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甘肃省玉门油田第 一中2013届高三第三次模拟考试文科数学试题及详细答案


玉门油田第一中学 2013 届高三第三次摸底考试 数学试卷(文)
班级___________ 姓名___________ 考号___________

7.函数 f ( x) ? x2 ? 2x 的零点个数是(
A.0 个 B.1 个 C.2 个


D.3 个

第I卷
一、选择题: (本大题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分.四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. ) 1.已知集合 A ? ?x ? R 0 ? x ? 3?, B ? x ? R x 2 ? 4 ,则 A ? B ? ( A. ?x 2 ? x ? 3? B. ?x 2 ? x ? 3? C. ?x x ? ?2或2 ? x ? 3?

8.已知三视图如右图所示,则体积为( ) 1 2 3 3 A. B. C. D. 3 3 4 8

?

?

) D. R )
9. 已知向量 a=(1,2) ,b=(-3,2)若 ka+b//a-3b,则实数 k=( A. ?
1 3

2.已知 a, b ? R ,若 a ? bi ? (1 ? i) ? i 3 (其中 i 为虚数单位) ,则( A. a ? ?1, b ? 1 B. a ? ?1, b ? ?1 C. a ? 1, b ? ?1 )


D.3

D. a ? 1, b ? 1

B.

1 3

C.-3

3.曲线 f ( x) ? x ln x 在点 x ? 1 处的切线方程是( A. 2 x ? y ? 2 ? 0 B. 2 x ? y ? 2 ? 0

10.若 点 P (2,1)为圆 A x+y-1=0 D. x ? y ? 1 ? 0 11.双曲线

的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程为(
C.2x+y = 0 D.x + y - 3 = 0



B.2x-y-5 = 0

C. x ? y ? 1 ? 0

4.已知命题 p : ?x ? R,使得x+ 是(

1 ? 2 , 命题q : ?x ? R,x 2 ? x ? 1 ? 0 ,下列结论正确的 x
B. 命题“ ?P) ? q ”是真命题 ( D. 命题“ (?p) ? (?q) ”是真命题 ) D.7 )

x2 y2 ? ? 1(a? 0, b? 0) 离心率为 2,有一个焦点与抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点重合,则双曲线的渐近 a2 b2

线方程为( A.y= ?


B.y= ? 2 x C.y= ?

) A.命题“ p ? q ”是真命题 C. 命题“ p ? (?q) ”是真命题

1 x 2
?
3

3 x 3

D.y= ? 3x

12.为得到函数 y ? cos(x ? ) 的图象,只需将函数 y ? sin x 的图像(
A.向左平移 C.向左平移



5.已知 {an } 为等差数列, a2 ? a8 ? A.4 B.5

4 ,则 S 9 等于( 3 C.6

? 个长度单位 6
5? 个长度单位 6

B.向右平移 D.向右平移

? 个长度单位 6
5? 个长度单位 6

6.已知空间两条不同的直线 m,n 和 两个不同的平面 ? , ? ,则命题中正确的是( A.若 m / /? , n ? ? , 则 m / / n C.若 m / /? , n / /? , 则 m / / n B.若 ? ? ? ? m, m ? n, 则 n ? ? D.若 m / /? , m ? ? , ? ? ? ? n, 则 m / / n

第 II 卷 二、填空题:(本大题共 4 小题,每题 5 分).

1

? x ? 2 y ? 4, ? 13.设 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, ,则目标函数 z=3x-y 的最大值为 ? x ? 2 ? 0, ?

其中正确的说法是 三.解答题: (解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤.) 17. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 在 ?ABC 中 , a, b, c 分 别 为 内 角 A, B, C 所 对 的 边 , 且 满 足

14.如果执行下面的框图,输入 N=5,则输出的数等于

2b cos A ? 3 ? c cos A ? a cos C ?

(1)求 A 的大小; (2)若 a ? 2 , c ? 2 3 ,且 b ? c 求 ?ABC 的面积.

