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广东高考理科数学前四道解答题限时训练41-50


珠海市第二中学

刘诗彪编

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得分

广东高考理科数学前四道解答题限时训练 41 16. (12 分)函数 其中 A ? 0 , ? 如图 5 所示. (1)求函数

17. (13 分)随机调查某社区 80 个人,以研究这一社区 居民在 20 : 00 ? 22 : 00 时间段的休闲方式与性别的关 系,得到下面的数据表: 休闲 方式 性别 男 女 合计 10 10 20 50 10 60 60 20 80 看电视 看书 合计

f ( x) ? A sin(? x ? ? )( x ? R) ,

?0,?

?
2

?? ?

?
2

,其部分图像

f ( x) 的解析式;

(2)已知横坐标分别为 ?1,1,5 的三点 M , N , P 都在 函数

f ( x) 的图像上,求 sin ?MNP 的值.
y 1
?2 ?1 0 ?1 1 2
3

(1)将此样本的频率估计为总体的概率,随机调查

4

5

6 x

3 名在该社区的男性,设调查的 3 人在这一时间段以看 书为休闲方式的人数为随机变量

图5
期望;

X ,求 X 的分布列和

(2)根据以上数据,能否有 99%的把握认为“在

20 : 00 ? 22 : 00 时间段的休闲方式与性别有关系”?
参考数据:

P( K ? k )
2

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k
参考公式: K 2

?

n(ad ? bc) 2 , (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

其中 n ? a ? b ? c ? d .

1

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18.13 分) ( 如图 6, 平行四边形 ABCD 中,AB ? BD ,

19. (14 分)如图 7,已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 的离心 a 2 b2

AB ? 2 , BD ? 2 ,沿 BD 将 ?BCD 折起,使二面
角 A ? BD ? C 是大小为锐角 ? 的二面角, C 在平面 设 率为

3 以椭圆 C 的左顶点 T 为圆心作 (a ? b ? 0) , 2

ABD 上的射影为 O .
(1)当 ? 为何值时,三棱锥 C ? OAD 的体积最大? 最大值为多少? (2)当 AD ? BC 时,求 ? 的大小. D C

圆T

: ( x ? 2)2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) ,设圆 T 与椭圆 C 交

于点 M , N . (1)求椭圆 C 的方程; (2)求 TM

???? ??? ? ? TN 的最小值,并求此时圆 T 的方程;

(3)设点 P 是椭圆 C 上异于 M , N 的任意一点,且 直线 MP , NP 分别与 x 轴交于点 R , S , O 为坐标

A

B D 原点,求证: OR ? OS 为定值. y P M O C R T 图7 N S O x B

图6

A

2

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广东高考理科数学前四道解答题限时训练 42 16. (12 分)在四边形 ABCD 中, AB ? 2 ,

17. (12 分)空气质量指数 PM 2.5 (单位:

? g / m3 )

表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量,这个值越高, 就代表空气污染越严重:

BC ? CD ? 4 , AD ? 6 , ?A ? ?C ? ? .
(1)求 AC 的长; (2)求四边形 ABCD 的面积. A

PM 2.5 日均
浓度

空气质量 级别 一级 二级 三级 四级 五级 六级

空气质量 类别 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染

0 ? 35 35 ? 75 75 ?115
D B

115 ?150
150 ? 250 ? 250

C 图:

某市 2012 年 3 月 8 日—4 月 7 日(30 天)对空气 质量指数 PM 2.5 进行监测,获得数据后得到如下条形 天数 16 15

10

8 4 2

5

O

级别

(1)估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率; (2) 在上述 30 个监测数据中任取 2 个, X 为空气 设 质量类别为优的天数,求 X 的分布列.

