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河南省南阳市第一中学2015-2016学年高一数学下学期第二次月考试题(扫描版)


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2

3

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南阳一中 2016 年春期高一年级第二次月考 数学试题参考答案 1.D 试 题 分 析 : 由 已 知 得 AP ? ( AB ? AC) ? ( AB ? AC) ? ( AB ? AC) ? ( AB ? AC ) ? 0 ,
??? ? ??? ? ??

?? ? ???? 1 ??? 2 ??? ? ???? ? 2 ???? 2 1 ??? 2

? AB ? AC 。
2.C 解:若 则 f( 即 2× 对 x∈R 恒成立, )等于函数的最大值或最小值 +φ =kπ + ,k∈Z ,k∈Z

则 φ =kπ + 又 即 sinφ <0

令 k=﹣1,此时 φ = 令 2x 解得 x∈ 3.A ∈[2kπ ﹣

,满足条件 ,2kπ + ],k∈Z

试题分析:因为 2 AO ? AB ? AC ? 2 AO ? OB ? OA ? OC ? OA 所以 OB ? ?OC ,所以

????

??? ? ??? ?

????

??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? O, B, C 三 点 共 线 即 AB ? AC ; 又 因 为 OA ? AB ? 1 , 所 以 BC ? 2 , 所 以 ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? 1 B A? B C ? B? A A? C A1? B 故向量 BA 在向量 BC 上的投影为 选 A. 2

?

?

4.D 试 题 分 析 : 此 函 数 值 求 和 分 为 三 部 分 求 和 , 第 一 部 分 算

1 2 3 4029 ? ? ? ......? ? 2015 2015 2015 2015
第 二 部 分 算 sin ?

?1 ? 4029? 4029 2 ? 4029 2015

?? ? ? ? ? 2? ? ? 4029 ? ? sin? ? ? ......? sin? ? , 观 察 规 律 , ? 2015? ? 2015? ? 2015 ?

?
2015

?

4029 ? 2? 4028? 2014 ? 2016 ? ? 2? , ? ? 2? ,……, ? ? 2? , 2015 2015 2015 2015 2015

5

所以 sin? 是 sin

?? ?? ?? ? ? ? ? 4029 ? 2014 ? 2016 ? ? sin? ? ? 0 ,…… sin ? ? ? sin ? ? ? 0 ,最中间的数 ? 2015? ? 2015 ? ? 2015 ? ? 2015 ?

2015 ? ? 0 ,所以中间这部分和是 0, 2015 第三部分的和是 3 ? 4029 ? 12087 所以最后的和是 4029 ? 0 - 12087 ? -8058 .
5.C 试题分析: 不妨令三角形面积 S ?

1 1 1 1 1 1 a b c a ? ? b ? ? c ? ,可得 ? ? , 2 13 2 5 2 11 13 5 11

可设 a ? 13k , b ? 5k , c ? 11k ,? a ? c ? b ,? A 为三角形中最大的角.

? cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 25k 2 ? 121k 2 ? 169k 2 23 ? ?? ? 0 ,? A 为钝角, 2bc 2 ? 5k ?11k 110

所以此三角形为钝角三角形. 6.A 试题分析:因为 O 为 AB 中点,所以必有 PA ? PB ? 2 PO ,则
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ?2 ??? ? ??? ? 1 1 ( PA ? PB) ? PC ? 2 PO ? PC ? ?2 PO ? PC ? ?2 PO ? (1 ? PO ) ? 2 PO ? 2 PO ? 2( PO ? ) 2 ? 2 2

??? ?

??? ?

??? ?

,当且仅当 PO ?

