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广东省惠州市2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷


惠州市 2015—2016 学年第一学期期末考试

高一数学试题
全卷满分 150 分,时间 120 分钟;本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.

考生注意:
1. 答题前,考生务必将自己的姓名、县区、学校、班级、试室、座位号填写在答题卡上. 2. 第 I 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.第 II 卷用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡 上书写作答.若在试题卷上作答,答案无效.

第Ⅰ卷
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 1.在 ?ABC 中,已知 AB ? a , AC ? b ,且点 D 是 BC 的中点,则 AD ? ( (A) a ? b 2.若 sin(

??? ?

?

????

?

????



?

(B) a ? b

?

(C) )

?
2

1? 1 a? b 2 2

(D)

1? 1 a? b 2 2

??) ? 7 25

(A) ?

3 ,则 cos 2? ? ( 5 7 (B) 25

(C) ?

3.设全集 U ? R ,集合 A ? x x 2 ? x ? 6 ? 0 , B ? x x ? 2 x ? 15 ? 0 ,则 A ? CU B ?
2

?

?

?

4 5

(D)

?

24 25



) (A) (?2, 5) (B) ? (C) (?2, 3)
?1

(D) [?2, 3]

4.已知函数 f ( x) ? log a x ( a ? 0 且 a ? 1 ) , f ( x) 的反函数为 f 则a ?( ) (B) 3 (C) (A) 2

( x) ,若 f ?1 (2) ? 9 ,
(D)

1 2

1 3


5.已知 A(1, 0) 、 B (0,1) , C ( x , ? 1) ,若 A , B , C 三点共线,则线段 AC 的长等于( (A) 3 (B) 2 2 (C) 2 ) (D)1 或 3 (D) 2

? 2x , x ?1 6.已知函数 f ( x) ? ? ,且 f ( x 0 ) ? 1 ,则 x 0 ? ( ?log 3 ( x ? 1), x ? 1
(A)0 (B)4 (C)0 或 4

( 0, ??) 7.下列函数中,既是奇函数又在区间 上单调递增的函数为(
(A) y ? x
?1

) (D) y ? x
3

(B) y ? ln x

(C) y ?| x |

1

8.对于任意向量 a 、 b ,下列命题中正确的是 (

?

?

)

(A)若 a 、 b 满足 a ? b ,且 a 与 b 同向,则 a ? b (C) a ?b ? a b

?

?

?? ?

?

?

?

?

?

(B) a ? b ? a ? b (D) a ? b ? a ? b

?

?

?

?

? ?

? ?

?

?

?

?

9. 在一个港口, 相邻两次高潮发生的时间相距 12 h , 低潮时水深为 9 m , 高潮时水深为 15 m . 每天潮涨潮落时,该港口水的深度 y (m) 关于时间 t ( h) 的函数图像可以近似地看成函数

y ? A sin(?t ? ? ) ? k 的图像,其中 0 ? t ? 24 ,且 t ? 3 时涨潮到一次高潮,则该函数
的 解析式可以是 ( (A) y ? 3sin (C) y ? 3sin )

?
?
6

t ? 12 t ? 12

(B) y ? ?3sin (D) y ? 3cos

?
?
6

t ? 12 t ? 12

12

10.平面内有三个向量 a 、 b 、 c ,其中 a 与 b 的夹角为 90? ,且 a ? b ? 1 , c ? 2 2 , 若 c ? ? a ? ? b ,则 ? ? ? ? (
2 2

?

?

?

?

?

?? ?

12

?

??

?

?

?

) (C) 2 (D) 8

(A) 12

(B) 4

11.把函数 y ? sin x ? x ? R ? 的图象上所有点的横坐标缩小为原来的 把 所得图象上所有的点向左平移 (A) y ? sin ? 2 x ?

1 (纵坐标不变) ,再 2

?
6

个单位长度,得到图象的函数表达式为 ( (B) y ? sin ? 2 x ?



? ?

??

?, x ? R 3?

? ?

??

?, x ? R 3?

(C) y ? sin ?

?? ?1 x ? ?, x ? R 6? ?2

(D) y ? sin ?