3

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18. (14 分)如图所示四棱锥 P ? ABCD 中, 在四边形 ABCD 中,AB ? AD , PA ? 底面 ABCD ,

19. (14 分)已知椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) a 2 b2
1 3, ) . 2

BC / / AD , PA ? AB ? BC ? 2 , AD ? 4 , E 为

的一个交点为 F1 ( ? 3 , 0) ,而且过点 H ( ? (1)求椭圆 E 的方程;

PD 的中点, F 为 PC 中点.
(1)求证: CD ? 平面 PAC ; (2)求证: BF / / 平面 ACE ; (3)求直线 PD 与平面 PAC 所成的角的正弦值. P E F A B C O D

(2)设椭圆 E 的上下顶点分别为 A1 , A2 , P 是椭 圆上异于 A1 , A2 的任一点,直线 PA1 , PA2 分别交 x 轴 于点 N , M ,若直线 OT 与过点 M , N 的圆 G 相切, 切点为 T . 证明:线段 OT 的长为定值,并求出该定值. y T P

.G
N x

M

4

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广东高考理科数学前四道解答题限时训练 43 16. (12 分)已知函数

17. (13 分)在平面直角坐标系上,设不等式组

x x x f ( x) ? 2 3 sin cos ? 2sin 2 . 3 3 3
(1)求函数

?x ? 0 ? ( n ? N ? ) 表示的平面区域为 Dn , ?y ? 0 ? y ? ?2n( x ? 3) ?
记 Dn 内的整点(横坐标和纵坐标均为整数的点)的 个数为 an . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若 bn ?1

f ( x) 的值域;

(2)在 ?ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c , 若

f (C ) ? 1 ,且 b 2 ? ac , sin A 的值.

? 2bn ? an , b1 ? ?13 . ? 6n ? 9} 是等比数列,并求出数列

求证:数列 {bn

{bn } 的通项公式.

5

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18. (13 分)在我市“城乡清洁工程”建设活动中,社 会各界掀起净化美化环境的热潮.某单位计划在小区内 种植 A , B , C , D 四棵风景树, 受本地地理环境的影响,

19. (14 分)如图,圆柱底面的直径 AB 长度为 2

2,

正三角形 ABP 的一个顶点 P 在上底面 O 为底面圆心, 的圆周上,PC 为圆柱的母线,CO 的延长线交圆 O 于 点 E , BP 的中点为 F . (1)求证:平面 ABP ? 平面 ACF ; (2)求二面角 F ? CE ? B 的正切值. P

1 A , B 两棵树的成活的概率均为 ,另外两棵树 C , D 2
为进口树种,其成活概率都为 a (0 ? a ? 1) ,设 ? 表示 最终成活的树的数量. (1)若出现 A , B 有且只有一颗成活的概率与 C , D 都成活的概率相等,求 a 的值; (2)求 ? 的分布列(用 a 表示) ; (3)若出现恰好两棵树成活的的概率最大,试求 a 的 取值范围.

F

C A O E B

6

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广东高考理科数学前四道解答题限时训练 44 16. (12 分)如图 4,某测量人员,为了测量西江北岸 不能到达的两点 A,B 之间的距离,她在西江南岸找到 一个点 C, C 点可以观察到点 A, 找到一个点 D, 从 B; 从 D 点可以观察到点 A,C;找到一个点 E,从 E 点可 以观察到点 B,C;并测量得到数据: ?ACD ? 90? ,

17. (12 分) “肇实,正名芡实,因肇庆所产之芡实颗粒 大、药力强,故名. ”某科研所为进一步改良肇实,为 此对肇实的两个品种(分别称为品种 A 和品种 B)进行 试验.选取两大片水塘,每大片水塘分成 n 小片水塘, 在总共 2n 小片水塘中, 随机选 n 小片水塘种植品种 A, 另外 n 小片水塘种植品种 B. (1)假设 n=4,在第一大片水塘中,种植品种 A 的 小片水塘的数目记为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望; (2)试验时每大片水塘分成 8 小片,即 n=8,试验结 束后得到品种 A 和品种 B 在每个小片水塘上的每亩产量 (单位:kg/亩)如下表:
号码 品种 A 品种 B 1 101 2 97 3 92 4 103 5 91 6 100 7 110 8 106

?ADC ? 60? , ?ACB ? 15? , ?BCE ? 105 ? ,
. ?CEB ? 45? ,DC=CE=1(百米) (1)求 ?CDE 的面积; (2)求 A,B 之间的距离.

