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2013年湖州市高一数学竞赛试卷及参考答案与评分标准


2013 湖州市高一数学竞赛
考生注意: 1.请将密封线内的相关信息填写完整. 2.本试卷共三大题(计 18 小题). 3.用钢笔、签字笔或圆珠笔作答. 线 密 4.不能使用计算器. 一 题 号 (1—8) 得 分 评卷人 (9—15) 16 17 二 三

(2013.5.19)

总 18



准考证号

复评人 封 得分 评卷人

一、选择题(每小题 6 分,共 48 分) 1.若 ? 为锐角且 cos? ? cos ? ? ?2 ,则 cos? ? cos ? 的值为 (
?1 ?1



A. 2 2

B. 6

C. 6

D. 4

?e x ? a, x ? 0, f ( x) ? ? 2. 已知函数 (a?R ) ,若函数 f ( x ) 在 R 上有两个零点, 2 x ? 1, x ? 0 ?
则 a 的取值范围是 A. ? ??, ?1? 密 3. 已知函数 f ( x) ? ? B. ? ??,0? C. ? ?1,0? ( )

姓名

D. ? ?1,0? )

学校

?sin x, sin x ? cos x, 则下面结论中正确的是 ( ?cos x, sin x ? cos x,
B. f ( x ) 是偶函数

A. f ( x ) 是奇函数

C. f ( x ) 的值域是 [ ?

2 ,1] 2

D. f ( x ) 的值域是 [?1,1]

湖州市高一数学竞赛—1

4.设数列 {an } 满足: a1 ? 2 , an ?1 ? 1 ?

1 ,记数列 {an } 的前 n 项之积为 Pn , an
( )

则 P2013 的值为 A. ?2 B. ?1 C. 2 D. 1

5.函数 f ? x ? ? A. ?1,

x ? 3 ? 12 ? 3x 的值域为
B. ?1,





?

2? ?

?

3? ?

C. ?1,

? ?

3? 2? ?

D. ?1, 2?

6.已知数列?an ? 满足a1 =0,an?1 =an ? 1 ? 2 1 ? an ? n ? 1, 2,?? ,则a2013 = (



A. 4052166

B. 4052168

C. 4052170

D. 4052172

7.已知 x, y ? (? 2, 2) ,且 xy ? 1 ,则

2 4 的最小值是 ? 2 2? x 4 ? y2





A.

20 7

B.

12 7

C.

16 ? 4 2 7

D.

16 ? 4 2 7

8.已知函数 f ( x) ?

ax2 ? bx 满足:对于实数 a 的某些值,可以找到相应正数 b ,

使得 f ?x ? 的定义域与值域相同,那么符合条件的实数 a 的个数是





A.1 个

B. 2 个

C. 3 个

D.不存在

湖州市高一数学竞赛—2

得分

评卷人

二、填空题(每小题 6 分,共 42 分) 9.已知向量 a ? (1,2), b ? (?2,?4), c ? 5, 若 ( a ? b ) ? c

?

?

?

?

? ?

?

5 ? ? ,则 a与c 的夹角为 2



10.函数 y ? log 1 sin( x ?
2

1 2

?
3

) 的单调递增区间是



11 . 设 f ? x ? 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 且 y ? f ? x ? 的 图 象 关 于 直 线 x ?

1 对称,则 2

f ?1? ? f ? 2? ? f? 3 ? f ? ? ?f ?5 __________. ? ? ? 4

2 2 12 . 使 不 等 式 sin x ? a cos x ? a ? 1 ? cos x 对 一 切 x ? R 恒 成 立 的 负 数 a 的 取 值 范 围





13.设向量 a , b 满足: | a |? 3 , | b |? 4 , a ? b ? 0 .以 a , b , a ? b 的模为边长构成三角形, 则它的边与半径为 1 的圆的公共点个数最多为 .

14.设 a, b, c 为方程 x ? 5 x ? 2 ? 0 的实数根,则
3

1? a 1? b 1? c ? ? ? 1? a 1? b 1? c



15.定义函数 f ( x) = [ x[ x ]] ,其中 [ x] 表示不超过 x 的最大整数, 如:[1.5] =1,[?1.3] =-2.当

n 设函数 f ( x) 的值域为 A, 记集合 A 中的元素个数为 an , 则式子 x ∈ [0 , ) (n∈ N ? )时,
的最小值为 .

an ? 90 n

湖州市高一数学竞赛—3

三、解答题(每小题 20 分,共 60 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 得分 评卷人 16.已知△ ABC 的三个内角 A , B , C 对边分别是 a , b , c ,
3 3 7 ,又△ ABC 的面积为 S?ABC ? . 2 2

且 tan A ? tan B ? 3(tan A tan B ? 1) , c ? (1)求角 C ; (2)求 a ? b 的值.