??? ? ??? ? ??? ? 1 1 时, ( PA ? PB) ? PC 可取得最小值为 ? ,故本题正确选项为 A. 2 2

7.A 解:以 BC 所在直线为 x 轴,以 BC 的中垂线为 y 轴建立平面直角坐标系, 则 A(0,1) ,B(﹣1,0) ,C(1,0) ,设 D(x,0) ,则 E(x+ ,0) ,﹣1≤x≤ . ∴ =(x,﹣1) , =(x+ ,﹣1) ,∴ =x + x+1=(x+ ) + . 取得最大值 .
2 2

∴当 x=﹣ 时, 8.B 解: = , = , =

取得最小值 ,当 x=﹣1 或 时,

, +





代入可得: = 与 可得:λ = 9.C +

,比较, .

6

( x, 0) , 试题分析:由 A,B 两点分别在 x 轴正半轴和 y 轴正半轴,且 BP ? 2PA ,可知 A

???? ??? ? 3 B (0,3 y) , 因 为 Q (? x, y) , 所 以 OQ ? AB ? (? x, y ) ? (? x,3 y ) ? 1 , 化 简 得 : 2 3 2 3 x ? 3 y 2 ? 1( x ? 0, y ? 0) ,所以点 P 的轨迹方程是 x 2 ? 3 y 2 ? 1( x ? 0, y ? 0) ,故选 C. 2 2
10.B 【解析】 试题分析:本题以面积之比为背景,考查平面向量的初等运算和平面向量的基本定理,难度 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2 ??? ? 1 ??? ? 较难.连 Q? ,延长 Q? 交 ?? 于 ? ,设 AE ? ? AB , EP ? AP ? AE ? ( ? ? ) AB ? AC ,

3 2

5 ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ???? ??? ? 2 ??? ? 1 ??? ? ? ? ??4 不 共 线 , 所 以 E P , A C EQ ? AQ ? AE ? ( ? ? ) AB ? AC , 又 A B ? 3 4 5
S?ABP EP 4 ? ? . S?ABQ EQ 5

5

? ? ?? . 又 EQ

【思路点晴】本题从面积之比来设问,需要用等积法进行等价转换,注意到

1 AB ? hP S?ABP 2 h EP ,这是本题的难点之一,这样把面积之比转化为线段之比.由 ? ? P ? S?ABQ 1 AB ? h hQ EQ Q 2
于点 ? 、 ? 、 Q 共线,从而考虑平面向量的基本定理的运用,便是水到渠成,自然而然. 11.A 试题分析: 结合题意, 画出图 形, 利用图形, 延长 MD 至 E, 使 DE=MD, 得到平行四边形 MAEC, 求出 MD 与 MB 的关系,即可得出 正确的结论. 如图所示,∵D 是 AC 之中点,延长 MD 至 E,使得 DE=MD,∴四边形 MAEC 为平行四边形,

???? ?

????

???? ? 1 ???? 1 ???? ???? ? ???? ? ???? ? 3 3 3 ???? ???? ? MD ? ME ? (MA ? MC ), ? MB ? MA ? MC ? 0, ? MB ? ? (MA ? MC ) ? ?3 MD , 2 2 2 2 2

???? ? ???? ? | MD | | MD | 1 ???? ?? ? ???? |? | MB | ?3MD 3

7

12.B 试题分析:因为向量 OA, OB 满足 OA ? OB ? 1 , OA ? OB ,所以将 A, B 放入平面直角坐 标 系 中 , 令 A(1, 0), B(0,1) , 又 因 为 M 为 AB 的 中 点 , 所 以 M ( , ) . 因 为

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

1 1 2 2

? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ??? ? ??? ? ??? ? O C? ? O A ?? O (B ?, ?,? ,所以 ) R OC ? ?OA ? ?OB ? ? (1,0) ? ? (0,1) ? (?, ? ) ,即点
? ???? ? 1 1 1 1 C (? , ? ) .所以 MC ? (? ? , ? ? ) ,因为 MC ? 1 ,所以 (? ? ) 2 ? ( ? ? ) 2 ? 1 ,即点 2 2 2 2 1 1 C (? , ? ) 在以 ( , ) 为圆心,1 为半径的圆上. 2 2 1 2 1 2 令t ? ? ? ? , 则 ? ? t ??, 将其代入圆 (? ? ) ? ( ? ? ) ? 1 的方程消去 ? 得到关于 ? 的 2 2

一元二次方程:

1 1 2? 2 ? 2t ? ? (t 2 ? t ? ) ? 0 2 2 , 所 以 ? ? (2t ) ? 4 ? 2(t ? t ? ) ? 0 , 解 之 得 2 2

? 2 ?1 t ?
13.

