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2013高中数学 1-2 第3课时等比数列的前n项和同步导学案 北师大版必修5


第 3 课时

等比数列的前 n 项和
知能目标解读

1.掌握等比数列的前 n 项和公式的推导方法--错位相减法, 并能用其思想方法求某类特殊数列的前 n 项和. 2.掌握等比数列前 n 项和公式以及性质,并能应用公式解决有关等比数列前 n 项的问题.在应用时,特别 要注意 q=1 和 q≠1 这两种情况. 3.能够利用等比数列的前 n 项和公式解决有关的实际应用问题. 重点难点点拨 重点:掌握等比数列的求和公式,会用等比数列前 n 项和公式解决有关问题. 难点:研究等比数列的结构特点,推导等比数列的前 n 项和的公式及公式的灵活运用. 学习方法指导 1.等比数列的前 n 项和公式 (1)设等比数列{an},其首项为 a1,公比为 q,则其前 n 项和公式为

na1 Sn=

(q=1) .

a1 (1 ? q n ) 1? q

(q≠1)

也就是说, 公比为 q 的等比数列的前 n 项和公式是 q 的分段函数的一系列函数值, 分段的界限是在 q=1 处. 因此,使用等比数列的前 n 项和公式,必须要弄清公比 q 是可能等于 1 还是不等于 1,如果 q 可能等于 1, 则需分 q=1 和 q≠1 进行讨论. (2)等比数列{an}中,当已知 a1,q(q≠1),n 时,用公式 Sn= 式 Sn=

a1 (1 ? q n ) ,当已知 a1,q(q≠1),an 时,用公 1? q

a1 ? an q . 1? q

2.等比数列前 n 项和公式的推导 除课本上用错位相减法推导求和公式外,还可以用下面的方法推导. (1)合比定理法 由等比数列的定义知:

a2 a3 a = =…= n =q. a1 a2 an ?1

当 q≠1 时,

a2 ? a3 ? ? ? an S ? a1 =q,即 n =q. a1 ? a2 ? ? ? an ?1 Sn ? an

故 Sn=

a1 ? an q a1 (1 ? q n ) = . 1? q 1? q

当 q=1 时,Sn=na1. (2)拆项法

Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+…+a1qn-2)=a1+qSn-1=a1+q(Sn-an)
当 q≠1 时,Sn=

a1 ? an q a1 (1 ? q n ) = . 1? q 1? q
1

当 q=1 时,Sn=na1.

(3)利用关系式 Sn-Sn-1=an(n≥2) ∵当 n≥2 时,Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+q(a1+a2+…+an-1)=a1+qSn-1 ∴Sn=a1+q(Sn-an) 即(1-q)Sn=a1(1-q ) 当 q≠1 时,有 Sn= 当 q=1 时,Sn=na1. 注意: (1)错位相减法,合比定理法,拆项法及 an 与 Sn 的关系的应用,在今后解题中要时常用到,要领会这些技 巧. (2)错位相减法适用于{an}为等差数列,{bn}为等比数列,求{an·bn}的前 n 项和. 3.等比数列前 n 项和公式的应用 (1)衡量等比数列的量共有五个:a1,q,n,an,Sn.由方程组知识可知,解决等比数列问题时,这五个量中只 要已知其中的任何三个,就可以求出其他两个量. (2)公比 q 是否为 1 是考虑等比数列问题的重要因素,在求和时,注意分 q=1 和 q≠1 的讨论. 4.等比数列前 n 项和公式与函数的关系 (1)当公比 q≠1 时,令 A=
n

a1 (1 ? q n ) , 1? q

a1 n ,则等比数列的前 n 项和公式可写成 Sn=-Aq +A 的形式.由此可见,非常数 1? q

列的等比数列的前 n 项和 Sn 是由关于 n 的一个指数式与一个常数的和构成的, 而指数式的系数与常数项互 为相反数. 当公比 q=1 时,因为 a1≠0,所以 Sn=na1 是 n 的正比例函数(常数项为 0 的一次函数). (2)当 q≠1 时,数列 S1,S2,S3,…,Sn,…的图像是函数 y=-Aq +A 图像上的一群孤立的点.当 q=1 时,数列
x

