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1159数学-江苏省南菁高级中学2013届高三下学期开学质量检测数学试题


江苏省南菁高级中学 2013 届高三第二学期开学质量检测

数学试卷
一、填空题:(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分,请将答案填入答题区) ⒈若集合 A ? { y | y ? x}, B ? {x | y ? 1 ? x }, 则A ? B = ▲ . ⒉命题“ ? x∈R,有 x2+1≥x”的否定是 ▲ . ⒊若 i 是虚数单位

,则 i ? 2i 2 ? 3i3 ? ? ? ? ? 2013 i 2013 = ▲ ⒋“ .

1 <1”是“ lg x ? 0 成立”的 ▲ .条件(填充分不必要、必要不充分, x

既不充分也不必要,充要) . ⒌已知流程图如图所示,为使输出的 b 值为 16,则判断框内①处应填 ▲ . ⒍已知直线 ax ? by ? 2 ? 0 与曲线 y ? x 在 P(1,1) 处的切线互相垂直,则
3

a ? b

▲ . 第 5 题图

1 13 π ⒎已知 cosα=7,cos(α?β)=14,且 0<β<α<2,则 β= ▲ . ⒏若 4 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4,从这 4 张卡片中随机抽取 2 张,则取出的 2 张 卡片上的数字之和为奇数的概率为 ▲ . ⒐若 A、B 与 F1、F2 分别为椭圆 C:

x2 ? y 2 ? 1 的两长轴端点与两焦点,椭圆 C 上的点 P 使 5

π 得∠F1PF2= 2 ,则 tan∠APB= ▲ . ⒑已知数列{an}(n∈N*)满足 a1=1 且 an ? an ?1 cos

2n? ,则其前 2013 项的和为 ▲ . 3

⒒定义在 R 上的函数 y ? f ( x ) 是增函数,且函数 y ? f ( x ? 2) 的图像关于(2,0)成中心对 称,若 s,t 满足不等式 f ( s ? 4s ) ? ? f (4t ? t ) ,若 ?2 ? s ? 2 时,则 3t ? s 的最大值为
2 2

▲ . ⒓已知圆 M: ( x ? 1) ? ( y ? 3) ? 4 ,过 x 轴上的点 P(a,0) 存在一直线与圆 M 相交,交点
2 2

为 A、B,且满足 PA=BA,则点 P 的横坐标 a 的取值范围为 ▲ .

? b ? ? ? ? ?? ? ? (2 ⒔已知非零向量 a 与 b 满足 (a ? b)? a ? b) ? 0 ,则 ? 的最小值为 ▲ . a
? 3x ? y ? 0 ? 3x ? y ? ⒕已知,点 P( x, y ) 的坐标满足 ? x ? 3 y ? 2 ? 0 ,则 的取值范围为 ▲ . x2 ? y2 ?y ? 0 ? ?

1

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。) ⒖(本题满分 14 分)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且 A,B,C 成等差 数列. 3 →→ (1)若AB· =-2,b= 3,求 a+c 的值; BC (2)求 2sinA-sinC 的取值范围. ⒗在三棱柱 ABC ? A B C 中,已知底面 ABC 是边长为 a 的正三角形,侧棱 1 1 1

AA1 ?

6 a ,点 D, E, F , O 分别为边 AB, A1C , AA1 , BC 的中点, AO ⊥底面 1 2
F

A1 B1

C1

ABC .
(Ⅰ)求证:线段 DE∥平面 BB1C1C ; (Ⅱ)求证:FO⊥平面 BB1C1C .
A D

E

C O B

⒘某生产旅游纪念品的工厂,拟在 2010 年度将进行系列促销活动.经市场调查和测算,该 纪念品的年销售量 x 万件与年促销费用 t 万元之间满足 3 ? x 与 t ? 1 成反比例. 若不搞促销活 动,纪念品的年销售量只有 1 万件.已知工厂 2010 年生产纪念品的固定投资为 3 万元,每 生产 1 万件纪念品另外需要投资 32 万元. 当工厂把每件纪念品的售价定为: “年平均每件生 产成本的 150%”与“年平均每件所占促销费一半”之和时,则当年的产量和销量相等.(利润= 收入-生产成本-促销费用) (1)求出 x 与 t 所满足的关系式; (2)请把该工厂 2010 年的年利润 y 万元表示成促销费 t 万元的函数; (3)试问:当 2010 年的促销费投入多少万元时,该工厂的年利润最大?

