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高中数学选修2-1新教学案:2.4.1抛物线及其标准方程(2)


选修 2—1

2.4.1 抛物线及其标准方程 (学案)
(第 2 课时)

【知识要点】 1. 抛物线在解决实际问题中的应用; 2. 运用抛物线的定义处理最值问题. 【学习要求】 1.感受抛物线在解决实际问题中的作用; 2.能熟练运用抛物线的定义解决问题,通过作图,进一步体会数形结合的数学思想在解 题中的应用.

/>【预习提纲】 (根据以下提纲,预习教材第 66 页~第 67 页) 1. 通过预习教材中的例 2,你认为当曲线的特征符合我们所学的某种曲线时,应运用 法来求出曲线方程. 2. 在建立平面直角坐标系时,应掌握什么基本原则? 3. 教材中例 2 的求解过程在建系方面有什么优点?你能不能尝试另外的建系方法来解 决该题?尝试后请你谈一下不同的建系方法的得到的结果是否相同?答案是否都正确? 4. 通过上一节问题的处理,体会到抛物线定义在处理问题时的最大优点就是把抛物线 上点到焦点的距离转化成 的距离. 5. 平面内两点之间 线段最短. 【基础练习】 1.抛物线 y ? 2 px
2

( p ? 0 ) 上一点 M 到焦点的距离是 a(a ? , 点 M 的横坐标是 .

p ) ,则点 M 到准线 2
.

的距离是
2

2. 抛物线 y ? 12 x 上与焦点的距离等于 9 的点的坐标是 3. 抛物线 y ? 2ax (a ? 0) 的焦点坐标是
2

.

【典型例题】 例 1 点 M 与点 F (4, 0) 的距离比它到直线 l : x ? 5 ? 0 的距离小 1,求点 M 的轨迹方 程. 变式 1:已知抛物线的焦点在 x 轴上,抛物线上的点 M (?3, m) 到焦点的距离等于 5, 求抛物线的标准方程和 m 的值. 例 2 一种卫星接收天线的轴截面如下图所示.卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为 抛物线的接收天线,经反射聚集到焦点处.

1

已知接收天线的径口(直径)为 4.8m, 深度为 0.5m.建立适当的坐标系,求抛物 线的标准方程和焦点坐标. 变式 2:一条隧道的横断面由抛物 线弧及一个矩形的三边围成,尺寸如 图(单位:m).一辆卡车空车时能通过此 隧道,现载一集装箱,箱宽 3m,车与箱共 高 4.5m,此车能否通过隧道?并说明理由.

3 2 6

6

例 3 已知 M 为抛物线

y 2 ? 4x 上一动点, F 为抛物线的焦点,定点 P(3,1) ,则
(C) 5 (D) 6

MP ? MF 的最小值为(
(A) 3

). (B) 4

变式练习 3: 在抛物线 y 2 ? 2 x 上求一点 P ,使 P 到焦点 F 与到定点 A(2,3) 的距离 之和最小.

1. 如果抛物线 y 2=ax 的准线是直线 x=-1,那么它的焦点坐标为 ( ). (A)(1, 0) (B)(2, 0) (C)(3, 0) (D)(-1, 0) 2. 一抛物线形拱桥, 当水面离桥顶 2m 时, 水面宽 4m, 若水面下降 1m, 则水面宽为 ( (A)



6m

(B) 2 6 m

(C) 4.5 m

(D) 9 m

3. 抛物线的顶点在原点,对称轴是 x 轴,抛物线上点(-5,m)到焦点距离是 6,则抛 物线的方程是 (A) y ? ?2x
2

( (B) y ? ?4x
2

).

(C) y ? 2 x
2

(D) y ? ?4x或y ? ?36x
2 2

4. 抛物线 y ?

1 2 x (a ? 0) 的焦点坐标是 4a

(

).

