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排列组合 随机事件的概率—复习归纳(教师)


1.对同一事件来说,若事件 A 是必然事件,事件 B 是不可能事件,则事件 A 与事件 B 的 关系是 ( ) A.互斥不对立 B.对立不互斥 C.互斥且对立 D.不互斥、不对立 解析:必然事件与不可能事件不可能同时发生,但必有一个发生,故事件 A 与事件 B 的关 系是互斥且对立. 答案:C 2.从某班学生中任意找出一人,如果该同学的身高小于 160 cm 的概率为 0.2,该

同学的身 高在[160,175]的概率为 0.5,那么该同学的身高超过 175 cm 的概率为 ( ) A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8 解析:因为必然事件发生的概率是 1,所以该同学的身高超过 175 cm 的概率为 1-0.2-0.5 =0.3. 答案:B 3.现有语文、数学、英语、物理和化学共 5 本书,从中任取 1 本,取出的是理科书的概率 为 1 A. 5 3 C. 5 ( ) 2 B. 5 4 D. 5

解析:记录取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件 A、B、C、D、E,则 A、B、 C、D、E 是彼此互斥的,取到理科书的概率为事件 B、D、E 的概率的并.P(B∪D∪E)= 1 1 1 3 P(B)+P(D)+P(E)= + + = . 5 5 5 5 答案: C 4.某产品分甲、乙、丙三级,其中甲属正品,乙、丙两级均属次品,若生产中出现乙级品 的概率为 0.03,出现丙级品的概率为 0.01,则对产品抽查,抽得正品的概率为________. 解析:抽得正品的概率为 P=1-0.03-0.01=0.96. 答案:0.96 5.甲、乙两人下棋,甲获胜的概率为 0.4,甲不输的概率为 0.9,则甲、乙两人下成和棋 的概率为________. 解析:∵甲获胜的概率为 0.4,甲不输的概率为 0.9,∴甲、乙两人下成和棋的概率为 P=

0.9-0.4=0.5. 答案:0.5

1.事件的分类

2.频率和概率 (1)在相同的条件 S 下重复 n 次实验,观察其一事件 A 是否出现,称 n 次试验中事件 A 出现 的次数 nA 为事件 A 出现的频数,称事件 A 出现的比例为事件 A 出现的频率. (2)对于给定的随机事件 A,如果随着试验次数的增加,事件 A 发生的稳定在某个常数上, 把这个常数记作 P(A),称为事件 A 的概率,简称为 A 的概率. 3.事件的关系与运算 定 包含关系 义 记法 (或 ) 如果事件 A 发生,则事件 B 一定发生,这时称事件 B 包 含事件 A(或称事件 A 包含于 事件 B). 若 B? A 且 ,那 么称事件 A 与事件 B 相等. 定 并事件(和事件) 义 A=B

相等关系

记法 A∪B(或 A+B)

若某事件发生当且仅当 ,称此事件为事件 A 与事件 B 的并事件(或和事 件).

交事件(积事件)

若某事件发生当且仅当 ,则称此事件为事 件 A 与事件 B 的交事件(或积 事件).

(或

)

定 互斥事件



记法 A∩B=?

若 A∩B 为 事 件,那么事件 A 与事件 B 互 斥. 若 A∩B 为 事 件,A∪B 为 事件, 那么称事件 A 与事件 B 互为 对立事件.

对立事件

A∩B=?且 A∪B=U

4.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围: . (2)必然事件的概率 P(E)= . (3)不可能事件的概率 P(F)= . (4)概率的加法公式 如果事件 A 与事件 B 互斥,则 P(A∪B)= 若事件 A 与 B 互为对立事件,则 A∪B 为必然事件.P(A∪B)= .

. ,P(A)=

考点一

随机事件及其概率

一个口袋内装有大小相同的 5 个白球和 3 个黑球,从中任意取出一个球. (1)“取出的球是红球”是什么事件,它的概率是多少? (2)“取出的球是黑球”是什么事件,它的概率是多少? (3)“取出的球是白球或是黑球”是什么事件,它的概率是多少? [自主解答] (1)由于口袋内只装有黑、 白两种颜色的球, 故“取出的球是红球”是不可能事 件,它的概率是 0. (2)由已知,从口袋内任意取出一个球,可能是白球也可能是黑球,故“取出的球是黑球” 3 是随机事件,它的概率是 . 8 (3)由于口袋内只装有黑、白两种颜色的球,故取出一个球不是黑球,就是白球, 因此,“取出的球是白球或是黑球”是必然事件,它的概率是 1.

下列说法:①频率是反映事件发生的频繁程度,概率是反映事件发生的可能性大小;②做 n 次随机试验,事件 A 发生 m 次,则事件 A 发生的频率就是事件的概率;③百分率是频率, 但不是概率;④频率是不能脱离具体的 n 次试验的试验值,而概率是具有确定性的、不依 赖于试验次数的理论值;⑤频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值.其中正确的说法 有________.