?? ?1 x ? ?, x ? R 6? ?2

12.若偶函数 f ( x ) 的图像关于 x ? 1 对称,且当 x ? [0,1] 时, f ( x) ? x ,则函数

g ( x) ? f ( x) ? lg x 的零点个数为 (
(A) 14 (B) 16

) (C) 18 (D) 20

第Ⅱ卷
注意事项: 第II卷须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,若在试题卷上作答,答案无效.
2

二.填空题:本大题共4小题,每小题5分。 13.函数 f ( x) ?

1 x?2

? lg(5 ? x) 的定义域为



14.在直角坐标系中,已知角 ? 的终边经过点 P ( 旋 转 ? 得到角 ? 的终边,则 cos ? ? 15.计算: ? 0.25 ?
?0.5

3 4 , ) ,将角 ? 的终边绕原点 O 逆时针 5 5

. .

? 8 ? 2 log 5 25 ?

2 3

16.设函数 f ( x) ? A cos(? x ? ? )( A , ? , ? 是常数, A ? 0 , ? ? 0 ).若 f ( x)在区

间[0 ,

2? ? 2? ]上具有单调性,且 f (? ) ? f (0) ? ? f ( ),则 ? ? 3 3 3



三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 10 分) 已知平面向量 a ? (3, 2), b ? (?1, 2), c ? (4,1). (1)求满足 a ? mb ? nc 的实数 m,n; (2)若 a ? kc

?

?

?

?

?

?

? ? ? 2b ? a ? ,求实数 k 的值.

?

?

18. (本小题满分 12 分) 已知 ? 、 ? 都是锐角, tan ? ?

3 10 4 , sin ? ? ,求 tan(? ? 2 ? )的值. 10 3

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

a ? bx (其中 a , b 为常数)的图象经过 (1,3) 、 (2,3) 两点. x

(1)求 a , b 的值,判断并证明函数 f ( x) 的奇偶性; (2)证明:函数 f ( x) 在区间 [ 2, ??) 上单调递增.

3

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin( x ?

?

) ? sin( x ? ) ? cos x ? a( a ? R, a为常数) . 6 6

?

(1)求函数 f ( x) 的最小正周期; (2)若函数 f ( x) 在[ ?

?
3



2? ]上的最大值与最小值之和为 2 3 ? 1 ,求实数 a 的值. 3

21.(本小题满分 12 分)

已知向量 a ? ?1, cos 2 x ? , b ? sin 2 x, ? 3 ,函数 f ? x ? ? a ? b . (1)求函数 f ( x) 的单调递减区间; (2)若 f ?

?

?

?

?

? ?

? ? 2? ? 6 ? ? ? ,求 ?2 3 ? 5

5? ? ? f ?? ? ? 的值. 12 ? ?

22. (本小题满分 12 分)

(x ? a ) . 已知 a ? R ,函数 f ? x ? ? x

(1)当 a ? 0 时,求函数 f ? x ? 的单调区间;

? (2)当 a ? 0 时,求函数 f ? x ? 在 ? ?

1 ? , 1 上的最小值. ? 2 ? ?

惠州市 2015—2016 学年第一学期期末考试
高一数学试题 参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

2016.1

4

答案

C

A

B

B

D

C

D

B

A

D

B

C

? ???? 1 ??? 1 ? ? ( AB ? AC ) ? (a ? b) ,故选 C. 2 2 ? 3 3 7 2. 【解析】因为 sin( ? ? ) ? cos ? ? ,则 cos 2? ? 2 cos 2 ? ? 1 ? 2 ? ( ) 2 ? 1 ? ? , 2 5 5 25
1. 【解析】由向量加法的平行四边形法则可知, AD ? 故选 A. 3. 【解析】 解得 A ? (?2,3) ,B ? [?5,3] , 则 CR B ? (?? , ? 5) ? (3, ??) , 得 A ? CR B ? ? , 故选 B . 4. 【解析】由 f ?1 (2) ? 9 知 f (9) ? 2 ,则 log a 9 ? 2 ,即 a 2 ? 9 ,且 a ? 0 得 a ? 3 ,故选 B. 5. 【解析】因 A, B, C 三点共线,则 AB // AC ,且 AB ? (?1,1) 、 AC ? ( x ? 1, ?1) ,则

????

??? ? ????

??? ?

????

