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2015届高考数学(理)第一轮复习达标课时跟踪检测:44 参数方程含答案


课时跟踪检测(四十四)
?x=-1-t, ? 1.极坐标方程 ρ =cos θ 和参数方程? ? ?y=2+3t

参数方程
(t 为参数)所表示的图形分别是

________,________.

?x= 5cos θ , 2.若直线 2x-y-3+c=0 与曲线? ?y= 5sin θ

>________. 3.(2014?淮南模拟)已知曲线 C:?
? ?x=2cos θ , ?y=2sin θ ?

(θ 为参数)相切,则实数 c 等于

? ?x=t, (θ 为参数)和直线 l:? ?y=t+b ?

(t 为参数,b 为实数),若曲线 C 上恰有 3 个点到直线 l 的距离等于 1,则 b=________.
? ?x=cos θ , 4.(2014?西安八校联考)已知曲线 C:? ?y=2sin θ ?

? 1? (参数 θ ∈R)经过点?m, ?,则 ? 2?

m=________.
?x=cos θ , ? 5.(2013?广州调研)已知圆 C 的参数方程为? ? ?y=sin θ +2

(θ 为参数),以原点为极

点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ρ sin θ +ρ cos θ =1,则 直线 l 截圆 C 所得的弦长是________. 6.(2014?深圳调研)在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立

?x= t, 极坐标系.曲线 C1 的参数方程为? ?y=t+1

(t 为参数),曲线 C2 的极坐标方程为 ρ sin θ

-ρ cos θ =3,则 C1 与 C2 的交点在直角坐标系中的坐标为________.
? ?x=acos φ , 7.(2013?湖北高考)在直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的参数方程为? ?y=bsin φ ?



为参数,a>b>0).在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点, π? 2 ? 以 x 轴正半轴为极轴)中,直线 l 与圆 O 的极坐标方程分别为 ρ sin?θ + ?= m(m 为非零 4? 2 ? 常数)与 ρ =b.若直线 l 经过椭圆 C 的焦点,且与圆 O 相切,则椭圆 C 的离心率为________. 8.以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度
? ?x=1+2cos α , π 单位.已知直线的极坐标方程为 θ = (ρ ∈R),它与曲线? 4 ?y=2+2sin α ?

(α 为常数)

相交于两点 A 和 B,则|AB|=________.
?x=-2+4t, ? 9. 直线? ? ?y=-1-3t ?x=2+5cos θ , ? (t 为参数)被圆? ? ?y=1+5sin θ

(θ 为参数)所截得的弦长

-1-

为________.
?x=3cos θ , ? 10.已知点 P 是曲线? ?y=4sin θ ?

(θ 为参数,0≤θ ≤π )上一点.O 为坐标原点,

π 直线 PO 的倾斜角为 ,则 P 点坐标是________. 4 π? ? 11 . 已 知 直 线 l 的 极 坐标 方 程 为 2ρ cos ?θ - ? + 1 = 0 , 曲 线 N 的 参 数 方 程为 3? ?

?x=1+3sin t, ? ?y= 3-3cos t

(t 为参数),则直线 l 被曲线 N 截得的弦长为________.

1 1 ? ?x= - cos 2θ , 12.已知曲线? 2 2 ? ?y=sin θ 实数 a 的取值范围是________.

(θ 为参数)与直线 x=a 有两个不同的公共点,则

1 ? ?x=t+t 13.过点 P(-3,0)且倾斜角为 30°的直线和曲线? 1 ? ?y=t-t 两点,则线段 AB 的长为________.

(t 为参数)相交于 A,B

?x= 3+3cos θ 14. 已知在平面直角坐标系 xOy 中, 圆 C 的参数方程为? ?y=1+3sin θ

(θ 为参数),

以平面直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的单位长 π? ? 度建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ρ cos?θ + ?=0.则直线 l 截圆 C 所得的弦长为 6? ? ________.
? ?x=t+1, 15.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为? ?y=2t ? ?x=2tan θ , ? 的参数方程为? ? ?y=2tan θ
2

(t 为参数),曲线 C

(θ 为参数).则它们的公共点的坐标为________.