湖州市高一数学竞赛—4

得分
(1)求

评卷人

17.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 满足: Sn = ( a 为常数,且 a ≠0, a ≠1).

a (an ? 1) a ?1

?an ? 的通项公式;

(2)设 bn =

2Sn +1,若数列 ?bn ? 为等比数列,求 a 的值; an

(3)在满足条件(2)的情形下,设 c n =2- ? 求证: Tn <

?

1 1 ? ? ? ,数列 ?cn ? 的前 n 项的和为 Tn . ? 1 ? an 1 ? an?1 ?

1 . 3

湖州市高一数学竞赛—5

得分

评卷人

1 18.若定义域为 [0,1] 的函数 f ( x ) 同时满足以下三个条件:○对任意的 x ? [0,1] ,总有

f ( x) ? 0

2 ;○

f (1) ? 1

3 ;○ 若

x1 ? 0



x2 ? 0

, 且

x1 ? x2 ? 1

, 则有

f ( x ? x ) ? f( 1x)? 1 2
(1)若

f( 成立,就称 f ( x) 为“太湖函数”.请解答下列各题: 2 x)

,求 f (0) 的值; f ( x) 为“太湖函数”
x

(2)函数 g ( x) ? 2 (3)已知 请判断

? 1在区间 [0,1] 上是否为“太湖函数”?并给出理由.

,假定存在 x0 ? (0,1) ,使得 f ( x0 ) ? (0,1) 且 f [ f ( x0 )] ? x0 , f ( x) 为“太湖函数”

f ( x0 ) ? x0 , f ( x0 ) ? x0 , f ( x0 ) ? x0 这三个式子哪一个能成立?并说明理由.

湖州市高一数学竞赛—6

2013 年湖州市高一数学竞赛
试题解答与评分标准
二、选择题(每小题 6 分,共 48 分)

(2013.5.19)

1.若 ? 为锐角且 cos? ? cos ? ? ?2 ,则 cos? ? cos ? 的值为 ( A )
?1 ?1

A. 2 2

B. 6

C. 6

D. 4

?e x ? a, x ? 0, 2. 已知函数 f ( x ) ? ? (a?R ) ,若函数 f ( x ) 在 R 上有两个零点,则 a 的取值范围 ? 2 x ? 1, x ? 0
是 A. ? ??, ?1? 3. 已知函数 f ( x) ? ? B. ? ??,0? C. ? ?1,0? ( D ) D. ? ?1,0?

?sin x, sin x ? cos x, 则下面结论中正确的是 ( C ) ?cos x, sin x ? cos x,
B. f ( x ) 是偶函数

A. f ( x ) 是奇函数

C. f ( x ) 的值域是 [ ?

2 ,1] 2

D. f ( x ) 的值域是 [?1,1]

4.设数列 {an } 满足: a1 ? 2 , an ?1 ? 1 ?

1 ,记数列 {an } 的前 n 项之积为 Pn , an
( B )

则 P2013 的值为 A. ?2 解:因为 an? 2 ? 1 ? B. ?1 C. 2 D. 1

1 1 ?1 , ?1? ? 1 an ? 1 an?1 1? an 1 1 ?1? ? an ,故 {an } 是以 3 为周期的周期数列. ?1 an? 2 an ? 1

于是 an?3 ? 1 ?

又 a1 ? 2 , a2 ?

1 , a3 ? ?1 ,从而 P3 ? ?1 . 2

所以, P2013 ? ? 1 671 ? ?1 .故答案选 B. ( ) 5.函数 f ? x ? ? A. ?1,

x ? 3 ? 12 ? 3x 的值域为
B. ?1,

( D )

?

2? ?

?

3? ?

C. ?1,

? ?

3? 2? ?

D. ?1, 2?

湖州市高一数学竞赛—7

2 解: f ? x ? 的定义域为 3 ? x ? 4, 则 0 ? x ? 3 ? 1 ,令 x ? 3 ? sin ? , 0 ? ? ?