x2 y 2 4 2 3 3 ), N ( ,1) , ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 过点 M (1, 2 3 2 a b 梯形 ABCD(AB∥CD∥ y 轴,且 AB ? CD )内接于椭圆,E 是对角线 AC
⒙如图,椭圆 C: 与 BD 的交点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 AB ? m, CD ? n, OE ? d 试求

m?n 的最大值. d

⒚(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ?

ax ,且 f (1) ? 1 , f (?2) ? 4 . x?b

(1)求 a 、 b 的值; (2)已知定点 A(1,0) ,设点 P( x, y ) 是函数 y ? f ( x)( x ? ?1) 图象上的任意一点,求 | AP | 的最小值,并求此时点 P 的坐标; (3)当 x ? [1, 2] 时,不等式 f ( x) ?

2m 恒成立,求实数 m 的取值范围. ( x ? 1) | x ? m |

⒛(本小题满分 16 分) 设数列 {an } ,对任意 n ? N 都有 (kn ? b)(a1 ? an ) ? p ? 2(a1 ? a2 ? ? an ) ,(其中 k 、
*

2

b 、 p 是常数)。 (1)当 k ? 0 , b ? 3 , p ? ?4 时,求 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ; (2)当 k ? 1 , b ? 0 , p ? 0 时,若 a3 ? 3 , a9 ? 15 ,求数列 {an } 的通项公式;

(3)若数列 ? an ? 中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项,则称该数列是“封闭数列”. 当 k ? 1 , b ? 0 , p ? 0 时,设 S n 是数列 ? an ? 的前 n 项和, a2 ? a1 ? 2 ,试问:是否存在 这样的“封闭数列”

?an ? ,使得对任意 n ? N * ,都有 Sn

? 0 ,且

1 1 1 1 1 11 若存在, 求数列 ? an ? 的首项 a1 的所有取值; 若不存在, ? ? ? ??? ? . 12 S1 S2 S3 Sn 18
说明理由.

江苏省南菁高级中学 2013 届高三第二学期开学质量检 测

高三数学试卷 II (加试部分)
21. 学校餐厅每天供应 1000 名学生用餐, 每星期一有 A、 两样菜可供选择, B 调查资料表明, 凡是在本周星期一选 A 菜的,下周星期一会有 20%改选 B,而选 B 菜的,下周星期一则有 30%改选 A,若用 An、Bn 分别表示在第 n 个星期一选 A、B 菜的人数. (1)若 ?

? An ?1 ? ? An ? (2)求二阶矩阵 M 的逆矩阵. ? ? M ? B ? ,请你写出二阶矩阵 M; ? Bn ?1 ? ? n?

22. (本题满分 10 分) 若极坐标系的极轴与直角坐标系的 x 轴非负半轴重合, 单位长度相等, 已知曲线 C 的参数方 程为 ?

? x ? sin ?
2

, ? ? [0, 2? ) ,曲线 D 的极坐标方程为 ? sin(? ? ) ? ? 2 . 4 ? y ? cos ?

?

(1)将曲线 C 的参数方程化为普通方程; (2)曲线 C 与曲线 D 有无公共点?试说明理由.

23. (本题满分 10 分) 如图,已知三棱柱 ABC—A1B1C1 的侧棱与底面垂直,AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,

M、N 分别是 CC1、BC 的中点,点 P 在直线 A1B1 上,且满足 A1 P ? ? A1 B1 ? ? ? R ? . (1)证明:PN⊥AM; (2)若平面 PMN 与平面 ABC 所成的角为 45° ,试确定点 P 的位置.

????

???? ?

3

24. (本题满分 10 分)

2 设数列 ? an ? 满足 a1 ? a, an ?1 ? an ? a1 , M ? ?a ? R n ? N*,| an | ≤ 2? .

(1)当 a ? (??, ?2) 时,求证: a? M; (2)当 a ? (0, ] 时,求证: a ? M ; (3)当 a ? ( , ??) 时,判断元素 a 与集合 M 的关系,并证明你的结论.

1 4

1 4

一填空题: ⒈ ?? ?,1? ⒍?

