【答案】C 【解析】

an 2 a12 a2 2 a32 ? ? ? … ? ? 4n ? 4 , 且 an ? 0 , 则 S100 12 22 32 n2
C. 10098 D. 10100

B. 5050

试卷第 2 页,总 7 页













an 2 a12 a2 2 a32 ? ? ? … ? 2 ? 4n ? 4 12 22 32 n





an?12 a12 a22 a32 ? ? ? … ? ? 4(n ? 1) ? 4 ? 4n ? 8 , 两 式 相 减 , 可 得 12 22 32 (n ? 1)2
2 an 100(a1 ? a100 ) 2 ? 4 ? an ? 4n 2 ,又因为 an ? 0 ,所以 an ? 2n ,所以 S100 ? 2 2 n

?

100(2 ? 200) ? 10098 ,故选 C. 2

考点:数列求和. 6.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满足 an ?1 ? 项的积为( A.1 【答案】B 【解析】 ) B.2 C.-6 D.-586

1 ? an ,若 a1 ? 2 ,则 ?an ? 的前 2017 1 ? an

试题分析:由 a1 ? 2 ,an ?1 ?

1 1 1 ? an ,a a ? ?3,? , ,则 a2 ? ?3, a3 ? ? , a 4 ? 5 ? 2, 6 2 3 1 ? an

由此可得此时数列是以 4 四项为周期的周期数列, 且 a1a2 a3a4 ? 1 , 所以 ?an ? 的前 2017 项的积为 a1a2 a3a4 ?a2017

? 1?1?1??? a1 ? 2 ,故选 B.
考点:数列的性质. 7 . 数 列 ?a n ? 满 足 a1 ? 1 , 对 任 意 的 n ? N* 都 有 a n ?1 ? a1 ? a n ? n , 则

1 1 1 ? ?? ? ?( a1 a 2 a 2016
A、



2015 2016 2016 2017

B、

4032 2017

C、

4034 2017

D、

【答案】B 【解析】 试题分析:∵ an?1 ? an ? n ? 1 ,∴ an?1 ? an ? n ? 1 ,即 a2 ? a1 ? 2 ,a3 ? a2 ? 3 ,…,

an ? an?1 ? n , 等 式 两 边 同 时 相 加 得 an ? a1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n , 即 an ? 1a ? 2 ? 3 ? 4 ? ? n? 1 ?2?? 3 ? 4 ?n ??
n ? n ? 1? ? 2
, 则

试卷第 3 页,总 7 页

1 2 1 ? ?1 ? ? 2? ? ? an n?n ? 1? ? n n ? 1 ? 1 ? ? ??? a1 a a a





1? 4032 ? 1 ,故选:B. ? 2 ?1 ? ? ? ? ? ? ? ?? 2016 2017 3? 2017 ? 22 2 3

1
2

考点:数列求和. 【思路点晴】本题主要考查数列求和的应用,根据数列的递推关系,利用累加法求出数 列的通项公式以及,利用裂项法进行求和是解决本题的关键.在求数列前 n 项和之前, 必须先求出其通项公式,根据通项公式的特征决定采用何种方法,根据数列的递推公式

an ? an?1 ? f ?n? , 可 利 用 累 加 法 求 出 数 列 的 通 项 公 式 , 根 据

1 2 1 ? ?1 ? ? 2? ? ? 结合裂项法进行求和即可. an n?n ? 1? ? n n ? 1 ?
8.在等比数列 {an } 所以中, a5 ? a13 ? 6 , a4 ? a14 ? 5, 则

a80 等于( a90



2 3 或 3 2 3 D. 2
A. 【答案】A 【解析】

B . 3 或 ?2

C.

2 3

试题分析: 因为等比数列 {an } 所以中, a5 ? a13 ? 6 , 所以 a4 a14 ? 6 , 又 a4 ? a 1 4 ? 5, 所 以?

? a4 ? 2 ? a4 ? 3 a a 2 3 或? ,因此 80 ? 4 等于 或 ,故选 A. a90 a14 3 2 ? a14 ? 3 ? a14 ? 2

考点:等比数列的性质. 9.已知正项等差数列 ?an ? 满足 a1 ? a2016 ? 2 ,则 A.1 B.2 【答案】B 【解析】 C.2014 D.2015

1 1 ? 的最小值为 a2 a2015

试题分析: a1 ? a2016

?a ?a ? ? 2 ? a2 ? a2015 ? 2 ? a2a2015 ? ? 2 2015 ? ? 1 2 ? ?