?
2

,则

f ? x ? ? x ? 3 ? 3 ? 4 ? x ? ? sin ? ? 3 ?1 ? sin 2 ? ? ? sin ? ? 3 cos ? ? 2sin(? ? ) 3 ? ? 5? 1 ? ? ? sin(? ? ) ? 1, 1 ? 2sin(? ? ) ? 2 ,选 D . 因 ?? ? ? ,则 3 3 6 2 3 3
6.已知数列?an ? 满足a1 =0,an?1 =an ? 1 ? 2 1 ? an ? n ? 1, 2,?? ,则a2013 = ( A. 4052166 B. 4052168 C. 4052170 D. 4052172 B )

?

解: 两边加 得 an?1 ? 1 ? an ? 1 ? 1 ? an ? n2 ? 1, ? a2013 =4052168 ,选 B . 1 7.已知 x, y ? (? 2, 2) ,且 xy ? 1 ,则

2 4 的最小值是 ? 2 2? x 4 ? y2 16 ? 4 2 7

( C )

A.

20 7

B.

12 7

C.

16 ? 4 2 7
4

D.

1 2 4 2 ? ? ? 解:由已知得 y ? ,所以 2 2 x 2? x 4? y 2 ? x2

? 4 x 4 ? 16x 2 ? 2 ? 1 ? 4x 4 ? 9x 2 ? 2 4? 2 x

=1 ?

7x2 ? 1? ? 4x 4 ? 9x 2 ? 2

7 9 ? (4 x 2 ? 2 ) x2

4x 2 ?

2 ?4 2 x2
2

当且仅当 4 x ?
2

2 2 2 ,即 x ? 时,取等号. 2 x 2

故当 x ?

2 4 2 16 ? 4 2 时, 有最小值 ,选 C . ? 2 2 2 7 2? x 4? y

8.已知函数 f ( x) ?

ax2 ? bx 满足:对于实数 a 的某些值,可以找到相应正数 b ,使得 f ?x ? 的
( B )

定义域与值域相同,那么符合条件的实数 a 的个数是

A.1 个

B. 2 个

C. 3 个

D.不存在

解: 当 a ? 0 时, f ( x) ? bx (b>0) 的定义域与值域都是 ?0,??? 当 a ? 0 时 , f ( x) ?

ax2 ? bx 的 定 义 域 是 ax2 ? bx ≥ 0 的 解 集 , 即 为

湖州市高一数学竞赛—8

b ? [0, ? ] a ? 0 ? ? a ,但由于它的值域不含负数,故必 a <0, ? ?(??, ? b ] ? [0, ??) a?0 ? a ?
此时值域为 [0, f (?

b b2 )] ? [0, ? ] . 2a 4a

所以 ?

b b2 ? ? ? a ? ?4 ,所以 a 有两个值 0 和-4.故答案选 B. a 4a
?

二、填空题(每小题 6 分,共 42 分) 9. 已知向量 a ? (1,2), b ? (?2,?4), c ? 5, 若 ( a ? b ) ? c

?

?

?

? ?

?

5 ? ? , a与c 的夹角为 则 2

2? 3



10.函数 y ? log 1 sin( x ?
2

1 2

?
3

) 的单调递增区间是

? 4? ? ? 4k? ? 3 , 4k? ? 3 ), k ? Z ?



11 . 设 f ? x ? 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 且 y ? f ? x ? 的 图 象 关 于 直 线 x ?

1 对称,则 2

f ?1? ? f ? 2? ? f? 3 ? f ? ? ?f ?5 ___0_______. ? ? ? 4
2 12 . 使 不 等 式 s i n x ? a c o s ? a 2 ? 1 ? c o s 对 一 切 x ? R 恒 成 立 的 负 数 a 的 取 值 范 围 x x



. a ? ?2

(a ? 1) 2 a ?1 2 2 解:原不等式可化为 (cosx ? ) ?a ? 2 4
a ?1 ?0 2 a ?1 2 a ?1 2 ) 有最大值 (1 ? ) , 所以当 cos x ? 1 时,函数 y ? (cos x ? 2 2
因为 ? 1 ? cos x ? 1 , a ? 0 , 从而有 (1 ?

a ?1 2 (a ? 1) 2 ,整理得 a 2 ? a ? 2 ? 0 ) ? a2 ? 2 4

所以 a ? 1 或 a ? ?2 ,又 a ? 0 ,∴a ? ?2 13.设向量 a , b 满足: | a |? 3 , | b |? 4 , a ? b ? 0 .以 a , b , a ? b 的模为边长构成三角形, 则它的边与半径为 1 的圆的公共点个数最多为 4 .

解: 对于半径为 1 的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆, 此时只有三个交点,对于圆的位置稍 一右移或其他的变化,能实现 4 个交点的情况,但 5 个以上的交点不能实现.

