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人教B选修2-21.3.2利用导数研究函数的极值1.3.3导数的实际应用1


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1.3.2 利用导数研究函数的极值 1.3.3 导数的实际应用 一、预习达标。 1.极大值: 一般地,设函数 f(x)在点 x0 附近有定义,如果对 x0 附近的所有的点,都有 f(x)<f(x0),就说 f(x0)是函数 f(x)的一个极大值,记作 y 极大值=f(x0),x0 是极大值点 2.极小值:一般地,设函数 f(x)在 x0 附近有定义,如果对 x0 附近的所有的点,都有 f(x) >f(x0).就说 f(x0)是函数 f(x)的一个极小值,记作 y 极小值=f(x0),x0 是极小值点 3.极大值与极小值统称为极值 二、课前达标。 1.函数 y=2x3-3x2-12x+5 的极大值和极小值分别是 ( )
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A.12, -15 B.5, 4 C.-4, -15 2.函数 y=x3+12x2+36x+24 的极值为 ( ) A.24, -8 B.14, -6
4.y= x ?
4x ? x
2

D.5, -16

C.34, 4

D.21, -11

3.做一个容积为 256 升的方底无盖水箱,则它的高为______时,用料最省。 的最大值为________.
3 2

5.已知函数 f ( x ) ? 4 x ? bx ? ax ? 5 在 x ?

3 2

, x ? ? 1 处有极值,那么 a ?

;b ?

三、例题。 例 1 求 y=
1 3

x3-4x+4 的极值

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例 2 求 y=(x2-1)3+1 的极值

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例 3 在边长为 60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形, 再把它的边沿虚线折起(如 图), 做成一个无盖的方底箱子, 箱底的边长是多少时, 箱底的容积最大?最大容积是多少?

四、双基达标。 1.函数 f ( x ) ? a x ? x ? 1 有极值的充要条件是
3

( )

A. a ? 0
第 1 页 共 9 页

B. a ? 0

C. a ? 0

D. a ? 0

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2.函数 f ( x ) ? 3 x ? 4 x
3

( x ? ? 0,1? 的最大值是( )

A.

1 2

B.
3 2

-1

C.0

D.1
)

3. 函数 f ( x ) ? x ? ax A.2 4.函数 f ( x ) ? (A) e
?1

? 3 x ? 9 , 已知 f ( x ) 在 x ? ? 3 时取得极值,则 a = (

B.3
ln x x

C.4

D.5

的最大值为 (B)e (C) e
2

(D)10

3 5、已知函数 f ( x ) 的导数为 f ?( x ) ? 4 x ? 4 x ,且图象过点(0,-5) ,当函数 f ( x ) 取得极

大值-5 时,x 的值应为 A. –1 B. 0 C. 1 D. ±1 3 2 2 6. 函数 y = f ( x ) = x +ax +bx+a ,在 x = 1 时,有极值 10,则 a = 7. 已知函数 f ( x ) ? x ? a x 在 R 上有两个极值点,则实数 a 的取值范围是
3 3 2

,b =
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8. 已知函数 f ( x ) ? x ? 3 a x ? 3( a ? 2 ) x ? 1 既有极大值又有极小值,则实数 a 的取值范 围是
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9.设函数 f ( x ) ? x ? 6 x ? 5 , x ? R
3

(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间和极值; (Ⅱ)若关于 x 的方程 f ( x ) ? a 有 3 个不同实根,求实数 a 的取值范围. (Ⅲ)已知当 x ? (1, ?? )时 , f ( x ) ? k ( x ? 1) 恒成立,求实数 k 的取值范围.

10. 已知 f ( x ) ? ax ? bx
3

2

? 2x ? c

在 x ? ? 2 时有极大值 6, x ? 1 时有极小值, a , b , c 在 求

的值;并求 f ( x ) 在区间[-3,3]上的最大值和最小值.

五、能力达标。 1. 已知函数 f ( x ) ? a x ? b x ? cx 在点 x 0 处取得极小值, 其导函数 y ? f '( x ) 的图象经过点
3 2

(1, 0) , ( 2, 0 ) ,如图所示.