115

107

112

108

111

120

110

113

分别求品种 A 和品种 B 的每亩产量的样本平均数和样本 方差;根据试验结果,你认为应该种植哪一品种?

7

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18. (14 分)如图 5,AB 是圆柱 ABFG 的母线,C 是点 A 关于点 B 对称的点,O 是圆柱上底面的圆心,BF 过 O 点,DE 是过 O 点的动直径,且 AB=2,BF=2AB. (1)求证:BE⊥平面 ACD; ( 2)当三 棱锥 D—BCE 的体 积最 大时 ,求 二面角 C—DE—A 的平面角的余弦值. C

19. (14 分)数列 {an } 的前 n 项和记为 S n , a1 点 ( Sn , an ?1 ) 在直线 y ? 2 x ? 1 上, n ? N ? . (1)若数列 {an } 是等比数列,求实数 t 的值; (2)设 bn

?t,

? nan ,在(1)的条件下,求数列 ?bn ? 的

前 n 项和 Tn ; ( 3 ) 设 各 项 均 不 为 0 的 数 列 {c n } 中 , 所 有 满 足

图5 E

ci ? ci ?1 ? 0 的整数 i 的个数称为这个数列 {c n } 的 “积
F 异号数” ,令 c n G 下,求数列 {c n } 的“积异号数” .

B D

O

?

bn ? 4 ( n? N? ) ,在(2)的条件 bn

A

8

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广东高考理科数学前四道解答题限时训练 45 16. (12 分)已知等比数列 {an } 的前 n 项和记为 S n ,

17. (14 分)有一个 3× 5 的长方体,它的六个面上均 4× 涂上颜色,现将这个长方体锯成 60 个 1× 1 的小正方 1× 体,从这些小正方体中随机地任取 1 个,设小正方体涂 上颜色的面数为 ? . (1)求 ? ? 0 的概率; (2)求 ? 的分布列和数学期望.

a1 ? 1 ,且 S1 , 2S2 ,3S3 成等差数列.
(1)求数列 {an } 通项公式; (2) bn 设 求数列 {bn } 的前 n 项和记为 Tn . ? an ? n ,

9

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18. (14 分)如图 1 的矩形 ABCD 中,已知

AB ? 2 ,

19. (12 分)在 ?ABC 中,三个内角 A , B , C 的对边

AD ? 2 2 , MN 分别为 AD 和 BC 的中点,对角线

分别为 a , b , c ,其中 c ? 2 ,且

BD 与 MN 交于 O 点,沿 MN 把矩形 ABNM 折起,
使平面 ABNM 与平面 MNCD 所成角为 60 , 如图 2. (1)求证: BO ? DO ; (2)求 AO 与平面 BOD 所成角的正弦值. A M D C O B B M N 图1 D C P
0

cos A b 3 . ? ? cos B a 1

(1)求证: ?ABC 是直角三角形; (2)如图,设圆 O 过 A , B , C 三点,点 P 位于劣弧 ? AC 上,求 ?PAC 面积最大值.

A

O

A

N 图2

C

B

10

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广东高考理科数学前四道解答题限时训练 46 16.(12 分)已知函数

17. (12 分)如图 3, A, B 两点之间有 6 条网线连接, 它们能通过的最大信息量分别为 1,1,2,2,3,4.从 中任取三条网线且使每条网线通过最大信息量,设这三 条网线通过的最大信息量之和为 ? . (1)当 ?

f ( x) ? A sin(? x ? ) 3

?

( A ? 0, ? ? 0) 在某一个周期内的图象的最高点和
最低点的坐标分别为 (

5? 11? , 2) , ( , ?2) . 12 12

? 6 时,则保证线路信息畅通,求线路信息

(1)求 A 和 ? 的值;

4 (2)已知 ? ? (0, ) ,且 sin ? ? ,求 f (? ) 的值. 2 5

?

畅通的概率; (2)求 ? 的分布列和数学期望. 1 1 2 A 2 3 4 图3 B

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18.(14 分)某建筑物的上半部分是多面体 MN ?