S1,S2,S3,…,Sn,…的图像是正比例函数 y=a1x 图像上的一群孤立的点.
知能自主梳理 1.等比数列前 n 项和公式 (1)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,当公比 q≠1 时,Sn= . (2)推导等比数列前 n 项和公式的方法是 2.公式特点 (1)若数列{an}的前 n 项和 Sn=p(1-q )(p 为常数),且 q≠0,q≠1,则数列{an}为 (2)在等比数列的前 n 项和公式中共有 a1,an,n,q,Sn 五个量,在这五个量中知 .
n

=

;当 q=1 时,Sn=

.

. 求

a1 (1 ? q n ) [答案] 1.(1) 1? q

a1 ? an q 1? q


na1 (2)错位相减法

2.(1)等比数列 (2)三

思路方法技巧 命题方向 等比数列前 n 项和公式的应用 [例 1] 设数列{an}是等比数列,其前 n 项和为 Sn,且 S3=3a3,求此数列的公比 q.
2

[分析] 应用等比数列前 n 项和公式时,注意对公比 q 的讨论. [解析] 当 q=1 时,S3=3a1=3a3,符合题目条件; 当 q≠1 时,

a1 (1 ? q 3 ) 2 =3a1q , 1? q
3 2 2

因为 a1≠0,所以 1-q =3q (1-q), 2q -3q +1=0,(q-1) (2q+1)=0, 解得 q=3 2

1 . 2 1 . 2

综上所述,公比 q 的值是 1 或-

[说明] (1)在等比数列中,对于 a1,an,q,n,Sn 五个量,已知其中三个量,可以求得其余两个量. (2)等比数列前 n 项和问题,必须注意 q 是否等于 1,如果不确定,应分 q=1 或 q≠1 两种情况讨论. (3)等比数列前 n 项和公式中,当 q≠1 时,若已知 a1,q,n 利用 Sn=

a1 (1 ? q n ) 来求;若已知 a1,an,q,利用 1? q

Sn=

a1 ? an q 来求. 1? q
7 63 ,S6= ,求 an. 2 2

变式应用 1 在等比数列{an}中,已知 S3=

[解析] ∵S6=

63 7 ,S3= , 2 2

∴S6≠2S3,∴q≠1.

a1 (1 ? q 3 ) 7 = 2 1? q




a1 (1 ? q 6 ) 63 = 2 1? q
②÷①得 1+q =9,∴q=2. 将 q=2 代入①,得 a1= ∴an=a1q =2 . 命题方向 等比数列前 n 项的性质
n-1 n-2
3



1 , 2

[例 2] 在等比数列{an}中,已知 Sn=48,S2n=60,求 S3n. [分析] 利用等比数列前 n 项的性质求解. [解析] ∵{an}为等比数列,∴Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 也成等比数列, ∴(S2n-Sn) =Sn(S3n-S2n) ∴S3n=
2

(60 ? 48) 2 ( S2 n ? Sn ) 2 +S2n= +60=63. 48 Sn
3

[说明] 等比数列连续等段的和若不为零时,则连续等段的和仍成等比数列.

变式应用 2 等比数列{an}中,S2=7,S6=91,求 S4. [解析] 解法一:∵{an}为等比数列,∴S2,S4-S2,S6-S4 也为等比数列, ∴(S4-7) =7×(91-S4) ,解得 S4=28 或-21. ∵S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q +a2q =S2+S2q =S2(1+q )>0, ∴S4=28. 解法二:∵S2=7,S6=91,∴q≠1.
2 2 2 2 2

a1 (1 ? q 2 ) =7 1? q


①?

