当前位置:首页 >> 高一数学 >> 数学必修4

数学必修4


数学必修 4 第二章 平面向量知识点
2.1 平面向量的实际背景及基本概念 1. 向量:既有大小又有方向的量。 2. 向量的模: 向量的大小即向量的模 (长度) , 如 AB, a 的模分别记作| AB |和 | a | 。 注:向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小。 3. 几类特殊向量 (1)零向量:长度为 0 的向量,记为 0 ,其方向是任意的, 0 与任意向量平行,
? ? 零向量 a = 0 ? | a |=0。由于 0 的方向是任意的,且规定 0 平行于任何向量,

故在有关向量平行 (共线) 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。 (注 意与 0 的区别) ? (2)单位向量:模为 1 个单位长度的向量,向量 a0 为单位向量 ?| a0 |? 1 。将一个 向量除以它的模即得到单位向量,如 a 的单位向量为:
ea ? a |a|

? ? (3)平行向量 (共线向量) : 方向相同或相反的非零向量,称为平行向量.记作 a ∥ b 。

规定: 0 与任何向量平等, 任意一组平行向量都可以移到同一直线上,由于向量可以进行任意的平移 (即自由向量), 平行向量总可以平移到同一直线上, 故平行向量也称为共线向量。 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意 选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线” 、的含义, 要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。 ? ? (4)相反向量:与 a 长度相等、方向相反的向量,叫做 a 的相反向量。记作 ? a 。 ? ? 关于相反向量有:① 零向量的相反向量仍是零向量, ② ? (?a ) = a ; ③ ? ? a ? (?a) ? 0 ; ④若 a 、 b 是互为相反向量,则 ? ? ? ? ? ? ? a =? b ,b =? a ,a +b =0 。 ? ? (5)相等向量:长度相等且方向相同的向量。记为 a ? b 。相等向量经过平移后 总可以重合。

2.2 平面向量的线性运算 1.向量加法 (1)定义:求两个向量和的运算叫做向量的加法 ? 设 AB ? a, BC ? b ,则 a + b = AB ? BC = AC 。 ? ? ? ? ? 规定: 0 ? a ? a ? 0 ? a ;

(2)向量加法的法则—“三角形法则”与“平行四边形法则” ① 用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量 是始点与已知向量的始点重合的那条对角线。 ② 三角形法则的特点是“首尾相接” ,由第一个向量的起点指向 最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和。 注:当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向 量是首尾连接时,用三角形法则。 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加:
AB ? BC ? CD ?

。 ? PQ ? QR ? AR ,但这时必须“首尾相连”

(3)向量加法的运算律: ①交换律: a ? b ? b ? a ②结合律: (a ? b) ? c ? a ? (a ? c)

2.法向量的减 (1) 定义:若 a ? x ? b 则向量 x 叫做 a 与 b 的差,记为 b ? a 。求两个向量 差的运算,叫做向量的减法。 (2) 向量减法的法则—“三角形法则”与“平行四边形法则” ? ① 三角形法则:当 a, b 有共同起点时, a ? b 表示为从减向量 b 的终 ? 点指向被减向量 a 的终点的向量。 C ② 平行四边形法则:两个已知向量是要共始点的,差向量是如图所 ? a ?b 示的对角线。设 AB ? a, AC ? b 则 a - b = AB ? AC ? CB . b 3.实数与向量的积 B A a ? (1) 定义:实数λ 与向量 a 的积是一个向量,记作 ? a ,它的长度与方向 规定如下: ? ? ① ?a ? ? ? a ; ② 当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相同;当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方 ? ? 向相反;当 ? ? 0 时, ?a ? 0 ,方向是任意的。 (2) 数乘向量的运算律 ① ?(? a) ? (?? )a ;② (? ? ? )a ? ? a ? ? a ;③ ?(a ? b) ? ? a ? ?b 。
? ?

2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
1.平面向量基本定理:如果 e1 , e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内 的任一向量 a ,有且只有一对实数λ 1,λ 2 使 a =λ 1 e1 +λ 2 e2 . 注意:(1) 我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底; (2) 基底不惟一,关键是不共线; 2.向量的夹角:已知两个非零向量 a 、b ,作 OA ? a ,OB ? b ,则∠ AOB= ? ,叫向量 a 、

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ? ? ? ? ? ? b 的夹角,当 ? =0° , a 、 b 同向,当 ? =180° , a 、 b 反向,当 ? =90° , a 与 b 垂直,
记作 a ⊥ b 。

?

?