则 x0 =

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2.

2. 已知函数 f ( x ) ? a x ? b x ? cx 在点 x 0 处取得极大值 5 , 其导函数 y ? f '( x ) 的图象经过
3 2

点 (1, 0 ) , ( 2, 0 ) ,如图所示.求: (Ⅰ) x 0 的值; (Ⅱ) a , b , c 的值.

六、数学快餐。 1.圆柱形金属饮料罐的容积一定时, 它的高与底与半径应怎样选取, 才能使所用的材料 最省?

2.已知某商品生产成本 C 与产量 q 的函数关系式为 C=100+4q,价格 p 与产量 q 的函数 关系式为 p ? 25 ?
1 8 q .求产量 q 为何值时,利润 L 最大?

分析:利润 L 等于收入 R 减去成本 C,而收入 R 等于产量乘价格.由此可得出利润 L 与产量 q 的函数关系式,再用导数求最大利润.

1.3.3 导数的实际应用
二、课前达标。 1.A 2. A 3. 4 4.

2+2

2 5. ? 18, ? 3

三、例题。 例 1 求 y=
1 3
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x3-4x+4 的极值

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解:y′=(
1 3

x3-4x+4)′=x2-4=(x+2)(x-2)

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令 y′=0,解得 x1=-2,x2=2 当 x 变化时,y′,y 的变化情况如下表
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x
y?

? ?? , 2 ?
+ ↗

-2 0 极大值
28 3

(-2,2) - ↘

2 0 极小值 ?
4 3

? 2, ? ? ?
+ ↗

y

∴当 x=-2 时,y 有极大值且 y 极大值=

28
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3

当 x=2 时,y 有极小值且 y 极小值=-

4
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3

y

1 f(x)= x3-4x+4 3

2 -2
O

x

例 2 求 y=(x2-1)3+1 的极值 解:y′=6x(x2-1)2=6x(x+1)2(x-1)2 令 y′=0 解得 x1=-1,x2=0,x3=1 当 x 变化时,y′,y 的变化情况如下表
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x
y?
y

? ? ? , ? 1?
- ↘

-1 0 无极值

(-1,0) - ↘

0 0 极小值 0

(0,1) + ↗

1 0 无极值

? 1, ? ? ?
+ ↗

∴当 x=0 时,y 有极小值且 y 极小值=0

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y f?x? = ?x2-1?3+1

-1

O

1

x

求极值的具体步骤:第一,求导数 f′(x).第二,令 f′(x)=0 求方程的根,第三,列表, 检查 f′(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么 f(x)在这个根处取得极大值;如 果左负右正,那么 f(x)在这个根处取得极小值,如果左右都是正,或者左右都是负,那么 f(x) 在这根处无极值. 如果函数在某些点处连续但不可导,也需要考虑这些点是否是极值点
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例 3 在边长为 60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形, 再把它的边沿虚线折起(如 图), 做成一个无盖的方底箱子, 箱底的边长是多少时, 箱底的容积最大?最大容积是多少? 解法一:设箱底边长为 xcm,则箱高 h ?
60 x ? x
2 3

60 ? x 2

cm,得箱子容积

V (x) ? x h ?
2

( 0 ? x ? 60 ) .

2 3x 2 3x 2
2 2

x x x

V ?( x ) ? 6 0 x ?

( 0 ? x ? 60 )

60

x

60



V ?( x ) ? 6 0 x ?

=0,解得

x=0(舍

去) ,x=40, 并求得 V(40)=16 000 由题意可知,当 x 过小(接近 0)或过大(接近 60)时,箱子容积很小,因此,16 000 是最大值
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答:当 x=40cm 时,箱子容积最大,最大容积是 16 000cm 解法二:设箱高为 xcm,则箱底长为(60-2x)cm,则得箱子容积
V ( x ) ? ( 60 ? 2 x ) x ( 0 ? x ? 30 ) . (后面同解法一,略)
2

3

由题意可知,当 x 过小或过大时箱子容积很 所以最大值出现在极值点处.