⒉ π 3

? x∈R,使 x2+1<x; ⒊ 1006+1007i ⒋ 必要不充分条件

⒌ 3

1 3



2 ⒏ 3 ⒐ - 5 ⒑ 16 ⒒ 0 ⒓ 1 ? 3 3 ? a ? 1 ? 3 3 二解答题: π ⒖解:1)因为 A,B,C 成等差数列,所以 B=3.



1

⒕ [? 3, 3 )

3 3 1 3 →→ ∵AB· =-2,∴accos(π-B)=-2,∴2ac=2,即 ac=3. BC ∵b= 3,b2=a2+c2-2accosB,∴a2+c2-ac=3,即(a+c)2-3ac=3. ∴(a+c)2=12,所以 a+c=2 3. ???????7 分 2π 3 1 (2)2sinA-sinC=2sin( 3 -C)-sinC=2( 2 cosC+2sinC)-sinC= 3cosC. 2π 3 ∵0<C< 3 ,∴ 3cosC∈(- 2 , 3). 3 ∴2sinA-sinC 的取值范围是(- 2 , 3). ??????????14 分 ⒗(Ⅰ)因为平面 ACC1 A1 为平行四边行, E为AC1的中点 , 所以 A, E , C1 共线, ??2 分

D为AB的中点? ???????????????4 分 ? ? DE ? BC1 , E为AC1的中点? DE ? BC1 ? ? 又 BC1 ? 平面BCC1 B1 ? ? DE ? 平面BCC1B1 . ??????????6 分 ? DE ? 平面BCC1 B1 ?

4

(Ⅱ)因为 ?ABC 是边长这 a 的正三角形,所以 AO ? 又 A1O ? 底面 ABC ,所以 A1O ? AO , 又 AA1 ?

3 a. 2

???????????????8 分

6 3 a ,所以 A1O ? a. 2 2 OF ? AA1 ? 又 F 为 AA1 的中点,所以 ? ? OF ? BB1 . ????????????10 分 BB1 ? AA1 ?
BC ? AO ? ? ? BC ? 平面 AOA1 ? BC ? OF , ????????????12 分 BC ? A1O ? 所以 OF ? 平面 BB1C1C . ?????????????????14 分
又 ⒘解: (1)设比例系数为 k (k ? 0) .由题知,有 3 ? x ? 又 t ? 0 时, x ? 1 ,所以 3 ? 1 ? 所以 x 与 t 的关系是 x ? 3 ?

k . t ?1

k ,k ? 2. 0 ?1

2 (t ? 0) .…………4 分 t ?1

(2)依据题意,可知工厂生产 x 万件纪念品的生产成本为 (3 ? 32 x) 万元,促销费用为 t 万

t ? ? 3 ? 32 x 元,则每件纪念品的定价为: ? ? 150% ? ? 元/件.于是, 2x ? ? x t ? ? 3 ? 32 x , 进 一 步 化 简 , 得 y ? x?? ? 150% ? ? ? ? 3 ? 32 x ? ? t 2x ? ? x

y?

99 32 t ? ? (t ? 0) . 2 t ?1 2 99 32 t ? ? (t ? 0) 万元.…8 分 2 t ?1 2

因此,工厂 2010 年的年利润 y ? (3)由(2)知, y ?

99 32 t ? ? (t ? 0) 2 t ?1 2
32 t ? 1 ? 32 t ? 1 ? ? 50 ? ? ? ? ? 42 , ? ? 50 ? 2 2 ? t ?1 2 ? t ?1

t ? 1 32 ,即 t ? 7 时,取等号, ? 2 t ?1 所以,当 2010 年的促销费用投入 7 万元时,工厂的年利润最大,最大利润为 42 万 元.…………14 分
当且仅当

? 27 1 ? 4a 2 ? b 2 ? 1, ? ⒙(Ⅰ)由题意得 ? ????????????3 分 ? 1 ? 32 ? 1, ? a 2 9b 2 ? 2 2 解得 a ? 9, b ? 4 . ????????????6 分 (Ⅱ)根据对称性可知点 E 在 x 轴上,则 E 点的坐标为 (d , 0) , ???????7 分

5

2 2 2 y 设 BD 的方程为 x ? ky ? d ,由 ? x 得 (9 ? 4k ) y ? 8dky ? 4d ? 36 ? 0 ?9 分 ? ? 1,

? x ? ky ? d , ? 2 2 ?9 ? 4

设 B( x1 , y1 ), D( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ? ?

