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高中数学选课指导


普通高中选课与学习指南·数学

王尚志、张饴慈、马芳华编著

北京大学出版社
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序......................................................................................

.............................................. 3 一、 高中数学课程的总体介绍 ............................................................................. 4 1.课程结构 ......................................................................................................... 4 2.内容结构 ......................................................................................................... 4 3 内容主线 ......................................................................................................... 7 4 课程顺序 ......................................................................................................... 8 5 课程变化 ......................................................................................................... 8 二、 如何选择课程 ............................................................................................... 13 1、课程功能 ....................................................................................................... 14 2、课程选择建议 ............................................................................................... 15 3、课程调整 ....................................................................................................... 15 三、数学课程的选择性 ............................................................................................. 16 1. 选择性与系统性 ............................................................................................ 16 2. 选择性——“选择选修课” ........................................................................ 17 四、高中课程的整体把握 ......................................................................................... 18 五、数学课程内容定位——必修与选修系列 1、2 ................................................ 26 六、高中数学课程内容定位——选修系列 3、4 .................................................... 33 选修 3-2 信息安全与密码 .................................................................................. 33 选修 3-3 球面几何 .............................................................................................. 34 选修 3-4 对称与群 .............................................................................................. 35 选修 3-5 欧拉公式与闭曲面分类 ...................................................................... 35 选修 3-6 三等分角与数域扩充 .......................................................................... 36 选修 4-2 矩阵与变换 .......................................................................................... 37 选修 4-4 坐标系与参数方程 .............................................................................. 39 选修 4-7 试验设计与优选法 ............................................................................. 39 选修 4-8 统筹法与图论初步 .............................................................................. 41 选修 4-10 开关电路与布尔代数 ........................................................................ 43 选修 4-5 不等式选讲 .......................................................................................... 44 选修 4-6 初等数论初步 ..................................................................................... 46 选修 3-1 数学史选讲 .......................................................................................... 46 选修 4-1 几何证明选讲 ...................................................................................... 47 选修 4-3 数列与差分 .......................................................................................... 47 选修 4-9 风险与决策 .......................................................................................... 48 七、数学建模与数学探究 ......................................................................................... 49 八、如何学好数学? ................................................................................................. 51 九、评价 ..................................................................................................................... 54 主要参考文献 ............................................................................................................. 57

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为了配合高中新课程的推进,北京大学出版社推出一套丛书,拟帮助同学们 理解高中新课程,理解如何进行选课,理解课程的定位,包括必修课程、选修 1、 2、选修 3、4 内容的定位。我们有幸参加了高中课程标准的研制,参加了北师大 版高中数学课程教材的编写, 也参与一些推进高中课程的实验工作,参与了国家 级高中数学骨干教师培训, 参加了高中课程实验调研。对高中新课程有一定的了 解,我们把一些感受和体会介绍给同学们,希望有助于同学们理解新课程,有助 于同学们对选择性的思考, 有助于同学们提高学习效果。 同学们在使用这本书时, 最好能取得教师的指导,一定会有更好的效率。 全书共分为十个专题。其中前四个专题是对高中数学课程的总体介绍,包括 如何选择高中课程、高中课程的变化和高中课程的选择性;第五、六、七、八专 题是本书的重点, 从几个不同的视角来介绍高中数学课程的整体性、高中数学课 程必修和选修内容的定位和数学建模与数学探究等等;第九专题,我们就数学的 学习,提了的一些建议,希望能使学生受益;最后一个专题,我们抛砖引玉的谈 了一下大家都非常关注的评价问题,希望引起深入地思考。 本书的基本想法之一是强调整体的把握高中数学课程。 这应该是我们打好基 础的重要组成部分。函数思想、几何思想、算法思想、运算思想、随机思想等都 是高中数学课程的主线, 它们彼此之间又有着密切的联系,是贯穿整个高中数学 课程最基本最重要的数学思想,从多个角度链接起了高中数学课程的许多内容。 这些主线可以把高中数学知识编织在一起,构成了一张无形的网,把整个高中数 学课程的知识融会贯通。我们应该不断加深对这个网的认识,从不同的角度认识 高中数学课程,从局部到整体,从整体到局部,整体的把握高中数学课程。 最近,我们比较忙,北京大学出版社再三邀请。盛情难却。我们都是北京大 学的毕业生,希望能为培养我们的母校做一点有益的事,尽力而为。但是,我们 不是数学教育的科班出身,又由于水平有限,在书中一定有很多不妥和错误,恳 请教师和同学们批评指正,书中的内容仅供参考。 王尚志 张饴慈 2005 年 8 月 22 日