???? ???? ?1 ? (?1) ? 1 ? ( x ? 1) ? 0 得 x ? 2 ,则 AC ? (1, ?1) ,得 AC ? 1 ? 1 ? 2 ,
故选 D .
x 6. 【解析】 当 x ? 1 时 f ( x) ? 2 ? 1 , 得 x ? 0 ? 1 成立; 当 x ? 1 时 f ( x) ? log 3 ( x ? 1) ? 1 ,

得 x ? 4 ?1 也成立,故选 C . 7. 【解析】结合图像和函数性质,由题意易知选 D. 8. 【解析】 因向量有方向, 无法比较大小, 则 A 答案错; 由 a ? b ? a b cos ? , 且 cos ? ? 1 易知 a ? b ? a b ,则 C 答案错,而 a ? b ? a ? b 则 D 答案错,故选 B . 9. 【解析】由两次高潮的时间间隔 12h 知 T ? 12 ,且 T ? 12 ?

?? ? ?? ? ?

? ?

?? ? ?? ?

? ?

?? ? ?? ?

?

2?

由 最 高 水 深 和 最 低 水 深 得 A ? 3 , k ? 12 , 将 t ? 3 代 入 解 析 式

?

(? ? 0) 得 ? ?

?
6

,又

y ? 3sin( t ? ? ) ? 12 ? 15 得 ? ? 0 ,故选 A . 6 ? ? ? ? 10. 【解析】 (法一) 由 a 与 b 的夹角为 90? 可建立平面直角坐标系, 则 a ? (1, 0) ,b ? (0,1) ,
得 c ? ? a ? ? b ? (? , ? ) ,则 c ? ( 法 二 ) 由

?

?

?

?

?

?2 ? ?2 ? 2 2 得?2 ? ?2 ? 8;


? ? ? c ? ? a ? ?b

?2 ? ? c ? (? a ? ? b ) 2





? ? ?2 ?2 ?2 ? ? ? ? ? c ? ? 2 a ? ? 2 b ? 2?? a ? b ,且 c ? 2 2 , a ? 1 , b ? 1 , a ? b ? 0 ,
得 ? ? ? ? 8 ; 故选 D.
2 2

5

11. 【解析】由 y ? sin x 的图像横坐标缩小为原来的 像,再将 y ? sin 2 x 的图像向左平移 图像,故选 B.

?
6

1 (纵坐标不变)得到 y ? sin 2 x 的图 2

得到 y ? sin 2( x ?

?

6

) ? sin(2 x ?

?

3

)的

12. 【解析】由 g ( x) ? 0 得 f ( x) ? lg x ,即求函数 y ? f ( x) 与 y ? lg x 图像的交点个数, 而 y ? f ( x) 是偶函数且图像关于直线 x ? 1 对称,则周期为 2,由题意画出两个 函数在 x ? 0 的图像如图所示,且两个都是偶函数,可知两函数图像交点个数为

2 ? 9 ? 18 个,故选 C.

二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分) 13 、 (2 , 5) 16、 1 14 、 ?

3 5

15 、

2

13【解析】由 ?

?x ? 2 ? 0 ,得 2 ? x ? 5 ,故函数定义域为 (2,5) . ?5 ? x ? 0
3 3 ,则 cos ? ? cos(? ? ? ) ? ? cos ? ? ? . 5 5

14【解析】由三角函数定义知 cos ? ?

6

?1? 15【解析】原式 ? ? ? ?4?

?

1 2

? ? 23 ? 3 ? 2 log 5 52 ? 4 ? 22 ? 4 ? 2 .

2

16 【解析】 因 f ( x) 在 [0, 得??

2? T 2? 4? ? 2? 则 ? ,T ? , 由 f (? ) ? f (0) ? ? f ( ] 内单调, ) 3 2 3 3 3 3

? ? 2? ? ? ? , 0 ? 间有对称轴 x ? ? , ? 0, 6 ? 3 ? 3 ?

? ? ? 间有对称中心 (0, ) ,简图如下图 3 ?