19.(14 分)已知对称中心为坐标原点的椭圆 C1 与 抛物线 C2 : x 2 ? 4 y 有一个相同的焦点 F1 ,直线

ABCD ,下半部分是长方体 ABCD ? A1 B1C1D1 (如
图 4).该建筑物的正视图和侧视图如图 5,其中正视 图由正方形和等腰梯形组合而成,侧视图由长方形和等 腰三角形组合而成. (1)求直线 AM 与平面 A1 B1C1 D1 所成角的正弦值; (2)求二面角 A ? MN ? C 的余弦值; (3)求该建筑物的体积. M D A B N C

l : y ? 2 x ? m 与抛物线 C2 只有一个公共点.
(1)求直线 l 的方程; (2)若椭圆 C1 经过直线 l 上的点 P ,当椭圆 C1 的离 心率取得最大值时,求椭圆 C1 的方程及点 P 的坐标.

D1 B1

C1 图4

A1 2

1

1

4

4

正视图 图5

侧视图

12

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广东高考理科数学前四道解答题限时训练 47 16. (12 分)已知函数

17. (12 分)深圳市某校中学生篮球队假期集训,集训 前共有 6 个篮球, 其中 3 个是新球 (即没有用过的球) , 3 个是旧球(即至少用过一次的球) .每次训练,都从中

f ( x) ? sin x ? cos( x ? ) , 6

?

x?R.
(1)求

f ( x) 的最大值;

任意取出 2 个球,用完后放回. (1)设第一次训练时取到的新球个数为 ? ,求 ? 的 分布列和数学期望; (2)求第二次训练时恰好取到一个新球的概率.

(2)设 ?ABC 中,角 A , B 的对边分别为 a , b ,若

? B ? 2 A ,且 b ? 2af ( A ? ) ,求角 C 的大小. 6

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18. (14 分)如图 5,已知正方形 ABCD 在水平面上的 正投影(投影线垂直于投影面)是四边形 .

19. (14 分)已知数列 {an } 满足: a1 且 an ? 2

? 1 , a2 ? 2 ,

A1 B1C1D1 ,

? (2 ? cos n? )(an ? 1) ? 3 , n ? N ? .

其中 A 与 A1 重合,且 BB1

? DD1 ? CC1 .

(1)求通项公式 an ; (2)设 {an } 的数列的前 n 项和记为 S n ,问:是否存在 正整数 m , n ,使得 S2 n

(1)证明 AD1 / / 平面 BB1C1C ,并指出四边形

AB1C1 D1 的形状;
(2)如果四边形 AB1C1 D1 中, AD1 ?

? mS2 n?1 ?若存在,请求出所

2,

有的符合条件的正整数对 (m , n) ,若不存在,请说明 理由.

AB1 ? 5 ,正方形 ABCD 的边长为 6 ,求平面

ABCD 与平面 AB1C1 D1 所成的锐二面角 ? 的余弦值.
C

D C1

B

B1 D1 A(A1) 图5

14

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广东高考理科数学前四道解答题限时训练 48 16. (12 分)已知函数

17. (13 分)某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分 布直方图如图 4 所示, 其中成绩分组区间是: 40,50 ,

f ( x) ? 2 cos(? x ?

?
6

) (其中

?

?

? ? 0, x ? R )的最小正周期为 10? .
(1)求 ? 的值; (2)设 ? , ? ? [0,

?50, 60 ? ,? 60, 70 ? ,? 70,80 ? ,?80,90 ? , 90,100? . ?
(1)求图中 x 的值; (2)从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人, 该 2 人中成绩在 90 分以上(含 90 分)的人数记为 ? , 求 ? 的数学期望. 频率/组距 0.054

?
2

] , f (5? ?

5? 6 )?? , 3 5

f (5? ?

5? 16 ) ? ,求 cos(? ? ? ) 的值. 6 17

图4

x 0.010 0.006 40 50 60 70 80 90 100 成绩

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18. (13 分)如图 5,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 点 ABCD 为矩形,PA ? 平面 ABCD , E 在线段 PC 上, PC

19. 14 分 ) 设 数 列 (

? an ? 的 前 n 项 和 为 S n , 满 足

? 平面 BDE .

