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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修5【配套备课资源】1.2(一)


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§1.2(一)

学习要求 1.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离的测量问题.
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2.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关高度的测量问题. 3.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关角度的测量问题.

§1.2(一)

>
学法指导 1.在我们将所求距离或方向的问题转化为一个求三角形的边和 角的问题时,我们选择的三角形往往条件不够,这时需要我
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们寻找其他的三角形作为我们解这个三角形的支持,为我们 解这个三角形提供必要的条件. 2.在测量某物体高度的问题中,很多被测量的物体是一个立体 的图形,而在测量过程中,我们测量的角度也不一定在同一 垂面内,因此还需要我们有一定的空间想象能力,关键是画 出图形,把已知量和未知量归结到三角形中来求解.

填一填·知识要点、记下疑难点

§1.2(一)

1.基线的定义:在测量上,我们根据测量需要适当确定的线
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段叫做基线.一般来说,基线越长,测量的精确度越高. 2.方位角:指从正北方向线按顺时针方向旋 转到目标方向线所成的水平角.如图中的A 点的方位角为α.

填一填·知识要点、记下疑难点

§1.2(一)

3.仰角和俯角:与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和

上 目标视线的夹角,目标视线在水平线____方时叫仰角,目
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下 标视线在水平线____方时叫俯角.(如图所示)

填一填·知识要点、记下疑难点

§1.2(一)

4.如图,在河岸AC测量河的宽度BC,测量下列四组数据, 较适宜的是 ( D )

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A.a,c,α C.c,a,β

B.b,c,α D.b,α,β

解析 由α、β、b,可利用正弦定理求出BC.

研一研·问题探究、课堂更高效

§1.2(一)

[问题情境]
本 课 代,天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距 时 离,是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢? 栏 目 开 2.现实生活中,人们经常遇到测量不可到达点之间的距离、 关

1.“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢?”.在古

底部不可到达建筑物的高度,以及在航海中航向的确 定.这些问题究竟怎样解决?

恰当利用我们所学过的正弦定理、余弦定理就可以解决上 述问题,这节课我们就来探究上述问题.

研一研·问题探究、课堂更高效
探究点一 问题 探究
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§1.2(一)

测量不可达距离的方法

测量不可达距离有哪些基本类型?每种类型的解决方案 表中是测量距离的基本类型及方案,请你根据所给图 两点间不可 达或不可视 两点间可视 但点不可达 两点都不可 达

是怎样的? 形,填写相应的结论: 类别

图形

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§1.2(一)

方 法

用余弦定理

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在△ACD 中用正弦定理求 AC 用正弦定理 在△BCD 中用正弦定理求 BC 在△ABC 中用余弦定理求 AB ①AC= asin∠ADC ; sin?∠ACD+∠ADC?

结 论

AB= a2+b2-2abcos C

AB= asin C sin?B+C?

asin∠BDC ②BC= ; sin?∠BCD+∠BDC?
③AB=

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探究点二 问题 探究 何测量?
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§1.2(一)

测量底部不可到达的建筑物的高度

底部不可到达的高度测量有哪些基本类型?每种类型如 下表是测量高度的基本类型及方案,请你根据所给图 点B与点C、D 点B与点C、D不共 共线 线

形,填写相应结论: 类别

图形

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§1.2(一)

先用正弦定理求出AC或 方法
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在△BCD中先用正弦定理 求出BC,在△ABC中 ∠ACB可知,即而求出AB

AD,再解直角三角形求 出AB

AB= 结论

a

AB=

asin∠BDC×tan∠ACB 1 1 - tan∠ACB tan∠ADB sin?∠BCD+∠BDC?

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典型例题

§1.2(一)

例1 为了测量两山顶M、N间的距离,飞机沿水平方向在A、B 两点进行测量,A、B、M、N在同一铅垂平面内.飞机已经测 量的数据有A点到M、N点的俯角α1、β1;B点到M、N点的俯角
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α2、β2;A、B的距离d(如图所示).