8dk , 9 ? 4k 2
??????????????11 分 ?????????13 分 ?????????????14 分

16dk , 9 ? 4k 2 m?n 16k 16k 4 从而 ? ? ? , 2 d 9 ? 4k 12k 2 3 3 等号当且仅当 k ? 取得. 2 m ? n ? ?2 y1 ? 2 y2 ?
⒚ 解 :( 1 ) 由 ?

? ?

f( 1 ) ? f (? 2? )

1

, 得 ?

? ?

a ? b ?1 ?2a ? b ? 2

4



解 得 :

? a?2 . ????????????3 分 ? ? b ?1 2x x 2 2 2 2 2 (2)由(1) f ( x) ? ,所以 | AP | ? ( x ? 1) ? y ? ( x ? 1) ? 4( ) , x ?1 x ?1 12 2 4 2 2 2 令 x ?1 ? t , t ? 0 ,则 | AP | ? (t ? 2) ? 4(1 ? ) ? t ? 2 ? 4(t ? ) ? 8 t t t 2 2 2 ? (t ? )2 ? 4(t ? ) ? 4 ? (t ? ? 2) 2 ???????????6 分 t t t 2 因为 x ? ?1 ,所以 t ? 0 ,所以,当 t ? ? ?2 2 , t 2 2 所以 | AP | ? (?2 2 ? 2) ,即 AP 的最小值是 2 2 ? 2 ,此时 t ? ? 2 , x ? ? 2 ? 1
点 P 的坐标是 (? 2 ? 1, 2 ? 2) 。?????????????9 分 (3) 问题即为

2x 2m m 对 x ? [1, 2] 恒成立, 也就是 x ? 对 x ? [1, 2] 恒 ? x ? 1 ( x ? 1) | x ? m | | x?m|

成立,???10 分 要使问题有意义, 0 ? m ? 1 或 m ? 2 . 法一:在 0 ? m ? 1 或 m ? 2 下,问题化为 | x ? m |? 即m? 立,

m 对 x ? [1, 2] 恒成立, x

m m ? x ? ? m 对 x ? [1, 2] 恒成立,即 mx ? m ? x 2 ? mx ? m 对 x ? [1, 2] 恒成 x x

1 ? m ?1或 m ? 2 , 2 x2 x2 ②当 x ? 1 时, m ? 且m ? 对 x ? (1, 2] 恒成立, x ?1 x ?1 x2 x2 ) max , 对于 m ? 对 x ? (1, 2] 恒成立,等价于 m ? ( x ?1 x ?1 令 t ? x ? 1, x ? (1, 2] ,则 x ? t ? 1 , t ? (2,3] ,
①当 x ? 1 时,

6

x2 (t ? 1) 2 1 ? ? t ? ? 2 , t ? (2,3] 递增, x ?1 t t 2 x 4 4 ?( )max ? , m ? ,结合 0 ? m ? 1 或 m ? 2 ,? m ? 2 x ?1 3 3 2 x x2 对于 m ? 对 x ? (1, 2] 恒成立,等价于 m ? ( )min x ?1 x ?1 令 t ? x ? 1 , x ? (1, 2] ,则 x ? t ? 1, t ? (0,1] , x2 (t ? 1)2 1 ? ? t ? ? 2 , t ? (0,1] 递减, x ?1 t t 2 x ?( ) min ? 4 ,? m ? 4 ,? 0 ? m ? 1或2 ? m ? 4 , x ?1 综上: 2 ? m ? 4 ?????????????16 分
法二: 故问题转化为 x | x ? m |? m 对 x ? [1, 2] 恒成立, 令 g ( x) ? x | x ? m | ①若 0 ? m ? 1 时,由于 x ? [1, 2] ,故 g ( x) ? x( x ? m) ? x ? mx ,
2

4 ,舍去; 3 m 2 m2 ②若 m ? 2 ,由于 x ? [1, 2] ,故 g ( x) ? x(m ? x) ? ?( x ? ) ? , 2 4 m 考虑到 ? 1 ,再分两种情形: 2 m m2 m (ⅰ) 1 ? ? 2 ,即 2 ? m ? 4 , g ( x) 的最大值是 g ( ) ? , 2 4 2 m2 ? m ,即 m ? 4 ,? 2 ? m ? 4 ; 依题意 4 m (ⅱ) ? 2 ,即 m ? 4 , g ( x) 在 x ? [1, 2] 时单调递增, 2 故 g (2) ? m , ? 2(m ? 2) ? m , ? m ? 4 , 舍 去 。 综 上 可 得 , 2 ? m ? 4 ??????????16 分
g ( x) 在 x ? [1, 2] 时单调递增,依题意 g (2) ? m , m ?

