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2013高中数学 1-2 第2课时等比数列的性质同步导学案 北师大版必修5


第 2 课时

等比数列的性质

知能目标解读 1.结合等差数列的性质,了解等比数列的性质和由来. 2.理解等比数列的性质及应用. 3.掌握等比数列的性质并能综合运用. 重点难点点拨 重点:等比数列性质的运用. 难点:等比数列与等差数列的综合应用. 学习方法指导 1.在等比数列中,我们随意取出连续三项及以上的数,把它们重新依次看成一个新的数列,则此数列仍为 等比数列,这是因为随意取出连续三项及以上的数,则以取得的第一个数为首项,且仍满足从第 2 项起, 每一项与它的前一项的比都是同一个常数,且这个常数量仍为原数列的公比,所以,新形成的数列仍为等 比数列. 2.在等比数列中,我们任取下角标成等差的三项及以上的数,按原数列的先后顺序排列所构成的数列仍是 等 比 数 列 , 简 言 之 : 下 角 标 成 等 差 , 项 成 等 比 . 我 们 不 妨 设 从 等 比 数 列 {an} 中 依 次 取 出 的 数 为

ak,ak+m,ak+2m,ak+3m,?,则

ak ?2m ak

=

a k ?2m ak ?m

=

ak ?3m ak ?2m

=?=q (q 为原等比数列的公比),所以此数列成等比数列.

m

3.如果数列{an}是等比数列,公比为 q,c 是不等于零的常数,那么数列{can}仍是等比数列,且公比仍为 q; ?{|an|}?也是等比,且公比为|q|.我们可以设数列{an}的公比为 q,且满足
a n ?1 an

=q,则

ca n ? 1 ca n

=

a n ?1 an

=q,所

以数列{can}仍是等比数列,公比为 q.同理,可证{|an|}也是等比数列,公比为|q|. 4.在等比数列{an}中,若 m+n=t+s 且 m,n,t,s∈N+则 aman=atas.理由如下:因为 aman=a1q =a 1q
2

m-1

· 1

a qn-1

m+n-2

,atas=a1q ·a1q =a 1q

t-1

s-1

2

t+s-2

,又因为 m+n=t+s,所以 m+n-2=t+s-2,所以 aman=atas.从此性质还可得到,

项数确定的等比数列,距离首末两端相等的两项之积等于首末两项之积. 5.若{an},{bn}均为等比数列,公比分别为 q1,q2,则 (1){anbn}仍为等比数列,且公比为 q1q2. (2) {
an bn

}仍为等比数列,且公比为

q1 q2

.
a n ?1

理由如下: (1)

a n ? 1b n ? 1 a n bn

=q1q2,所以{anbn}仍为等比数列,且公比为 q1q2;(2)

bn ?1 an bn

·

bn an

=

q1 q2

,

所以{

an bn

}仍为等比数列,且公比为

q1 q2

. 知能自主梳理

1.等比数列的项与序号的关系 (1)两项关系 通项公式的推广:
1

an=am·
(2)多项关系 项的运算性质

(m、n∈N+).

若 m+n=p+q(m、n、p、q∈N+), 则 am·an= .

特别地,若 m+n=2p(m、n、p∈N+) , 则 am·an= 2.等比数列的项的对称性 有穷等比数列中, 与首末两项 “等距离” 的两项之积等于首末两项的积 (若有中间项则等于中间项的平方) , 即 a1·an=a2· [答案] 1.q
n-m

.

=ak·

=a n ? 1 (n 为正奇数).
2

2

ap·aq a2p
思路方法技巧

2.an-1 an-k+1
n-m

命题方向 运用等比数列性质 an=am·q

(m、n∈N+)解题

[例 1] 在等比数列{an}中,若 a2=2,a6=162,求 a10. [分析] 解答本题可充分利用等比数列的性质及通项公式,求得 q,再求 a10. [解析] 解法一:设公比为 q,由题意得

a1q=2
,解得

a1=

2 3

a1=,或

2 3

.

a1q5=162
∴a10=a1q =
9

q=3
×3 =13122 或 a10=a1q =4 9 9

q=-3
2 3

2 3

×(-3) =13122.