16.(2014?长春模拟)已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ =4cos θ ,以极点为原点,极轴为 3 ? ?x=5+ 2 t, x 轴正半轴建立平面直角坐标系, 设直线 l 的参数方程为? 1 ? ?y=2t

(t 为参数). 若

曲线 C 与直线 l 相交于 P,Q 两点,以 PQ 为一条边作曲线 C 的内接矩形,则该矩形的面积为 ________.
-2-

?x=2+2cos φ , ? 17. 在直角坐标系 xOy 中, 圆 C1 和 C2 的参数方程分别是? ?y=2sin φ ? ? ?x=cos φ , 和? ?y=1+sin φ ?

(φ 为参数)

(φ 为参数).以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线 OM:

θ =α 与圆 C1 的交点为 O,P,与圆 C2 的交点为 O,Q,则|OP|?|OQ|的最大值为________. 答 案

? 1?2 2 1 2 2 2 1.解析:由 ρ =cos θ 得 ρ =ρ cos θ ,所以 x +y =x,即?x- ? +y = ,它表示 4 ? 2?
1 ?1 ? 以? ,0?为圆心,以 为半径的圆.由 x=-1-t 得 t=-1-x,所以 y=2+3t=2+3(-1- 2 ?2 ? x)=-3x-1,表示直线. 答案:圆 直线

?x= 5cos θ , 2.解析:将曲线? ?y= 5sin θ

(θ 为参数)化为普通方程为 x +y =5,由直线 2x

2

2

|-3+c| 2 2 -y-3+c=0 与圆 x +y =5 相切,可知 = 5,解得 c=-2 或 8. 5 答案:-2 或 8 3.解析:将曲线 C 和直线 l 的参数方程分别化为普通方程为 x +y =4 和 y=x+b,依题 |b| 意, 若要使圆上有 3 个点到直线 l 的距离为 1, 只要满足圆心到直线的距离为 1 即可, 得到 2 =1,解得 b=± 2. 答案:± 2
?x=cos θ , ? ? 4. 解析: 将曲线 C: ?y=2sin θ ?
2 y ? 1? 2 (参数 θ ∈R)化为普通方程为 x + =1, 将点?m, ? 4 ? 2? 2 2

1 4 15 15 2 2 代入该椭圆方程,得 m + =1,即 m = ,所以 m=± . 4 16 4 答案:± 15 4
2 2

5.解析:圆 C 的参数方程化为普通方程为 x +(y-2) =1,直线 l 的极坐标方程化为直 角坐标方程为 x+y=1,故圆心到直线 l 的距离 d= 弦长为 2 1 -d = 2. 答案: 2 6.解析:曲线 C1 的方程可化为 y=x +1(x≥0),曲线 C2 的方程可化为 y-x=3,联立
2 2 2

|0+2-1| 2 = ,故直线 l 截圆 C 所得的 2 2

-3-

?y=x +1, ? ? ?y-x=3 ?

2

(x≥0),解得 x=2,y=5.

答案:(2,5) x y 7.解析:由题意知,椭圆 C 的普通方程为 2+ 2=1,直线 l 的直角坐标方程为 x+y=m, a b |m| 2 2 2 圆 O 的直角坐标方程为 x +y =b ,设椭圆 C 的半焦距为 c,则根据题意可知,|m|=c, = 2 c c 6 b,所以有 c= 2b,所以椭圆 C 的离心率 e= = 2 = . 2 a 3 b +c 答案: 6 3
2 2 2 2

8.解析:直线的普通方程为 y=x,曲线的普通方程(x-1) +(y-2) =4, 所以|AB|=2 答案: 14 9.解析:将直线化为普通方程:3x+4y+10=0;将圆化为普通方程:(x-2) +(y-1)
2 2

?|1-2|?2 2 2 -? ? = 14. ? 1+1 ?

|3?2+4?1+10| =25,圆心为(2,1),半径为 5,则圆心到直线 3x+4y+10=0 的距离 d= = 2 2 3 +4 20 =4,则弦长的一半为 3,则弦长为 6. 5 答案:6 x y π 10.解析:将曲线 C 化为普通方程,得 + =1,因为直线 OP 的倾斜角为 ,所以其斜 9 16 4 x y ? ? + =1, 率为 1,则直线 OP 的方程为 y=x,联立方程组? 9 16 ? ?y=x, 为?
2 2 2 2

12 解得 x=y= ,即 P 点坐标 5

?12,12?. ? ?5 5?
答案:?

