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2016-2017学年北京市海淀区初三第一学期期末数学试题及答案


海淀区九年级第一学期期末练习 数
一、选择题(本题共 30 分,每小题 3 分) 下面各题均有四个选项,其中只有一个 是符合题意的.请将正确选项填涂在答题卡相应的位置. .. 1.抛物线 y ? ( x ? 1) ? 3 的顶点坐标是
2



2017.1

A.(1,3)

B.( ?1,3)

C.( ?1, ?3 )

D.(1, ?3 )

2.如图,在△ABC 中,D 为 AB 中点,DE∥BC 交 AC 于 E 点,则△ADE 与△ABC 的面积比为 A.1:1 C.1:3 3.方程 x ? x ? 0 的解是
2

B.1:2 D.1:4
D

A

E

A. x ? 0 C. x1 ? 0, x2 ? 1

B. x ? 1 D. x1 ? 0, x2 ? ?1

B

C

4.如图,在△ABC 中,∠A=90° .若 AB=8,AC=6,则 cosC 的值为 A. C.

3 5 3

B. D.

4 5 4

C

4

3

A

B

5.下列各点中,抛物线 y ? x2 ? 4x ? 4 经过的点是
A.(0,4) B.(1, ?7 ) C.( ?1 , ?1 ) D.(2,8)
A

6.如图, ? O 是△ABC 的外接圆, ?OCB ? 40? ,则 ?A 的大小为 A. 40? C. 80? B. 50? D. 100?
B O

C

7.一个扇形的圆心角是 120° ,面积为 3πcm ,那么这个扇形的半径是 A. 1cm B. 3cm C. 6cm D. 9cm

2

8.反比例函数 y ? A. y1 ? y2

3 x

的图象经过点( ?1, y1 ) , (2, y2 ) ,则下列关系正确的是 B. y1 ? y2 C. y1 ? y2 D.不能确定

9.抛物线 y ? ? x ? 1? ? t 与 x 轴的两个交点之间的距离为 4,则 t 的值是
2

A. ?1

B. ?2

C. ?3

D. ?4

10.当温度不变时,气球内气体的气压 P(单位:kPa)是气体体积 V(单位:m3)的函数,下表记录了一
九年级数学试题第 1 页 / 共 12 页

组实验数据: V(单位:m3) P(单位:kPa) P 与 V 的函数关系可能是 A. P ? 96V C. P ? 16V ? 96V ? 176
2

1 96

1.5 64

2 48

2.5 38.4

3 32

B. P ? ?16V ? 112 D. P ?
96 V
A' A y
5 4 3 2 1 1 2 3

二、填空题(本题共 18 分,每小题 3 分)
11.已知 ?A 为锐角,若 sin A ?

2 2

,则 ?A 的大小为

度. .

B

12.请写出一个图象在二,四象限的反比例函数的表达式

–4 –3 –2 –1 O –1

x

13.如图,比例规是一种画图工具,它由长度相等的两脚 AD 和 BC 交叉构成,利用它可以把线段按一定 的比例伸长或缩短.如果把比例规的两脚合上,使螺丝钉固定在刻度 3 的地方(即同时使 OA=3OD, OB=3OC) ,然后张开两脚,使 A,B 两个尖端分别在线段 l 的两个端点上,若 CD ? 3.2 cm,则 AB 的 长为 cm. 14.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,以原点为位似中心,线段 AB 与线段 A?B ? 是位似图形,若 A( ?1, 2),B( ?1,0), A? ( ?2 ,4),则 B? 的坐标为 .
2

2 15.若关于 x 的方程 x ? mx ? m ? 0 有两个相等实根,则代数式 2m ? 8m ? 1 的值为



16.下面是“用三角板画圆的切线”的画图过程. 如图 1,已知圆上一点 A,画过 A 点的圆的切线.

B

B

C A
图1 图2

A
图3

A

D

画法: (1)如图 2,将三角板的直角顶点放在圆上任一点 C(与点 A 不重合)处, 使其一直角边经过点 A,另一条直角边与圆交于 B 点,连接 AB; (2)如图 3,将三角板的直角顶点与点 A 重合,使一条直角边经过点 B, 画出另一条直角边所在的直线 AD. 所以直线 AD 就是过点 A 的圆的切线. 请回答:该画图的依据是______________________________________________________.