湖州市高一数学竞赛—9

14.设 a, b, c 为方程 x ? 5 x ? 2 ? 0 的实数根,则
3

1? a 1? b 1? c ? ? ? 1? a 1? b 1? c

?1



解: 由题意, x3 ? 5x ? 2 ? ( x ? a)( x ? b)( x ? c) .由此可得

a ? b ? c ? 0 , ab ? bc ? ca ? ?5 , abc ? ?2 以及 1 ? 5 ? 2 ? (1 ? a)(1 ? b)(1 ? c) (令 x ? 1 ) .

1 ? a 1 ? b 1 ? c 3 ? (a ? b ? c) ? (ab ? bc ? ca) ? 3abc 3 ? 5 ? 6 ? ? ?1 . ? ? ? 1? 5 ? 2 1? a 1? b 1? c (1 ? a)(1 ? b)(1 ? c)
15.定义函数 f ( x) = [ x[ x ]] ,其中 [ x] 表示不超过 x 的最大整数, 如:[1.5] =1,[?1.3] =-2.当

n 设函数 f ( x) 的值域为 A, 记集合 A 中的元素个数为 an , 则式子 x ∈ [0 , ) (n∈ N ? )时,
的最小值为 13 .

an ? 90 n

解:当 x ∈ [0 , 1) 时, f ( x) = [ x[ x ]] = [ x ? 0] =0; 当 x ∈ [1 , 2) 时, f ( x) = [ x[ x ]] = [ x ? 1] = [ x] =1; 当 x ∈ [2 , 3) 时,再将 [2 , 3) 等分成两段,

x ∈ [2 , 5 ) 时, f ( x) = [ x[ x]] = [ x ? 2] = [2 x] =4;
2 5 x ∈ [ , 3) 时, f ( x) = [ x[ x]] = [ x ? 2] = [2 x] =5. 2

类似地,当 x ∈ [3 , 4) 时,还要将 [3 , 4) 等分成三段,又得 3 个函数值; 将 [4 , 5) 等分成四段,得 4 个函数值,如此下去. 当 x ∈ [0 , n) (n∈ N ? )时,函数 f ( x) 的值域中的元素个数为 an =1+1+2+3+4+?+(n -1)=1+

a ? 90 n 91 1 1 1 n(n ? 1) 182 ,于是 n = + - = (n ? )- , n 2 n 2 2 2 2 n a ? 90 所以,当 n=13 或 n=14 时, n 的最小值为 13. n

三、解答题(每小题 20 分,共 60 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16.已知△ ABC 的三个内角 A , B , C 对边分别是 a , b , c , 且 tan A ? tan B ? 3(tan A tan B ? 1) , c ? (1)求角 C ;
3 3 7 ,又△ ABC 的面积为 S?ABC ? . 2 2 (2)求 a ? b 的值.

解: (1)由 tan A ? tan B ? 3 tan A tan B ? 3 ? ? 3(1 ? tan A tan B) 得

tan A ? tan B ? ? 3 ? tan( A ? B) ? ? tan C .即 tanC ? 3 .????????7 分 1 ? tan A tan B

又 C ? (0, ? ) ,所以 C ?

?

3

.

????????????10 分

湖州市高一数学竞赛—10

(2) S ?ABC ?

1 3 3 absin C ? ? ab ? 6 . 2 2

???????????? 14 分

又 c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2abcosC ? (a ? b) 2 ? 3ab ,而 c ? 所以 a ? b ?

7 , 2
?????????????20 分

7 11 c 2 ? 3ab ? ( ) 2 ? 18 ? . 2 2

17.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 满足: Sn = (1)求 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn =

a (an ? 1) ( a 为常数,且 a ≠0, a ≠1). a ?1

2Sn +1,若数列 ?bn ? 为等比数列,求 a 的值; an

? 1 1 ? (3)在满足条件(2)的情形下,设 c n =2- ? ? ? ,数列 ?cn ? 的前 n 项的和为 Tn . ? 1 ? an 1 ? an?1 ?

1 3 a (1)因为 S1 = ????????????1 分 (a1 ? 1) ,所以 a1 = a . a ?1 a a 当 n≥2 时, an = Sn - S n ?1 = an - an?1 , a ?1 a ?1
求证: Tn < . 所以

an = a ,即 ?an ? 是等比数列. an ?1

????????????4 分

所以 an = a ? a n ?1 = a n .