15.为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度,统计了该运动员在 6 场比赛中的得分, 用茎叶图表示如上图所示,则该组数据的方差为 . (参考公式样本数据 x1 , x 2 ,? x n 的标准差 S ? 16.下列说法: ①“ ?x ? R, 使2 x ? 3n ”的否定是“ ?x ? R, 使2 x ? 3n ” . ②函数 y ? sin(2 x ? )sin( ? 2 x) 的最小正周期是 ? ; 3 6 ③命题“函数 f ( x)在x ? x0 处有极值,则 f '( x0 ) ? 0 ”的否命题是真命题;
? ④ f ( x)是(-?,0) (0,+?)上的奇函数, x ? 0 时的解析式是 f ( x) ? 2 x ,则 x ? 0 时的解析
1 [( x1 ? x) 2 ? ( x 2 ? x) 2 ? ? ? ( x n ? x) 2 ] n



?

?

18.(本题满分 12 分)某班同学利用国庆节进行社会实践,对 [25,55] 岁的人群随机抽取 n 人 进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查,若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族” , 否则称为“非低碳族” ,得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图:

式为 f ( x) ? ?2? x.
2

(Ⅰ)补全频率分布直方图并求 n 、 a 、 p 的值; (Ⅱ)从年龄段在 [40, 50) 的“低碳族”中采用分层抽样法抽取 6 人参加户外低碳体验活 动,其中选取 2 人作为领队,求选取的 2 名领队中恰有 1 人年龄在 [40, 45) 岁的概率.

20.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C:
(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程;

x2 y 2 3 1 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 过点 A(1, ) ,且离心率 e ? . 2 a b 2 2

(Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? m ? k ? 0 ? 与椭圆交于不同的两点 M、N ,且线段 MN 的垂直平分线过定点

1 G ( , 0) ,求 k 的取值范围. 8

19. ( 本 小 题 满 分

12

分 ) 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 ,

?A B C ? A C ? , ? ? B A ? ? , 0A?? 平面 ABCD , E ? 9 D 0 C 6 PA D ? C

为 PD 的中点, PA ? 2 , AB ? 1. (Ⅰ) 求四棱锥 P ? ABCD 的体积 V ; (Ⅱ) 若 F 为 PC 的中点,求证:平面 PAC ? 平面 AEF .

3

21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x3 ? ax 2 ? x ? 2 . (Ⅰ)若 a ? ?1 ,令函数 g ( x) ? 2 x ? f ( x) ,求函数 g ( x) 在 (?1, 2) 上的极大值、极小值;
1 (Ⅱ)若函数 f ( x) 在 (? , ??) 上恒为单调递增函数,求实数 a 的取值范围. 3

23. 选修 4—5:不等式选讲: (本小题满分 10 分)
(1)已知 x, y 都是正实数,求证: x ? y ? x y ? xy ;
3 3 2 2

(2) 已知 a,b,c ? R ? ,且 a+b+c=1, 求证:a2+b2+c2≥

1 . 3

(选做题)请考生在第(22)(23)(24)三题中任选一 题作答,如果多做,则按所 、 、 做的第一题记分。做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。本小题满分 12 分 22.选修 4-1:几何证明选讲(本小题满分 10 分) 如图 6,直线 AB 过圆心 O,交圆 O 于 A、B,直线 AF 交圆 O 于 F(不与 B 重合) ,直线 l 与圆 O 相切于 C,交 AB 于 E,且与 AF 垂直,垂足为 G,连接 AC. 求证: (Ⅰ) ?BAC ? ?CAG ; (Ⅱ) AC 2 ? AE ? AF .