所示,则

T ? ? ? ? ? (? ) ? ,得 T ? 2? ,所以 ? ? 1 . 4 3 6 2

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 【 解 析 】 ( 1 ) ∵

? mb ? (?m, 2m)



? nc ? (4n, n)



? ? mb ? nc ? (4n ? m, 2m ? n) ……………… 2 分
且 a ? (3, 2) ? mb ? nc ∴

?

?

?

? 4n ? m ? 3 ? ? 2m ? n ? 2
………………………… 5 分





m?

5 8 ,n ? 9 9
( 2 )



? ? a ? kc ? (3 ? 4k , 2 ? k )



7

? ? 2b ? a ? (?5, 2) ? ?

……………………………… 6 分

且 (a ? kc) ? (2b ? a ) ∴

?

?

?5 ? (3 ? 4k ) ? 2 ? (2 ? k ) ? 0


……………………………… 9 分

k??

11 18

………………………………10 分

18. (本小题满分 12 分) 【解析】 ∵ sin ? ? 得

3 10 ,且 ? 是锐角 10

cos ? ? 1 ? sin 2 ? ?


10 10

…………………………………… 3 分

tan ? ?

sin ? ? 3, cos ?


…………………………………… 5 分

tan 2 ? ?

2 tan ? 3 ?? , 2 4 1 ? tan ?
且 tan ? ? ∴

…………………………………… 8 分

4 3

tan(? ? 2 ? ) ?

tan ? ? tan 2 ? 1 ? tan ? tan 2 ?

………………………………… 10 分

4 3 ? (? ) 4 ? 7 ? 3 4 3 24 1 ? ? (? ) 3 4
…… 12 分

……………………………

19. (本小题满分 12 分)

8

【解析】 (1)∵ 函数 f ( x) 的图像经过 (1,3) 、 (2,3) 两点



?a ? b ? 3 ? ?a ? 2b ? 3 ? ?2
………………………… 2 分 函 数 解 析 式





a ? 2 , b ?1


f ( x) ?

2 ?x x









(?? ,)( 0 ? 0, +?)


…………………… 3 分

f (? x) ?

2 2 ? (? x) ? ? ( ? x) ? ? f (x) ?x x
∴ 函 数 解 析 式

………………………… 4 分

f ( x) ?

2 ?x x







数 ( 2 )

………………………… 5 分 设 任 意 的

x1



x2

? [ 2 , ? ?)





x1 ? x2

…………………………… 6 分

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?
………… 7 分

2 2 ? x1 ? ? x2 x1 x2

…………………

?

2( x2 ? x1 ) 2 ? ( x2 ? x1 ) ? ( x2 ? x1 )( ? 1) x1 x2 x1 x2 2 ? x1 x2 x1 x2
……………………

? ( x2 ? x1 )
……… 9 分 ∵ x1 ?

2 , x2 ? 2 ,且 x1 ? x2

∴ x1 ? x2 ? 2 ,则 2 ? x1 x2 ? 0 ,且 x2 ? x1 ? 0 得

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0
…………………………… 11 分 函 数





f ( x1 ) ? f ( x2 )
∴ 增.

f ( x)







[ 2 , ? ?)









………………………………12 分
9

20. (本小题满分 12 分) 【解析】 (1)函数 f ( x) ? sinxcos

?
6

? cos x sin

?
6

? sin x cos

?
6

? cos x sin

?
6

? cos x ? a

? 2sin x cos
……… 2 分

?
6

? cos x ? a

……………………

? 3 sin x ? cos x ? a

?? ? ? 2sin ? x ? ? ? a 6? ?
………… 4 分 ∴

…………………

T ? 2?
(2)∵ ? ∴

…………………………… 6 分

?
3

?x?

2? 3
…………………………… 7 分

?

?
6

? x?

?
6

?

5? 6

∴ ?

1 ? ? sin( x ? ) ? 1 2 6

∴ 当x? 当

?

6

??

?

6

即x ? ?

?
3

时, f ( x) min ? a ? 1 即

x?

?
6

?

?
2

x?

?
3





f ( x)m a x ? a ? 2


…………………………… 10 分

a ? 2 ? a ?1 ? 2 3 ?1
…………………………… 12 分





a? 3

21. (本小题满分12分) 【 解 析 】 ( 1 ) 由 题 意 得

? ? ? f ( x) ? a ? b ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) 3

……………………… 2 分

因为函数 y ? sin x 的单调递增区间为 [ ∴ 由

3? ? 2k?] , k ? Z 2 2 ? ? 3? ? 2 k ? ? 2x ? ? ? 2k? , k ? Z 2 3 2 ? 2k? ,
10

?