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一、 高中数学课程的总体介绍 1.课程结构
同学们进入高中的学习,应该做一些准备,首先,应该了解一下,整个高 中课程的框架和结构,对高中课程有一个比较全面地了解。然后,我们再由粗到 细,由简到繁,逐步的向同学们展开对高中课程的介绍。 首先,我们应该了解,高中课程由三部分组成。 一是必修部分,由五个模块组成,每个模块要学习 36 个课时,这是每个同 学都要学习的内容。 第二部分,由选修 1、2 组成,这部分内容可以选择,简单地说,如果感觉 自己适合在人文社科方面发展,可以选择选修 1 系列课程,两个模块,72 个课 时; 如果感觉自己适合在理工等方面发展, 可以选择选修 2 系列课程。 三个模块, 108 个课时。 第三部分,根据学生兴趣的需求,设计了选修 3 和选修 4 系列课程,其功 能在第六章具体介绍。 为了有个直观的了解,可以参考以下框图,一目了然。从数学课程内容来 说,理解选择性是非常重要的,理解了选择性才能搞清楚课程结构。

2.内容结构
为了使同学们对课程有一个大致的了解,这里对内容先作粗略介绍,由简到 繁,由粗到细,一步一步细化。用框图的形式对内容给予简单的描述是一种好方 法, 同学们可以不断地修改这个框图,如果能把这样的框图印在自己的头脑中就 更好了,我们在中学时,遇到了一些好老师,他们要求我们对学过的东西有个整 体认识,还要求能“背着”讲出来。把东西放在头脑中,这样一个好的方法就使 得思考的机会大大增加了。

必修内容体系的框图:
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必修与选修 1(选修 2)的体系框图:

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选修 3
选修 3 由六个专题组成:数学史选讲,球面上的几何,对称与群,欧拉公 式与闭曲面分类,信息安全与密码,三等分角与数域扩充。 选修 3 的内容是以前的高中没有正式开设的, 一些学校以选课的形式开设 过,对同学们来说,必修、选修 1、2 没有太大的区别,选修 3 就内容来说也并 不难,但是,需要认真深入地体会其中蕴涵的思想。同样,先做一个概述,随后 再不断的深人。 数学史选讲是要告诉同学们数学发展的一个基本的脉络, 选择一些数学历 史发展中一些重要的事件、 成果作为线索,介绍一些伟大的数学家的贡献和奋斗 人生,这些是非常有趣的。 对球面上的几何,顾名思义,讨论“球面上图形的性质” ,我们学过平面 几何,它们有什么相同,有什么不同?有什么用处?相信很多同学希望搞清楚。 “对称”是日常生活中常用的词,特别是图形,在生活中有很多“对称得 很漂亮”的图形,这些对称图形不相同,如何对它们加以区别?这些对称图形中 蕴涵什么数学?“对称”有什么用处?“对称与群”将使同学们对“对称”有个 初步了解。 很多同学都知道欧拉,他是最伟大的数学家之一,他的成就非常丰富,多
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面体的欧拉公式就是其中之一,四面体、长方体等都是多面体,欧拉发现了:这 些图形的“面数减去棱数再加上顶点数是 2” ,并且他给出了很好的证明。这是 很有趣的,反映了这些图形——曲面的性质,同学们一定会问:是否还有其他图 形也有这样的性质?是否所有多面体的曲面都有这样的性质?等等。 “欧拉定理 与闭曲面分类”这个专题将回答这些问题。 在“信息时代” ,传送信息时保密的需求越来越大。在“信息安全与密码” 中,将告诉同学们一些基本的数学原理,同学们可以通过操作,认识和使用,进 一步的了解和熟悉常用的信息安全保密的方法。 “用尺规可以三等分角吗?”这是同学们都想了解的一个问题。在“三等 分角与数域扩充”这个专题中,我们将引导同学们一步一步地解决这个问题,同 学们会发现, 解决这样问题与做习题不大一样, 我们应该学习这样一种思考方法, 不论是否专门学习数学,这种思考问题的方法都是很有用的。 我们希望同学们喜欢这些选题, 选几个学一下, 会对数学有一些新的感觉。 当我们是高中生的时候,中国一些著名数学家,像华罗庚、段学复、熊庆来等, 就开设了许多类似的讲座,对当时年轻人的成长起了很大作用。

选修 4
选修 4 包括十个专题,可以分为三类, 一类是与中学数学内容密切联系的,例如,几何证明选讲,不等式选讲, 坐标系与参数方程。 一类是中小学数学课程内容拓展的,例如,矩阵与变换,数列与差分,初 等数论初步。 另一类是数学应用方面的选题,例如,风险决策,优选法与实验设计,统 筹法与图论初步,开关电路与布尔代数。 这样的分类并不严格,仅仅是提供思考的背景。选修 4 与选修 3 一样,就 内容来说并不难,但是,需要认真深入地体会其中蕴涵的思想,这些思想在今后 学习和工作中会对我们有很大帮助。在随后的内容中,我们再进一步地介绍这些 选题的内容定位,不断的深人。