甲乙两位同学各自给出了计算MN的两种方案,请你补充完整.

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§1.2(一)

dsin α2 sin?α1+α2? 甲方案:第一步:计算AM.由正弦定理AM=___________;
dsin β2 sin?β2-β1? 第二步:计算AN.由正弦定理AN=___________;
第三步:计算MN.由余弦定理
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AM2+AN2-2AM×ANcos?α1-β1? MN=_________________________________.
乙方案:第一步:计算BM.

dsin α1 sin?α1+α2? 由正弦定理BM=___________;
第三步:计算MN.由余弦定理

dsin β1 sin?β2-β1? 第二步:计算BN.由正弦定理BN=___________;

BM2+BN2+2BM×BNcos?β2+α2? MN=_________________________________.

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§1.2(一)

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小结

测量两个不可到达的点之间的距离问题.首先把求不可

到达的两点A,B之间的距离转化为应用余弦定理求三角形的 边长问题,然后在相关三角形中计算其他边.

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§1.2(一)

跟踪训练1 在相距2千米的A、B两点处测量目标点C,若 ∠CAB=75° ,∠CBA=60° ,则A、C两点之间的距离为 6 千米.
解析
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如图所示,由题意知∠C=45° , AC 2 由正弦定理得sin 60° sin 45° = , 2 3 ∴AC= · = 6. 2 2 2

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例2 如图所示,在山顶铁塔上B处测得地面上一 点A的俯角为α,在塔底C处测得A处的俯角为β. 已知铁塔BC部分的高为h,求出山高CD.
解 在△ABC中,
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§1.2(一)

∠BCA=90° +β, ∠ABC=90° -α, ∠BAC=α-β,∠CAD=β. AC BC 根据正弦定理得 = , sin∠ABC sin∠BAC AC BC 即 = , sin?90° -α? sin?α-β?

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AC BC 根据正弦定理得 = , sin∠ABC sin∠BAC AC BC 即 = , sin?90° -α? sin?α-β?
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§1.2(一)

BCcos α hcos α ∴AC= = . sin?α-β? sin?α-β?
在Rt△ACD中,CD=ACsin∠CAD=ACsinβ hcos αsin β = . sin?α-β? hcos αsin β 答 山的高度为 . sin?α-β?

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§1.2(一)

小结
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在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时,通常都根

据题意,从实际问题中抽象出一个或几个三角形,然后通过解 这些三角形,得出实际问题的解.和高度有关的问题往往涉及 直角三角形的求解.

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跟踪训练2 如图所示,D、C、B三点在地面 同一直线上,DC=a,从C、D两点测得A 点的仰角分别是β、α(β<α).则A点离地面 asin αsin β B. cos?α-β? acos αcos β D. cos?α-β? h 解析 设AB=h,则AD= , sin α
CD AD 在△ACD中,∵∠CAD=α-β,∴ = . sin?α-β? sin β

§1.2(一)

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的高AB等于 asin αsin β A. sin?α-β? asin αcos β C. sin?α-β?

( A )

a h asin αsin β ∴ = ,∴h= . sin αsin β sin?α-β? sin?α-β?

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§1.2(一)

例3 某渔船在航行中不幸遇险,发出呼叫信号,我海军舰艇在A 处获悉后,立即测出该渔船在方位角为45° ,距离为10海里的C 处,并测得渔船正沿方位角为105° 的方向,以10海里/小时的速 度向小岛靠拢,我海军舰艇立即以10 3 海里/小时的速度前去营
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救,求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间.
解 如图所示,设所需时间为t小时,则AB= 10 3t,CB=10t,在△ABC中,根据余弦定理, 则有 AB2=AC2+BC2-2AC· BCcos120° , 可得(10 3t)2=102+(10t)2-2×10×10tcos120° ,

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整理得2t2-t-1=0, 1 解得t=1或t=- (舍去). 2
即舰艇需1小时靠近渔船,此时AB=10 3,BC=10,
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§1.2(一)

在△ABC中,由正弦定理得 BC AB =sin 120° , sin∠CAB 3 10× BCsin 120° 2 1 所以sin∠CAB= = = , AB 10 3 2
所以∠CAB=30° , 所以舰艇航行的方位角为75° .
小结 航海问题是解三角形应用问题中的一类很重要的问题,解决这类 问题一定要搞清方位角,再就是选择好不动点,然后根据条件,画出示 意图,转化为三角形问题.

