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第二讲 参数方程 章末归纳提升 课件(人教A版选修4-4)


圆锥曲线的参数方程及应用
对于椭圆的参数方程,要明确 a,b 的几何意义以及离心 角 φ 的意义,要分清椭圆上一点的离心角 φ 和这点与坐标原 点连线倾斜角 θ 的关系,双曲线和抛物线的参数方程中,要 注意参数的取值范围,且它们的参数方程都有多种形式.

x2 在平面直角坐标系 xOy 中, 设 P(x, y)是椭圆 3 + y2=1 上的一个

动点,求 S=x+y 的最大值和最小值.
【解】 x2 2 ∵椭圆 +y =1 的参数方程为 3 (φ 为参数).

?x= 3cos φ, ? ? ? ?y= sin φ

故设动点 P( 3cos φ, sin φ),其中 φ∈[0,2π). 因此 S=x+y= 3cos φ+sin φ π π π =2(sin cos φ+cos sin φ)=2sin(φ+ ). 3 3 3

π ∴当 φ= 时,S 取得最大值 2. 6 7π 当 φ= 时,S 取得最小值-2. 6

直线的参数方程及应用
直线参数方程的应用非常广泛,主要用来解决直线与圆 锥曲线的位置关系问题.在解决这类问题时,应用直线的参 数方程,利用直线参数方程中参数 t 的几何意义,可以避免 通过解方程组求交点等繁琐运算,使问题得到简化,由于直 线的参数方程有多种形式,只有标准形式中的参数才具有明 显的几何意义.

直 线 l 过 点 P0( - 4,0) , 它 的 参 数 方 程 为 ? 3 ?x=-4+ 2 t, ? ?y=1t ? 2

(t 为参数)与圆 x2+y2=7 相交于 A, B 两点,

(1)求弦长|AB|; (2)过 P0 作圆的切线,求切线长.

【解】 将直线 l 的参数方程代入圆的方程, 3 2 1 2 得(-4+ 2 t) +(2t) =7, 整理得 t2-4 3t+9=0. (1)设 A 和 B 两点对应的参数分别为 t1 和 t2, 由根与系数的关系得 t1+t2=4 3,t1· t2=9. 故|AB |= |t2-t1|= ?t1+t2?2-4t1t2=2 3. (2)设圆过 P0 的切线为 P0T,T 在圆上,则 |P0T |2=|P0A|· |P0B|= |t1t2|=9, ∴切线长|P0T |=3.

参数法及应用
参数方法是一种重要的数学方法,尤其在运动变化型问 题中,若能引入参数作桥梁,沟通变量之间的联系,既有利 于揭示运动变化的本质规律,还能把多个变量统一体现在一 个参变量上.但一定要注意,利用参数表示曲线的方程时, 要充分考虑到参数的取值范围.

(2013· 三门峡质检)如图 2-1,已知直线 l 过点 4 P(2,0),斜率为3,直线 l 和抛物线 y2=2x 相交于 A、B 两点, 设线段 AB 的中点为 M,求:

图 2-1 (1)P、M 两点间的距离|PM |; (2)线段 AB 的长|AB|.

【解】

4 (1)∵直线 l 过点 P(2,0),斜率为 , 3

4 4 3 设直线的倾斜角为 α,tan α= ,sin α= ,cos α= ,∴ 3 5 5 3 ? ?x=2+5t 直线 l 的参数方程为? ?y=4t ? 5

(t 为参数).

∵直线 l 和抛物线相交,将直线的参数方程代入抛物线 方程 y2=2x 中, 整理得 8t2-15t-50=0, 则 Δ=(-15)2-4×8×(-50)>0.

设这个二次方程的两个根分别为 t1、t2, 15 由根与系数的关系,得 t1+t2= , 8 25 t1t2=- , 4 由 M 为线段 AB 的中点,根据 t 的几何意义,得 t1+t2 15 |PM |=| 2 |= 16.

(2)|AB|=|t2-t1| 5 = ?t1+t2? -4t1t2= 73. 8
2

5 因此线段 AB 的长为 73. 8

在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程
?x=4cos θ ? 为? ? ?y=4sin θ

(θ 为参数,且 0≤θ<2π),点 M 是曲线 C1 上的

动点. (1)求线段 OM 的中点 P 的轨迹的直角坐标方程; (2)以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐 标系,若直线 l 的极坐标方程为 ρcos θ-ρsin θ+1=0(ρ>0), 求点 P 到直线 l 距离的最大值.

【解】 (1)曲线 C1 上的动点 M 的坐标为(4cos θ, 4sin θ), 坐标原点 O(0,0), 设 P 的坐标为(x,y),则由中点坐标公式得 1 x=2(0+4cos θ)=2cos θ, 1 y= (0+4sin θ)=2sin θ, 2 所以点 P 的坐标为(2cos θ,2sin θ), 因此点 P
? ?x=2cos θ 的轨迹的参数方程为 ? ? ?y=2sin θ

(θ 为参数,且

0≤θ<2π), 消去参数 θ,得点 P 轨迹的直角坐标方程为 x2+y2=4.

(2)由直角坐标与极坐标关系得 直线 l 的直角坐标方程为 x-y+1=0. 又由(1),知点 P 的轨迹为圆心在原点,半径为 2 的圆, 因为原点(0,0)到直线 x-y+1=0 的距离为 |0-0+1| 1 2 =2, 2 2= 2 1 +?-1? 2 所以点 P 到直线 l 距离的最大值为 2+ . 2

曲线的参数方程与普通方程的互化
参数方程与普通方程的相互转化体现了函数与方程的紧 密联系和实际应用.

求方程 4x2+y2=16 的参数方程 . (1)设 y=4sin θ,θ 为参数; (2)以过点 A(0,4)的直线的斜率 k 为参数.

【解】 (1)把 y=4sin θ 代入方程,得到 4x2+16sin2θ= 16, 于是 4x2=16-16sin2θ=16cos2θ. ∴x=± 2cos θ.由于参数 θ 的任意性,可取 x=2cos θ. 因此 4x2+y2=16 的参数方程是
?x=2cos θ, ? ? ? ?y=4sin θ

(θ 为参数).

(2)设 M(x,y)是曲线 4x2+y2=16 上异于 A 的任一点,则 y-4 =k(x≠0),将 y=kx+4 代入方程,得 x[(4+k2)x+8k]= x 0. ? ?x=- 8k 2, 4+k ? ∴? 2 - 4 k +16 ?y= , 2 ? 4+k ?

易知 A(0,4)也适合此方程.

? ?x=0, 另有一点? ? ?y=-4.

? ?x=- 8k 2, 4+k ? ∴所求的参数方程为? 2 4 k -16 ? y=- 2 , ? 4 + k ?
? ?x=0, 和? ? ?y=-4.

(k 为参数)


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