2

?

a ?a 1 1 2 ? ? 2 2015 ? ? 2 ,所以最小值为 2 a2 a2015 a2 a2015 1

考点:等差数列性质 10.数列 {an } 满足 a1 ? 1 且 2an?1 ? 2an ? an an?1

?n ? 2? 则 an ? (



2 A. n ?1

2 B. n?2

2 ( )n C. 3

D. ( )

2 3

n ?1

试卷第 4 页,总 7 页

【答案】A 【解析】 试题分析:由递推公式可得

1 1 1 ?1? 1 ? ? ? ? ? 为等差数列,公差为 ,首项为 1, an an ?1 2 ? an ? 2

所以通项公式为 考点:等差数列

1 1 n ?1 2 ? 1 ? ? n ? 1? ? ? ? an ? an 2 2 n ?1
S 2012 S10 ? ? 2002 则 S2016 2012 10

11.在等差数列 ?an ? 中, a1 ? ?2014 ,其前 n 项和为 Sn 若 的值等于 A. 2013 【答案】C 【解析】 B. ?2014 C. 2016 D. ?2015

S 试题分析:由 n = n
可令 bn ? 所

na1 +

n(n - 1)d (n - 1)d ?S ? 2 ,可得 ? n ? 为等差数列, = a1 + n 2 ?n?

b2016

S S Sn ; 2012 ? 10 ? 2002 ,得; b2012 ? b10 ? 2002, 2002d ? 2002, d ? 1 2012 10 n S bn ? n 2? 0 ? 1 n 4 ? n (, ? 1 ? ); ? 以 ; 则 n S ? 2016 ? 2016 ? 2015 ? 1, S2016 ? 2016 2016

2

0

考点:等差数列的定义及性质的灵活运用. 12.在数列 A.2+ln n C.2+nln n 【答案】A 【解析】 中,a1=2,an+1=an+ln B.2+ ln n ,则 an=

D.1+n+ln n

试题分析:由已知得 an+1-an=ln =ln(n+1)-ln n,所以 an=a1+(a2-a1) +(a3-a2)+…+(an-an-1)=2+(ln 2-ln 1)+(ln 3-ln 2)+…+(ln n -ln(n-1) )=2+ln n,故选 A. 考点:由递推公式求通项公式.

ln an 3n ? 2 ln a1 ln a2 ln a3 ? ? ?? ? ? 5 8 3n ? 1 2 ( n? N* ) 13. 已知数列 {an } 满足 2 , 则 a10 ?(
A. e
29



B. e

26

C. e

35

D. e

32

【答案】D 【解析】

试卷第 5 页,总 7 页

ln a9 29 ln a1 ln a2 ln a3 ? ? ??? ? 5 8 26 2 ; 试题分析: n ? 9 时, 2 ln a9 ln a10 32 ln a1 ln a2 ln a3 ? ? ??? ? ? ? 16 5 8 26 29 2 当 n ? 10 时, 2 . 29 ln a10 ? ? 16 29 所以 2 ,解得 ln a10 ? 32 ,? a10 ? e32 .故 D 正确.
考点:数列.

y2 ? 1的离心率是( 14.若 m 是 2 和 8 的等比中项,则圆锥曲线 x ? m
2



A.

3 2

B. 5

C.

3 5 或 2 2

D.

3 或 5 2

【答案】D 【解析】 试题分析: 依题意可知 m=± 2 ? 8 =±4, 当 m=4 时, 曲线为椭圆, a=2, b=1, 则 c= 3 ,

e?

c 3 ? a 2 ,

当 m=﹣4 时,曲线为双曲线,a=1,b=2,c= 5 则,e= 5 .故选 D. 考点:圆锥曲线的共同特征;等比中项. 15.已知数列{an} 满足 a1=1,且 an ? 项公式为( A. an ? ) B. an ?

1 1 an ?1 ? ( ) n (n ? 2 ,且 n∈N*) ,则数列{an}的通 3 3

3n n?2

n?2 3n

C.an=n+2

D.an=( n+2)·3

n

【答案】B 【解析】 试 题 分 析 : 由 题 可 知 , 将 an ?

an a ? n?1 1 1 ( ) n ( ) n?1 3 3

1 1 1 an ?1 ? ( ) n (n ? 2 , 两 边 同 时 除 以 ( ) n , 得 出 3 3 3 n?2 a ? 1 ,运用累加法,解得 n ? 3 ? n ? 1 ,整理得 an ? n ; 1 3 ( )n 3

考点:累加法求数列通项公式 16.已知两个等差数列 {an } 和 {bn } 的前 n 项和分别为 A n 和 Bn ,且

An 7n ? 45 ,则 ? Bn n?3

使得

an 为整数的正整数 n 的个数是( bn
C.4 D.5



A.2 B.3 【答案】D

试卷第 6 页,总 7 页

【解析】

a1 ? a 2 n ?1 an 2 试题分析:由等差数列的中项可知, ,然后上下再同时乘以 2n ? 1 , ? b ? b2 n ?1 bn 1 2
得到

an A2 n?1 7?2n ? 1? ? 45 14n ? 38 7n ? 19 7?n ? 1? ? 12 12 , ? ? ? ? ? ?7? bn B2 n?1 2n ? 1 ? 3 2n ? 2 n ?1 n ?1 n ?1

如果是正数,那么 n ? 1,2,3,5,11 ,所以共 5 个. 考点:1.等差中项;2.等差数列的前 n 项的和.

试卷第 7 页,总 7 页


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