3 内容主线
整体地把握高中数学课程,这是我们在这本书中给各位同学最基本的建 议。在学习高中数学时,我们希望同学们思考一些问题,其中之一是:是否有贯 穿高中数学课程的“主线”?或说基本脉络。这些“主线”是什么?根据我们在 研制高中数学课程标准过程中的思考,我们感到“主线”还是有的。在这里,我 们提供一些建议,供同学们参考。 在高中数学课程中,函数思想,运算思想,几何思想(把握图形的能力) , 算法思想,统计和随机思想,等等,这些都是贯穿在高中数学课程始终的东西, 构成高中数学的基本脉络。另一方面,这些思想之间联系密切。它们像一张无形 的网,把高中数学课程的所有内容有机地联系起来,抓住了这张网,就可以更好 地掌握数学课程,了解实质,提高学习的效率,当然,也会提高解题能力,考试 能力,学习高中课程应该这样,以后,在大学学习、在工作中学习,也应该这样。 著名数学家华罗庚先生常常说“既要能把书读厚,又能把书读薄” 。读厚,就是 要把每一逻辑关系, 每一个细节搞清楚, 想清楚; 读薄, 就是能抓住课程的主线,
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基本脉络,抓住课程的内在联系,形成整体认识。现在,我们的中学教师非常重 视细节,这是好的传统,希望同学们保持,整体是另一方面,也必须重视,在一 定程度上,更为重要。 在“高中课程整体把握”这部分内容中,我们将一起来分析为什么它们是 “主线” 。

4 课程顺序
学习数学课程的内容,总是有前有后。什么在前,什么在后,我们必须清 楚。 首先,必修课程在选修 1、2 之前开设,选修 3、4 和必修课程是可以同时 开设的。在必修中,必修 1 又是所有必修课程的基础,先开设必修 1,才能开设 其他必修课,不同学校可以根据自己的实际情况确定必修 2、必修 3、必修 4、 必修 5 的开设顺序。选修 3、4 的开设会因校而异,我们希望学校能有计划、有 组织地多开设一些选修课, 同学们可以根据自己的兴趣, 学校的实际, 加以选择, 选择能力对一个人来说是非常重要的,希望同学们有意识地锻炼自己的选择能 力,在下一部分,我们专门讨论如何选择课程。

5 课程变化
高中课程改革,使高中数学课程有一些变化,有内容上的变化,这对同学们 来说是平等的, 还有一些指导思想方面的变化, 或理念上的变化, 了解这些变化, 形成科学的学习习惯,有效率的学习方法,对同学们是有益的, “人无远虑,必 有近忧” 。希望同学们看得远一些。 (1) 数学课程目标的变化 1) 三维目标 在这一轮课程改革中,根据教育部课程改革纲要,在课程改革目标中,提出 了三维课程目标的精神。把课程目标分为三个维度,知识与技能的目标,过程与 方法的目标,情感、态度、价值观的目标。三维目标有各自的独立内涵,但是它 们之间又存在着密切的联系。 同学们,有这样一个问题是值得我们一起来思考的,小学、初中学习了很多 数学, 仔细地回忆, 哪些东西是留在我们头脑里的呢?熟练地进行数与代数式的 四则运算,了解了许多几何定理,例如,勾股定理,等等。就是说你们已经掌握 了一些数学的知识和技能。除此而外,还有另外一个重要方面,形成了一些学习 数学的习惯,学会了数学思考问题的方法,等等,还可以用这些“东西”思考和 解决一些实际问题, 例如, 与别人讨论问题时, 希望大家有同样的出发点, 不然, 讨论一通,不可能达成共识,这就是数学教给我们的思维习惯。这一方面是属于 “过程性” 、 “方法性”的东西,它们与知识技能的重要性是一样的。 我们认为把“过程与方法”作为目标是一个很大的变化。在以前的教学《大 纲》中,在不同程度上都强调了“过程与方法”的重要性,但是,这次课程改革 把“过程与方法”作为目标,这样, “过程与方法”不是可有可无的东西,而是 必须实现的基本目标, 我们必须认识这种变化不仅力度大,而且有非常重要的意
