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由一道高考题多解引发的思考


龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 由一道高考题多解引发的思考 作者:徐景臣 来源:《理科考试研究· 高中》2013 年第 07 期 高考复习过程中,正确引导学生进行一题多解是培养学生发散性思维的有效方法,学生学 会了发散性思维,在解题中就能全面考虑问题,沿着已知条件、从不同角度去思考,开发学生 智力,活跃学生思维、提高学生能力,培养学生解题方法和技巧

,达到高效复习的目标。 本文(2010 全国卷 1 理数、文数)(16)题为例,分析一题多解在数学解题中的运用, 旨在说明教师在平时的数学教学中应培养学生一题多解的习惯。 已知 F 是椭圆 C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段 BF 的延长线交 C 于点 D, BF=2FD,则 C 的离心率为____。 命题意图 本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识、向量共线 的坐标运算,考查了数形结合思想、方程思想。本题凸显解析几何的特点:“数研究形,形助 数”,利用几何性质可寻求到简化问 题的捷径。 点评 本解运用了向量的数量积与运算律,简明、快捷、易懂。有关圆锥曲线中的离心率 问题,如果没有给出 c 和 a,则要结合章节知识得到 c 和 a 的齐次方程,从而得出离心率。 解析 4 由 BF=2FD,可知|BF|=|2FD|,|BF|=a+exB=a,|FD|=a+exD,代入上式得,xD=a2e, xF=23xD, 所以 23× a2e=c,所以 e2=13,即 e=33。 点评 向量是沟通代数与几何的桥梁,利用向量可以使几何关系与数量关系相互转化,思 路清晰,过程简捷。 解析 5 设∠ BFO=θ,则 cosθ=ca=e,由 BF=2FD,可知|BF||DF|=1+ecosθ1-ecosθ=1+e21e2=2,解得 e2=13,即 e=33。 点评 运用本解法要求对圆锥曲线的统一方程较熟悉,使解法更迅捷。 练习 1。斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y2=4x 的焦点,且与抛物线相交于 A、B 两点,求线段 AB 的长。 2。椭圆 x225+y216=1 的焦点是 F1、F2,椭圆上一点 P 满足 PF1⊥ PF2,下面结论正确的 是 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn A。P 点有两个 B。P 点有四个 C。P 点不一定存在 D。P 点一定不存在 目前,一题多解和多题一解已广泛应用于数学教学中,尤其是在高三数学复习中,更应强 调一题多解和多题一解,以便解决高强度低效率的复习弊病。任何解题方法都有其赖以产生的 数学基础,而这个基础就是数学教科书的知识、结论、思想方法以及它们之间的内在联系。一 道题目可以用许多方法来解答,平时做题不应只着眼于做出这道题,而要尝试用多种解法来解 答。尝试从多个角度去解题,可以拓宽思路,在遇到其他类型的题目时更会有意外收获。 在一题多解的训练中,我们要密切注意每种解法的特点,善于发现解题规律,从中发现最 有意义的简捷解法,研究题中包含的知识点与重要的思想方法,通过一题多解培养学生的多方 向探索思考问题的能力。

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