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高中数学竞赛专题讲座---平面几何选讲


平面几何选讲

反演变换

基础知识 一. 定义 1. 设 O 是平面 ? 上的一个定点, k 是一个非零常数.如果平面 ? 的一个变换,使得对于平面 ? 上任意异
' 于 O 的点 A 与其对应点 A' 之间,恒有(1) A , O, A 三点共线; (2)OA ? OA ? k ,则这个变换称为平面 ?

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???? ??? ? '

的一个反演变换,记做 I (O, k ) .其中,定点 O 称为反演中心,常数 k 称为反演幂,点 A' 称为点 A 的反点. 2. 在反演变换 I (O, k ) 下, 如果平面 ? 的图形 F 变为图形 F ' , 则称图形 F ' 是图形 F 关于反演变换 I (O, k ) 的反形.反演变换的不动点称为自反点,而反演变换的不变图形则称为自反图形. 3. 设两条曲线 u、v 相交于点 A , l 、 m 分别是曲线 u、v 在点 A 处的切线(如果存在) ,则 l 与 m 的交角 称为曲线 u、v 在点 A 处的交角;如果两切线重合,则曲线 u、v 在点 A 处的交角为 0 .特别地,如果两圆 交于点,那么过点作两圆的切线,则切线的交角称为两圆的交角.当两圆的交角为 90 时,称为两圆正交; 如果直线与圆相交, 那么过交点作圆的切线, 则切线与直线的交角就是直线与圆的交角. 当这个交角为 90 时,称为直线与圆正交. 二. 定理 定理 1. 在反演变换下,不共线的两对互反点是共圆的四点. 定理 2. 在反演变换 I (O, k ) 下,设 A、B 两点(均不同于反演中心 O )的反点分别为 A、B ,则有 A' B ' =
' ' ? ?

A' B ' ?

k OA ? OB

AB .

定理 3. 在反演变换下,过反演中心的直线不变. 定理 4. 在反演变换下,不过反演中心的直线的反形是过反演中心的圆;过反演中心的圆的反形是不过反 演中心的直线. 定理 5. 在反演变换下,不过反演中心的圆的反形仍是不过反演中心的圆. 定理 6. 在反演变换下,两条曲线在交点处的交角大小保持不变,但方向相反. 定理 7. 如果两圆或一圆一直线相切于反演中心,则其反形是两条平行直线;如果两圆或一圆一直线相切 于非反演中心,则其反形(两圆或一圆一直线)相切. 定理 8. 如果两直线平行,则其反形(两圆或一圆一直线)相切于反演中心. A 典型例题 一. 证明点共线 L E F 例 1. ? ABC 的内切圆与边 BC 、 CA 、 AB 分别相切于点 D 、 E 、 F , 设 L 、 M 、 N 分别是 EF 、 FD 、 DE 的中点.求证: ? ABC 的外心、 I 内心与 ? LMN 的外心三点共线. M N 证明:如图,设 ? ABC 的内心为 I ,内切圆半径为 r .以内心 I C 为反演中心,内切圆为反演圆作反演变换 I ( I , r ) ,则 A 、 B 、 C 的
2

B

D

反点分别为 L 、 M 、 N ,因而 ? ABC 的反形是 ? LMN 的外接圆.故 ? ABC 的外心、内心和 ? LMN 的 外心三点共线. 二. 证明线共点 例 2. 四边形 ABCD 内接于 ? O ,对角线 AC 与 BD 相交于 P ,设 ? ABP 、 ? BCP 、 ?CDP 、 ? DAP 的
1

A
外心分别为 O1 、 O2 、 O3 、 O4 .求证: OP 、 O1O3 、 O2O4 三直线共点. 证明:作反演变换 I ( P, PC ? PA) ,则 A 、 C 互为反点, B 、

O4 P

D

??? ??? ? ?

O1 O

O3 B

D 互为反点, ? O 不变,直线 PO1 不变, ? ABP 的外接圆的反形
是直线 CD .由于直线 PO1 与 ? ABP 的外接圆正交,因而 PO1 与 CD

C

O2

正交,即有 PO1 ? CD .又 OO3 ? CD ,所以 PO1 // O3O ;同理 PO3 // O1O ,所以四边形 PO1OO3 为平 行四边形,从而 O1O3 过 PO 的中点;同理 O2O4 也过 PO 的中点.故 OP 、 O1O3 、 O2O4 三线共点. 三. 证明点共圆 例 3. 设半圆的直径为 AB , 圆心为 O , 一直线与半圆交于 C 、D 两点, 且与直线 AB 交于 M . 再设 ? AOC 与 ? DOB 的外接圆的第二个交点为 N .求证: ON ? MN . 证明:以 O 为反演中心作反演变换 I (O, r ) ,其中, r 为半圆的半径,则半圆上的每一点都不变,
2