?12,12? ? ?5 5?
π π +sin θ ?sin +1=0, 3 3

11.解析:直线 l 的极坐标方程可化为 2ρ cos θ cos

即 ρ cos θ + 3ρ sin θ +1=0, 可得直线 l 的方程为 x+ 3y+1=0. 曲线 N 消掉参数 t,得(x-1) +(y- 3) =9,
2 2

-4-

所以曲线 N 是以(1, 3)为圆心,3 为半径的圆. 则圆心到直线 l 的距离为 |1+ 3? 3+1| 5 d= = . 2 2 2 1+ 3 所以直线 l 被曲线 N 截得的弦长为 2

?5?2 2 3 -? ? = 11. ?2?

答案: 11 1 1 ? ?x= - cos 2θ , 12.解析:将曲线的参数方程? 2 2 ? ?y=sin θ
2

(θ 为参数)转化为

普通方程得 y =x(0≤x≤1),借助图象(如图)观察,易得 0<a≤1. 答案:(0,1] 1 x=t+ , ? ? t 3,曲线? 1 y=t- ? ? t

13.解析:由题中条件可知,直线的普通方程为 y=

3 x+ 3

(t

为参数)可以化为 x -y =4.

2

2

? ?y= 3x+ 3, 3 设 A(x1,y1),B(x2,y2),联立? ? ?x2-y2=4
21 x1x2=- . 2 所以|AB|= = = 4 3
1 1

可得 2x -6x-21=0,则 x1+x2=3,

2

-x2

2

+ -x2

1

-y2
2

2

-x2

2

1 + 3
2

1

1

+x2

-4x1x2]=2 17.

答案:2 17

?x= 3+3cos θ , 14.解析:圆 C 的参数方程? ?y=1+3sin θ
π? ? 2 2 (θ 为参数)可化为普通方程(x- 3) +(y-1) =9, 直线 l 的极坐标方程 ρ cos?θ + ? 6? ? | 3? 3-1?1| =0 可化为直角坐标方程 3x-y=0,弦心距 d= =1,故直线 l 截圆 C 所得 2 2 3 +1

-5-

的弦长为 2 r -d =4 2. 答案:4 2
?x=t+1, ? 15.解析:因为直线 l 的参数方程为? ?y=2t ?

2

2

(t 为参数),由 x=t+1 得 t=x-1,

代入 y=2t,得到直线 l 的普通方程为 2x-y-2=0. 同理得到曲线 C 的普通方程为 y =2x.
?y= - ? 解方程组? 2 ?y =2x, ?
2



?1 ? 得公共点的坐标为(2,2),? ,-1?. ?2 ?

?1 ? 答案:(2,2),? ,-1? ?2 ?
16.解析:由 ρ =4cos θ ,得 ρ =4ρ cos θ ,即曲线 C 的直角坐标方程为 x +y =4x; 3 ? ?x=5+ 2 t, 由? 1 y= t ? ? 2 -5=0. |2- 3?0-5| 3 可知 C 为圆, 且圆心坐标为(2,0), 半径为 2, 则弦心距 d= = , 弦长|PQ| 2 1+3 =2 2-
2 2 2 2

(t 为参数),得 y=

1 3

(x-5),即直线 l 的普通方程为 x- 3y

3 2

2

= 7,因此以 PQ 为一条边的圆 C 的内接矩形面积 S=2d?|PQ|=3 7.

答案:3 7 17.解析:圆 C1 和圆 C2 的普通方程分别是(x-2) +y =4 和 x +(y-1) =1, 所以圆 C1 和 C2 的极坐标方程分别是 ρ =4cos θ 和 ρ =2sin θ . 依题意得,点 P,Q 的极坐标分别为 P(4cos α , α ), Q(2sin α , α ), 所以|OP|=|4cos α |, |OQ|=|2sin α |.从而|OP|?|OQ| =|4sin 2α |≤4,当且仅当 sin 2α =±1 时,上式取“=”, 即|OP|?|OQ|的最大值是 4. 答案:4
2 2 2 2

-6-


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