⒛解: (1)当 k ? 0 , b ? 3 , p ? ?4 时,

3(a1 ? an ) ? 4 ? 2(a1 ? a2 ? ? an ) ,



用 n ? 1 去代 n 得, 3(a1 ? an?1 ) ? 4 ? 2(a1 ? a2 ? ? an ? an?1 ) , ② ②-①得, 3(an ?1 ? an ) ? 2an ?1 , an ?1 ? 3an ,?????????????2 分 在①中令 n ? 1得, a1 ? 1 ,则 an ? 0,∴

an ?1 ? 3, an

∴数列 {an } 是以首项为 1,公比为 3 的等比数列,

7

3n ? 1 。?????????????4 分 2 (2)当 k ? 1 , b ? 0 , p ? 0 时, n(a1 ? an ) ? 2(a1 ? a2 ? ? an ) , 用 n ? 1 去代 n 得, (n ? 1)(a1 ? an ?1 ) ? 2(a1 ? a2 ? ? an ? an ?1 ) ,
∴ a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an = ④-③得, ⑥ -

③ ④

(n ? 1)an?1 ? nan ? a1 ? 0 ,
⑤ 得 ,

⑤?????????????6 分 , 即

用 n ? 1 去代 n 得, nan ? 2 ? (n ? 1)an ?1 ? a1 ? 0 , ⑥

nan? 2 ? 2nan?1 ? nan ? 0

an? 2 ?

? an?1 ?

an?1 an ,?????????????8 分

∴数列 {an } 是等差数列。 ∵

a3 ? 3



a9 ? 15









d?

an ? 2n ? 3 。?????????????10 分
又 ? an ? 是“封闭数列” ,得:对任意 m, n ? N ,必存在 p ? N 使
? ?

a9 ? a3 ?2 9?3





(3)由(2)知数列 {an } 是等差数列,∵ a2 ? a1 ? 2 ,∴ an ? a1 ? 2(n ? 1) 。

a1 ? 2(n ? 1) ? a1 ? 2(m ? 1) ? a1 ? 2( p ? 1) ,
得 a1 ? 2( p ? m ? n ? 1) ,故 a1 是偶数,?????????????12 分

1 1 11 18 ? ? ,故 ? a1 ? 12 。 12 S1 18 11 18 ( 1 一方面,当 ? a1 ? 12 时 , Sn ? n n? 1 a ? )? 0 , 对 任 意 n ? N * , 都 有 11 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? 。 S1 S 2 S 3 Sn S 1 12 1 1 1 ? ? 另一方面,当 a1 ? 2 时, Sn ? n(n ? 1) , , Sn n n ? 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? 1? 则 , S1 S2 S3 Sn n ?1 1 1 1 2 11 ? ? 1 ? ? ? ,不合题意。?????????????14 取 n ? 2 ,则 S1 S2 3 3 18
又由已知, 分

1 1 1 1 ? ( ? ) ,则 Sn 3 n n ? 3 1 1 1 1 11 1 1 1 1 11 ? ? ??? ? ? ( ? ? )? , S1 S2 S3 Sn 18 3 n ? 1 n ? 2 n ? 3 18 1 1 1 1 ? ( ? ), 当 a1 ? 6 时, Sn ? n(n ? a1 ? 1) ? n(n ? 3) , Sn 3 n n ? 3 1 1 1 1 11 1 1 1 1 11 ? ? ??? ? ? ( ? ? )? , S1 S2 S3 Sn 18 3 n ? 1 n ? 2 n ? 3 18 18 a1 ? 4 a1 ? 6 又 , ∴ 或 ? a1 ? 12 11 a1 ? 10 。?????????????16 分
当 a1 ? 4 时, Sn ? n(n ? 3) ,



a1 ? 8



8

附加题:

?4 3 ? ? 5 , 10 ? 21. 解: (1) M ? ? ? ;????????????????????4 分 ?1 , 7 ? ? 5 10 ? ? ? ?4 3 ? ? 5 , 10 ? x, y ? ? (2)设矩阵 M 的逆矩阵为 ? ? ,则由 ? 1 7 ? ? w, v ? ? , ? ? 5 10 ? ? ? 3 ?4 ? 5 x ? 10 w ? 1 x, y ? ?1,0 ? ? ? , ? w, v ? = ?0,1? 得: ? 1 ? ? ? ? ? x? 7 w?0 ?5 10 ?