? ? ? 的最大值是 1 ? 2 .故应选 B . ? 2,即 1 ?

1 4

【解析】 cos(

?

? ? ? 1 ? ? ) ? cos[ ? ( ? ? )] ? sin( ? ? ) ? . 6 2 3 3 4

14.8 解:∵y=sinx 对任意 xi,xj(i,j=1,2,3,…,m ) ,都有|f(xi)﹣f (xj)|≤f(x)max ﹣f(x)min=2, 要使 m 取得最小值,尽可能多让 xi(i=1,2,3,…,m)取得最高点, 考虑 0≤x1<x2<…<xm≤6π ,|f(x1)﹣f(x2)|+|f(x2)﹣f(x3)|+…+|f(xm﹣1)﹣f (xm)|=12, 按下图取值即可满足条件,

8

∴m 的最小值为 8. 故答案为:8.

3? ? ? ? ? A? A? ? ? A, B? ? ? B, C? ? ? C 2, 2 2 2 15. 8 试题分析: 不妨设 A 为顶角, 则由题意得 且 ,
A?+B?+C? ? 3? ? ? 3? ? A ? B ? C ? ? A ? B ? C= A ? , B ? C= 2 2 ,逐一验证得: 4 8 满足

因此有

16.①④⑤ 试题分析: 由图可知,A ? 2,

? ? 2k? ?
f (x ?

?
3

T 7? ? ? 7? 3 ? ? ? ? T ? ? ? ? ? 2,2 ? ? ? ? 2k? ? ? , 4 12 3 4 12 2

, k ? Z . f ( x) ? 2 sin( 2 x ?

?

?
6

) ? 2 sin( 2 x ?

?
3

?

?
3

3

) ? f (0) ? 3 , 2? ), 3

) ? 2 sin( 2 x ?

k? ? 5? ? , k ? Z ,一个对称中心为 ( ,0) ,所以②、③不正确; 6 2 12 13? 13? ), 因为 f ( x) 的图象关于直线 x ? 对称,且 f ( x) 的最大值为 f ( 12 12 12? 14? 12? 13? ? 13? 14? ? )? f( ) ,即④正确; ? ? ? ? ? ,所以 f ( 11 13 11 12 12 ?11 12 13 13 ?12 ? 5? ,0) 的对称点 设 ( x, f ( x)) 为函数 f ( x) ? 2 sin( 2 x ? ) 的图象上任意一点,其对称中心 ( 6 3 5? ? ( ? x,? f ( x)) 还 在 函 数 f ( x) ? 2 sin( 2 x ? ) 的 图 象 上 , 即 3 3 5? 5? f ( ? x) ? ? f ( x) ? f ( x) ? ? f ( ? x) ,故⑤正确 3 3
对称轴为直线 x ? 17.解: sin ? ?

y (?3) 2 ? y 2

?

2 y, ? y 2 ? 5, y ? ? 5. 4 ?? 6 sin ? 15 , tan? ? ?? . 4 cos? 3

当y?

5 时, cos? ?

? 3 (?3) ? y
2 2

9

当 y ? ? 5 时, cos? ?

? 3 (?3) ? y
2 2

??

6 sin ? 15 , tan? ? ? . 4 cos? 3
3 4 , cos ? ? ? 5 5

18.解、 (1)? 角 ? 的终边经过点 P(-4,3)∴r=5, sin ? ?