9

解法二:∵a6=a2q , ∴q =
4

a6 a2

=
4

162 2

=81,

∴a10=a6q =162×81=13122. 解法三:在等比数列中,由 a 6=a2·a10 得
2

a10=

a6

2

=

162 2

2

=13122.

a2

[说明] 比较上述三种解法,可看出解法二、解法三利用等比数列的性质求解,使问题变得简单、明了, 因此要熟练掌握等比数列的性质,在解有关等比数列的问题时,要注意等比数列性质的应用. 变式应用 1 已知数列{an}是各项为正的等比数列,且 q≠1,试比较 a1+a8 与 a4+a5 的大小. [解析] 解法一:由已知条件 a1>0,q>0,且 q≠1,这时 (a1+a8)-(a4+a5)=a1(1+q -q -q )=a1(1-q )· q ) (1=a1(1-q) (1+q+q )(1+q+q +q )>0, 显然,a1+a8>a4+a5.
2
2 2 2 3 7 3 4 3 4

解法二:利用等比数列的性质求解. 由于(a1+a8)-(a4+a5)=(a1-a4)-(a5-a8) =a1(1-q )-a5(1-q )=(1-q )(a1-a5). 当 0<q<1 时,此正数等比数列单调递减,1-q 与 a1-a5 同为正数, 当 q>1 时,此正数等比数列单调递增,1-q 与 a1-a5 同为负数, ∵(a1+a8)-(a4+a5)恒正. ∴a1+a8>a4+a5. 命题方向 运用等比数列性质 am·an=apaq(m,n,p,q∈N+,且 m+n=p+q)解题 [例 2] 在等比数列{an}中,已知 a7·a12=5,则 a8·a9·a10·a11=( A.10 B.25 C.50 ) D.75
3 3 3 3 3

[分析] 已知等比数列中两项的积的问题,常常离不开等比数列的性质,用等比数列的性质会大大简化 运算过程. [答案] B [解析] 解法一:∵a7·a12=a8·a11=a9·a10=5,∴a8·a9·a10·a11=5 =25. 解法二:由已知得 a1q ·a1q =a 1q =5, ∴a8·a9·a10·a11=a1q ·a1q ·a1q ·a1q =a 1·q =(a 1q ) =25. [说明] 在等比数列的有关运算中,常常涉及次数较高的指数运算,若按照常规解法,往往是建立 a1,q 的方程组,这样解起来很麻烦,为此我们经常结合等比数列的性质,进行整体变换,会起到化繁为简的效 果. 变式应用 2 在等比数列{an}中,各项均为正数,且 a6a10+a3a5=41,a4a8=5,求 a4+a8. [解析] ∵a6a10=a 8,a3a5=a 4,∴a 8+a 4=41. 又∵a4a8=5,an>0, ∴a4+a8= ( a 4 ? a 8 ) = a 4 ? 2 a 4 a 8 ? a 8 = 51 .
2 2 2

2

6

11

2

17

7

8

9

10

4

34

2

17

2

2

2

2

2

探索延拓创新 命题方向 等比数列性质的综合应用 [例 3] 试判断能否构成一个等比数列{an},使其满足下列三个条件: ①a1+a6=11;②a3·a4=
32 9

;③至少存在一个自然数 m,使

2 3

am-1,am,am+1+

4 9

依次成等差数列,若能,请写出这

个数列的通项公式;若不能,请说明理由. [分析] 由①②条件确定等比数列{an}的通项公式,再验证是否符合条件③. [解析] 假设能够构造出符合条件①②的等比数列{an},不妨设数列{an}的公比为 q,由条件①②及

a1·a6=a3·a4,得 a1+a6=11
,解得

a1=

1 3

a1=
,或

32 3

a1·a6=

32 9

a6=

32 3

a6= .
3
3

1

a1=
从而

1 3

a1=
,或

32 3

.

q=2
故所求数列的通项为 an=
1 3
n-1

q=
1 3

1 2

·2 或 an=

n-1

1 3

·2 .

