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fy六方最密堆积晶胞中正八面体空隙和正四面体空隙中心的分数坐标-加练习20150430


六方最密堆积晶胞中正八面体空隙 和正四面体空隙中心的分数坐标

练习 1:请写出面心立方最密堆积晶胞中正八面体空隙和正四面体 空隙中心的分数坐标。

等径圆球紧密排列形成密置 层,如图所示。在密置层内,每 个圆球周围有六个球与它相切。 相切的每三个球又围出一个三角 形空隙。仔细观察这些三角形空 隙,一排尖向上,接着下面一排尖向下,交替排列。

而每个圆球与它 周围的六个球围出的六 个三角形空隙中,有三 个尖向上,另外三个尖 向下。如图所示,我们 在这里将尖向上的三角 形空隙记为 B,尖向下 的三角形空隙记为 C。 第二密置层的球放在 B 之上,第三密置层的球 投影在 C 中,三层完 成一个周期。这样的最 密堆积方式叫做面心立

方最密堆积(ccp,A1 型),形成面心立方晶胞。 若第三密置层的球投影与第一密置层的球重合,两层完成一个周 期。这样的最密堆积方式 叫做六方最密堆积 (hcp,A3 型),形成六 方晶胞,如图所示。 在这两种堆积方式 中,任何四个相切的球围 成一个正四面体空隙;另 外,相切的三个球如果与 另一密置层相切的三个球 空隙对应,它们六个球将 围成一个正八面体空隙。 也就是说,围成正八面体 空隙的这六个球可以分为相邻的两层,每层的正三角形中心的连线垂 直于正三角形所在的密置层,参看下图,黑色代表的不是球而是正八 面体空隙的中心。 总之,观察 B、C 这两种三角形空 隙,若空隙之上(或之下)放了球,则 四个球围成一个正四面体空隙;若三角 形空隙之上(或之下)还是三角形空 隙,则六个球围成一个正八面体空隙。

在这两种最密堆积方式中,每个球与同一密置层的六个球相切, 同时与上一层的三个球和下一层的三个球相切,即每个球与周围十二 个球相切(配位数为 12)。中心这个球与周围的球围出八个正四面体 空隙,平均分摊到每个空隙的是八分之一个球。这样,每个正四面体 空隙分摊到的球数是四个八分之一,即半个。中心这个球周围还围出 六个八面体空隙,它平均分摊到每个空隙的是六分之一个球。这样, 每个正八面体空隙分摊到的球数是六 个六分之一,即一个。总之,这两种 最密堆积中,球数 : 正八面体空隙 数 : 正四面体空隙数 = 1:1:2 。 下面我们集中讨论六方最密堆积 (hcp,A3 型)中正八面体空隙和正 四面体空隙中心的分数坐标。 在六方最密堆积中画出一个六方 晶胞,如右图所示。平均每个六方晶 胞中有两个正八面体空隙,如下图所 示。空隙中心的分数坐标分别为: (2/3, 1/3, 1/4),(2/3, 1/3, 3/4)。

对于正四面体空隙,存在这样一个问题,即正四面体的中心到它 的底面的距离是它的高的多少倍? 解法一(分体积法):以正四面体的 中心 O 为顶点,以正四面体的四个面为 底面将正四面体平均分为四个等体积的小 三棱锥,小三棱锥的高为 OH,则有:

S AH 4 S OH ? 3 3 ? AH ? 4 OH V?
即正四面体的中心到底面的距离是它的高的四分之一。 解法二(立方体法):

将正四面体的四个顶点放在立方体相隔的四个顶点。设立方体的 边长为 1,则正四面体的边长为 2 ,正四面体的高为 2 ?
6 2 3 。由 ? 3 3

于立方体的体对角线为 3 ,所以正四面体的中心(即立方体的中心) 到它的底面的距离与它的高之比为:
?2 3 3? 2 3 ? ? 1: 4 ? ?: ? 3 2 ? ? ? 3

另外,也可以从立方体两个平行的(1,1,1)面及其之上的顶点等距 (体对角线的 1/3)来求解。立方体的中心(即正四面体的中心)到正 四面体底面的距离为:2/3 - 1/2 = 1/6。故正四面体的中心(即立方体的 中心)到它底面的距离与它的高之比为: (1/6)/(2/3)= 1/4 解法三(外接球法):如图,设正四 面体的边长为 1,则

2 3 3 6 ? ? , AG ? 3 2 3 3 6 ? 2r AG ? 2r ? 12 3 6 解得 r ? 4 6 6 6 ? OG ? ? ? 3 4 12 OG 1 ? ? r 3 BG ?
即正四面体的中心到底面的距离是它的高的四分之一。 解法四(正弦定理法):如图,正四面体中心到两个顶点之间的 夹角为 109.47°,三角形另两个角为 35.27°。根据正弦定理即可求解。 下面我们来找出六方最密堆积一 个晶胞中的所有正四面体空隙。六方 晶胞内中间层的一个球与上面三个球 和下面三个球各围成一个正四面体空 隙,空隙中心的分数坐标是: (1/3, 2/3, 1/8),(1/3, 2/3, 7/8)。

另外在每个棱上,晶胞顶点的八个球分别 与中间层的球围成正四面体空隙,这些空隙平 均只有四分之一在这个晶胞内,八个四分之一 共为两个。空隙中心的分数坐标分别是: (0, 0, 3/8),(0, 0, 5/8)。 四个坐标说明正四面体空隙共有四个。 用体积模型示意图来看各种空隙也很有意思。

练习 2:请看左 图。在六方硫化锌中, 硫离子呈六方密堆积, 锌离子填入空隙。锌离 子填入的是什么空隙?正四面体还是正八面 体?是否填满了所有的空隙?将结果与立方 硫化锌的情况(右 图)作对比,看有哪些相似与不同。写出六 方硫化锌晶胞中硫离子和锌离子的分数坐 标。根据锌离子与硫离子的半径数据 (74pm、184pm),说明硫离子是不是最密 堆积。

练习 3:(见下页)

练习 3:镧镍合金、铜钙合金及铈钴合金具有相同类型的晶胞结构 XYn,它们有强储氢能力,其中铜钙合金的晶体结构如图: ①周期表中 Ca 处于周期表 ②铜原子核外电子排布式为: 区. .
﹣23

③已知镧镍合金 LaNin 晶胞体积为 9.0×10

cm3,储氢后形成 LaNinH4.5 的合金(氢进入 晶胞空隙,晶胞体积不变),则 LaNin 中, n= 为: (填数值);氢在合金中的密度 g/cm3.该密度比标况下氢气

的密度大还是小?

(答案见下页)

答案:① s

② [Ar]3d104s1

③ 5

0.083g/cm3

稍小.


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