24.选修 4-5(本小题满分 10 分)不等式选讲:设函数 f ( x) ? 2 x ? 1 ? x ? 2
(1)求不等式 f ( x) ? 2 的解集 (2) ?x ? R, 使f ( x) ? t ?
2

11 t ,求 t 的取值范围 2

4

参考答案
一.选择题:BCDAC DDBAD 二.填空题:13. 5 ; 三.解答题: 17. DC 15. 5 ; 16.①.④ 14. 5/6;

(Ⅱ)因为 [40,45) 岁年龄段的“低碳族”与 [45,50) 岁年龄段的“低碳族”的比值为 60:30 ? 2:1,所以采 用分层抽样法抽取 6 人,[40,45) 岁中有 4 人,[45,50) 岁中有 2 人.设 [40,45) 岁中的 4 人为 a 、b 、c 、

d , [45,50) 岁中的 2 人为 m 、 n ,则选取 2 人作为领队的有 (a, b) 、 (a, c) 、 (a, d ) 、 (a, m) 、 (a, n) 、
(b, c) 、 (b, d ) 、 (b, m) 、 (b, n) 、 (c, d ) 、 (c, m) 、 (c, n) 、 (d , m) 、 (d , n) 、 (m, n) ,共 15 种;其中恰有
1 人年龄在 [40,45) 岁的有 (a, m) 、 (a, n) 、 (b, m) 、 (b, n) 、 (c, m) 、 (c, n) 、 (d , m) 、 (d , n) ,共 8 种. 所以选取的 2 名领队中恰有 1 人年龄在 [40,45) 岁的概率为 P ? 19 .解: (Ⅰ)在 Rt ?ABC 中,AB ? 1, BAC ? 60 , ∴ ?
0

8 . 15

BC ? 3, AC ? 2 在 Rt ?ACD 中,AC ? 2 ,

?CAD ? 600 , CD ? 2 3 ∵ S四边形ABCD ?

1 1 1 1 5 AB?BC ? AC ? ? ?1? 3 ? ? 2 ? 2 3 ? CD 3, 2 2 2 2 2

1 5 5 则V ? ? 3?2 ? 3 3 2 3
(Ⅱ) 证:∵ PA ? 平面ABCD , ∴ PA ? CD ∴ CD ? 平面PAC , ∴ EF ? 平面PAC 20.解: (Ⅰ)由题意 e ? 又 AC ? CD , PA ? AC ? A

∵ E、F 分别是PD、PC的中点 ,∴ EF // CD

18. 解: (Ⅰ)第二组的频率为 1 ? (0.04 ? 0.04 ? 0.03 ? 0.02 ? 0.01) ? 5 ? 0.3 ,所以高为 频率直方图如下:

0.3 ? 0.06 . 5

? E F ? 平面 A E ,∴ 平面PAC ? 平面AEF F

1 c 1 2 2 2 2 2 2 ,即 e ? ? , a ? 2c ,∴ b ? a ? c ? ? 2c ? ? c ? 3c 2 a 2
x2 y2 ? 2 ?1 4c 2 3c x2 y2 ? ? 1. 4 3
消去 y ,得

∴ 椭圆 C 的方程可设为

?3? 1 ?2? 3 ? ? ?1 代入 A(1, ) ,得 2 ? 4c 3c 2 2

2

解得 c ? 1
2

∴ 所求椭圆 C 的方程是

? x2 y 2 ? (Ⅱ)解: 由方程组 ? 4 ? 3 ? 1 ? y ? kx ? m ?
-

? 3 ? 4k ? x
2

2

? 8k m x 4 m ? 1 2? 0 ? 2
2 2

120 200 第一组的人数为 ? 200 ,频率为 0.04 ? 5 ? 0.2 ,所以 n ? ? 1000 . 0.6 0.2 195 ? 0.65 . 300 第四组的频率为 0.03 ? 5 ? 0.15 ,所以第四组的人数为 1000 ? 0.15 ? 150 ,所以 a ? 150 ? 0.4 ? 60 .
由题可知,第二组的频率为 0.3,所以第二组的人数为 1000 ? 0.3 ? 300 ,所以 p ?
5

由题意,△ ? ? 8km ? ? 4 3 ? 4k
2

?