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义。 实际上, 在长期的教学活动中, 优秀的教师不仅关注学生对知识技能的掌握, 而且特别关注掌握知识技能的过程,包括知识的来龙去脉,结论的背景、产生过 程和意义,获取知识的能力和方法,等等。以数学学科为例,我们都知道在知识 技能中,蕴涵着一些重要的数学思想和方法,学习的目的,不仅在于掌握知识技 能和结果, 更重要的是经历形成这些知识技能的过程,体会其中所蕴含的思想和 方法, 学会运用这些思想和方法去学习其他的知识,并能从中感悟数学的作用和 价值,提高学生学习数学的兴趣,树立学生学好数学的信心。 “过程与方法”是课程的目标,如何实现这个目标呢?这个问题就成为我们要 认真探索的问题。 我们不仅需要总结优秀教师在这方面的经验,还需要探索一些 新的课题,例如,如何理解过程性目标的问题,如何实现过程性目标的问题,如 何评价过程性目标的问题,如何把知识技能目标与过程性目标有机结合的问题, 如何把过程性目标与情感、态度、价值观的目标有机结合的问题。这些问题是极 具挑战性的,是值得广大教师和同学们一起来探索和解决的。 2)三维目标与数学课程目标 在过去,只有老师才关心课程目标,这次课改,有一点变化,希望同学们也 来了解和关心课程目标,了解数学课程的目标。这是合乎逻辑的,高中生是大人 了,理应关注自己的未来发展,关注自己应该学到什么,关注自己应该获得哪些 本领。 在《标准》中,如何把三维目标与数学课程目标有机结合?这是在《标准》 的研制过程中讨论的最基本的问题。 《标准》设置了六个具体的目标: 1.获得必要的数学基础知识和基本技能,理解基本的数学概念、数学结论 的本质,了解概念、结论等产生的背景、应用,体会其中所蕴涵的数学思想 和方法,以及它们在后续学习中的作用。通过不同形式的自主学习、探究活 动体验数学发现和创造的历程。 2.提高空间想像、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力。 3.提高数学地提出、分析和解决问题(包括实际应用问题)的能力,数学 表达和交流的能力,发展独立获取数学知识的能力。 4.发展数学应用意识和创新意识,力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式 进行思考和做出判断。 5.提高学习数学的兴趣,树立学好数学的信心,形成锲而不舍的钻研精神 和科学态度。 6.具有一定的数学视野, 逐步认识数学的应用价值、 科学价值和文化价值, 形成批判性的思维习惯,崇尚数学的理性精神,体会数学的美学意义,从而 进一步树立辩证唯物主义和历史唯物主义世界观。 从上面的具体目标可以看出, 《标准》的研制者没有机械的把数学课程目标分 为:知识与技能的目标,过程与方法的目标,情感、态度、价值观的目标。而是 采取了整体融合的方式来表述课程目标。 (2) 数学课程目标变化的意义 1)打好基础