………………… 3 分

5? 11? ? k? ? x ? ? k? , k ? Z 12 12
……… 5 分 ∴ 函数 f ( x) 的单调递减区间为

…………

[
………… 6 分

5? 11? ? k? , ? k? ] , k ? Z 12 12

………………

(2) ∵ f ( x) ? 2sin(2 x ? ∴ f(

?
3

)

2? ? 2? ? ) ? 2 sin[ 2( ? ) ? ] ? 2 sin(? ? ? ) 2 3 2 3 3 6 ? ?2 sin ? ? 5 3 ? sin ? ? ? , 5 ?

?

…………………

……… 8 分 ∴

f (? ?

5? 5? ? ? ) ? 2 sin[ 2(? ? ) ? ] ? 2 sin( 2? ? ) 12 12 3 2

………………………… 9 分 ………………

? 2 cos 2?
………… 10 分

? 2(1 ? 2 sin 2 ? )
3 14 ? 2[1 ? 2 ? (? ) 2 ] ? 5 25
……… 12 分

………………………… 11 分 …………………

22. (本小题满分12分) 【 解 析 】 函 …………………… ……… 1 分 数
2 ? ? x ? ax , x ? 0 f ( x) ? x ( x ? a ) ? ? 2 ? ?? x ? ax , x ? 0

(1)∵ a ? 0 ,函数 f ( x) 的图像如图所示

11

∴当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? ax ? ( x ?
2

a 2 a2 ) ? 2 4
a a ) 递 减 , 在 区 间 ( , ? ?) 递 2 2

则 , 函 数 f ( x) 在 区 间 (0 , 增 …………………… 3 分

当 x ? 0 时, f ( x) ? ? x ? ax ? ?( x ?
2

a 2 a2 ) ? 2 4
区 间

则 增







f ( x)



(?? , 0)



…………………… 4 分 ∴ 综 上 可 知 , 函 数 f ( x) 的 增 区 间 为 (?? , 0) , (

a , ? ?) , 减 区 间 为 2

(0 ,

a ) 2

……… 5 分 (2) a ? 0 时,函数 f ( x) ? ? 则
2 ? , x?0 1 ?x 在区间 [? ,1] 上是单调递增函数 2 2 ? ?? x , x ? 0

1 1 ………………………… 6 分 f ( x) min ? f (? ) ? ? 2 4 a ? 0 时, a 1 当 ? 1 即 a ? 2 时,函数 f ( x) 在 [ ? , 0] 递增,在 (0,1] 递减 2 2 1 1 a 且 , f (? ) ? ? ? 2 4 2
f (1) ? 1 ? a
………………………… 7 分

1 5 时, f ( x) min ? f (1) ? 1 ? a 2 2 1 5 1 1 a 若 f (? ) ? f (1) ,即 2 ? a ? 时, f ( x) min ? f ( ? ) ? ? ? 2 2 2 4 2
若 f (? ) ? f (1) ,即 a ?



a 1 a ? 1 即 0 ? a ? 2 时,函数 f ( x) 在 [? , 0] 递增,在 (0, ] 递减,在 2 2 2

a ( ,1] 递增, 2
如图所示 且

1 1 a f (? ) ? ? ? 2 4 2



12

a a2 f( )?? ; 2 4

………………………… 10 分

而 0 ? a ? 2 时, ? 所 以

1 a a2 1 a ? ? ? ,即 f (? ) ? f ( ) 4 2 4 2 2

0?a?2
………………………… 11 分





1 1 a f ( x) m i n ? f (? ) ? ? ? 2 4 2

且此时对 a ? 0 , f ( x) min ? f ( ? ) ? ? ∴综上所述, 0 ? a ?

1 2

5 时, f ( x) min 2

1 a 1 ? ? ? 也成立 4 2 4 1 a ?? ? 4 2
时 ,

a?

5 2

f ( x) min ? 1 ? a

………………………… 12 分

-1/2

1

-1/2

1

图1

图2

13


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