2

?? 4m

2

? 12 ? ? 0

整理得: 3 ? 4k ? m ? 0 ①

设 M ? x1 , y1 ? 、N ? x2 , y2 ? , MN 的 中 点 为 P( x0 , y0 ) , 则 x0 ?

x1 ? x2 4km , ?? 2 3 ? 4k 2

3m y0 ? kx0 ? m ? 3 ? 4k 2
3 ? 4k 2 8k

由已知, MN ? GP

即 kMN ? kGP ? ?1 即

3m ?0 2 k ? 3 ? 4k ? ?1 ;整理得: 4km 1 ? ? 3 ? 4k 2 8
? ? 5? ? 5 k ? ? ??, ? ??? ? ? ? 10 , ?? ? ? 10 ? ? ? ?
2
[来源:学.科.网 Z.X.X.K]

(Ⅱ)连结 CF ,? EC 切圆 O 于 C ,

m??

代入①式,并整理得: k 2 ?
3 2

1 , 20


3

| k |?
2

5 ∴ 10

? ?ACE ? ?AFC .又 ?BAC ? ?CAG, ? ?ACF ∽ ?AEC . ? AC ? AF ,? AC 2 ? AE ? AF . AE AC 23. 本小题满分 10 分选修 4—5:不等式选讲
解: (1)∵ ( x ? y ) ? ( x y ? xy ) ? x ( x ? y ) ? y ( y ? x)
3 3 2 2 2 2

21.【解析】(Ⅰ) g ( x) ? 2 x ? ( x ? x ? x ? 2) ? ? x ? x ? x ? 2 ,所以 g ?( x) ? ?3x ? 2 x ? 1
1 由 g ?( x) ? 0 得 x ? ? 或 x ? 1 3

? ( x ? y)( x 2 ? y 2 ) ? ( x ? y)2 ( x ? y) ,
又∵ x, y ? R ,∴ ( x ? y ) ? 0, x ? y ? 0 ,∴ ( x ? y ) ( x ? y ) ? 0 ,
2 2 ?

x
g ?( x)

1 (??, ? ) 3
?

?

1 3

1 (? ,1) 3

1

(1, ??)

∴ x ? y ? x y ? xy .???????5分
3 3 2 2

(2)由 a+b+c=1, 得 1=(a+b+c)2= a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≤3(a2+b2+c2)
[来源:Zxxk.Com]

0
? 59 27

?
?

0

?

∴a2+b2+c2≥

1 . (当且仅当 a=b=c 时取等号) 3

g ( x)

?

?1

?

24

所以函数 g ( x) 在 x ? ? 处取得极小值 ?
2

1 3

59 ;在 x ? 1 处取得极大值 ?1 27 a 3

(Ⅱ) 因为 f ?( x) ? 3x ? 2ax ? 1 的对称轴为 x ? ? (1)若 ?

a 1 1 ? ? 即 a ? 1 时,要使函数 f ( x) 在 (? , ??) 上恒为单调递增函数,则有 ? ? 4a2 ? 12 ? 0 , 3 3 3
3 ,所以 ? 3 ? a ? 1 ;

解得: ? 3 ? a ? (2)若 ?

a 1 1 ? ? 即 a ? 1 时,要使函数 f ( x) 在 (? , ??) 上恒为单调递增函数,则有 3 3 3

1 1 1 f (? ) ? 3 ? (? )2 ? 2a ? (? ) ? 1 ? 0 ,解得: a ? 2 ,所以 1 ? a ? 2 ;综上,实数 a 的取值范围为 3 3 3
? 3?a?2

22.选修 4-1:几何证明选讲 【解析】证明: (Ⅰ)连结 BC ,? AB 是直径, ? ? ? ?ACB ? 90 ,? ?ACB ? ?AGC ? 90 . ? GC 切圆 O 于 C ,
? ?GCA ? ?ABC . ? ?BAC ? ?CAG .
6

7


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