九年级数学试题第 2 页 / 共 12 页

三、解答题(本题共 72 分,第 17~26 题,每小题 5 分,第 27 题 7 分,第 28 题 7 分,第 29 题 8 分) C
?( π ? 3) ? ? 3 . 17.计算: ( 2)2 ? 2sin 30 °
0

E

18.如图,在△ABC 中,∠C=90° ,E 是 BC 上一点,ED⊥AB,垂足为 D. 求证:△ABC∽△EBD.
2

A

D

B

1) 和 (1, ? 2) 两点,求此二次函数的表达式. 19.若二次函数 y ? x ? bx ? c 的图象经过点 (0,
20.已知蓄电池的电压 U 为定值,使用蓄电池时,电流 I(单位:A)与电阻 R(单位:Ω)是反比例函数 关系,它的图象如图所示. (1)求这个反比例函数的表达式; (2)如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过 10A,那么用电器的可变电阻 R 应控制在 什么范围?请根据图象,直接写出结果 21.已知矩形的一边长为 x,且相邻两边长的和为 10. (1)求矩形面积 S 与边长 x 的函数关系式,并写出自变量的取值范围; (2)求矩形面积 S 的最大值.
4 O 9 R/Ω



I/A

22.如图,热气球探测器显示,从热气球 A 处看一栋楼顶部 B 处的仰角为 30° ,看这栋楼底部 C 处的俯角 为 60° ,热气球与楼的水平距离 AD 为 100 米,试求这栋楼的高度 BC. 23.在矩形 ABCD 中,AB=3,BC=6,P 为 BC 边上一点,△APD 为等腰三角形. (1)小明画出了一个满足条件的△APD,其中 PA=PD,如图 1 所示,则 tan ?BAP 的值 为 ; (2)请你在图 2 中再画出一个满足条件的△APD(与小明的不同) ,并求此时 tan ?BAP 的值.

图1 24.如图,直线 y ? ax ? 4(a ? 0) 与双曲线 y ? (1)求 k 与 a 的 值; (2)若直线 y ? ax +b(a ? 0) 与双曲线 y ?



k 只有一个公共点 A(1, ?2 ). x k 有两个公共点,请直接写出 b 的取值范围. x
y

F N M

A

1

x

九年级数学试题第 3 页 / 共 12 页 O

O
2

C

E B

D

A

25.如图,AB 是⊙O 的直径,弦 CD⊥AB 于点 E,AM 是△ACD 的外角∠DAF 的平分线. (1)求证:AM 是⊙O 的切线; (2)若∠D = 60° ,AD = 2,射线 CO 与 AM 交于 N 点,请写出求 ON 长的思路. 26.有这样一个问题:探究函数 y ? (1)先从简单情况开始探究: ① 当函数为 y ? ② 当函数为 y ? (2)当函数为 y ?

1 2

( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3) ? x 的性质.

1 2 1 2

( x ? 1) ? x 时, y 随 x 增大而

(填“增大”或“减小” ) ; ;

( x ? 1)( x ? 2) ? x 时,它的图象与直线 y ? x 的交点坐标为

1 2

( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3) ? x 时,

下表为其 y 与 x 的几组对应值. x y ? ?

? ?

1

2 113 16

0

1 1

3 2 27 16

2 2

5 2 37 16

3 3

4 7

9 2 177 16

? ?

?3

①如图,在平面直角坐标系 xOy 中,描出了上表中各对对应值为坐标的点,请根据描出的点,画 出该函数的图象; ②根据画出的函数图象,写出该函数的一条性质:

y
11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 –1O



27.在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y ? mx2 ? 4mx ? 4m ? 3 的顶点为 A.
(1)求点 A 的坐标;

(2)将线段 OA 沿 x 轴向右平移 2 个单位得到线段 O?A? . ①直接写出点 O? 和 A? 的坐标;
2

–1 ②若抛物线 y ? mx ? 4mx ? 4m ? 3 与四边形 AOO?A? 有且只有两个公共点,结合函数的图象,

1 2 3 4 5 6 7

x

求 m 的取值范围.