a1 (1 ? q 6 ) =91 1? q
② 4 2 2 得 q +q -12=0,∴q =3, ①
∴q=± 3 . 当 q= 3 时,a1=



7( 3 ? 1) , 2

a1 (1 ? q 4 ) ∴S4= =28. 1? q
当 q=- 3 时,a1=-

7( 3 ? 1) , 2

a1 (1 ? q 4 ) ∴S4= =28. 1? q
探索延拓创新 命题方向 等比数列前 n 项和在实际问题中的应用 [例 3] 某公司实行股份制,一投资人年初入股 a 万元,年利率为 25%,由于某种需要,从第二年起此 投资人每年年初要从公司取出 x 万元. (1)分别写出第一年年底,第二年年底,第三年年底此投资人在该公司中的资产本利和; (2)写出第 n 年年底,此投资人的本利之和 bn 与 n 的关系式(不必证明) ; (3)为实现第 20 年年底此投资人的本利和对于原始投资 a 万元恰好翻两番的目标,若 a=395,则 x 的值应 为多少?(在计算中可使用 lg2≈0.3) [解析] (1)第一年年底本利和为 a+a·25%=1.25a, 第二年年底本利和为(1.25a-x)+(1.25a-x)×25%=1.25 a-1.25x, 第三年年底本利和为(1.25 a-1.25x-x)+(1.25 a-1.25x-x)25%=1.25 a-(1.25 +1.25)x. (2)第 n 年年底本利和为
2 2 3 2 2

bn=1.25na-(1.25n-1+1.25n-2+…+1.25)x.
(3)依题意,有 395×1.25 -(1.25 +1.25 +…+1.25)x=4×395,
20 19 18

4

∴x=

395(1.2520 ? 4) 1.25(1.2519 ? 1) 1.25 ? 1


=

0.25? 395? (1.2520 ? 4) . 1.2520 ? 1.25
20

设 1.25 =t,∴lgt=20lg(

10 )=20(1-3lg2)=2. 8

∴t=100,代入①解得 x=96. 变式应用 3 某大学张教授年初向银行贷款 2 万元用于购房,银行货款的年利息为 10%,按复利计算(即 本年的利息计入次年的本金生息).若这笔款要分 10 年等额还清,每年年初还一次,并且以贷款后次年年 初开始归还,问每年应还多少元? [解析] 第 1 次还款 x 元之后到第 2 次还款之日欠银行 20000(1+10%)-x=20000×1.1-x, 第 2 次还款 x 元后到第 3 次还款之日欠银行[20000(1+10%)-x](1+10%)-x =20000×1.1 -1.1x-x, … 第 10 次还款 x 元后,还欠银行 20000×1.1 -1.1 x-1.1 x-…-x, 依题意得,第 10 次还款后,欠款全部还清,故可得 20000×1.1 -(1.1 +1.1 +…+1)x=0, 解得 x=
10 9 8 10 9 8 2

20000?1.110 ? 0.1 ≈3255(元). 1.110 ? 1
名师辨误做答
2 3 4 5 6 7 8 9

[例 4] 求数列 1,a+a ,a +a +a ,a +a +a +a ,…的前 n 项和. [误解] 所求数列的前 n 项和 Sn=1+a+a +a +…+a
n ( n ?1)
2 3

n(n ? 1) ?1 2

1? a 2 = 1? a

.

[辨析] 所给数列除首项外,每一项都与 a 有关,而条件中没有 a 的范围,故应对 a 进行讨论. [正解] 由于所给数列是在数列 1,a,a ,a ,…中依次取出 1 项,2 项,3 项,4 项,……的和所组成的数 列.因而所求数列的前 n 项和中共含有原数列的前(1+2+…+n)项.所以 Sn=1+a+a +…+a
n ( n ?1)
2 2 3

n ( n ?1) ?1 2

.①当 a=0

1? a 2 n( n ? 1) 时,Sn=1.②当 a=1 时,Sn= .③当 a≠0 且 a≠1 时,Sn= 2 1? a
课堂巩固训练 一、选择题

.

5

1.等比数列{an}的公比 q=2,前 n 项和为 Sn,则

S4 =( a2
15 2



A.2 [答案] C

B.4

C.

D.

17 ? 2

a1 ? (2 ? 24 ) 15 S 1? 2 [解析] 由题意得 4 = = .故选 C. 2 a1 ? 2 a2
2.等比数列{an}的前 3 项和等于首项的 3 倍,则该等比数列的公比为( A.-2 [答案] C [解析] 由题意可得,a1+a1q+a1q =3a1,? ∴q +q-2=0,∴q=1 或 q=-2. 3.等比数列{2 }的前 n 项和 Sn=( A.2 -1 [答案] D ? [解析] 等比数列{2 }的首项为 2,公比为 2.? ∴Sn=
n n n
2 2

)? D.2 或-1 ?