3 7 3 ?4 ? ? ? 5 y ? 10 v ? 0 ?x ? 5 ?y ? ? 5 ? ? ? ,解之得: ? ,? ????????????????10 ? ?1 y ? 7 v ? 1 ?w ? ? 2 ?v ? 8 ?5 ? 10 5 ? 5 . ? ? ?


22. 解: (1)由 ?

? x ? sin ? ? y ? cos ?
2

, ? ? [0, 2? ) 得 x 2 ? y ? 1, x ?[?1,1]

??4 分

(2)由 ? sin(? ?

?
4

) ? ? 2 得曲线 D 的普通方程为 x ? y ? 2 ? 0 ??6 分

?x ? y ? 2 ? 0 2 得 x ? x ?3 ? 0 ? 2 x ? y ?1 ?
解得 x ?

??8 分

1 ? 14 ? [?1,1] ,故曲线 C 与曲线 D 无公共点 2

??10 分

23. 解: (1)证明:如图,以 AB,AC,AA1 分别为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系 A -xyz. 1 1 1 则 P(λ,0,1),N( , ,0),M(0,1, ),…………………2 分 2 2 2 ???? 1 ???? ???? ? 1 ???? ? 1 1 1 1 从而 PN =( -λ, ,-1), AM =(0,1, ), PN ? AM =( -λ)× 0+ × 1-1× =0, 2 2 2 2 2 2 所以 PN⊥AM.…………………3 分 (2)平面 ABC 的一个法向量为 n= AA1 =(0, 0, 1). 设平面 PMN 的一个法向量为 m=(x,y,z), ???? 1 由(1)得 MP =(λ,-1, ). 2

????

9

1 1 ? ?m ? NP ? 0, ?(? ? 2 ) x ? 2 y ? z ? 0, ? ? 得? 由? ………………5 分 ?m ? MP ? 0, ??x ? y ? 1 z ? 0. ? ? 2 ? 2? ? 1 ? ? y ? 3 x, ? 令x ? 3, 得m ? (3,2? ? 1,2(1 ? ? )) .……………7 分 解得 ? ? z ? 2(1 ? ? ) x. ? 3 ?
∵平面 PMN 与平面 ABC 所成的二面角为 45° , |2(1-λ)| m· n 2 ∴|cos<m,n>|=| |= 2 2= 2 , |m|· |n| 9+(2λ+1) +4(1-λ) 1 解得 λ=- .…………………9 分 2 1 故点 P 在 B1A1 的延长线上,且|A1P|= .…………………10 分 2 24. 证明: 如果 a ? ?2 , a1 ?| a |? 2 ,a ? M . ??????????????? (1) 则 2分
1 1 (2) 当 0 ? a ≤ 时, an ≤ ( ?n ≥1 ) . 4 2 1 事实上, 〔1〕当 n ? 1 时, a1 ? a ≤ . 2 设 n ? k ? 1 时成立( k ≥ 2 为某整数) ,
2 ?1? 1 1 则〔2〕对 n ? k , ak ≤ ak ?1 ? a ≤ ? ? ? ? . ?2? 4 2 2

由归纳假设,对任意 n∈N ,|an|≤ (3) 当 a ?
1 时, a ? M .证明如下: 4

*

1 <2,所以 a∈M.…??6 分 2

对于任意 n≥1 , an ? a ?

1 2 ,且 an ?1 ? an ? a . 4

1 1 1 2 对 于 任 意 n≥1 , an?1 ? an ? an ? an ? a ? (an ? )2 ? a ? ≥ a ? , 2 4 4 an ?1 ? an ≥ a ? 1 . 4



1 所以, an ?1 ? a ? an ?1 ? a1 ≥ n(a ? ) . 4

当n?

2?a 1 时, n ?1 ≥ n(a ? ) ? a ? 2 ? a ? a ? 2 , an?1 ? 2 , 即 因此 a ? M . ??? a 1 4 a? 4

10 分

10

11


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