解:由频率的定义及概率的统计定义及二者的关系可知①④⑤正确. 答案:①④⑤ 考点二 随机事件的概率与频率

某射击运动员在同一条件下进行练习,结果如下表所示:

射击次数 n 击中 10 环次数 m

10

20

50

100

200

500

8

19

44

93

178

453

m 击中 10 环频率 n

(1)计算表中击中 10 环的各个频率; (2)该射击运动员射击一次,击中 10 环的概率约为多少? [自主解答] (1)击中 10 环的频率依次为 0.8,0.95,0.88,0.93,0.89,0.906. (2)随着试验次数的增加,频率在常数 0.9 附近摆动,所以估计该运动员射击一次命中 10 环的概率约是 0.9.

用一台自动机床加工一批螺母,从中抽出 100 个逐个进行直径检验,结果如下: 直径 d∈(6.88,6.89] d∈(6.89,6.90] d∈(6.90,6.91] d∈(6.91,6.92] d∈(6.92,6.93] 个数 1 2 10 17 17 直径 d∈(6.93,6.94] d∈(6.94,6.95] d∈(6.95,6.96] d∈(6.96,6.97] d∈(6.97,6.98] 个数 26 15 8 2 2

从这 100 个螺母中,任意抽取一个,求事件 A(d∈(6.92,6.94]),事件 B(d∈(6.90,6.96]),事 件 C(d>6.96)的频率.

解:n=100,A、B、C 发生的次数分别为:mA=17+26 =43, mB=10+17+17+26+15+8=93,mC=2+2=4.于是, 43 事件 A 发生的频率为 =0.43, 100 93 事件 B 发生的频率为 =0.93, 100 4 事件 C 发生的频率为 =0.04. 100

考点三

互斥事件与对立事件的概率

袋中有 12 个相同的小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,得到 1 5 5 红球的概率是 ,得到黑球或黄球的概率是 ,得到黄球或绿球的概率也是 . 3 12 12 (1)求得到黑球、得到黄球及得到绿球的概率; (2)求得到的小球既不是黑球也不是绿球的概率. [自主解答] (1)从袋中任取一球,记事件 A 为“得到红球”,B 为“得到黑球”,C 为“得 到黄球”,D 为“得到绿球”,则事件 A,B,C,D 两两互斥. 1 由已知 P(A)= , 3 5 P(B+C)=P(B)+P(C)= , 12 5 P(C+D)=P(C)+P(D)= . 12 1 2 ∴P(B+C+D)=1-P(A)=1- = . 3 3 ∵B 与 C+D,B+C 与 D 也互斥, 2 5 1 ∴P(B)=P(B+C+D)-P(C+D)= - = , 3 12 4 2 5 1 P(D)=P(B+C+D)-P(B+C)= - = , 3 12 4 1 1 1 5 1 P(C)=1-P(A+B+D)=1-(P(A)+P(B)+P(D))=1-( + + )=1- = . 3 4 4 6 6

1 1 1 故得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是 , , . 4 6 4 (2)∵得到的球既不是黑球也不是绿球, ∴得到的球是红球或黄球,即事件 A+C, 1 1 1 ∴P(A+C)=P(A)+P(C)= + = , 3 6 2 1 故所求的概率是 . 2

一盒中装有大小和质地均相同的 12 只小球, 其中 5 个红球, 个黑球, 个白球, 个绿球. 4 2 1 从 中随机取出 1 球,求 (1)取出的小球是红球或黑球的概率; (2)取出的小球是红球或黑球或白球的概率.

解:记事件 A={任取 1 球为红球}; B={任取 1 球为黑球};C={任取 1 球为白球}; D={任取 1 球为绿球}, 则 P(A)= 5 4 2 1 ,P(B)= ,P(C)= ,P(D)= , 12 12 12 12

(1)取出 1 球为红球或黑球的概率为 P1=P(A)+P(B)= 5 4 3 + = . 12 12 4

(2)取出 1 球为红球或黑球或白球的概率为 5 4 2 11 P2=P(A)+P(B)+P(C)= + + = . 12 12 12 12 1 11 (或 P2=1-P(D)=1- = ) 12 12

本节常以选择题、填空题的形式考查随机事件的概率、互斥事件和对立事件的概 率公式的应用,特别是对互斥事件和对立事件的考查更是高考的一种重要考向.