B.1

C.-2 或 1

) C.2 -1
n+1

B.2 -2

n

D.2 -2 ?

n+1

a1 (1 ? q n ) 2(1 ? 2n ) n+1 = =2 -2,故选 D. 1? q 1? 2
;前 8 项的和 S8= .(用数

二、填空题 4.若数列{an}满足:a1=1,an+1=2an(n∈N+) ,则 a5= 字作答) [答案] 16 255 ? [解析] 考查等比数列的通项公式和前 n 项和公式.?

q=

an ?1 4 =2,a5=a1·q =16, an

S8=

a1 (1 ? q8 ) 8 =2 -1=255. 1? q
.

5.在等比数列{an}中,Sn 表示前 n 项和,若 a3=2S2+1,a4=2S3+1,则公比 q= [答案] 3 ? [解析] ∵a3=2S2+1,a4=2S3+1,? 两式相减,得 a3-a4=-2a3,? ∴a4=3a3,∴q=3. 三、解答题 6.在等比数列{an}中,已知 a6-a4=24,a3·a5=64,求数列{an}的前 8 项和. [解析] 解法一:设数列{an}的公比为 q,根据通项公式 an=a1q ,由已知条件得
n-1

a6-a4=a1q3(q2-1)=24, a3·a5=(a1q3) 2=64,

①? ②?
6

∴a1q =±8. 将 a1q =-8 代入①式,得 q =-2,没有实数 q 满足此式,故舍去.? 将 a1q =8 代入①式,得 q =4,∴q=±2.?
3 2 3 2

3

a1 (1 ? q8 ) 当 q=2 时,得 a1=1,所以 S8= =255;? 1? q
当 q=-2 时,得 a1=-1,所以 S8=

a1 (1 ? q8 ) =85. 1? q

解法二:因为{an}是等比数列,所以依题意得?

a24=a3·a5=64,?
∴a4=±8,a6=24+a4=24±8.? 因为{an}是实数列,所以

a6 >0,? a4

故舍去 a4=-8,而 a4=8,a6=32,从而 a5=± a4 ? a6 =±16.? 公比 q 的值为 q=

a5 =±2,? a4
3

当 q=2 时,a1=1,a9=a6q =256,? ∴S8=

a1 ? a9 =255;? 1? q
3

当 q=-2 时,a1=-1,a9=a6q =-256, ∴S8=

a1 ? a9 =85. 1? q
课后强化作业

一、选择题 1.等比数列{an}中,a2=9,a5=243,则{an}的前 4 项和为( A.81 [答案] B [解析] 公式 q =
3

) D.192

B.120

C.168

a5 243 a = =27,q=3,a1= 2 =3,? a2 9 q

3(1 ? 34 ) S4= =120. 1? 3
2.已知等比数列的前 n 项和 Sn=4 +a,则 a=( A.-4 [答案] B [解析] 设等比数列为{an} ,由已知得 a1=S1=4+a,a2=S2-S1=12, B.-1
n

) C.0 D.1

a3=S3-S2=48,∴a22=a1·a3,?
即 144=(4+a)×48,∴a=-1. 3.已知等比数列的公比为 2,且前 5 项和为 1,那么前 10 项和等于( )?
7

A.31 [答案] B

B.33

C.35

D.37

a1 (1 ? q5 ) a1 (1 ? 25 ) [解析] 解法一:S5= = =1 1? 2 1? q
∴a1=

1 31
10

1 (1 ? 210 ) a1 (1 ? q ) 31 ∴S10= = =33,故选 B.? 1? q 1? 2
解法二:∵a1+a2+a3+a4+a5=1 ? ∴a6+a7+a8+a9+a10=(a1+a2+a3+a4+a5)·q =1×2 =32 ∴S10=a1+a2+…+a9+a10=1+32=33. 4.已知等比数列{an}中,公比 q 是整数,a1+a4=18,a2+a3=12,则此数列的前 8 项和为( A.514 [答案] D B.513 C.512 D.510 )
5 5

a1+a1q3=18
[解析] 由已知得 ,

a1q+a1q2=12
解得 q=2 或

1 . 2

∵q 为整数,∴q=2.∴a1=2.