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§1.2(一)

跟踪训练 3 甲船在 A 处观察到乙船在它的北偏东 60° 方向的 B 处,两 船相距 a n mile, 乙船向正北方向行驶. 若甲船的速度是乙船速度的 3 倍, 问甲船应沿什么方向前进才能最快追上乙船?相遇时乙船行驶多
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少 n mile?

解 理得

如图所示,设两船在 C 处相遇,并设∠CAB=θ,

乙船行驶距离 BC 为 x n mile,则 AC= 3x,由正弦定 BC· 120° 1 sin sinθ= = ,而 θ<60° , AC 2

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§1.2(一)

∴θ=30° ,即∠ACB=30° ,AB=BC=a,
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AB· θ sin 从而BC= =a(nmile). sin∠ACB
答 甲船应沿北偏东 30° 方向前进才能最快追上乙船,两船相遇时 乙船行驶了 a n mile.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

§1.2(一)

1.如图所示,设 A、B 两点在河的两岸,一测量 者在 A 的同侧, A 所在的河岸边选定一点 C, 在
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测出 AC 的距离为 50 m,∠ACB=45° ,∠CAB =105° 后,就可以计算 A、B 两点的距离为( A.50 2 m C.25 2 m B.50 3 m 25 2 D. m 2 )

解析 由题意知∠ABC=30° ,

练一练·当堂检测、目标达成落实处
AC AB 由正弦定理 = , sin∠ABC sin∠ACB 2 AC· sin∠ACB 50× 2 ∴AB= = =50 2(m ). 1 sin∠ABC 2 答案 A

§1.2(一)

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练一练·当堂检测、目标达成落实处

§1.2(一)

2.从高出海平面h米的小岛看正东方向有一只船俯角为 30° ,看正南方向有一只船俯角为45° ,则此时两船间的 距离为
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( A ) B. 2h米 D.2 2h米

A.2h米 C. 3h米

解析 如图所示, BC= 3h,AC=h,∴AB= 3h2+h2= 2h(米).

练一练·当堂检测、目标达成落实处
3.如图所示,为了测定河的宽度,在一岸边选定 两点A、B,望对岸标记物C,测得∠CAB= 30° ,∠CBA=75° ,AB=120m,则河的宽度
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§1.2(一)





解析 在△ABC中,∠CAB=30° ,∠CBA=75° , ∴∠ACB=75° .∠ACB=∠ABC. ∴AC=AB=120(m).

练一练·当堂检测、目标达成落实处
如图,作CD⊥AB,垂足为D,则CD即为河的宽 度. AC CD 由正弦定理得 = , sin∠ADC sin∠CAD
本 120 CD 课 ∴ = ,∴CD=60(m) sin 90° sin 30° 时 栏 目 ∴河的宽度为60 m. 开 关 答案 60 m

§1.2(一)

§1.2(一)

1.测量距离问题:这类问题的情境一般属于“测量有障碍物 相隔的两点间的距离”.在测量过程中,要根据实际需要
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选取合适的基线长度,测量工具要有较高的精确度. 2.测量底部不可到达的建筑物的高度问题.由于底部不可到 达,这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决,但常 用正弦定理和余弦定理,计算出建筑物顶部到一个可到达 的点之间的距离,然后转化为解直角三角形的问题. 3.测量角度就是在三角形内利用正弦定理和余弦定理求角的 正弦值或余弦值,再根据需要求出所求的角.


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