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在学习数学中, 打好基础是非常重要的, 中国的数学教育一直很重视这一点, 这是一个好的传统。近年来,由于“应试教育”的影响,在强调打好基础时,有 一种异化的倾向,以考试为目标的“题型教学” ,不加分析追求难题、偏题,等 等。都是这种异化的体现。实际上,这些做法都冲击我们的好传统,冲击了“基 础” ,偏离了数学教育的目标。在这里,我们不想全面论述基础,仅就整体的把 握高中数学课程谈一些我们的看法。 高中的数学课程是一个整体,打好基础,首先要抓住贯穿高中数学课程的一 些主要的东西,即主线。 函数思想、几何思想、算法思想、运算思想、随机思想等都是高中数学课程 的主线, 我们将在后面展开对它们的分析。它们是贯穿整个高中数学课程最基本 最重要的数学思想,从多个角度链接起了高中数学课程的许多内容。这些主线可 以把高中数学知识编织在一起,构成了一张无形的网,把整个高中数学课程的知 识点融会贯通。我们学习数学是线性序,但数学本身不是线性的。我们可以从一 个知识出发,推出后面的知识,同样我们也可以从另一个知识出发,按照一定的 顺序推出来。 如果我们对这个网有了深刻的认识,可以从不同的角度从局部到整 体,再从整体到局部与所学的知识进行呼应。 2) 强调五个基本能力 高中阶段学习数学,应该获得那些本领?这是同学们十分关心的问题。 从 1963 年《全日制中学数学教学大纲》 (草案)中明确提出三个基本能力: 计算能力、逻辑推理能力和空间想象能力。 这三大能力是中国最著名前辈数学家华罗庚先生首先提出的。明确这些说 法,这对中小学数学教育起了很大的推动作用。 《标准》中提出了五个基本能力: 计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力、抽象概括能力、数据处理能力。 为什么增加的两大基本能力:抽象概括能力和数据处理能力呢? 抽象概括能力 我们知道,数学有三个基本特征,抽象性,严密性,应用的广泛性。数学是 严密的,对每一个正确的数学结果,它都是从一些定义、公理、定理出发,经过 严密的逻辑推理得到的。 例如, 一元二次方程的求根公式, 就是通过 “配方思想” , 反复使用代数运算的基本规律: 结合律、 交换律、 分配律, 最后得到的一个公式。 我们学习的数学课程都有一个比较严密的体系。在数学的严密性中,逻辑推理能 力,特别是演绎推理能力发挥着重要的作用。 演绎推理强调从一般到特殊、 从抽象到具体。 这是数学一种重要的思维方式。 这种思维渗透到每一门数学课程中,也渗透到数学学习的每一个环节中。在高中 数学课程中,无论是代数的内容、几何的内容、函数的内容,还是其他内容,都 是培养这种思维方式的载体。 但是, 从另一个角度, 数学不是无源之水、 无根之木, 无论是数学的抽象性, 还是数学应用的广泛性, 都反映它具有丰富的背景, 每一个数学概念, 数学公式, 数学的结果,都与其他的数学知识,其它学科的知识,社会生活、日常生活的经 验有着密切的联系,它们有“来龙” ,也有“去脉” 。 我们不仅仅需要同学们掌握数学知识和技能本身, 还应该帮助同学们了解知
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识、技能、结论形成的过程,产生的过程,能够从特殊到一般,从具体到抽象, 能够从一些现象中,通过类比、归纳、猜想,通过合情推理,总结数学规律,发 现数学规律。这也是数学的一种重要的思维方式,非常重要的创造性思维方式。 许多数学家反复建议,我们不仅要重视培养同学们的演绎推理能力,同样,也要 重视培养同学们的抽象概括能力。 这种能力的培养也应该渗透到数学学习的各个 环节中。 例如,我们应该关注,从映射概念认识函数概念,从函数概念认识具体的函 数,例如,简单的幂函数,指数函数,对数函数,三角函数,等差数列,等比数 列等等。更重要的,我们应不断地通过具体的函数体会函数的意义和作用,同学 们在谈到函数时,头脑中不仅有抽象的定义,而有一批具体的实例,以及伴随着 这些实例的图形,只有这样才能真正使数学“活起来” 。 数据处理能力 从儿童时代,同学们获取数学知识的主要途径有如下几个: 一个是“数和数的运算” 。 一个是各种“量” ,例如,重量,高度,长度,等等。 “数”和“量”有着密切的联系和规律,这些规律反映在能够“算” 。 一个是“图形” ,图形的形状,图形的形质,图形的分类,图形的位置,图 形的变化,等等。 另一个是“一堆数” ,通常称为数据。例如,对于一个单位的人来说,他们 的身高,体重,其它健康状况的指标等等;他们的收入,消费,存款等等。这些 数据中有我们需要的信息,如何得到这些信息,如何使用这些信息,等等。 随着社会发展,人们对于数据、信息的关注越来越大,处理数据,已经成为 百姓生活不可回避的问题。生活中的很多数据都是“杂乱”的,但并非“无章” , 如何发现其中的规律, 如何利用这些规律提高生活质量。数据处理能力成为现代 人的基本能力。在高中学习中,有必要掌握基本数据处理能力:收集数据,整理 数据,分析数据,从数据中提取信息,利用信息说明问题等等。 强调数据处理能力,是一个变化,希望同学们给予特别的注意。有人说统计 不难, 数据处理不难, 这是有道理的, 不难不意味着应该不重要, 对一般人来说, 最有用的东西都是不难的。