–2 –3 –4 –5 –6 –7

九年级数学试题第 4 页 / 共 12 页

28.在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=α,点 P 是△ABC 内一点,且 ?PAC ? ?PCA ? PA,PB,PC 满足的等量关系.
A P' P P B C A

?
2

.连接 PB,试探究

图1

B

图2

C

(1) 当 α=60° 时, 将△ABP 绕点 A 逆时针旋转 60° 得到 △ ACP ? , 连接 PP ? , 如图 1 所示. 由 △ ABP ≌ △ ACP ? 可以证得 △ APP ' 是等边三角形,再由 ?PAC ? ?PCA ? 30? 可得∠APC 的大小为
△ CPP ? 是直角三角形,这样可以得到 PA,PB,PC 满足的等量关系为

度,进而得到



(2)如图 2,当 α=120° 时,请参考(1)中的方法,探究 PA,PB,PC 满足的等量关系,并给出证明; (3)PA,PB,PC 满足的等量关系为 29 . 定 义 : 点 P 为 △ABC . 内 部 或 边 上 的 点 , 若 满 足 △PAB , △PBC ,

△PAC 至少有一个三角形与△ABC 相似(点 P 不与△ABC 顶点重合) ,则称点 P 为△ABC 的自相似点. 例如:如图 1,点 P 在△ABC 的内部,∠PBC=∠A,∠PCB=∠ABC,则△BCP∽ △ABC,故点 P 为△ABC 的自相似点. 在平面直角坐标系 xOy 中,
A

3 1 3 3 (1) 点 A 坐标为( 2 ,2 3 ), AB⊥x 轴于 B 点, 在 E(2, 1), F( , ), G( , ), 2 2 2 2
这三个点中,其中是△AOB 的自相似点的是 (2)若点 M 是曲线 C: y ? 个动点; (填字母) ;
B

P

图1

C

k x

( k ? 0 , x ? 0 )上的一个动点,N 为 x 轴正半轴上一

① 如图 2, k ? 3 3 ,M 点横坐标为 3,且 NM = NO,若点 P 是△MON 的自相似点,求点 P 的坐标; ② 若 k ? 1 ,点 N 为(2,0),且△MON 的自相似点有 2 个,则曲线 C 上满足这样 条件的点 M 共有 的画图痕迹) . 个,请在图 3 中画出这些点(保留必要
y 6 5 4
4 3 2 1

y 图2
5

3 2 1 O 1 2 3 4 5 6 x

九年级数学试题第 5 页 / 共 12 页

O

1

2

N

3

4

5

x

图3

海淀区九年级第一学期期末练习 数 学 答 案
一、选择题(本题共 30 分,每小题 3 分) 题号 答案 1 A 2 D 3 C 4 A 5 B 6 B 7 B 8 A 9 D 10 D 2017.1

二、填空题(本题共 18 分,每小题 3 分) 11.45; 14. ( ?2 ,0) ; 12. y ? ? (答案不唯一) ;
x 1

13. 9.6 ;

15.1;

16.90°的圆周角所对的弦是直径,经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 三、解答题(本题共 72 分,第 17~26 题,每小题 5 分,第 27 题 7 分,第 28 题 7 分,第 29 题 8 分) 17.解:原式= 2 ? 2 ? ? 1 ? 3 , -------------------------------------------------------------------------------4 分
2 1

= 3 . ---------------------------------------------------------------------------------------------5 分 18.证明:∵ED⊥AB, ∴∠EDB=90°. ∵∠C=90°, ∵∠B=∠B, ∴∠EDB=∠C. -------------------------------------------1 分 ------------------------------------------3 分 ---------------------------------------------4 分 ----------------------------------5 分 -----------------------------------------------2 分

∴ △ABC ∽ △ EBD .

19.解:∵二次函数 y ? x2 ? bx ? c 的图象经过(0,1)和(1, ?2 )两点,

?1 ? c, ∴? ---------------------------------------------------------------2 分 ??2 ? 1 ? b ? c. ?b ? ?4, 解得 ? -----------------------------------------------------------------4 分 ?c ? 1.
∴二次函数的表达式为 y ? x2 ? 4 x ? 1. ---------------------------------5 分

九年级数学试题第 6 页 / 共 12 页

20. (1)解:设反比例函数的表达式为 I ? 由图象可知函数 I ? ∴4 ?
U 9

U ?U ? 0 ? , R

U , ?U ? 0 ? 的图象经过点(9,4) R



------------------------------------------------------------1 分

---------------------------------------------------------------2 分 36 ∴反比例函数的表达式为 I ? (R ? 0) . ----------------------------3 分 R (2) R ? 3.6 . (答 R ? 3.6 得 1 分,其它错误不得分) -------------------------------------5 分 21.解: (1) S ? x ?10 ? x ? , 其中 0 ? x ? 10 ; -------------------------------------------------------------2 分 ----------------------------------------------------3 分
2

∴ U ? 36 .