????????????6 分

2?
(2)由(1)知, bn =

a ( a n ? 1) (3a ? 1)a n ? 2a a ?1 +1= ,???????7 分 n a n (a ? 1) a
????????????8 分

2 若 ?bn ? 为等比数列,则有 b2 = b1b3 ,

3a 2 ? 2a ? 2 3a 2 ? 2a ? 2 3a ? 2 3a ? 2 2 , b3 = ,故 ( , ) =3? a2 a2 a a 1 1 1 解得 a = ,再将 a = 代入,得 bn = 3 n 成立,所以 a = .??????12 分 3 3 3 1n (3)由(2)知, an = ( ) , ????????????13 分 3 3n 3n ?1 1 1 1 1 所以 c n =2- - =1- n +1- n ?1 = n - n?1 , 1 n 1 n?1 3 ?1 3 ? 1 3 ? 1 3 ?1 1? ( ) 1? ( ) 3 3
而 b1 =3, b2 = ????????????15 分

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 由 n < n , n?1 > n?1 得 n - n?1 < n - n?1 ,所以 c n < n - n?1 , 3 ?1 3 3 ? 1 3 ?1 3 3 3 3 3 ?1 3
????????????18 分

湖州市高一数学竞赛—11

从而 Tn = c1 + c 2 +?+ c n < -

1 3

1 1 1 1 1 1 1 1 +( 2 - 3 )+?+( n - n?1 )= - n?1 < . 2 3 3 3 3 3 3 3 3
????????????20 分

18.若定义域为 [0,1] 的函数 f ( x ) 同时满足以下三个条件:
1 2 3 ○对任意的 x ? [0,1] ,总有 f ( x) ? 0 ;○ f (1) ? 1 ;○若 x1 ? 0 , x2 ? 0 ,且 x1 ? x2 ? 1 ,则

有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,就称 f ( x ) 为“太湖函数”.请解答下列各题: (1)若 f ( x ) 为“太湖函数” ,求 f (0) 的值; (2)函数 g ( x) ? 2 x ?1在区间 [0,1] 上是否为“太湖函数”?并给出理由. (3)已知 f ( x ) 为“太湖函数” ,假定存在 x0 ? (0,1) ,使得 f ( x0 ) ? (0,1) 且 f [ f ( x0 )] ? x0 , 请判断 f ( x0 ) ? x0 , f ( x0 ) ? x0 , f ( x0 ) ? x0 这三个式子哪一个能成立?并说明理由. 解: (1)取 x1 ? x2 ? 0 得 f (0) ? f (0) ? f (0) ? f (0) ? 0 ,又 f (0) ? 0 ,得 f (0) ? 0 . ?6 分
x 1 (2) 显然 g ( x) ? 2 ? 1在 [0,1] 上满足○ g ( x) ? 0 ;2 g (1) ? 1 .若 x1 ? 0 , 2 ? 0 , x1 ? x2 ? 1 , ○ 且 x

则有 g ( x1 ? x2 ) ? [ g ( x1 ) ? g ( x2 )] ? 2 1

x ? x2

?1 ? [(2x1 ?1) ? (2x2 ?1)] ? (2x2 ?1)(2x1 ?1) ? 0 .

1 2 3 故 g ( x) ? 2x ? 1满足条件○、○、○,所以 g ( x) ? 2x ? 1为“太湖函数”. ??????12 分

(3) 依题意必有 f ( x0 ) ? x0 .??????????????????????????14 分
3 由○知任给 x2 , x1 ?[0,1] 其中 x2 ? x1 ,且有 x2 ? x1 ? 1 ,不妨设 x2 ? x1 ? ?x (?x ? 0)

则必有: 0 ? ?x ? 1) 所以, f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x1 ? ?x) ? f ( x1 ) ? f ( x1 ) ? f (?x) ? f ( x1 ) ? f (?x) ? 0 所以, f ( x2 ) ? f ( x1 ) .??????????????????????????16 分 下面用反证法证明 f ( x0 ) ? x0 :假设 f ( x0 ) ? x0 ,则有 x0 ? f ( x0 ) 或 x0 ? f ( x0 ) (1) 若 x0 ? f ( x0 ) ,则 f ( x0 ) ? f [ f ( x0 )] ? x0 ,这与 x0 ? f ( x0 ) 矛盾; (2) 若 x0 ? f ( x0 ) ,则 f ( x0 ) ? f [ f ( x0 )] ? x0 ,这与 x0 ? f ( x0 ) 矛盾; 故由上述(1)(2)证明知假设不成立,则必有 f ( x0 ) ? x0 ,证毕. 、 ??????????????????20 分

湖州市高一数学竞赛—12


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