[考题印证] (2010· 浙江高考)在平行四边形 ABCD 中,O 是 AC 与 BD 的交点,P,Q,M, N 分别是线段 OA,OB,OC,OD 的中点.在 A,P,M,C 中任取一

? ? ??? ??? ??? ? 点记为 E,在 B,Q,N,D 中任取一点记为 F.设 G 为满足向量 O G = O E + O F 的点,
则在上述的点 G 组成的集合中的点,落在平行四边形 ABCD 外(不含边界)的概率为 __________.

[规范解答] 法一:按以下两种情况进行分类: (1)若点 E 选在 P、M 点,则点 G 组成的集合中的点落在平行四边形 ABCD 外有 4 个; (2)若点 E 选在 A、C 点,则点 G 组成的集合中的点落在平行四边形 ABCD 外有 8 个;所以 4+8 3 点 G 组成的集合中的点落在平行四边形 ABCD 外(不含边界)的概率为 P= = . 4×4 4 法二:基本事件的总数为 4×4=16,在 OG=OE+OF中,当OG=OP+OQ,OG=OP+

ON,OG=ON+OM,OG=OM+OQ时,点 G 分别为该平行四边形的各边的中点,此时点 G 在平行四边形的边界上,而其余情况中的点 G 都在平行四边形外,故所求的概率为 P=1 4 3 - = . 16 4

1.必然事件、不可能事件、随机事件是在一定条件下发生的,当条件变化时,事件的性质 也发生变化. 2.必然事件与不可能事件可看作随机事件的两种特殊情况,因此,任何事件发生的概率都 满足 0≤P(A)≤1. m 3.随机事件在相同条件下进行大量试验时,呈现规律性,且频率 n 总是接近于常数 P(A), 称 P(A)为事件 A 的概率. 4.求某些较复杂的概率问题时,通常有两种方法:一是将其分解为若干个彼此互斥的事件 的和,然后利用概率加法公式求其值;二是求此事件 A 的对立事件 A 的概率,然后利用 P(A)=1-P( A )可得解.

1.袋中装有 3 个白球,4 个黑球,从中任取 3 个球,则①恰有 1 个白球和全是白球;②至 少有 1 个白球和全是黑球;③至少有 1 个白球和至少有 2 个白球;④至少有 1 个白球和至 少有 1 个黑球.在上述事件中,是对立事件的为 ( ) A.① B.② C.③ D.④ 解析:由对立事件的定义可知, “至少有一个白球”和“全是黑球”为对立事件. 答案:B 2.某射手在一次射击中,击中 10 环、9 环、8 环的概率分别是 0.24、0.28、0.19,则该射 手在一次射击中不够 9 环的概率是 ( ) A.0.29 B.0.71 C.0.52 D.0.48 解析:设射手在一次射击中不够 9 环的概率为 P=1-0.24-0.28=1-0.52=0.48. 答案:D 3.在第 3、6、16 路公共汽车的一个停靠站(假定这个车站只能停靠一辆公共汽车),有一 位乘客需在 5 分钟之内乘上公共汽车赶到厂里,他可乘 3 路或 6 路公共汽车到厂里,已知 3 路车,6 路车在 5 分钟之内到此车站的概率分别为 0.20 和 0.60,则该乘客在 5 分钟内能乘 上所需要的车的概率为 ( ) A.0.20 B.0.60 C.0.80 D.0.12 解析:该乘客在 5 分钟内能乘上所需要的车的概率为 0.20+0.60=0.80. 答案:C 4.(2010·韶关模拟)古代“五行”学说认为: “物质分金、木、土、水、火五种属性,金克 木,木克土,土克水,水克火,火克金” ,将五种不同属性的物质任意排成一列,设事件 A 表示“排列中属性相克的两种物质不相邻” ,则事件 A 出现的概率是________(结果用数值 表示). 解析:如下图,当左边的位置排定后(例如:金),第二位(除去金本身)只有“土、水”两种 属性,第二位排定后,其他三种属性也确定,故有 C1C1=10, 5 2 C1C1 1 5 2 所以事件 A 出现的概率是 5 = . A5 12 例如: 金 土 火 木 水

5.某学校要从 5 名男生和 2 名女生中选出 3 人作为广州亚运会志愿者,则选出的志愿者中 男生、女生均不少于 1 名的概率是________.(结果用最简分数表示)

解析:分两类:1 男 2 女、2 男 1 女. C1C2+C2C1 5 5 2 5 2 故所求概率为 P= = . C3 7 7 6.某学校篮球队、羽毛球队、乒乓球 队的某些队员不只参加了一支球队, 具体情况如图 所示,现从中随机抽取一名队员, 求:(1)该队员只属于一支球队的概率; (2)该队员最多属于两支球队的概率. 5+4+3 3 解:(1)设“该队员只属于一支球队”为事件 A,则事件 A 的概率 P(A)= = . 20 5 (2)设“该队员最多属于两支球队”为事件 B,则事件 B 的概率为 P(B)=1- 2 9 = . 20 10


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