(A) a ? 0时是(0, a), a ? 0时是(0 ? a) (B) a ? 0时是(0, ), a ? 0时是(0 ? ) (C) (0, a )
2

a 2

a 2

(D) ( , 0)

1 a

5. 抛物线 y ? 2 px 上横坐标为 6 的点到焦点的距离是 10,则焦点到准线的距离是

2

(

). (A) 4 (C) 16

(B) 8 (D) 32

6. 已知点 M 为抛物线 y 2 ? 2 x 上的一个动点,则点 M 到点(0,2)的距离与 M 到该抛 物线准线的距离之和的最小值为 (A) ( (B) 3 ).

17 2

(C)

5
2

(D)

9 2

7. 已知抛物线 y ? 上,且 2x2 ? x1 ? x3 则有

3 x 的焦点为 F ,点 M1 ( x1 , y1 ), M 2 ( x2 , y2 ), M3 ( x3 , y3 ) 在抛物线 2
( ).

(A) M1F ? M 2 F ? M3 F (B) M 1 F ? M 2 F
2 2

? M 3F

2

(C) M1F ? M3 F ? 2 M 2 F (D) M 1 F ? M 2 F ? M 2 F
2

8. 设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F ,且和 y 轴交于点 A ,若
2

?OAF (O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线的方程为
(A) y ? ?4x
2



).

(B) y ? ?8x
2

(C) y ? 4 x
2 2

(D) y ? 8x
2

9. 已知点 M 在抛物线 y ? 4 x 上,那么点 M 到点 N (2,1) 的距离与点 M 到抛物线焦 点距离之和取得最小值时,点 M 的坐标为 . 10. 河上有抛物线型拱桥,当水面距拱桥顶 5 米时,水面宽为 8 米,一小船宽 4 米,高 2 米,载货后船露出水面上的部分高 0.75 米,问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时,小 船开始不能通航?.

1. 花坛水池中央有一喷泉,水管高 1m ,水从喷头喷出后呈抛物线状,先向上至最高 点后落下,若最高点距水面 2m,距抛物线的对称轴 1m,则水池的直径至少应设计为多少米 (精确到整数位)?

3

选修 2—1

2.4.1 抛物线及其标准方程 (教案)
(第二课时)

【教学目标】: 1. 要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法,提高分析、对比、概括、转化 等方面的能力. 2. 通过解决实际问题,对学生进行理论来源于实践的辩证唯物主义思想教育. 【重点】 :对抛物线定义的进一步理解. 【难点】 :转化思想的应用.

【预习提纲】 (根据以下提纲,预习教材第 66 页~第 67 页) 1. 通过预习教材中的例 2,你认为当曲线的特征符合我们所学的某种曲线时,应运用

待定系数法 来求出曲线方程.
2. 在建立平面直角坐标系时,应掌握什么基本原则?

建立的坐标系对我们处理问题越简单越好,即坐标要简,未知量要少 .
3. 教材中例 2 的求解过程在建系方面有什么优点?你能不能尝试另外的建系方法来解 决该题?尝试后请你谈一下不同的建系方法的得到的结果是否相同?答案是否都正确?

教材在处理例2时把坐标原点健在了抛物线的顶点,得到的是抛物线标准方程 也可以以焦点为坐标原点建系,求得的抛物线方程要复杂,但本题的最后结果一样
4. 通过上一节问题的处理,体会到抛物线定义在处理问题时的最大优点就是把抛物线 上点到焦点的距离转化成 点到准线 的距离. 5. 平面内两点之间 直 线段最短. 【基础练习】 1.抛物线 y ? 2 px
2

( p ? 0 ) 上一点 M 到焦点的距离是 a(a ?

p ) ,则点 M 到准线 2

的距离是 a , 点 M 的横坐标是 a ?