3) 主动学习和创新能力 在《标准》提出: “通过不同形式的自主学习、探究活动体验数学发现和创 造的历程。 ” “提高数学地提出、分析和解决问题(包括实际应用问题)的能力,数学表 达和交流的能力,发展独立获取数学知识的能力。 ” “发展数学应用意识和创新意识, 力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式进 行思考和做出判断。 ” 主动学习 接受、记忆、模仿和练习是同学们重要的数学学习活动,但是,不应只限于 此,高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数 学的方式。 这些方式有助于发挥同学们学习的主动性,使同学们的学习过程成为
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在教师引导下的“再创造”过程。 “通过不同形式的自主学习、探究活动体验数 学发现和创造的历程。 ” 教师的作用是不可替代的, 传授知识, 指导学习, 组织各种学习活动, 等等。 但是,所有这些不意味着教师可以替代学生进行学习,现在存在着一种倾向:教 师替学生做的事情太多了。 由于, 很多领导急功近利, 考试成为实现政绩的方式, 提高考试成绩、检查考试成绩成为唯一的管理手段,各种考试,高考,年考,学 期考,月考,甚至每星期考。教师希望学生尽快地适应考试,在教学中, “题型 教学” 、高容量、高强度的课堂教学成为比较普遍的现象。这样做法不符合学生 的认知规律,事倍功半。要改变,应从领导做起,改变急功近利的教育评价观, 营造好的教育氛围。当然,考试制度、考试内容等也需要尽快改革。教师应倡导 自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等多种学习数学的方式。 高中数学课程设立“数学探究” “数学建模”等学习活动,这些都是为同学 们形成积极主动的、 多样的学习方式创造有利的条件,以激发同学们的数学学习 兴趣,鼓励学生在学习过程中,养成独立思考、积极探索的习惯。如何开展这些 活动,我们将在后面给予专题说明。 创新能力高中数学课程应力求“通过各种不同形式的自主学习、探究活动,让同学们 体验数学发现和创造的历程” ,发展同学们的创新意识。在高中阶段,创新的最 好体现应反映在:培养学生的问题意识。鼓励学生提出问题;鼓励学生从多种角 度寻求解决问题的方法;课程应具有一定的开放性,给学生思考的空间;为学生 营造一个积极思考、探索创新的氛围,等等。 “没有问题的学生,恐怕不能算好学生。 ”这是我们的老师丁石孙说过的一 段话。非常有道理。现在很多学生,包括一些非常优秀的学生,只有不会做的习 题,提不出问题,提不出好的、有价值的问题。希望教师和学生对此给予关注。 我们感到, 这是中国优秀学生与一些国外优秀学生最大的差距。没有提问题的习 惯,提不出问题,就很难产生原创性的思想,这对于中国科学技术和社会的发展 是十分不利的。 4)关于情感、态度、价值观与数学课程的结合 在数学的学习、教学中,情感、态度、价值观不是空洞的东西,与数学课程 密切相关。 《标准》设定的目标指出: “提高学习数学的兴趣, 树立学好数学的信心, 形成锲而不舍的钻研精神和 科学态度。 ” “具有一定的数学视野,逐步认识数学的应用价值、科学价值和文化价值, 形成批判性的思维习惯,崇尚数学的理性精神,体会数学的美学意义,从而进一 步树立辩证唯物主义和历史唯物主义世界观。 ” 这里强调两点。 “兴趣” 有人说学习的动力来自以下方面,一是觉悟,一是功利,一是兴趣。 文化革命前,主要靠觉悟,现在的学生不太了解那个时代,为革命学习,为
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国家学习,为人民学习,这些是那个时代的口号。这些口号激励了一大批人,努 力地学习,刻苦地学习,发奋地学习。现在不提这些了,这不好,为自己的祖国 做些贡献,还是需要提倡的。觉悟还有另一面,是对数学价值的认识,人都在追 求好的东西,有价值的东西,形成一种责任感,也许对个人没有太大的利益,他 们还会为之奋斗。 《标准》强调“认识数学的应用价值、科学价值和文化价值” 的目的,主要在于此。 现在社会非常商业化, “功利”成为衡量事物的基本标准,这也没有什么不 对。但是,目前特别是在教育中,有些过分,在很多情况下, “功利”成为了唯 一的追求,把教育的目标量化,这是很危险的,更可怕的是很多领导对此津津乐 道。在学生学习中,也把“功利”作为唯一的动力,短见,急功近利,严重地影 响了学生的发展,特别是影响一些有潜力、有特长、有天才学生的发展。 “兴趣” 的培养被忽视了。 最突出例子是数学竞赛, 无论是国外, 还是中国, 数学竞赛的基本目的是培养学生学习数学的兴趣,现在,在很多地方数学竞赛已 经变味了,变成追逐“功利”的舞台,背离了开展数学竞赛的初衷。现在,小学 数学竞赛越演越烈,甚至幼儿园也开设了“奥数”课程,这无疑是拔苗助长,危 害极大。我们希望有识之士,特别是各级领导都来改变这种状况,按照儿童的成 长规律,给儿童一个健康成长的环境。 对于学生而言,能够引起他们兴趣的东西很多,数学是其中之一,数学是很 有意思的,她有极大的魅力,引人入胜,作为数学和数学教育工作者,我们应该 尽力吸引更多的学生喜欢数学, 使他们从数学中得到对将来发展有用的东西,并 能把这些东西用到他们的工作中。当然,对一些对数学有兴趣的有才华的学生, 我们希望他们投身到数学和数学应用的事业中,展示他们的才华,为数学发展作 贡献。 培养学生对数学的兴趣,是数学教育面临的一个巨大的挑战,在很多国家, 不喜欢数学, 甚至讨厌数学的比例在增加,这应该引起数学和数学教育工作者的 高度重视。 我们希望同学们也能有意识地培养学习数学的兴趣。 “视野” 1992 年联合国教科文组织在巴西里约热内卢宣布“2000 年是世界数学年” , 其目的是让世界,特别是普通大众了解数学,了解数学与社会的联系。她的宣言 指出:纯粹数学与应用数学是理解世界及其发展的主要钥匙。 数学是一个十分丰富的宝库。伴随着人类文明发展,她有着悠久的历史,她 有极其丰富的内容和思想,她有极其广泛的应用, “宇宙之大,粒子之微,火箭 之速,化工之巧,地球之变,生物之谜,日用之繁,数学无所不在。 ” (著名数学 家华罗庚) 《标准》要求学生形成“具有一定的数学视野” 。 “知识”是重要的, “见 识”更为重要。选修 3、4 课程目的之一,就是为学生奠定基础、开阔视野,这 只是开始,数学和数学教育工作者应该不断开发更多新的选修课程。前面,我们 用了很大篇幅从不同的角度理解什么是数学, 也是希望教师和学生对数学有一个 比较全面的认识。