2(1 ? 28 ) 9 ∴S8= =2 -2=510. 1? 2
5.设{an}是由正数组成的等比数列,Sn 为其前 n 项和,已知 a2a4=1,S3=7,则 S5=( A. )

15 2

B.

31 4
2

C.

33 4

D.

17 2

[答案] B [解析] 设公比为 q,则 q>0,且 a 3=1, 即 a3=1.∵S3=7,∴a1+a2+a3= 即 6q -q-1=0,? ∴q=
2

1 1 + +1=7, q2 q

1 1 或 q=(舍去),? 2 3

∴a1=

1 =4.? q2

8

1 ) 25 =8(1- 1 )= 31 . ∴S5= 1 25 4 1? 2 (? 41
6.在等比数列{an} n∈N+)中,若 a1=1,a4= (

1 ,则该数列的前 10 项和为( 8
C.2-



A.2-

1 28

B.2-

1 29

1 210

D.2-

1 211

[答案] B [解析] ∵a1=1,a4= ∴q =
3

1 , 8

a4 1 1 = ,∴q= .? 2 a1 8

1 [1 ? )] 1 ( 10 1 1 10 2 ∴S10= =2[1-( ) ]=2- 9 ,故选 B. 1 2 2 1? 2
7.已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,S3=3,S6=27,则此等比数列的公比 q 等于( A.2 [答案] A ? B.-2 C. )

1 2

D.-

1 2

S3=
[解析]

a1 (1 ? q 3 ) =3, 1? q



a1 (1 ? q 6 ) S6= =27, 1? q
② 1 ? q6 3 得 =9,解得 q =8.? ① 1 ? q3
∴q=2,故选 A.



8.正项等比数列{an}满足 a2a4=1,S3=13,bn=log3an,则数列{bn}的前 10 项和是( A.65 [答案] D [解析] ∵{an}为正项等比数列,a2a4=1, ∴a3=1,又∵S3=13,∴公比 q≠1. 又∵S3= B.-65 C.25 D.-25



a1 (1 ? q3 ) 1? q
1 .? 3

=13,a3=a1q ,?

2

解得 q=

9

∴an=a3q =(

n-3

1 n-3 3-n ) =3 ,? 3

∴bn=log3an=3-n. ∴b1=2,b10=-7. ∴S10=

10(b1 ? b10 ) 10 ? (?5) = =-25. 2 2

二、填空题 9.等比数列

1 ,-1,3,…的前 10 项和为 3

.

[答案] -

14762 3

1 [ ? (?3)10] 14762 1 3 [解析] S10= =. 3 1? 3
10.(2011·北京文,12)在等比数列{an}中,若 a1= . [答案] 2,2 n-1

1 ,a4=4,则公比 q= 2

;a1+a2+…+an=

1 2

[解析] 本题主要考查等比数列的基本知识,利用等比数列的前 n 项和公式可解得.?

1 (1 ? 2n ) a4 3 4 n-1 1 =q = =8,所以 q=2,所以 a1+a2+……+an= 2 =2 - . 1 2 a1 1? 2 2
2 11.已知数列{an}中,an= 2n-1 (n 为正偶数) 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S9= [答案] 256 377 [解析] a9=2 =256,
8

n-1

(n 为正奇数)? ,则 a9= .

.

S9=20+22+24+26+28+3+7+11+15=377.
12.在等比数列{an}中,已知对于任意 n∈N+,有 a1+a2+…+an=2 -1,则 a 1+a 2+…+a n= [答案]
n
2 2 2

.?