60-2x

x
60-2x 60-2x

小,

事实上, 可导函数 V ( x ) ? x h ?
2

60 x ? x
2

3

60

60-2x


60

x

2

V ( x ) ? ( 60 ? 2 x ) x 在各自的定义域中都只有一
2



极值点,从图象角度理解即只有一个波峰,是单峰的,因而这个极值点就是最值点,不必考
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虑端点的函数值 值点 q ? 84 四、双基达标。
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1.D 2. D 3.D 4.A 5. B 6、4 -11

7、 ( ? ? , 0 )

8、 ? , ? ? )
?3
2

?1

2 9. 解:(Ⅰ) f ?( x ) ? 3 ( x ? 2 ), 令 f ? ( x ) ? 0 , 得 x 1 ? ? 2 , x 2 ?

∴当 x ? ? 2 或 x ?

2时 f ? ( x ) ? 0 , 当 ?

2 ? x ?

2时 , f ? ( x ) ? 0 ,

∴ f ( x ) 的单调递增区间是 ( ?? , ? 2 ) 及 ( 2 , ?? ) ,单调递减区间是 ( ? 2 , 2 ) 当 x ? ? 2 , f ( x ) 有极大值 5 ? 4 2 ;当 x ?
2 , f ( x ) 有极小值 5 ? 4 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)的分析可知 y ? f ( x ) 图象的大致形状及走向(图略) ∴当 5 ? 4 2 ? a ? 5 ? 4 2时 , 直线 y ? a 与 y ? f ( x ) 的图象有 3 个不同交点, 即方程 f ( x ) ? ? 有三解( (Ⅲ) f ( x ) ? k ( x ? 1)即 ( x ? 1)( x ? x ? 5 ) ? k ( x ? 1)
2

∵ x ? 1,? k ? x ? x ? 5 在 (1, ?? ) 上恒成立
2

令 g ( x ) ? x ? x ? 5 ,由二次函数的性质, g ( x ) 在 (1, ?? ) 上是增函数,
2

∴ g ( x ) ? g (1) ? ? 3 , ∴所求 k 的取值范围是 k ? ? 3 10
? 解: (1) f ( x ) ? 3 ax
2

? 2 bx ? 2 ,

由条件知

? f ? ( ? 2 ) ? 12 a ? 4 b ? 2 ? 0 , 1 1 8 ? 解得 a ? , b ? , c ? . ? f ? (1) ? 3 a ? 2 b ? 2 ? 0 , 3 2 3 ? f (?2) ? ?8a ? 4b ? 4 ? c ? 6. ?

f (x) ?

1 3

x ?
3

1 2

x ? 2x ?
2

8 3

2 , f ?( x ) ? x ? x ? 2 ,

(2) x
f ?( x )

-3

(-3,-2) +

-2 0

(-2,1) -

1 0

(1,3) +

3

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f (x)

1

46



6


1 6

3 2


3 2

1

10 6
.

由上表知,在区间[-3,3]上,当 x ? 3 时, 五、能力达标。 1.

f max ? 10

,

x ? 1 时,

f min ?

解析: 解法一:(Ⅰ) 由图象可知, (-∞, 上 f ?( x ? ,在(1,2)上 f ?( x ) ? 0 ,在 (2, ? ? ) 在 1) ) 0 上 f ?( x ) ? 0 , 故 f ( x ) 在 ( ?? ,1) , (2, ? ? ) 上递增,在(1,2)上递减,因此 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极 大值,所以 x 0 ? 1 .
2 (Ⅱ) f ? ( x ) ? 3 a x ? 2 b x ? c , 由 f ? (1) ? 0, f ?(2) ? 0, f (1) ? 5,

? 3 a ? 2 b ? c ? 0, ? 得 ?1 2 a ? 4 b ? c ? 0, ? a ? b ? c ? 5, ?

解得 a ? 2, b ? ? 9, c ? 12. 解法二:(Ⅰ)同解法一.
2 (Ⅱ)设 f ? ( x ) ? m ( x ? 1)( x ? 2 ) ? m x ? 3 m x ? 2 m ,

2 又 f ? ( x ) ? 3 a x ? 2 b x ? c , 所以 a ?

m 3

,b ? ?