3 4 sin(? ? ? ) ? cos(?? ) sin ? ? cos ? 5 ? 5 4 ∴ = ? ? 3 tan(? ? ? ) tan ? 15 ? 4 1 4 2 (2) sin 2? ? cos 2? ? 1 = sin ? ? cos ? ? 2 cos ? ? 2 5 ? ? ? k? (k ? Z ) , 19.解: (Ⅰ)令 2 x ? ? ? k? (k ? Z ) ,解得 x ? ? 4 2 8 2 ? k? (k ? Z ) 所以函数 f ( x) 对称轴方程为 x ? ? 8 2
(Ⅱ)∵ f ( x) ? ?

2 ? sin(2 x ? ) ? 2 , 2 4

∴函数 f ( x) 的单调增区间为函数 y ? sin(2 x ? 令

?
4

) 的单调减区间,

?

4 5? ? k? ( k ? Z ) , ∴ ? k? ? x ? 8 8

?

2

? 2 k? ? 2 x ?

?

?

3? ? 2 k? ( k ? Z ) , 2

∴函数 f ( x) 的单调增区间为 [

?

8

? k? ,

(Ⅲ)方程 f ( x) ? m ? 1 ? 0 在 x ? [0, 图象有交点. ∵ x ? [0, ∴?

?
2

5? ? k? ](k ? Z ) 8 ] 上有解,等价于两个函数 y ? f ( x) 与 y ? m ? 1 的

?
2

] ∴ 2x ?

?

? 5? ?[ , ] , 4 4 4

2 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 , 2 4 2 5 2 5 ? f ( x) ? ,∴ 2 ? ? m ?1 ? 2 2 2 2 2 7 , ]. 2 2
, ? = ﹣ ,求得 ω = , .

即得 2 ?

∴ m 的取值范围为 [3 ?

20.解: (1)由题意可得 A= 再根据五点法作图可得

? +?=

,∴?=

10

∴f(x)=

sin(

x+

) .

(2)将 f(x)的图象沿 x 轴向右平移 个单位得到 函数对应的解析式为 ,

因为 P、Q 分别为该图象的最高点和最低点, 所以, 所以, , , ,





所以 (3)

. ,根据函数图象的对称性可知线段 PQ 必过点 M(如图) , .

∴S△OQP=S△POM+S△QOM= |yP|?OM+ |yQ|?OM=|yP|?OM=2

21. (1)由题意,∵对于任意 x ? R, f ( x)≤ f ( A) 恒成立, 为 f ( A) , 当 f ( x) 取得最大值时, 2 x ? ∴ A ? k? ?

∴ f ( x) ? sin(2 x ? ) 的最大值 6

?

?
6

? 2k? ?

?
2

, k ? Z ,即 x ? k? ?

?
3

,k ?Z ,

?

3 (2)∵AM 是 BC 边上的中线,
∴在△ABM 中, AM 2 ? 在 △ACM 中, AM 2 ?

, k ? Z ,又∵A 是三角形的内角,即 0 ? A ? ? ,∴ A ?

?
3



3 3 ? 2 AM ? ? cos ?AMB ? c 2 , 4 2



3 3 ? 2 AM ? ? cos ?AMC ? b 2 , ② 4 2 又∵ ?AMB ? ? ? ?AMC ,∴ cos ?AMB ? ? cos ?AMC ,

①+②得 AM 2 ?

? b2 ? c 2 3 ? .由余弦定理 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos ? b2 ? c2 ? bc ? 3 , 3 2 4
b2 ? c 2 ,∴ 3 ? b2 ? c2 ≤6 , 2
11

∵ 0 ? b2 ? c2 ? 3 ? bc≤

3 3 3 9 ? AM ≤ ? AM 2 ≤ ,即 2 2 4 4 22. 解: (1)因为 ,



根据题意有



(2)











即 故若

的零点相离间隔依次为 在



, 的最小值为 .

上至少含有 30 个零点, 则

12


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