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三角函数图像和性质知识点及例题


高中数学辅导 13263653300

梁老师:

三角函数图像和性质
学习目标
1.能画出 y ? sin x, y ? cos x, y ? tan x 的图象,了解三角函数的周期性. 2.理解正弦函数、余弦函数在区间 [0,2? ] 上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与 x 轴的交点等),理 解正切函数在区间

( ?

? ?

, ) 内的单调性. 2 2

【梳理自测】 1.(教材改编)函数 y ? sin x 的一个单调增区间是( A. ( ? )

? ?

, ) 4 4 3? ) 2

B. ( D. (

? 3?
4 , 4

)

C. (? ,

3? ,2? ) 2

2.(教材习题改编)设函数 f ( x) ? sin( 2 x ? A.最小正周期为 ? 的奇函数 B.最小正周期为 ? 的偶函数 C.最小正周期为

?
2

), x ? R ,则 f ( x) 是(

)

? 的奇函数 2 ? 的偶函数 2
) 的图象的一个对称中心是(
B. ( ? D. ( )

D.最小正周期为 3. y ? sin( x ? A. (?? ,0) C. (

?
4

3? ,0 ) 4 ,0 )
.

3? ,0 ) 2

?
2

4.(教材精编题)函数 y ? tan( 5.函数 y ? cos( x ?

?
4

? x ) 的定义域为
.

?

), x ? [0, ] 的值域为 3 3

?

◆以上题目主要考查了以下内容: (1)三角函数的图象和性质
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函数

y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

图象

定义域 值域
在[?

x?R
[ ?1,1]
?
2 ? 2k? ,

x?R
[ ?1,1]
? 2k? ]

{x x ? R且x ?

?
2
R

? k? , k ? Z }

?
2

在[?? ? 2k? ,2k? ]

, k ? Z 上递增;
单调性
在[

, k ? Z 上递增
在[2k? , ? ? 2k? ]

?
2

? 2k? ,

, k ? Z 上递减.
x?

3? ? 2k? ] 2

在 (?

?
2

? k? ,

?
2

? k? ) 上递增

, k ? Z 上递减.
x ? 2k? , k ? Z

?
2

? 2k? , k ? Z

最值

时, ymax ? 1 ;
x??

时, ymax ? 1 ;
x ? ? ? 2k? , k ? Z

?
2

无最值

? 2k? , k ? Z

时, ymin ? ?1 奇偶性 对称 对称性 中心 对称 轴 周期 (2)周期性 奇

时, ymin ? ?1 偶

(k? ,0), k ? Z
x ? k? ?

( k? ?

?
2

,0), k ? Z

(

k? ,0), k ? Z 2


?
2

, (k ? Z )

x ? k? , (k ? Z )

2?

2?

?

①一般地,对于函数 f ( x) ,如果存在一个非零常数 T ,使得当 x 取定义域内的每一个值时 ,都有

f ( x ? T ) ? f ( x) ,那么函数 f ( x) 就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期.
②对于一个周期函数 f ( x) , 如果在它所有的周期中存在一个最小的正数, 那么这个最小正数就叫做 f ( x) 的 最小正周期. ③函数 y ? A sin(?x ? ? ), x ? R 及函数 y ? A cos(?x ? ? ), x ? R (其中 A、?、? 为常数, 且 A ? 0, ? ? 0 ) 的周期 T ?

2?

?

. 【指点迷津】

1.一点提醒
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求函数 y ? A sin(?x ? ? ), x ? R 的单调区间时,应注意 ? 的符号,只有当 ? ? 0 时,才能把 ?x ? ? 看作一 个整体,代入 y ? sin t 的相应单调区间求解,否则将出现错误. 2.两类点

y ? sin x, x ?[0,2? ], y ? cos x, x ?[0,2? ] 的五点是:零点和极值点(最值点).
3.求周期的三种方法 ①利用周期函数的定义: f ( x ? T ) ? f ( x) . ②利用公式: y ? A sin(?x ? ? ) 和 y ? A cos(?x ? ? ) 的最小正周期为

2?

?

?x ? ? ) 的最小正周期 , y ? tan(



? . ?

③利用图象:图象重复的 x 的长度.

考向一 三角函数的定义域、值域

(1)函数 y ?

1 的定义域为________. tan x ? 3
2

(2)求函数 y ? cos x ? sin x, ( x ? 【类题通法】

?
4

) 的最大值与最小值.

(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式,常借助三角函数线或三角函数图象来求解. (2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目: ①形如 y ? a sin x ? b cos x ? c 的三角函数,化为 y ? A sin(?x ? ? ) ? k 的形式,再求最值(值域); ②形如 y ? a sin x ? b sin x ? c 的三角函数,可先设 sin x ? t ,化为关于 t 的二次函数求值域(最值);
2

③形如 y ? a sin x cos x ? b(sin x ? cos x) ? c 的三角函数,可先设 t ? sin x ? cos x ,化为关于 t 的二次函数 求值域(最值).