p . 2

2. 抛物线 y ? 12 x 上与焦点的距离等于 9 的点的坐标是 (6,6 2),(6, ?6 2) .
2

4

3. 抛物线 y ? 2ax2 (a ? 0) 的焦点坐标是 (0, 【典型例题】

1 ). 8a

例 1 点 M 与点 F (4, 0) 的距离比它到直线 l : x ? 5 ? 0 的距离小 1,求点 M 的轨迹方 程. 【审题要津】点 M 与点 F (4, 0) 的距离比它到直线 l : x ? 5 ? 0 的距离小 1 ,说明点 M 与点 F (4, 0) 的距离与它到 l : x ? 4 ? 0 的距离相等. 解: 设点 M 的坐标为 (x, , y) 由已知条件可知: M 与点 F 的距离等于它到直线 x+4=0 点 的距离,根据抛物线的定义,点 M 的轨迹是以 F (4,0)为焦点的抛物线. ? 所以点的轨迹方程为: y 2 ? 16 x . 【方法总结】转化思想是解决此类问题的有效方法. 变式 1:已知抛物线的焦点在 x 轴上,抛物线上的点 M (?3, m) 到焦点的距离等于 5, 求抛物线的标准方程和 m 的值. 解: 因为焦点在 x 轴上且过 M (?3, m) 点,所以设标准方程为 y 2 ? ?2 px( p ? 0) .由抛物 线的定义知

p ? 4,? p ? 8 . 2

p ? ( ?3) ? 5 ,即 p ? 4 .所以所求抛物线标准方程为 y 2 ? ?8x ,又点 M (?3, m) 2
2

在抛物线上,于是 m ? 24 , 得: m ? ?2 6. 例 2 一种卫星接收天线的轴截面如下图所示.卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为 抛物线的接收天线, 经反射聚集到焦点处.已知接收天线的径口 (直径) 4.8m, 为 深度为 0.5m. 建立适当的坐标系,求抛物线的标准方程和焦点坐标. 【审题要津】 根据题目意思,正确的建立平面直角坐标系,利用待定系数法设出曲线方程, 然后根据条件解决. 解: 在接收天线的轴截面所在 平面内建立直角坐标系,使接收天线 的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合. 设抛物线的标准方程是:

y 2 ? 2 px( p ? 0) .由已知条件可得,
点 A 的坐标是(0.5,2.4),代入方程, 得 2.4 ? 2 p ? 0.5,即p ? 5.76 .
2

所以,所求抛物线的标准方程是 y ? 11.52 x ,焦点坐标是(2.88,0) .
2

【方法总结】 数形结合,利用所学抛物线知识,把实际问题转化成数学问题. 变式 2:一条隧道的横断面由抛物线弧及一个矩形的三边围成,尺寸如图(单位:m).一辆

5

卡车空车时能通过此隧道,现载一集装箱,箱宽 3m,车与箱共高 4.5m, 此车能否通过隧道?并 说明理由. 解: 如图,建立坐标系,则 A(?3,3), B(3, ?3) , 设抛物线方程为 x2 ? ?2 py( p ? 0) ,将 B 点 坐标代入,得 9 ? 2 p? ?3? ,? p ? ? y O A A B x

3 . 所以抛物线 2

方程为 x2 ? ?3 y(?3 ? y ? 0) .因为车与箱共高 4.5m ,所以集装箱上表面距抛物线形隧道拱顶 0.5m,设抛物线上点 D 的坐标为 ( x0 , ?0.5) ,则

3 3 6 2 x0 ? ,? x0 ? ? ?? .? DD' ? 2 x0 ? 6 ? 3 . 2 2 2
故此车不能通过隧道.

例 3

已知 M 为抛物线 y 2 ? 4 x 上一动点, F 为抛物线的焦点,定点 P(3,1) ,则 ). (C) 5 (D) 6

MP ? MF 的最小值为(
(A) 3 (B) 4

【审题要津】根据抛物线的定义,把 M 到焦点的距离转化成 M 到准线的距离,然后过

P(3,1) 作准线的垂线交抛物线于 M ,则 M 点位所求的点.距离为 P(3,1) 到准线的距离.
解:过 P 作准线 l 的垂线交抛物线于 M ,垂足为 N ,则 MP ? MF = MN , 所以最小值为 4,故选(B). 【方法总结】 抛物线中的最小值问题,一般是借助于定义,把动点到两定点的距离和, 转化为定点到抛物线准线的距离. 变式 3: 在抛物线 y ? 2 x 上求一点 P , P 到焦点 F 与到定点 A(2,3) 的距离之和小. 使
2

解: 因为点 A(2,3) 在抛物线外部,连结 AF 交抛物线于 P ,则 P 点为要求的点.