6-n

对于 an=
2 3

·2 ,若存在题设要求的 m,则
4 9

2am=

am-1+(am+1+
·2 )=
m m-1

),得
1 3
m-2

2(
m

1 3

2 3

·

·2 +

1 3

·2 +

m

4 9

,得

2 +8=0,即 2 =-8,故符合条件的 m 不存在. 对于 an=
6-m

1 3

·2 ,若存在题设要求的 m,同理有
6-m

6-n

2 -8=0,即 2 =8,∴m=3. 综上所述,能够构造出满足条件①②③的等比数列,通项为 an= [说明] 求解数列问题时应注意方程思想在解题中的应用. 变式应用 3 在等差数列{an}中, 公差 d≠0,a2 是 a1 与 a4 的等比中项, 已知数列 a1,a3,ak1,ak2,?,akn,??成 等比数列,求数列{kn}的通项 kn. [解析] 由题意得 a 2=a1a4, 即(a1+d) =a1(a1+3d), 又 d≠0,∴a1=d. ∴an=nd. 又 a1,a3,ak1,ak2,??,akn,??成等比数列, ∴该数列的公比为 q= ∴akn=a1·3 . 又 akn=knd,∴kn=3 . 所以数列{kn}的通项为 kn=3 . 名师辨误做答 [例 4] 四个实数成等比数列,且前三项之积为 1,后三项之和为 1 [误解] 设这四个数为 aq ,aq ,aq,aq ,由题意得
-3 -1 3 2 2

1 3

·2 .

6-n

a3 a1

=

3d d

=3.

n+1

n+1

n+1

3 4

,求这个等比数列的公比.

a3q-3=1,



4

aq-1+aq+aq3=1

3 4

. ②
1 2
2

由①得 a=q,把 a=q 代入②并整理,得 4q +4q -3=0,解得 q =

4

2

2

或 q =-

2

3 2

(舍去),故所求的公比为

1 2

.

[辨析] 上述解法中,四个数成等比数列,设其公比为 q ,则公比为正数,但题设并无此条件,因此导 致结果有误. [正解] 设四个数依次为 a,aq,aq ,aq ,由题意得
3 2 3

(aq) =1,


3 4

aq+aq2+aq3=1
-1

.


1 2 3 2 1 2 3 2

由①得 a=q ,把 a=q 代入②并整理,得 4q +4q-3=0,解得 q= 课堂巩固训练 一、选择题 1.在等比数列{an}中,若 a6=6,a9=9,则 a3 等于( A.4 [答案] A ? [解析] 解法一:∵a6=a3·q , ∴a3·q =6.?
3 3

-1

2

或 q=-

,故所求公比为

或-

.

) D.3 ?

B.

3 2

C.

16 9

a9=a6·q3,
∴q = ∴a3=
3

9 6

=

3 2

.
2 3

6 q
3

=6×

=4.

解法二:由等比数列的性质,得

a26=a3·a9,
∴36=9a3,∴a3=4. 2.在等比数列{an}中,a4+a5=10,a6+a7=20,则 a8+a9 等于( A.90 [答案] D [解析] ∵q =
2

) D.40

B.30

C.70

a6 ? a7 a4 ? a5
2 2

=2,?

∴a8+a9=(a6+a7)q =20q =40. 3.如果数列{an}是等比数列,那么( A.数列{a n}是等比数列 C.数列{lgan}是等比数列
2

)? B.数列{2 }是等比数列 D.数列{nan}是等比数列
5
an

[答案] A [解析] 数列{a n}是等比数列,公比为 q ,故选 A. 二、填空题 4.若 a,b,c 既成等差数列,又成等比数列,则它们的公比为 [答案] 1 ? 2b=a+c, [解析] 由题意知 .?
2 2

b2=ac,
解得 a=b=c,∴q=1. 5.在等比数列{an}中,公比 q=2,a5=6,则 a8= [答案] 48 [解析] a8=a5·q =6×2 =48. 三、解答题 6.已知{an}为等比数列,且 a1a9=64,a3+a7=20,求 a11.? [解析] ∵{an}为等比数列,? ∴a1·a9=a3·a7=64,又 a3+a7=20,? ∴a3,a7 是方程 t -20t+64=0 的两个根.? ∴a3=4,a7=16 或 a3=16,a7=4,? 当 a3=4 时,a3+a7=a3+a3q =20,? ∴1+q =5,∴q =4.? 当 a3=16 时,a3+a7=a3(1+q )=20, ∴1+q =
4 4 4 4 4 2 8-5 3

.?

