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一元二次不等式的实际应用


3.2.2 一元二次不等式的实际应用

1.从实际情境中抽象出一元二次不等式模型. 2.一元二次不等式的解集是实数集 R 或空集?的含义及其

应用.

1.求函数的定义域.

f(x)≥0 (1)求函数 y= f(x)的定义域,只需解不等式________.
[-2,1] 练习 1:函数 y= 2-x-x2的定义域是___________.

f(x)>0 (2)求函数 y=logaf(x)的定义域,只需解不等式_______.
(-∞,0)∪(2,+∞) 练习 2: 函数 y=ln(x2-2x)的定义域是___________________.

2.一元二次不等式的解集是实数集 R 或空集?的含义. > (1)设二次不等式 ax2+bx+c>0 的解集为 R,则有 a____0 < 且Δ=b2-4ac____0. < (2)设二次不等式 ax2+bx+c>0 的解集为?,则有 a____0 且 ≤ Δ=b2-4ac____0. 练习3:设不等式 ax2+bx+c>0 的解集为{x|1<x<2},则方 {1,2} < 程 ax2+bx+c=0 的解集是__________,且 a____0.

1. 一元二次不等式 ax2+bx+c≥0 的解集为 R,则二次函 数 f(x)=ax2+bx+c 的图象怎样?
答案:二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的图象有如图 D6 两种情况:

图D6 2.若一元二次不等式 ax2+bx+c≤0 的解集为 R,则Δ=

b2-4ac≤0 对吗?
答案:不对,应该是 a<0 且Δ=b2-4ac≤0.

题型1 恒成立问题 例1:当 a为何值时,关于x 的不等式ax2+(a-1)x+(a-1) <0 的解是全体实数? 思维突破:二次项系数出现参数,应考虑a=0 与a≠0 两

种情况进行讨论.

自主解答:当 a=0,原不等式为-x-1<0,即 x>-1,不 合题意,故 a≠0. ∴原不等式的解集为 R 等价于
?a<0, ? ? ?Δ=?a-1?2-4a?a-1?<0. ?

1 解得 a<- . 3

综上所述,a

? 1? 的取值范围为?-∞,-3?. ? ?

不等式 ax2+bx+c<0 的解集是“全体实数(或恒 成立)”的条件是(1)当 a=0 时, b=0, c<0; (2)当 a≠0
?a<0, ? ? 时, ?Δ<0. ?

【变式与拓展】 1.(1)若关于 x 的不等式 x2+x+k>0 恒成立,则实数 k 的 1 k> 4 取值范围是____________; (2)对于任意实数 x,不等式 ax2+2ax+-(a+2)<0 恒成立, 求实数 a 的取值范围. (2)解:①令a=0,原不等式化为-2<0 恒成立; ②若 a≠0,则原命题等价于
? ? ?

a<0, 2+4a?a+2?<0, 解得-1<a<0. Δ=?2a?

综上所述,实数 a 的取值范围为(-1,0].

题型2 求定义域 例 2:求函数 y= 15+7x-2x2-lg(7-4x)的定义域. 思维突破:函数的定义域是指使函数解析式有意义的 x 的 取值范围.
?15+7x-2x2≥0, ? 自主解答:依题意,得? ?7-4x>0, ?
? 3 ? ? x ? 5, ? 2 ? 3 7 ? ∴ ∴-2≤x<4. 7 ?x ? . ? 4 ?

? 3 7? ∴函数的定义域为 ? x ? x < ? . 4? ? 2

定义域是集合,最后作答表示为集合或区间.

【变式与拓展】
1 {x|-8<x<8} 2.(1)函数 y= 2的定义域是__________; 64-x

(2)设a≠0,对于函数f(x)=log3(ax2-x+a),若定义域为R,

求实数 a 的取值范围.
(2)解:若函数 f(x)的定义域为 R,则不等式 ax2-x+a>0 对任意 x∈R 均成立.
?a>0, ? ∵a≠0,∴? ?Δ=1-4a2<0. ?

1 解得 a>2.

∴实数 a

?1 ? 的取值范围为?2,+∞?. ? ?

题型 3 一元二次不等式的实际应用 例3:某摩托车生产企业,上年度生产摩托车的投入成本 为 1 万元/辆,出厂价为 1.2 万元/辆,年销售量为 1 000 辆.本 年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适当增加投入成本. 若每辆车投入成本增加的比例为 x(0<x<1),则出厂价相应提 高的比例为 0.75x,同时预计年销售量增加的比例为 0.6x.设年利 润=(出厂价-投入成本)×年销售量. (1)写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 的 关系式; (2)为使本年度的年利润比上年有所增加,问投入成本增加

的比例 x 应在什么范围内?

思维突破:建立函数与不等式的模型后解不等式. 自主解答:(1)依题意,得 y=[1.2(1+0.75x)-(1+x)]×1 000×(1+0.6x) =1 000(-0.06x2+0.02x+0.2). ∴所求关系式为y=1 000(-0.06x2+0.02x+0.2).

(2)依题意,得
1 000(-0.06x2+0.02x+0.2)>(1.2-1)×1 000.

1 化简,得 3x -x<0,解得 0<x<3.
2

1 ∴投入成本增加的比例 x 的范围是 0<x<3.

解不等式应用题,一般可按四步进行:①审题,
找出关键量和不等关系;②引进数学符号,用不等式表示不等 关系(或表示成函数关系);③解不等式(或求函数最值);④回到 实际问题.

【变式与拓展】
3.国家为了加强对烟酒生产的宏观管理,对烟酒销售征收附 加税.已知 A 种酒每瓶销售价为 70 元,不收附加税时,每年大约 销售 100 万瓶;若每销售 100 元要征收附加税 r 元(即税率为 r%), 则每年的销售量将减少 10r 万瓶.如果要使每年在此项经营中所 收取的附加税额不少于 112 万元,那么 r 应如何确定?
? r ? 解:?70×100?(100-10r)≥112, ? ?

即 r2-10r+16≤0?2≤r≤8. 故税率定在 2%~8%之间,年收附加税不少于 112 万元.

例4:用一条长为 16 cm 的铁丝围成一个矩形,设矩形的 长为 x cm,要使矩形的面积大于 12 cm2,求 x 的取值范围. 试解:由题知:矩形的长为 x cm,则它的宽为 16-2x =8-x(cm), 2 故有 x>8-x>0,即 4<x<8. 要使矩形的面积大于 12 cm2,则有 ② x(8-x)>12,解得 2<x<6. 综合①②可知:4<x<6. 故 x 的取值范围为 4<x<6. 易错点评:解题过程易忽略 x 的实际意义,导致出错. ①

1.解不等式的过程实际上就是不断转化的过程,是同解不 等式的逐步代换,基本思路是:代数化、有理化、低次化、低 维化,最后转化到可解的常见不等式上来. 2.有关不等式同时成立的问题,往往是求其中参数的取值 范围,与一元二次不等式有关的恒成立问题,要注意数形结合、 三个“二次”的关系,特别是二次函数的六个基本图象的运用.


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