1. 如果抛物线 y 2=ax 的准线是直线 x=-1,那么它的焦点坐标为 ( A ). (A)(1, 0) (B)(2, 0) (C)(3, 0) (D)(-1, 0) 2. 一抛物线形拱桥, 当水面离桥顶 2m 时, 水面宽 4m, 若水面下降 1m, 则水面宽为 B ) ( (A)

6m

(B) 2 6 m

(C) 4.5 m

(D) 9 m

3. 抛物线的顶点在原点,对称轴是 x 轴,抛物线上点(-5,m)到焦点距离是 6,则抛 物线的方程是 (A) y ? ?2x
2

( B ). (B) y ? ?4x
2

6

(C) y 2 ? 2 x 4. 抛物线 y ?

(D) y 2 ? ?4x或y 2 ? ?36x

1 2 x (a ? 0) 的焦点坐标是 4a

( C

).

(A) a ? 0时是(0, a), a ? 0时是(0 ? a) (B) a ? 0时是(0, ), a ? 0时是(0 ? ) (C) (0, a ) (D) ( , 0)

a 2

a 2

1 a

5. 抛物线 y 2 ? 2 px 上横坐标为 6 的点到焦点的距离是 10,则焦点到准线的距离是 ( B ). (A) 4 (C) 16

(B) 8 (D) 32

6. 已知点 M 为抛物线 y 2 ? 2 x 上的一个动点,则点 M 到点(0,2)的距离与 M 到该抛 物线准线的距离之和的最小值为 (A) ( (B) 3 A ).

17 2

(C)

5
2

(D)

9 2

7. 已知抛物线 y ? 上,且 2x2 ? x1 ? x3 则有

3 x 的焦点为 F ,点 M1 ( x1 , y1 ), M 2 ( x2 , y2 ), M3 (x3 , y3 )在抛物线 2
( C ).

(A) M1F ? M 2 F ? M3 F (B) M 1 F ? M 2 F
2 2

? M 3F

2

(C) M1F ? M3 F ? 2 M 2 F (D) M 1 F ? M 2 F ? M 2 F
2

8. 设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F ,且和 y 轴交于点 A ,若
2

?OAF (O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线的方程为
(A) y ? ?4x
2

( B ).

(B) y ? ?8x
2

(C) y ? 4 x
2 2

(D) y ? 8x
2

9. 已知点 M 在抛物线 y ? 4 x 上,那么点 M 到点 N (2,1) 的距离与点 M 到抛物线焦
7

点距离之和取得最小值时,点 M 的坐标为 ( ,1) . 10. 河上有抛物线型拱桥,当水面距拱桥顶 5 米时,水面宽为 8 米,一小船宽 4 米,高 2 米,载货后船露出水面上的部分高 0.75 米,问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时,小 船开始不能通航?. 解:以拱桥的拱顶为原点,以过拱点且平行于水面的 直线为 x 轴,建立直角坐标系,设桥拱抛物线方程为 ,由题意可知,点 B(4 ? 5) 在抛物线上, x2 ? ?2 py( p ? 0) 故p?

1 4

8 16 2 y .当船面两侧和抛物线接触时, ,得 x ? ? 5 5
'

船不能通航,设此时船面宽为 AA 则 A(2, y A ) ,

由22 =-

16 5 y A 得y A ? ? ,又知船面露出水面上部分高为 5 4

0.75 米,所以 h= yA ? 0.75 ? 2 米. 所以水面上涨到与抛物线拱顶相距 2 米时,小船开始不能通航.

1. 花坛水池中央有一喷泉,水管高 1m ,水从喷头喷出后呈抛物线状,先向上至最高 点后落下,若最高点距水面 2m,距抛物线的对称轴 1m,则水池的直径至少应设计为多少米 (精确到整数位)? 解: 如图建立平面直角坐标系, 设抛物线方程为 x ? ?2 py( p ? 0) .依题意,
2

有 p(?1, ?1) 所以 p ?

1 , 故抛物线的方程为x 2 ? ? y . 2
2, ? O ' B ? 1 ? 2 .

设 B ( x, ?2), 则x ?

所以水池直径为 2 1 ? 2 ? 5(m) , 即水池的直径至少应设计为 5m.

?

?

8


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