5 4
10

,∴q =
8

4

1 4

.?

∴a11=a1q =a3q =64 或 1. 课后强化作业 一、选择题 1.在等比数列{an}中,a4=6,a8=18,则 a12=( A.24 [答案] C ? [解析] ∵a8=a4q ,∴q = ∴a12=a8·q =54. 2.在等比数列{an}中,a3=2-a2,a5=16-a4,则 a6+a7 的值为( A.124 [答案] B ? [解析] ∵a2+a3=2,a4+a5=16,? 又 a4+a5=(a2+a3)q , ∴q =8.?
6
2 2 4 4 4

) C.54 D.108 ?

B.30

a8 a4

=

18 6

=3,

) D.132

B.128

C.130

∴a6+a7=(a4+a5)q =16×8=128. 3.已知{an}为等比数列,且 an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么 a3+a5 等于( A.5 [答案] A ? [解析] ∵a3 =a2a4,a5 =a4a6,? ∴a3 +2a3a5+a5 =25, ∴(a3+a5) =25,? 又∵an>0,∴a3+a5=5. 4.在正项等比数列{an}中,a1 和 a19 为方程 x -10x+16=0 的两根,则 a8·a10·a12 等于( A.16 [答案] C ? [解析] 由已知,得 a1a19=16,? 又∵a1·a19=a8·a12=a10 , ∴a8·a12=a10 =16,又 an>0,? ∴a10=4, ∴a8·a10·a12=a10 =64. 5.已知等比数列{an}的公比为正数,且 a3·a9=2a 5,a2=1,则 a1=( A.
1 2
2 3 2 2 2 2 2 2 2 2

2



B.10

C.15

D.20 ?



B.32

C.64

D.256 ?

)? D.2 ?

B.

2 2

C. 2

[答案] B ? [解析] ∵a3·a9=a 6,又∵a3a9=2a 5,? ∴a 6=2a 5,∴(
2 2 2 2 2

a6 a5

) =2,?

2

∴q =2,∵q>0,∴q= 2 . 又 a2=1,∴a1=
a2 q

=

1 2

=

2 2

.
a6 a 16

6.在等比数列{an}中,an>an+1,且 a7·a11=6,a4+a14=5,则
3 2 2 3 1 6

等于(



A.

B.

C.

D.6

[答案] A

a7·a11=a4·a14=6
[解析] ∵

a4+a14=5 a4=3
解得 或

a4=2
.

a14=2

a14=3
7

又∵an>an+1,∴a4=3,a14=2.



a6 a 16

=

a4 a 14

=

3 2

. )

7.已知等比数列{an}中,有 a3a11=4a7,数列{bn}是等差数列,且 b7=a7,则 b5+b9 等于( A.2 [答案] C [解析] ∵a3a11=a7 =4a7,∵a7≠0, ∴a7=4,∴b7=4, ∵{bn}为等差数列,∴b5+b9=2b7=8. 8.已知 0<a<b<c,且 a,b,c 成等比数列的整数,n 为大于 1 的整数,则 logan,logbn,logcn 成 ( ) B.等比数列? D.以上都不对?
2 2

B.4

C.8

D.16

A.等差数列? C.各项倒数成等差数列? [答案] C ? [解析] ∵a,b,c 成等比数列,∴b =ac.? 又∵
1 log
a

+
n 2 log
b

1 log
c

=logna+lognc=lognac
n

=2lognb=
1 log
a

,?
n 1 1 log
b



+
n

=
c

.
n

log

n

二、填空题 9.等比数列{an}中,an>0,且 a2=1+a1,a4=9+a3,则 a5-a4 等于 [答案] 27 [解析] 由题意,得 a2-a1=1,a4-a3=(a2-a1)q =9, ∴q =9,又 an>0,∴q=3.? 故 a5-a4=(a4-a3)q=9×3=27. 10.已知等比数列{an}的公比 q=[答案] -3 [解析]
1 q
a1 ? a 3 ? a 5 ? a 7 a 2 ? a 4 ? a6 ? a8
1 3
2 2

.