二、 如何选择课程
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进入高中,每一个同学都面临一个大问题:如何选择课程。我们分三个步骤 来分析如何选择课程。首先,了解一下课程的基本功能;其次,根据课程标准, 提供几种选择的建议;最后,改变选择时,应该如何调整。在选择课程时,应该 充分听取老师、家长、朋友的意见,但是,同学还是要锻炼自己拿主意,同学们 能有一学期到一年的时间进行思考,主意定了,试一段时间,还可以调整,这是 一种很重要的本领。

1、课程功能
必修课程的 5 个模块,包括基本初等函数、立体几何初步、平面解析几何初 步、算法、统计、概率、平面上的向量、解三角形、数列、不等式等内容,这些 内容是每一个高中学生都要学习的。这些内容对于所有的高中学生来说,无论是 毕业后直接进入社会,还是进一步学习有关的职业技术,或是继续升大学深造, 都是必要的基础。 选修系列 1 是为准备在人文、社科方面发展的学生设置的,选修系列 2 是为 准备在理工、 经济方面发展的学生设置的。选修系列 3 和系列 4 则是为部分学生 设置的,希望提高数学素养,希望拓宽数学视野,特别是对数学有兴趣的学生, 都可以在选修 3、4 中满足自己的需求。这些内容仍然是为学生的进一步发展奠 定基础,这样安排的目的是方便学生,按照学生自己的意愿,来规划个人的进一 步发展,同时也为不同发展方向的学生提供不同的基础。

必修课程
必修课程内容确定的原则是:满足未来公民的基本数学需求,为学生进一步 的学习提供必要的数学准备。学生完成 10 个学分的必修课程之后,在数学上已 经达到高中毕业要求。当然,按照课程整体要求,还需要选修一些选修 3、4 的 课程,完成整个学习计划。 对于希望在文艺、体育、和一些职业高校发展的同学,这些专业的大学数学 入学考试将依据必修课程设计试卷。应该抓住最基本的东西,不会考得太难。

选修 1、2
选修 1、2 内容确定的原则是:满足学生的兴趣和对未来发展的需求,为学 生进一步学习、获得较高数学素养奠定基础。 选修系列 1 是为那些希望在人文、社会科学发展的学生而设置的,系列 2 则是为那些希望在理工、经济等方面发展的学生而设置的。系列 1,系列 2 内容 也是基础性内容。 对于人文、社会科学的相关专业,高校入学考试将依据必修课程和选修 1 课程的内容设计试卷,这是部分试卷,选修 4 还会设计相应试卷。 对于理工、经济等方面的相关专业,高校入学考试将依据必修课程和选修 2 课程的内容设计试卷,这是部分试卷,选修 4 还会设计相应试卷。

选修 3、4
选修系列 3、4 确定的原则与选修系列 1、2 是一样的,都是为了满足学生的 兴趣和对未来发展的需求,为学生进一步学习、获得较高数学素养奠定基础。选
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修 3、4 内容不仅帮助学生获得基础知识,还可以开阔学生的视野,增长见识。 我们希望同学们根据自己的兴趣,拓展自己的知识。 选修 4 课程,在高考中,将会设计相应专题的试卷,对学习过这些专题的同 学,可以选择相关专题的试题进行解答。

2、课程选择建议
在这里,根据课程标准的设计,我们提供五种选择建议。我们希望同学们树 立正确的观念,首先,客观地了解自己的爱好、兴趣、特长、能力,选择适合自 己的未来。其次,不同的人有不同的发展,努力上进,做什么工作都是平等的, 快乐、幸福与地位高低、收入多少不成正比。 如果同学们选择在艺术、体育、和一些职业高校方面发展,那么就应该努力 把必修课程学好,适当地在选修 3、4 中选择一些有兴趣的专题。可以把自己的 大部分精力放在主攻方向上。 希望在人文、 社会科学等方面发展的学生,在完成 10 个必修学分的基础上, 可以有两种选择。一种是,在系列 1 中学习选修 1-1 和选修 1-2,获得 4 学分; 在系列 3 中任选 2 个专题,获得 2 学分,共获得 16 学分。另一种是,如果学生 对数学有兴趣,并且希望获得较高数学素养,除了按上面的要求获得 16 学分, 同时在系列 4 中获得 4 学分,总共获得 20 学分。 人文、社会科学同样需要有好的数学基础,在研制高中数学课程过程中,对 我们刺激最大的是人文、 社会科学家对数学的看法,他们殷切地希望具有较好数 学基础的学生能积极参加人文、社会科学的工作。学科综合化的发展,对综合人 才的需求,都是社会发展趋势。我们希望“学文”的同学也学好数学,这对社会、 对个人都有好处。 希望在理工(包括部分经济类)等方面发展的学生,在完成 10 个必修学分 的基础上,可以有两种选择。一种是,在系列 2 中学习选修 2-1,选修 2-2 和选 修 2-3,获得 6 学分;在系列 3 中任选 2 个专题,获得 2 学分;在系列 4 中任选 2 个专题,获得 2 学分,共获得 20 学分。另一种是,如果学生对数学有兴趣, 希望获得较高数学素养,除了按上面的要求获得 20 学分,同时在系列 4 中选修 4 个专题,获得 4 学分,总共获得 24 学分。