(2) S ? x ?10 ? x ? = ? ? x ? 5 ? ? 25 . ∴当 x ? 5 时, S 有最大值 25.

---------------------------------------4 分 ---------------------------------------5 分 ------------2 分

22.解:∵ ?ADB ? ?ADC ? 90 °, ?BAD ? 30 °, ?CAD ? 60 °,AD=100, ∴在 Rt △ ABD 中, BD ? AD ? tan ?BAD ?
100 3 , 3

--------------3 分

在 Rt △ACD 中, CD ? AD ? tan ?CAD ? 100 3 . --------------4 分 ∴ BC ? BD ? CD ?
400 3 . 3

------------------------------------------5 分

23. (1)1. -------------------------------------------------------------------------------2 分 (2)解法一:
A D

B

P C

------------------------------------------------3 分

∵矩形 ABCD, ∴ ?B ? 90 °. ∵AP=AD=6,AB=3, ∴在 Rt △ ABP 中, BP ? AP2 ? AB2 ? 3 3 . ∴ tan ?BAP ?
BP ? 3. AB

-------------------------4 分

--------------------------------------------5 分

解法二:
九年级数学试题第 7 页 / 共 12 页

A

D

B P

C

---------------------------------------------3 分

∵矩形 ABCD, ∴ ?B ? ?C ? 90 °. ∵PD=AD=BC=6,AB=CD=3, ∴在 Rt △CPD 中, CP ? PD2 ? CD2 ? 3 3 . ------------------------4 分 ∴ BP ? BC ? CP ? 6 ? 3 3 . ∴在 Rt △ ABP 中, tan ?BAP ? 24. (1)∵直线 y ? ax ? 4 与双曲线 y ?
??2 ? a ? 4, ? ∴? k ?2 ? . ? ? 1
BP ? 2? 3. AB

---------------------5 分

k 只有一个公共点 A(1, ?2 ) , x

--------------------------------------------------------1 分

?a ? 2, --------------------------------------------------------------------------------------------------2 分 ∴? ?k ? ?2. ----------------------------------------------------------------------------------------------3 分
(2) b ? ?4 或 b ? 4 . (答对一个取值范围得 1 分) 25. (1)证明:∵AB⊥CD,AB 是⊙O 的直径, --------------------------------------------5 分
F N
1 2

? ? BD ? . ∴ BC
1 ∴ ?1 ? ?CAD . 2

A

M

O C E B D

∵AM 是∠DAF 的角平分线, ∴ ?2 ?
1 ?DAF . 2

∵ ?CAD ? ?DAF ? 180 °, ∴ ?OAM ? ?1 ? ?2 ? 90 °. ∴OA⊥AM. ∴AM 是⊙O 的切线.-----------------------------------------------2 分

? ? BD ? ,? (2)思路:①由 AB⊥CD,AB 是⊙O 的直径,可得 BC AC ? ? AD ,
九年级数学试题第 8 页 / 共 12 页

?1 ? ?3 ?

1 2

?CAD,AC ? AD ;
A
31 2

F N
5

②由 ?D ? 60 °, AD=2 ,可得 △ACD 为 边长为 2 的等边三角形, ?1 ? ?3 ? 30 °; ③由 OA ? OC ,可得 ?3 ? ?4 ? 30 °; ④由 ?CAN ? ?3 ? ?OAN ? 120 °,可得
?5 ? ?4 ? 30 °, AN ? AC ? 2 ;
4

M

O E B D

C

⑤由 △OAN 为含有 30°的直角三角形,可求 ON 的长.
(本题方法不唯一)

-------------------------------------------------------------5 分 ----------------------------------------------------------3 分

26. (1)①增大; (2)①
y
11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 –1 O –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7

----------------------------------------------------------------------1 分

②(1,1) , (2,2) ;

1 2 3 4 5 6 7

x

----------------------------------------------4 分 (2)该函数的性质: ①y 随 x 的增大而增大; ②函数的图象经过第一、三、四象限; ③函数的图象与 x 轴 y 轴各有一个交点. ?? (写出一条即可) ----------------------------------------------5 分
2

27. (1)∵ y ? m ? x 2 ? 4 x ? 4 ? ? 3 ? m ? x ? 2 ? ? 3 , ∴抛物线的顶点 A 的坐标为(2,3) . (2) O? (2,0) , ----------------------------------------2 分

-------------------------------------------------------------------3 分
九年级数学试题第 9 页 / 共 12 页

A? (4,3) .

