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高一数学竞赛模拟训练八


高一数学竞赛模拟训练 (八) 一、填空题 1、 以 X 表示集合 X 的元素个数. 若有限集合 A, B, C 满足 A ? B ? 20,B ? C ? 30, C ? A ? 40 ,则 A ? B ? C 的最大可能值为 2、已知 f ( x ) ? . bx ? 1 1 ,其中 a , b 为常数,且 ab ? 2 . 若 f ( x) ? f ( ) ? k 为常数,则 2x ? a x . k 的值为 3、函数 f ? x ? ? 3 ? 5sin x 的值域为 5 ? 4cos x ? 3sin x . 4、平面上一个半径 r 的动圆沿边长 a 的正三角形的外侧滚动,其扫过 区域的面积为 5、已知方程 3 ? 3 2x x ?1 . ? p 有两个相异的正实数解,则实数 p 的取值 范围是 . 6、设 a 是正实数. 若 f ( x ) ? x 2 ? 6ax ? 10 a 2 ? x 2 ? 2ax ? 5a 2 ,x ? R 的最小值为 10,则 a ? . 7、若数列 ?an ? 满足 a1 ? 0, an ? a1 ? an?1 , ? n ? 2 ? ,且具有最小正周期 2008,则 1 ? a1an?1 a1 ? . 2 8、已知实系数一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 有实根,则使得 (a ? b)2 ? (b ? c)2 ? (c ? a)2 ? ra2 成立的正实数 r 的最大值为 1 . 二、解答题 9、已知三角形 ABC 的周长是 1,且 sin 2 A ? sin 2 B ? 4 sin A sin B . (1)证明:三角形 ABC 是直角三角形; (2)求三角形 ABC 面积的最大值. 2 10、设无穷数列 ?a n ? 满足 a1 =1, a n ? a n ?1 ? (1)当 n ? 2 时, an ? 1 (n ? 2) ,证明: a n?1 2n ; 2n ? C 对所有的 n 都成立. (2)不存在实数 C 使得 an ? 3 11、已知偶函数 y ? f ( x) 满足:当 x ? 2 时, f ( x) ? ( x ? 2)(a ? x), a ? R ,当 x ? [0,2) 时, f ( x) ? x( 2 ? x) (1)求当 x ? ?2 时, f ( x ) 的表达式; (2)若直线 y ? 1 与函数 y ? f ( x) 的图象恰好有两个公共点,求实数 a 的取值范围; (3)试讨论当实数 a, m 满足什么条件时,函数 g ( x) ? f ( x) ? m 有 4 个零点且这 4 个零 点从小到大依次成等差数列. 4 解: (1)设 x ? ?2, 则 ? x ? 2 ,? f (? x) ? (? x ? 2)(a ? x) 又? 偶函数 ? f ( x) ? f ( ? x) f ( x) ? ( x ? a)(? x ? 2) (2) (Ⅰ) a ? 2 时 x ? 2, f ( x) ? ( x ? 2)(a ? x) a a f ( x) max ? f (1 ? ) ? ( ? 1) 2 2 2 a ? ( ? 1) 2 ? 1 2 ?0 ? a ? 4 ?2 ? a ? 4 (Ⅱ) a ? 2 时,都满足 综上,所以 a ? 4 (3) f ( x) ? m 零点 x1 , x2 , x3 , x4 , y ? f ( x) 与 y ? m 交点 4 个且均匀分布 (Ⅰ)

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