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高中数学人教版必修五:不等关系与不等式(一)


不等关系与不等式(一)
内容要点: “世界上没有相同的两片树叶”,不等关系是 普遍存在的.怎样研究不等关系呢? 比较两数大小的方法是什么?

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现实世界和日常生活中,既有相等关系,又 存在着大量的不等关系. 如:两点之间线段最短;三角形两边之和大 于第三边;两边之差小于第三边;长与短、高与 矮、轻与重、大与小、不超过或不少于

等,都描 述了客观事物在数量上存在的不等关系.

在数学中我们用不等式来表示这样的不等关系.

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问题 1: 生活中为什么糖水中加的糖越多越甜呢?

转化为数学问题:a 克糖水中含有 b 克糖(a>b>0), 若再加 m(m>0)克糖,则糖水更甜了,为什么?

b 分析:起初糖水的浓度为 ,加入 m 克糖后的糖 a b?m b?m b ? 即可,怎么 水浓度为 ,只要证明 a?m a?m a 证呢?

这个数学问题怎么解决?

这是一个不等式的证明问题
3

问题 2: 某杂志以每本 2 元的价格发行时,发行量为 10 万 册.经过调查,若价格每提高 0.2 元,发行量就减少 5000 册.要使杂志社的销售收入大于 22.4 万元,每本杂志的价 格应定在怎样的范围内?

这个数学问题又怎么解决?

分析:若杂志的定价为 x 元,则销售的总收入为 x?2 ? ? ? 0.5 ? x 万元.那么不等关系“销售的 ?10 ? 0.2 ? ? 总收入 大于 22.4 万元”可以表示为不等式 x?2 ? ? ? 0.5 ? x >22.4 ?10 ? 0.2 ? ?

这是一个解不等式的问题

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问题 3: 某钢铁厂要把长度为 4000mm 的钢管截成 500mm 和 600mm 两种,按照生产的要求,600mm 钢管的数量不能超过 500mm 钢管的 3 倍.应怎样截更好?

分析:假设截得 500mm 的钢管 x 根, 截得 600mm 的钢管 y 根. 根据题意,应有如下的不等关系: ⑴解得两种钢管的总长度不能超过 4000mm; ⑵截得 600mm 钢管的数量不能超过 500mm 钢管数量的 3 倍; ⑶解得两钟钢管的数量都不能为负.
?500 x ? 600 y ≤ 4000 ? 由以上不等关系,可得不等式组: ?3x ≥ y ? ?x ≥ 0 ? ?y≥0

这是一个二元一次不等式组的问题
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不等式的定义:用不等号连接两个解析式所得的式子,叫做不等式. 说明: (1)不等号的种类:>、<、≥、≤、≠. (2)解析式是指:代数式和超越式(包括指数式、对数式和三角式等) (3)不等式研究的范围是实数集 R.

那么不等式是否与等式有类似的性质呢?
对于不等式在初中我们已经接触过 ,知道不等式的基本性 质与等式的基本性质是有所不同的,为什么会这样呢? 这一章主要从实数的基本性质及不等式的基本概念出发 , 一步步系统认识不等式,掌握一些不等式,从而为以后进一步学 习数学和其它学科运用不等式打好基础.

首先从实数大小比较说起……
6

对于任意两个实数 a、b,在 a>b,a = b,a<b 三种关系中有且仅有一种成立.
判断两个实数大小的依据是: a ? b? a?b? 0 a ? b? a?b? 0 a ? b? a?b? 0

作差比较法

这既是比较大小(或证明大小)的基本方法,又是 推导不等式的性质的基础.
作差比较法其一般步骤是: 作差→变形→判断符号→确定大小.
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例 1 比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小.

8

例 1 比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小. 作差 解: ∵ (a ? 3)(a ? 5) ? (a ? 2)(a ? 4)
? (a 2 ? 2a ? 15) ? (a 2 ? 2a ? 8) ? ?7 ∴ (a ? 3)(a ? 5) ? (a ? 2)(a ? 4) <0
∴ (a ? 3)(a ? 5) ? (a ? 2)(a ? 4)

变形
定号
确定大小

9

例 2 已知 x≠0,比较 ( x ? 1) 与 x ? x ? 1的大小.
2 2
4 2

10

例 2 已知 x≠0,比较 ( x ? 1) 与 x ? x ? 1的大小.
2 2
4 2

解:

∵ ( x2 ?1 ) 2 ?( x4 ? x2 ?1 )
? x4 ? 2x 2 ? 1? ( x 4 ? x 2 ? 1) ? x2
∴当 x ? 0 时, ( x2 ?1 ) 2 ?( x4 ? x2 ?1 ) ?0
∴当 x ? 0 时, ( x2 ?1 ) 2 ?( x4 ? x2 ?1 )

作差

变形
定号
确定大小

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b?m b ? b 、m 都是正数,且 a ? b ,求证: 例 3 已知 a 、 a?m a

12

b?m b ? b 、m 都是正数,且 a ? b ,求证: 例 3 已知 a 、 a?m a
b ? m b (b ? m)a ? (a ? m)b 证明: ∵ ? ? a?m a (a ? m)a ab ? ma ? ab ? bm ? (a ? m)a m(a ? b) ? (a ? m)a ∵a、 b 、m 都是正数,且 a ? b ∴ m ? 0, m ? a ? 0, a ? 0, a ? b ? 0
b?m b b?m b ? ? 0∴ ? ∴ a?m a a?m a

作差

变形
定号
确定大小
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课堂练习: 在下列各题的横线中填入适当的不等号.
⑴ ( 3 ? 2) 2 _____ < 6 ? 2 6;
2 ⑵ ( 3 ? 2) 2 ____( 6 ? 1) ; <

1 1 < ⑶ ______ ; 5?2 6? 5

> log 1 b. ⑷若0 ? a ? b , log 1 a ____
2 2
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课堂练习: 1.已知 x, y ? R ,比较 x2 ? y 2 ? 3x ? 3 y 与 x ? y ? 6 的大小. 2.已知 a, b ? R ,比较 a 2 ? 2ab ? 2b 2 与 2b ? 3 的大小. ? 3.已知 ? ? ? ? ,比较 1 ? cos ? 与 sin ? 的大小. 2
y y2 ?1 4.已知 x ? y ? 0 ,比较 2 与 的大小. x x ?1 2 5.已知 a ? R ,比较 a ? 1 与 的大小. a

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