1 n 1 ×4 3 3
n n-1

[解析] ∵a1+a2+…+an=2 -1,? ∴a1+a2+…+an-1=2 -1(n≥2), 两式相减,得 an=2 -1-2 +1=2 -2 =2 ,? ∴a n=(2 ) =2
2

n

n-1

n

n-1

n-1

n-1

2

2n-2

=4 ,?
10

n-1

1 ? 4n 1 n 1 ∴a 1+a +…+a n= = ×4 - . 3 1? 4 3
2 2 2 2

三、解答题 13.在等比数列{an}中,已知 a3=1

1 1 ,S3=4 ,求 a1 与 q. 2 2

S3=
[解析] (1)若 q≠1,则

a1 (1 ? q 3 ) 1 =4 2 1? q


a3=a1q2=1
从而解得 q=1 或 q=-

1 2

1 . 2

q=∵q≠1,∴

1 2
.

a1=6 S3=3a1=4
(2)若 q=1,则

1 2
,∴

q=1
.

a3=a1=1 q=综上所述得

1 2
q=1

a1=1

1 2

1 2
,或

.

a1=6

a1=1

1 2

14.(2011·大纲文科,17)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a2=6,6a1+a3=30,求 an 和 Sn. [分析] 设出公比根据条件列出关于 a1 与 q 的方程.求得 a1 与 q 可求得数列的通项公式和前 n 项和公式. ? [解析] 设{an}的公比为 q,由已知有:

a1q=6
.解得 6a1+a1q =30 (1)当 a1=3,q=2 时,
2

a1=3


a1=2 q=3

q=2

an=a1·qn-1=3×2n-1 Sn=

a1 (1 ? q n ) 3 ? (1 ? 2n ) n = =3×(2 -1) 1? 2 1? q
n-1 n-1

(2)当 a1=2,q=3 时,an=a1·q =2×3

11

Sn=

a1 (1 ? q n ) 2 ? (1 ? 3n ) n = =3 -1.? 1? 3 1? q
n-1 n n-1 n

综上,an=3×2 ,Sn=3×(2 -1)或 an=2×3 ,Sn=3 -1. 15.已知实数列{an}是等比数列,其中 a7=1,且 a4,a5+1,a6 成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)数列{an}的前 n 项和记为 Sn,证明:Sn<128(n=1,2,3,…). [解析] (1)设等比数列{an}的公比为 q(q∈R 且 q≠1), 由 a7=a1q =1,得 a1=q ,从而 a4=a1q =q ,?
6 -6 3 -3

a5=a1q4=q-2,a6=a1q5=q-1,?
因为 a4,a5+1,a6 成等差数列, 所以 a4+a6=2(a5+1) 即 q +q =2(q +1),
-3 -1 -2

q-1 (q-2+1)=2(q-2+1).?
所以 q=

1 .? 2
n-1
-6

故 an=a1q =q ·q =q =(

n-1

n-7

1 n-7 ) .? 2

a (1 ? q n ) (2)证明:Sn= 1 = 1? q
1 n ) ]<128. 2
A 公司

1 64 1 ? ) [ ( n] 2 1 1? 2

=128[1-(

16.2011 年暑期人才招聘会上,A、B 两家公司分别开出了工资标准:

B 公司
第一年月工资为2000 元, 以后每一年月工资 比上一年月工资增加 5%.

第一年月工资为 1500 元, 以后每一年月工资 比上一年月工资增加 230 元.

大学生王明被 A、B 两家公司同时录取,而王明只想选择一家连续工作 10 年,经过一番思考,他选择了 A 公司,你知道为什么吗?. [解析]

A 公司
第一年月工资为 1500 元, 以后每一年月工资 比上一年月工资增加 230 元. 第 n 年月工资为 an 王明 的选 择过 首项为 1500,公差为 230 的等差数列

B 公司
第一年月工资为2000 元, 以后每一年月工资 比上一年月工资增加 5%. 第 n 年月工资为 bn 首项为 2000,公比为 1+5%的等比数列

an=230n+1270

bn=2000(1+5%)n-1

S10=12(a1+a2+ … +a10) =12 × [ 10 × T10=12(b1+b2+…+b10)
12



1500+

10 ? (10 ? 1) ×230]=304200 2

2000(1 ? 1.0510 ) =12× ≈301869 1 ? 1.05

结论

显然 S10>T10,故王明选择了 A 公司

13


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