且 2Sn ? an ?1 ? 2n ?1 ? 1, n ? N * , a1 , a2 ? 5, a3 成等差 数列. (1)求 a1 的值; (2)求数列

(1)证明: BD ? 平面 PAC ; (2)若 PA ? 1, AD ? 2 ,求二面角 B ? PC ? A 的 正切值. P

?an ? 的通项公式;
1 1 1 3 ? ?? ? ? . a1 a2 an 2

(3) 证明: 对一切正整数 n , 有 A E D

B

图5

C

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广东高考理科数学前四道解答题限时训练 49 16. (12 分)已知 ?ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为

17. (12 分)近几年来,我国许多地区经常出现干旱 现象,为抗旱经常要进行人工降雨.现由天气预报得 知,某地在未来 5 天的指定时间的降雨概率是:前 3 天 均为 50%,后 2 天均为 80%,5 天内任何一天的该指定

1 a , b , c , 3 sin C cos C ? cos 2 C ? ,且 c ? 3 . 2
(1)求角 C 的值; (2)若向量 m ? (1,sin A) 与 n ? (2,sin B) 共线,

??

?

时间没有降雨,则在当天实行人工降雨,否则,当天 不实施人工降雨.

求 a , b 的值.

(1)求至少有一天需要人工降雨的概率; (2)求不需要人工降雨的天数 ? 的分布列和期望.

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18. (14 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,侧面

19. (14 分)已知数列

?an ? 满足: a1 ? a ,

PCD ? 底面 ABCD , PD ? CD ,底面 ABCD 是
直角梯形, AB / /CD , ?ADC ? 900 , CD ? 2 ,

an ?1 ?

(4n ? 6)an ? 4n ? 10 , n ? N* . 2n ? 1

AB ? AD ? PD ? 1.
(1)证明: BC

(1)判断数列 ?

? 平面 PBD ;
??? ? ??? ?

? an ? 2 ? 是否为等比数列?若不是,请 ? ? 2n ? 1 ?

(2)设 Q 为侧棱 PC 上一点,且 PQ ? ? PC ,试 确定 ? 的值,使得二面角 Q ? BD ? P 的大小为 45 .
0

说明理由;若是,试求出通项公式 an ; (2)如果 a 试求出 S n .

? 1 ,数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,

P

D

C B

A

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广东高考理科数学前四道解答题限时训练 50 16. (12 分)已知函数

17. (12 分)甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率 分别是

2 3 和 .假设两人射击是否击中目标,相互之 3 4

1 3 y ? cos 2 x ? sin x cos x ? 1 , x ? R . 2 2
(1) 求函数 的集合; (2)写出函数 (3)求函数 最值, 并求出取最值时 x y 的最小正周期、

间没有影响;每次射击是否击中目标,相互之间没有影 响. (1)求甲射击 4 次,至少 1 次未击中目标的概率; (2)求两人各射击 4 次,甲恰好击中目标 2 次且乙恰

y 的图象对称轴和对称中心;

好击中目标 3 次的概率; (3)假设某人连续 2 次未击中目标,则停止射击.问:乙 ... 恰好射击 5 次后,被中止射击的概率是多少?

y 的单调递减区间.

19

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18. (14 分)如图,在直三棱柱 ABC ?

A1 B1C1 中,

19. (14 分)已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 a 2 b2

AB ? AC ? 1 , ?BAC ? 90 0 ,且异面直线 A1 B
与 B1C1 所成的角等于 60 ,设 AA1 (1)求 a 的值; (2)求平面 A1 BC1 与平面 B1 BC1 所成的锐二面角 的大小. A1 B1 C1
0

离心率为

6 ,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的 3
5 2 . 3

? a.
三角形的面积为

(1)求椭圆 C 的方程; (2)已知动直线 y ? k ( x ? 1) 与椭圆 C 相交于 A , B 两点.

A C B

1 时,求斜率 k 的值; 2 ???? ???? 7 ②已知点 M (? , 0) ,求证: MA ? MB 为定值. 3
①当线段 AB 的中点的横坐标为 ?

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