3.平面向量的坐标表示:在直角坐标系中,分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个 单位向量 i , j 作为基底,由平面向量的基本定理知,该平面内的任一向量 a 可表 示成 a ? xi ? yj ,由于 a 与数对(x,y)是一一对应的,因此把(x,y)叫做向量 a 的 坐标,记作 a =(x,y),其中 x 叫作 a 的横坐标,y 叫做作纵坐标。 规定: ① i ? (1,0) , j ? (0,1) ② 相等的向量坐标相同,坐标相同的向量是相等的向量; ③ 向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只与 其相对位置有关 4.平面向量的坐标运算: ①若 a ? ( x1, y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? ; ②若 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y2 ? ,则 AB ? ? x2 ? x1, y2 ? y1 ? ; ③若 a =(x,y),则 ? a =( ? x, ? y); ④若 a ? ( x1, y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ,则 a // b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 ; a ? b ? x1x2 ? y1 y2 ⑤若 a ? ( x1, y1 ), b ? ( x2 , y2 ) , 则 a ? b ? x1 ? x2 , y1 ? y2 附:向量的表示方法: 1.几何表示法:用带箭头的有向线段表示,如 AB ,注意起点在前,终点在后; 4. 2.符号表示法:用一个小写的英文字母来表示,如 a , b , c 等; 5. 3.坐标表示法:在平面内建立直角坐标系,以与 x 轴、 y 轴方向相同的两个 单位向量 i , j 为基底,则平面内的任一向量 a 可表示为 a ? xi ? y j ? ? x, y ? , 称 ? x, y ? 为向量 a 的坐标, a = ? x, y ? 叫做向量 a 的坐标表示。如果向量的起点 在原点,那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 ? 运算 向量形式 坐标形式: a ? ?x1 , y1 ? ;
? b ? ? x2 , y 2 ?

加法

<1> 平行四边形法则:起点相同, 对角线为和向量。 <2>三角形加法法则:首尾相连。 记: AB ? BC ? AC

a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ?

减法

起点相同的两个向量的差, (箭头 指向被减向量) 记: OA ? OB ? BA

a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ?

AB ? AC ? CB
数乘
? ?a 是一个向量, ?a ?| ? || a |

?a ? ??x1 , ?y1 ?

?

? ? 0 时, ? ? 0 时, 方向: 与 a 同向;
与 a 反向; ? ? 0 时, ? a ? 0 数量积

a ? b ?| a || b | cos?

a ? b ? x1x2 ? y1 y2

运 算 性 ①交换律: a ?b ? b ?a ;②结合律: a ?b ?c ? a ? b ?c ;③ 质

?

?

?

?

a ?0 ? 0?a ? a。
加法:

C a

?
b

?

a ? b ? ?C ? ?? ? ?C 减法: 2.4 平面向量的数量积

(1)

平面向量的数量积的定义

①向量 a, b ,的夹角:已知两个非零向量 a, b ,过 O 点作 OA ? a ,OB ? b, 则 ∠AOB=θ (00≤θ ≤1800)叫做向量 a, b ,的夹角。当且仅当两个非零向量
0 0 a, b 同方向时,θ =0 ,当且仅当 a, b 反方向时θ =180 ,同时 0 与其它任何

非零向量之间不谈夹角这一问题。 ② a与b 垂直;如果 a, b 的夹角为 900 则称 a与b 垂直,记作 a?b 。

c s ? 叫做称 a与b ③ a与b 的数量积: 两个非零向量 a, b , 它们的夹角为θ , 则 a ? b ?o
的数量积(或内积) , 记 作 a ?b , 即

a ? b = a ? b ? cos? ,规定 0 ? a =0

非零向

o

b ?

b

?

P a

P

o

a

量 a与b 当且仅当 a?b 时, θ =900 ,这时

a ? b =0。
④ b 在 a 方向上的投影: OP ? b cos? (?

a ?b a

) ? R (注意 OP 是射影)所以, a ? b

的几何意义: a ? b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘积。 (2) 平面向量数量积的性质 设 a, b 是两个非零向量, e 是单位向量,于是有:① e ? a ? a ? e ? a cos? ;②

a?b ? a ? b ? 0 ;
③ 当 a与b 同 向 时 , a ? b ? a ? b ; 当 a与b 反 向 时 , a ? b ? ? a ? b , 特 别 地 ,
a ? a ? a2 ? a 。
2

④ cos? ?

a ?b a?b

;⑤ a ? b ? a ? b

(3)平面向量数量积的运算律 ① 交 换 律 成 立 : a ?b ? b?a ②对实数的结合律成立:

??a?? b ? ??a ? b? ? a ? ??b??? ? R? ③分配律成立: ?a ? b?? c ? a ? c ? b ? c ? c ? ?a ? b?

