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空间几何体的结构讲义


空间几何体的结构
一、概念 只考虑物体的形状和大小, 而不考虑其他因素, 由这些物体抽象出来的空间图形叫做空 间几何体。 多面体:一般地,我们把由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。围成多面体的 各个多边形叫做多面体的面, 相邻两个面的公共边叫做多面体的棱, 棱与棱的公共点叫做多 面体的顶点。 旋转体: 我们把由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭

几何体 叫做旋转体。这条定直线叫做旋转体的轴。 二、空间几何体的结构

要注意的几点: 1.棱柱的侧棱互相平行,侧棱与底面不垂直的棱柱叫斜棱柱,侧棱垂直于底面的棱柱叫 直棱柱。特别地,底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。 2.体对角线是连接棱柱上下底面的不在同一侧面的两顶点的连线。 长方体对角线= a 2 ? b2 ? c2 (a、b、c 分别代表长 、宽、高)。 3.棱锥的侧棱交于一点。 4.棱台的上下底面平行且相似,侧棱的延长线交于一点。 5.圆柱有无数条母线,且长度相等都与轴平行。

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6.圆锥的母线是指圆锥的顶点到圆锥的底面圆周之间的距离。 7.圆台可以看做以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴, 其余各边旋转而形成的 曲面所围成的几何体. 旋转轴叫做圆台的轴. 直角梯形另一腰旋转所成的曲面称为圆台的侧 面,侧面上各个位置的直角梯形的腰称为圆台的母线. 8.过球心的截面是大小相等的圆。 球与其他几何体组成的几何体通常以相切或相接的形 式出现, 解决此类问题常常利用截面来分析这几个几何体之间的关系, 将空间问题转化为平 面问题。对于球内接长方体、方体,截面一要过球心,可得到球心和截面圆心的连线垂直于 截面;二要过长方体或正方体的两条体对角线,才有利于解题。 三、分类

[题 1]一个几何体的各个面均是三角形,则该几何体可能是(C) A.棱台 B.棱柱 C.棱锥 D.圆锥 [题 2]直角三角形的三边长分别为 3、4、5,绕其中一边所在直线旋转得到圆锥,对所 有的可能,下面描述不正确的是(C) A.是底面半径为 3 的圆锥 B.是底面半径为 4 的圆锥 C.是底面半径为 5 的圆锥 D.是母线为 5 的圆锥 [题 3]截一个几何体,各个截面都是圆面,则这个几何体一定是(C) A.圆柱 B.圆锥 C.球 D.圆台 [题 4]直角梯形以其较大底边为旋转轴,其余各边旋转所得的面围成的几何体可看做 (C) A.一个棱柱叠加一个圆锥 B.一个圆台叠加一个圆锥 C.一个圆柱叠加一个圆锥 D.一个圆柱挖去一个圆锥 [题 5]在棱柱中( D ) A.只有两个面平行 B.所有的棱都平行 C.所有的面都是平行四边形 D.两底面平行,且各侧棱也互相平行

2

[题 6]将图 1 所示的三角形线直线 l 旋转一周,可以得到如图 2 所示的几何体的是哪一 个三角形(B)

[题 7]如图一个封闭的立方体,它 6 个表面各标出 1、2、3、4、5、6 这 6 个数字,现放 成下面 3 个不同的位置,则数字 l、2、3 对面的数字是(C)

A.4、5、6 B.6、4、5 C.5、4、6 D.5、6、4 [题 8]如图,能推断这个几何体可能是三棱台的是(C)

A.A1B1=2,AB=3,B1C1=3,BC=4 B.A1Bl=1,AB=2,BlCl=1.5,BC=3,A1C1=2,AC=3 C.AlBl=1,AB=2,B1Cl=1.5,BC=3,AlCl=2,AC=4 D.AB=A1B1,BC=B1C1,CA=C1A1 [题 9]已知四棱台的上底面、下底面分别是边长为 4、8 的正方形,各侧棱长均相等,且 侧棱长为 17 ,求四棱台的高。 答案:3 [题 10]把一个圆锥截成圆台,已知圆台的上、下底面半径的比是 1:4,母线长为 10cm. 则圆锥的母线长为 40/3cm.