3 2

m, c ? 2m,

f (x) ?

m 3

x ?
3

3 2 3 2

m x ? 2 m x.
2

由 f (1) ? 5 ,即

m 3

?

m ? 2 m ? 5, 得 m ? 6 ,

所以 a ? 2, b ? ? 9, c ? 12 . 2. 解析:解法一: (Ⅰ)由图象可知,在(-∞,1)上 f ?( x ) ? 0 ,在(1,2)上 f ?( x ) ? 0 ,在
(2, ? ? ) 上 f ? ( x ) ? 0 , 故 f ( x ) 在 ( ?? ,1) , (2, ? ? ) 上递增,在(1,2)上递减,因此 f ( x ) 在 x ? 1

处取得极大值,所以 x 0 ? 1 .
2 (Ⅱ) f ? ( x ) ? 3 a x ? 2 b x ? c , 由 f ? (1) ? 0, f ?(2) ? 0, f (1) ? 5,

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? 3 a ? 2 b ? c ? 0, ? 得 ?1 2 a ? 4 b ? c ? 0, ? a ? b ? c ? 5, ?

解得 a ? 2, b ? ? 9, c ? 12. 解法二:(Ⅰ)同解法一.
2 (Ⅱ)设 f ? ( x ) ? m ( x ? 1)( x ? 2 ) ? m x ? 3 m x ? 2 m ,

2 又 f ? ( x ) ? 3 a x ? 2 b x ? c , 所以 a ?

m 3

,b ? ?

3 2

m, c ? 2m,

f (x) ?

m 3

x ?
3

3 2 3 2

m x ? 2 m x.
2

由 f (1) ? 5 ,即

m 3

?

m ? 2 m ? 5, 得 m ? 6 ,

所以 a ? 2, b ? ? 9, c ? 12 .

六、数学快餐。 1.圆柱形金属饮料罐的容积一定时, 它的高与底与半径应怎样选取, 才能使所用的材料 最省? 解:设圆柱的高为 h,底半径为 R,则表面积 2 S=2π Rh+2π R 由 V=π R h,得 h ? S(R)= 2π R 令
s ?( R ) ? ? 2V R
2
2

V

?R
V
2

2

,则
2

?R

+ 2π R =

2V R

+2π R

2

+4π R=0
V
V

解得,R= 3

V 2?

,从而 h=

?R

2

=
? (3

=3
)
2

4V

V 2?

?

=2 3

V

?

即 h=2R 因为 S(R)只有一个极值,所以它是最小值 答:当罐的高与底直径相等时,所用材料最省
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变式:当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值 S 时,它的高与底面半径应怎样选取,才能使所 用材料最省? 提示:S=2 ? Rh + 2 ? R ? h=
2

S ? 2? R 2? R

2

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? V(R)=
S ? 2? R 2? R
2

? R =
2

1 2

( S ? 2? R ) R ?
2

1 2

SR ? ? R

3

V ' ( R ) )=0 ? S ? 6? R

2

? 6? R

2

? 2 ? Rh ? 2 ? R

2

? h ? 2R .

2.已知某商品生产成本 C 与产量 q 的函数关系式为 C=100+4q,价格 p 与产量 q 的函数 关系式为 p ? 25 ?
1 8 q .求产量 q 为何值时,利润 L 最大?

分析:利润 L 等于收入 R 减去成本 C,而收入 R 等于产量乘价格.由此可得出利润 L 与产量 q 的函数关系式,再用导数求最大利润. 解:收入 R ? q ? p ? q ? 2 5 ?
? ? ? ? 1 2 ? q ? ? 25q ? q , 8 ? 8 1

利润 L ? R ? C ? ? 2 5 q ?
L? ? ? 1 4 q ? 21 1 4

1 2 2 ? q ? ? (1 0 0 ? 4 q ) ? ? q 2 1 q ? 1 0 0 (0 ? q ? 1 0 0 ) 8 8 ? 1

令 L ? ? 0 ,即 ?

q ? 2 1 ? 0 ,求得唯一的极值点 q ? 84

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