-------------------------------------------------------------------4 分 --------------------------------------5 分
2

(3)依题意, m ? 0 .

将(0,0)代入 y ? mx ? 4mx ? 4m ? 3 中,
3 得 m ? ? . --------------------------------------------6 分 4 3 ∴? ? m ? 0 . --------------------------------------7 分 4 28. (1)150, -----------------------------------------------------1 分
PA2 ? PC 2 ? PB 2 .

y 3 2 1 –1 O –1 –2 –3 –4 1

A

A'

2O' 3

4

5 x

----------------------------------3 分

(2)如图,作 ?PAP? ? 120 °,使 AP? ? AP ,连接 PP ? , CP ? .过点 A 作 AD⊥ PP ? 于 D 点. ∵ ?BAC ? ?PAP? ? 120 °, 即 ?BAP ? ?PAC ? ?PAC ? ?CAP? , ∴ ?BAP ? ?CAP? . ∵AB=AC, AP ? AP? , ∴ △BAP≌△CAP? . --------------------------------4 分
180? ? ?PAP? ? 30 °. 2
A

∴ P?C ? PB , ?APD ? ?AP?D ? ∵AD⊥ PP ? , ∴ ?ADP ? 90 °.

P' D

∴在 Rt △ APD 中, PD ? AP ? cos ?APD ? ∴ PP? ? 2PD ? 3 AP . ∵ ?PAC ? ?PCA ? 60 °, ∴ ?APC ? 180? ? ?PAC ? ?PCA ? 120 °. ∴ ?P?PC ? ?APC ? ?APD ? 90 °. ∴在 Rt △P ?PC 中, P?P 2 ? PC 2 ? P?C 2 .

3 AP . 2

P B C

∴ 3PA2 ? PC 2 ? PB 2 . ----------------------------------------------------------6 分 ? (3) 4 PA2 sin 2 ? PC 2 ? PB 2 . --------------------------------------------------7 分 2 29. (1)F,G. (每对 1 个得 1 分) ∵M 点的横坐标为 3,
3 3 ? 3. ∴y? 3
九年级数学试题第 10 页 / 共 12 页

-------------------------------------------------2 分
y
6 5 4 3 2 1

(2)①如图 1,过点 M 作 MH⊥x 轴于 H 点.

M N H
3 4 5 6

O

1

2

x

图1

∴M . (3,3) ∴ OM ? 2 3 ,直线 OM 的表达式为 y ? ∵MH⊥x 轴,
2 2 2

3 x. 3
y
5 4 3 2 1

6 ∴在 Rt△MHN 中, ?MHN ? 90 °, NH ? MH ? MN .

设 NM=NO=m,则 NH ? OH ? ON ? 3 ? m . ∴ ? 3 ? m? ?
2

? ?
3

2

? m2 .
--------------------------------------------3 分

M P1
1

∴ON=MN=m=2.

O

H Q 2N 3 4

5

6

x

如图 2, △PON ∽ △NOM ,过点 P1 作 PQ ⊥x 轴于 Q 点, 1 1
1 ∴ PO , OQ ? ON ? 1 . ? PN 1 1 2

图2

∵ P1 的横坐标为 1, ∴y?
3 3 . ?1 ? 3 3

? 3? 1 , ∴P 1? ? 3 ? ?. ? ?

------------------------------------------------4 分
y
6 5 4 3 2 1

如图 3, △P2 NM ∽△NOM ,
P N MN ∴ 2 ? . ON MO

P2
1 2

M H
3 4 5 6

2 3 ∴ P2 N ? . 3

O

N

x

图3
2 3 , 3

∵ P2 的纵坐标为
2 3 3 ? x. 3 3



∴ x ? 2.
? 2 3? ∴ P2 ? ? 2, 3 ? ?. ? ?

-----------------------------------------------------5 分

九年级数学试题第 11 页 / 共 12 页

? 3? ? 2 3? 综上所述, P ? 1 , ? 2, 3 ? ?. ? 3 ? ? 或? ? ? ? ?

②4.
y
5 4 3 2 1

----------------------------------------------------------------------6 分

M1 M3
1

M2
2N 3

M4
4 5

O

x

(每标对两个点得 1 分) ----------------------------------------------8 分

九年级数学试题第 12 页 / 共 12 页


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