?cm ,求此球 [题 11]在球内有相距 9cm 的两个平行截面,面积分别为 49?cm 和 400
2 2

的半径。 答案:25 [题 12]在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, A1BC1 的度数是(B) A.30 度 B.60 度 C.75 度 D.90 度 [题 13]下列三个命题,其中正确的个数为(A) (1)用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台

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(2)两个底面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台 (3)有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 [题 14]一个圆锥的母线长 20cm,母线与轴的夹角为 30 度,则圆锥的高为(A) A. 10 3 cm B.10cm C.20cm D. 20 3 cm

[题 15]一条直线被一个半径为 5 的球截得的线段长为 8,则球心到直线的距离为(C) A.1 B.2 C.3 D.4 [题 16]一个圆台的母线长为 5,上、下底面直径分别为 2、8,则圆台的高为 4 [题 17]如图,正三棱柱的底面边长是 4cm,过 BC 的一个平面交侧棱 AA 于 D,若 AD 的长 为 2cm,求截面 BCD 的面积。
'

答案:8 cm

2

[题 18]半径为 10 cm 的球被两个平行平面所截,两个截面圆的面积分别是 36?cm 、
2

64?cm2 ,则这两个平行平面间的距离是 2cm 或 14cm.
[题 19]已知一个圆锥,过高的中点且平行于底面的截面的面积是 4,则其底面半径是

4 ?

?

.

[题 20]在半径为 30m 的圆形广场上空,设置一个照明光源,射向地面的光呈圆锥形, 其轴截面顶角为 120 度,若要光源恰好照亮整个广场,则光源的高度应为( 10 3 )m [题 21]一个圆柱的母线长为 5,底面半径为 2,则圆柱的轴截面的面积为(B) A.10 B.20 C.15 D.40

[题 22]一个长方体共一个顶点的三个面的面积分别为 2 , 3, 6 , 则这个长方体的对角 线长为(D) A. 2 3 B. 3 2 C.6 D. 6
?

[题 23]在侧棱长均为 2 3 的正三棱锥 V-ABC 中, ?AVB ? ?BVC ? ?CVA ? 40 ,过 点 A 作截面 AEF 分别交 VB,VC 于点 E,F.求截面三角形 AEF 周长的最小值。

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课后习题 1、下列说法错误的是 ( ) A:由两个棱锥可以拼成一个新的棱锥 B:由两个棱台可以拼成一个新的棱台 C:由两个圆锥可以拼成一个新的圆锥 D:由两个圆台可以拼成一个新的圆台 2、下列说法正确的是 ( ) A:以直角三角形的一边为轴旋转而成几何体是圆锥 B:圆柱、圆锥、圆台的底面都 是圆面 C:以直角梯形的一腰为轴旋转成的是圆台 D:圆锥的侧面展开图为扇形,这个扇形所在的圆的半径等于圆锥底面圆的半径 3、下列关于长方体的叙述不正确的是 ( ) A:长方体的表面共有 24 个直角 B:长方体中相对的面都互相平行 C:长方体中某一底面上的高的长度就是两平行底面间的距离: D;两底面间的棱互相平行且相等的六面体是长方体 4、在长方体中,AB=2cm,AD=4cm, AA ? 3cm .求在长方体表面上连接 A、C 两点的诸曲线
' '

的长度的最小值。 5、将图 1 所示的三角形线 直线 l 旋转一周,可以得到 如图 2 所示的几何体的是哪 一个三角形( )

6、有下列命题(1)在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点 的连线是圆柱的母线;(2)圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆 锥的母线;(3)在圆台上、下底面圆周上各取一点,则这两点的连线是圆台的母线;(4) 圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的;其中正确的是( ) A.(1)(2) B.(2)(3) C.(1)(3) D.(2)(4) 7、下列命题中错误的是( ) A.圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个 B.圆锥的轴截面是所有过顶点的截面 中面积最大的一个 C.圆台的所有平行于底面的截面都是圆面 D.圆锥所有的轴截面是全等的等腰三 角形

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