特别注意: ( 1 )结合律不成立: a ? b ? c ? a ? b ? c ; ( 2 )消去律不成立

? ? ? ?

a ? b ? a ? c 不能得到 b ? c ? (3) a ? b =0 不能得到 a = 0 或 b =0
④ 但 是 乘 法 公 式 成 立 :

?a ? b?? ?a ? b? ? a

2

?b ? a ? b

2

2

2



?a ? b?
(3)

2

? a ? 2 a ? b ? b ? a ? 2a ? b ? b

2

2

2

2

平面向量数量积的坐标表示

①若 a =(x1,y1), b =(x2,y2)则 a ? b =x1x2+y1y2 ②若 a =(x,y),则| a | 2 = a . a =x2+y2, a ? x 2 ? y 2 ③若 A(x1,y1),B(x2,y2),则 AB ?

?x2 ? x1 ?2 ? ? y2 ? y1 ?2

④若 a =(x1,y1), b =(x2,y2) 则 a?b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 (注意与 a // b 时条件区别,

a // b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 )
若 a =(x1,y1), b =(x2,y2)则 cos ? ?
x1 x 2 ? y1 y 2 x1 ? y1
2 2

x2 ? y 2

2

2

2.5 平面向量应用列举 1、 线段的定比分点 (1)定义:设 P1,P2 是直线 L 上的两点,点 P 是 L 上不同于 P1,P2 的任意一点, 则存在一个实数 ? ,使 p1 p ? ? pp2 , ?

? ? 0 ;当点 P 在 叫做点 P 分有向线段 P 1P 2 所成的比。当点 P 在线段 P 1P 2 上时,
? <0 线段 P 1P 2 或P 1P 2 的延长线上时,
(2)定比分点的坐标形式 x1 ? ?x 2 ? ?x ? 1? ? ,其中 P1(x1,y1), P2(x2,y2), P (x,y),向量形式呢? ? y ? ?y 2 ?y ? 1 1? ? ? (3)中点坐标公式 x1 ? x2 ? ?x ? 2 当 ? =1 时,分点 P 为线段 P ,向量形式呢? 1P 2 的中点,即有 ? y1 ? y 2 ?y ? 2 ? 2、平移

(1)图形平移的定义:设 F 是坐标平面内的一个图形,将图上的所有点按照同 一方向移动同样长度,得到图形 F’,我们把这一过程叫做图形的平移。 (2) 平移公式设 P(x,y)是图形 F 上任意一点, 它在平移后图形上的对应点 P’(x’,y’’),

? x' ? x ? h 且 PP 的坐标为(h,k),则有 ? ' ,这个公式叫做点的平移公式,它反映 ?y ? y ? k
'

了图形中的每一点在平移后的新坐标与原坐标间的关系。


赞助商链接
更多相关文档:

高中数学必修4知识总结(完整版)

高中数学必修4知识总结(完整版) - 高中数学必修四知识点总结 ?正角:按逆时针方向旋转形成的角 ? 1、任意角 ?负角:按顺时针方向旋转形成的角 ?零角:不作...

新课标人教版数学必修4全册教案

新课标人教版数学必修4全册教案 - 第一章 三角函数 §1.1 任意角和弧度制 第一课时 1.1.1 任意角 教学目标:1、理解任意大小的角:正角、负角和零角; 2...

高中数学 必修4免费学习_数学必修四_教学视频大全

三角函数、平面向量、三角恒等变换视频教程,易时课网校全套教学,在线学习数学必修四课程,高中数学 必修4视频下载

新课标人教A版高中数学必修4知识点总结

新课标人教A版高中数学必修4知识点总结 - 高中数学必修 4 知识点总结 第一章:三角函数 §1.1.1、任意角 1、 正角、负角、零角、象限角的概念. 2、 与...

高中数学必修4知识点总结

高中数学必修4知识点总结_数学_高中教育_教育专区。高中数学必修 4 知识点总结第一章:三角函数 §1.1.1、任意角 1、 正角、负角、零角、象限角的概念. 2...

高中数学必修四主要内容

高中数学必修四主要内容_数学_高中教育_教育专区。第一章 三角函数 1.1 任意角和弧度制角的定义:角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置...

人教版高一数学必修一至必修四公式

人教版高一数学必修一至必修四公式_高一数学_数学_高中教育_教育专区。人教版高中数学必修一至必修四公式(必会) 初高中衔接: 和平方: a 2 ? b 2 ? (a ? ...

数学必修四教材答案_图文

数学必修四教材答案_高一数学_数学_高中教育_教育专区。北师大版数学必修四教材答案 文档贡献者 回忆_洅媄 贡献于2016-03-24 1/2 相关文档推荐 ...

高中数学必修四全套教案

高中数学必修四全套教案_数学_高中教育_教育专区。高中数学必修四全套教案 1.1.1 任意角教学目标 (一) 知识与技能目标 理解任意角的概念(包括正角、负角、零角...

高中数学必修4知识点及习题 带答案

高中数学必修4知识点及习题 带答案_数学_高中教育_教育专区。高中数学必修 4 知识点第一章 基本初等函数二 (三角函数) ?正角:按逆时针方向旋转形成的角 ? 1...

更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com