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3.3.2与简单的线性规划应用问题


简单线性规划的应用

在实际问题中常遇到两类问题: 一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下,

如何使用它们来完成最多的任务;
二是给定一项任务,如何合理安排和规划能以 最少的人力、物力、资金等资源来完成它. 下面我们来看看线性规划在实际中的一些应用.

典例分析
例1.某工厂用A、B两种配件生

产甲、乙两种产品,
每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h,每生产 一件 乙产品使用4个B配件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂 获得16个A配件和12个B配件,按每天至多工作8h计算, 该厂所有可能的日生产安排是什么?
分析: 将已知数据列成下表:
甲产品(件) 乙产品(件)

资源限额 最多16个 最多12个 8(h)

A配件(个) B配件(个) 耗时(h) 利润(万元)

4 4 1 2

2

3

z

解:设甲、乙两种产品分别生产x、y件,由
已知条件可得二元一次不等式组

x + 2y ? ?8 8 + 2y ?x ?x ? 2y ? 8 ? ? 4x ? 16 x ? 4 ? ? 4x ? 16 ? ? ? ? ? ? 4y ? ?12 12 ?? 4y ? ? ?y ? 3 ? x? ?0 0 x ? ?x ? 0 ? ? y ? 0 y ? 0 ? ? y ? 0 ? ? ? ? ? ?
y

将上述不等式组表示成 平面上的区域,图中的 阴影部分中的整点(坐 标为整数)就代表所有 可能的日生产安排。

4 3

o

4

x

提问:若生产一件甲产品获利2万元,生产一
件乙产品获利3万元,采用那种生产安排利润最 大?

解:设工厂获得的利润为z,则z=2x+3y

y
4
3

M

o

4

8

x

解:设工厂获得的利润为z,则 z=2x+3y
2 z 把z=2x+3y变形为 y ? ? x? 3 3 它表示斜率为 ? 2 的直线系,z与这条直线的截 3 距有关。 y

如图可见,当直 线经过可行域上的 4 点M 时,截距最大, 3 14 最大值为
3 即z最大为 2x+3y=14.
所以,每天生产甲产品4 件,乙产品2件时,工厂 可获得最大利润14万元。 o

M(4,2)

M
x
4

8

解线性规划应用问题的一般步骤:

1.理清题意,列出表格;
2.设好变元,列出线性约束条件(不等式组)与

目标函数;
3.准确作图;

4.根据题设精度计算.

例2 要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格,每

张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示:
钢板类型 规格类型

A规格 2
1

B规格
1 2

C规格 1 3

第一种钢板
第二种钢板

今需要A、B、C三种规格的成品分别15,18,27块,

用数学关系式和图形表示上述要求.问各截这两种钢
板多少张可得所需A、B、C三种规格成品,且使所用 钢板张数最少?

分析:列表 A规格 第一种钢板 第二种钢板 2 B规格 C规格 1

张数

1
2
x ? 2y

x
y

1

3

成品块数

2x ? y

x ? 3y

解:设需截第一种钢板x张,第二种钢板y张,共需截 这两种钢板共z张,则

线性目标函数 z ? x ? y .

?2 x ? y ? 15, ? ? x ? 2 y ? 18, ? x ? 3 y ? 27 , ? x ? 0, ? ? y ? 0.

y

作出可行域如图所示:

x? y ?0

M

x
O

2x+y=15

x+2y=18

x+3y=27

作出一组平行直线 z=x+y,当直线经过可行域上的点M时, z最小.

解方程组
5 5

? x ? 3 y ? 27, ? ? 2 x ? y ? 15,



M(

18 39 , ). 5 5

由于 18 , 39 都不是整数,而此问题中的最优解 ( x, y )
中, x , y 必须都是整数,所以点 在可行域内打出网格线, y
( 18 39 , ) 5 5 不是最优解.

B(3,9)
x? y ?0
M( 18 39 , ) 5 5

C(4,8)

O

2x+y=15

x+2y=18

x+3y=27

x

直线 x ? y =12 经过整点B(3,9)和C(4,8), 它们是最优解.

z最小值 =12.
答:要截得所需三种规格的钢板,且使所截两种钢板 张数最小的方法有两种,第一种截法是第一种钢板3 张,第二种钢板9张;第二种截法是截第一种钢板4张,

第二种钢板8张;这两种截法都至少要两种钢板12张.

线性规划求最优整数解的一般方法 1.打网格线法: 即先打网格,描出可行域内的整
点,平移直线,最先经过或最后经过的整点坐标 即为最优整解.

2.调整优解法:即先求非整数条件下的最优解,
调整Z的值使不定方程Ax+By=Z存在最大(小)的 整点值, 最后筛选出整点最优解.
求线性规划问题的最优整数解时,常用打网格线和调整 优值的方法,这要求作图必须精确,线性目标函数对应的直 线斜率与其他直线的斜率关系要把握准确.

一、简单的线性规划解决实际问题一般步骤: 1.设立所求的未知数; 2.列出约束条件; 3.建立目标函数; 4.作出可行域;

5.运用图解法,求出最优解;
6.实际问题需要整数解时,适当调整,确定最优解. 二、利用线性规划知识解决具有限制条件的函数不等式.

作业:世纪金榜(二十三)T 7、8及
教材P93习题A组T4;B组T3


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