? ( AOC ) 与 ? ( DOB) 的反形分别为直线 AC 、 BD .且设 M 、 N 的反点分别为 M ' 、 N ' ,则 N ' 为直线

AC 与 BD 的交点, M ' 在直径 AB 上,直线 MN 的反形为 ? OM ' N ' 的外接圆,直线 CD 的反形为 ?CDO
的外接圆.而 ON ? NM ? ON 是 ? OM N 外接圆的直径 ? M N ? OM .于是问题转化为证明
' ' ' ' ' '

M ' N ' ? OM '.因为 AD ? BN ' , BC ? AN ' , O 是 AB 的中点,所以过 O 、C 、 D 三点的圆是 ? N ' AB
的九点圆,而 M 在九点圆上,又在边 AB 上(不同于 O 点) ,故 M N ? AB ,因此 ON ? MN .
'
' '

N'

C N A O D
C D

B

M
A O M' B

四. 证明一些几何(不)等式 例 4. 设六个圆都在一定圆内,每一个圆都与定圆外切,并且与相邻的两个小圆外切,若六个小圆与大圆 的切点依次为 A1 、 A2 、 A3 、 A4 、 A5 、 A6 .证明: A1 A2 ? A3 A4 ? A5 A6 ? A2 A3 ? A4 A5 ? A6 A1 证明:如图以 A6 为反演中心作反演变换 I ( A6 ,1) ,则 ? O 与 ? O6 的反形为两条平行线,其余 5 个圆 的反形皆是与两条平行线中一条相切的圆;且反形中第一个圆与第五个圆均与两平行线相切,而其余三圆 均与相邻的两圆相切.设 A1 、 A2 、 A3 、 A4 、 A5 的反点分别为 A1 、 A2 、 A3 、 A4 、 A5 ,则其反形中的
2
' '

'

'

'

五个圆与两平行线中的一条(即 ? O 的反形)依次切于 A1 、 A2 、 A3 、 A4 、 A5 ;再设这五个圆的半径依 次为 r1 、r2 、r3 、r4 、r5 , 则由勾股定理可得 A1 A2 ?
' '

'

'

'

'

'

' ' (r1 ? r2 ) 2 ? (r1 ? r2 ) 2 ? 2 r1r2 , 同理 A2 A3 ? 2 r2 r3 ,

' ' ' ' ' ' ' ' ' ' A3' A4 ? 2 r3 r4 , A4 A5' ? 2 r4 r5 .显然 r1 ? r5 ,于是 A1' A2 ? A3 A4 ? A2 A3 ? A4 A5 .但 A1' A2 ?

A1 A2 , A6 A1 ? A6 A2

' A3' A4 ?

A3 A4 A2 A3 A4 A5 A1 A2 ? A3 A4 A2 A3 ? A4 A5 ' ' ' ' , A2 A3 ? , A4 A5 ? .所以 ? A6 A3 ? A6 A4 A6 A2 ? A6 A3 A6 A4 ? A6 A5 A6 A1 ? A6 A2 ? A6 A3 ? A6 A4 A6 A2 ? A6 A3 ? A6 A4

A3 A4 A2 A3 ? A4 A5 故 A1 A2 ? A3 A4 ? A5 A6 ? A2 A3 ? A4 A5 ? A6 A1 . ? A6 A3 ? A6 A4 A6 A2 ? A6 A3 ? A6 A4 ? A6 A5
A3 O3 A2 O2 O O1 A1 O5 O6 A6 A5 O4 A4

r1
A1'

r2
' A2

r3
A3'

r4
' A4

r5
A5'

练习: 1. (2002 土耳其数学奥林匹克)两圆外切于点 A ,且内切于另一 ? ? 于点 B 、 C ,另 D 是小圆内公切线 割 ? 的弦的中点,证明:当 B 、 C 、 D 不共线时, A 是 ? BCD 的内切圆圆心. 2. (第 30 届 IMO 预选题)双心四边形是指既有内切圆又有外接圆的四边形.证明双心四边形的两个圆心 与对角线的交点共线. 3. (1997 全国高中数学联赛)已知两个半径不等的圆 O1 与圆 O2 相交于 M 、 N 两点,圆 O1 与圆 O2 分别 于圆 O 内切于 S 、 T .求证: OM ? MN 的充分必要条件是 S 、 N 、 T 三点共线.

3


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