,则

a1 ? a 3 ? a 5 ? a 7 a 2 ? a 4 ? a6 ? a8

等于

.



a1 ? a 3 ? a 5 ? a 7 a1 q ? a 3 q ? a 5 q ? a 7 q

=

=-3. .

11.(2012·株州高二期末)等比数列{an}中,an>0,且 a5·a6=9,则 log3a2+log3a9= [答案] 2 [解析] ∵an>0,∴log3a2+log3a9=log3a2a9 =log3a5a6=log39=log33 =2. 12.(2011·广东文,11)已知{an}是递增等比数列,a2=2,a4-a3=4,则此数列的公比 q=
2

.
8

[答案] 2 ? [解析] 本题主要考查等比数列的基本公式,利用等比数列的通项公式可解得. 解析:a4-a3=a2q -a2q=4,? 因为 a2=2,所以 q -q-2=0,解得 q=-1,或 q=2. 因为 an 为递增数列,所以 q=2. 三、解答题 13.在等比数列{an}中,已知 a4·a7=-512,a3+a8=124,且公比为整数,求 a10. [解析] ∵a4·a7=a3·a8=-512,
2 2

a3+a8=124
∴ ,解得

a3=-4


a3=128
.

a3·a8=-512
又公比为整数, ∴a3=-4,a8=128,q=-2.
7 7

a8=128

a8=-4

∴a10=a3·q =(-4)×(-2) =512. 14.设{an}是各项均为正数的等比数列,bn=log2an,若 b1+b2+b3=3,b1·b2·b3=-3,求此等比数列的通项公式

an.?
[解析] 由 b1+b2+b3=3,? 得 log2(a1·a2·a3)=3, ∴a1·a2·a3=2 =8, ∵a 2=a1·a3,∴a2=2,又 b1·b2·b3=-3, 设等比数列{an}的公比为 q,得? log2(
2 q
2 3

) ·log2(2q)=-3.
1 4

解得 q=4 或



∴所求等比数列{an}的通项公式为

an=a2·qn-2=22n-3 或 an=25-2n.
15.某工厂 2010 年生产某种机器零件 100 万件,计划到 2012 年把产量提高到每年生产 121 万件.如果每一 年比上一年增长的百分率相同,这个百分率是多少?2011 年生产这种零件多少万件?. [解析] 设 每 一 年 比 上 一 年 增 长 的 百 分 率 为 x, 则 从 2010 年 起 , 连 续 3 年 的 产 量 依 次 为
2 2

a1=100,a2=a1(1+x),a3=a2(1+x),即 a1=100,a2=100(1+x),a3=100(1+x) 2,成等比数列.
由 100(1+x) =121 得(1+x) =1.21, ∴1+x=1.1 或 1+x=-1.1,? ∴x=0.1 或 x=-2.1(舍去),?

a2=100(1+x)=110(万件),?
所以每年增长的百分率为 10%,2011 年生产这种零件 110 万件. 16.等差数列{an}中,a4=10,且 a3,a6,a10 成等比数列.求数列{an}前 20 项的和 S20. [解析] 设数列{an}的公差为 d,则 a3=a4-d=10-d,a6=a4+2d=10+2d,a10=a4+6d=10+6d.
9

由 a3,a6,a10 成等比数列得 a3a10=a 6,? 即(10-d) (10+6d)=(10+2d) ,? 整理得 10d -10d=0,解得 d=0 或 d=1. 当 d=0 时,S20=20a4=200,? 当 d=1 时,a1=a4-3d=10-3×1=7,? 于是,S20=20a1+
20 ? 19 2
2 2

2

d=20×7+190=330.

10


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