1.(2014·北京市海淀区高三调研)已知函数 f ( x) ? 2 ? ( 3 sin x ? cos x)2 . (1)求 f ( ) 的值和 f ( x) 的最小正周期;

?

4

(2)求函数 f ( x) 在区间 [ ?

? ?

, ] 上的最大值和最小值. 6 3
考向二 三角函数的单调性

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(1)函数 y ? cos( 2 x ? (2)已知函数 y ? sin( 【类题通法】

?
6

) 的单调递增区间为

.

?
3

? 2 x) ,求函数在 [?? ,0] 上的单调递减区间.

(1)代换法:求形如 y ? A sin(?x ? ? ) ? k 的单调区间时,只需把 ?x ? ? 看作一个整体代入 y ? sin x 的相 应单调区间内即可,若 ? 为负则要先把 ? 化为正数. (2)图象法 函数的单调性表现在图象上是:从左到右,图象上升趋势的区间为单调递增区间,图象下降趋势的区间为 单调递减区间,如果能画出三角函数的图象,那它的单调区间就直观明了了.

2.(1)求 y ? tan( 2 x ?

?
3

) 的单调递增区间为

.

(2)已知函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x, 设a ? f ( ), b ? f ( ), c ? f ( ) ,则 a, b, c 的大小关系是(

?

?

?

7

6

3

)

A. a ? b ? c

B. c ? a ? b

C. b ? a ? c

D. b ? c ? a

考向三 三角函数的奇偶性、周期性、对称性

(1)(2014·泉州模拟)已知 f ( x) ? cos( 3x ? ? ) ? sin( 3x ? ? ) 为偶函数,则 ? 可以取的一个值为( A.

)

? 6

B.

? 3

C. ?

?
6

D. ?

?
3

(2)(2014·湖南六校联考)若函数 f ( x) ? a sin ?x ? b cos?x(0 ? ? ? 5, ab ? 0) 的图象的一条对称轴方程是

x?

? ? ,函数 f ' ( x) 的图象的一个对称中心是 ( ,0) ,则 f ( x) 的最小正周期是 4? 8

.

【类题通法】 (1)三角函数的奇偶性的判断技巧 首先要知道基本三角函数的奇偶性,再根据题目去判断所求三角函数的奇偶性;也可以根据图象做判断. (2)三角函数的对称性 正、余弦函数的图象既是中心对称图形,又是轴对称图形.正切函数的图象只是中心对称图形, y ? sin x ,

y ? cos x 的对称轴通过它们的极值点, 对称中心是图象的零点. y ? tan x 的对称中心是它的零点或间断点.

3.(1)(2014·石家庄高三模拟)已知函数 f ( x) ? sin(2 x ?
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?
6

) ,下面说法正确的是(

)
梁老师:

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A.函数的周期为 C.函数在区间 [

? 4

B.函数图象的一条对称轴方程为 x ? D.函数是偶函数

?
3

2? 5? , ] 上为减函数 3 6

(2)(2014·荆州市高三质检)函数 y ? sin(?x ? ? )(? ? 0,0 ? ? ? ? ) 的最小正周期为 ? ,且函数图象关于点

(?

3? ,0) 对称,则函数的解析式为 8

.

三角函数单调性忽视 x 的系数致错 求函数 y ?

1 ? 2x sin( ? ) 的单调区间为 2 4 3

.

1.(2013· 高考浙江卷)已知函数 y ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, ? ? R) , 则 “ f ( x) 是奇函数” 是 “? ? 的( ) B.必要不充分条件 C.充分必要条件

?
2



A.充分不必要条件

D.既不充分也不必要条件

2.(2012·高考课标全国卷)已知 ? ? 0 ,函数 f ( x ) ? sin(?x ? ( )

?

) 在 ( , ? ) 单调递减,则 ? 的取值范围是 4 2

?

A. [ , ]

1 5 2 4

B. [ , ]

1 3 2 4

C. (0, ]

1 2

D.

(0,2]
)

3.(2013·高考全国大纲卷)已知函数 f ( x) ? cos x sin 2 x ,下列结论中错误的是( A. y ? f ( x) 的图象关于点 (? ,0) 中心对称 B. y ? f ( x) 的图象关于直线 x ?

?
2

对称

C. f ( x) 的最大值为

3 2

D. f ( x) 既是奇函数,又是周期函数 4.(2013·高考江西卷)函数 y ? sin 2x ? 2 3 sin 2 x 的最小正周期 T 为 .

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