3、课程调整
对于高中学生来说,如果希望进入高等学校继续学习,有三种基本的选择方 式。第一种是希望进入艺术类和职业高等学校,简称“艺术” ;第二种是希望进 入理工科、经济等相关方向的学校,简称“理科” ;第三种是希望进入人文、社 会科学等相关方向的学校,简称“文科” 。高中学生需要确定自己发展的方向。 如果经过一段时间的学习,希望改变选择方向,例如,从第一种选择转到第 二或第三种选择,那么就需要在必修的基础上,继续选择选修 1、2 的课程学习。 对于选择了在“理科”方面发展的同学,如果他们希望转到“文科”学习, 可以根据自己的意愿和条件向学校申请调整,调整后,在所学知识要求方面不会 有任何困难。 对于选择了在“文科”方面发展的同学,如果希望转到“理工”学习,可以 根据自己的意愿和条件向学校申请调整,补充学习相应课程即可。一般来说,需 要补充学习的内容主要有:空间向量与立体几何、计数原理、概率(离散型随机
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变量模型) 。 对于要求进行课程调整的学生,学校都会给予支持,我们建议同学们从自 身的兴趣、特长出发,同时听取教师和家长的意见,为自己一生的发展作出合理 的规划。

三、数学课程的选择性
选择性是这次课程改革最大的变化之一, 我们将以内容作为载体来分析高中 课程的变化。 在人生的成长过程中,将不可避免地面临着选择,如何积极地面对选择,对 个人的发展来说,有时是至关重要的。高中应该是锻炼选择能力的最佳时期。在 1990 年的教学《大纲》中,将普通高中的课程分为必修课和选修课两部分,设 计了文科系列和理科系列的课程。在《标准》中,加大了选择性的力度,这是这 一轮课程改革最大的变化之一。理解新的数学课程《标准》 ,一定要认真的体会 选择性。这是设计课程《标准》的一个基本理念。

1.

选择性与系统性

(1) “体系”是数学课程的一个基本要求 同学们在学习高中课程时, 应该了解高中课程设计的原则。 不同的设计原则, 得到的课程体系就不同,以选择性作为前提,我们就会有一种设计。如果没有选 择性,会得到另一种设计。我们现在所学的课程,就是以选择性作为前提来设计 的。在理解我们整个数学课程时,应该对选择性有一个充分的认识,这是本书介 绍的重点。 (2)数学内容不是“线性序” 、学习数学是“线性序” 我们从义务教育开始就按照一定的顺序来学习数学。例如,我们在小学学习 了自然数,接着学习了自然数的加、减、乘等运算,它们之间有着严格的顺序关 系。然而,对于有些数学内容而言,目的不同决定不同的顺序。例如,在我们以 后要学习的导数这部分, 极限理论和导数及其应用就没有先后的顺序关系,我们 可以先学习极限理论, 然后, 用极限理论去认识一种重要、 特殊的极限——导数, 现在,数学系的课程数学分析就是这样安排的;我们也可以先从重要、特殊的极 限——导数入手,理解这种特殊极限的意义、作用、应用,把它作为认识极限理 论的一个阶梯,现在,高中课程标准就是这样安排的。当然,不同的顺序会有不 同的学习过程, 数学的内容本身存在内在的联系,但是这不影响我们学习数学的 过程。在整个高中课程的学习过程中,要特别注意这个问题。 我们熟悉的自然数、整数、有理数、实数,它们的基本特征之一是有“序” , 像一条直线一样, 把它们联系起来, 有大有小, 我们称之为有像直线一样的顺序, 简称线性序。数学内容就整体来说,不是“线性序” ,但是,对部分数学内容而
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言,它们保持一种“线性序” ,有严格的先后顺序关系。 我们在学习数学时, 教科书给我们规定了一定的顺序,我们应该很好的理解 这种顺序,以及它所反映的知识之间的逻辑关系。但是我们应该特别注意的是, 教材呈现知识之间的一种逻辑关系,这些知识之间本身也具有一定的逻辑关系, 它们有联系,也有区别。我们再通过一个例子加以说明。 例如,刻画直角坐标系中的直线。一点一个方向可以唯一的确定一条直线, 如何刻画直线的方向,即直线与 x 轴的交角。我们可以采取几种方法来刻画:可 以用三角函数来刻画, 可以用向量来刻画, 还可以用导数思想——变化率来刻画。 按照教材所安排的内容顺序,可以采取不同的方法来刻画直线的斜率。如果 在此之前我们学过了三角函数, 则可以用正切来刻画斜率;如果在此之前我们学 习了向量, 则可以用向量来刻画直线的方向;我们也可以利用导数思想——变化 率,直接刻画直线的方向。但是,三角函数,向量,导数,这三个知识本身没有 必然的逻辑关系。 通过这个例子,应该引起我们的思考。我们在学习一个知识点时,应该去考 虑这个知识点与我们所学过的知识之间的联系。就这个例子来说,对于直线斜率 的理解,可以通过三个角度——三角函数、向量和导数来考虑。当我们学过向量 之后就应该用向量的思想来刻画斜率。只有这样我们才能更好的认识直线的斜 率,更好的刻画直线的斜率。 同学们在学习高中课程时, 都需要经常的站在整个高中数学的角度,不断地 反思我们所学过的数学, 站在整个数学的角度,来看待我们所学习的每一个知识 点。而不是把本身相互联系的知识割裂开来。

2. 选择性——“选择选修课”

学生“选课”建议 作为学习者,学习知识是重要的。同样的,开阔视野、增长见识也是不可忽 视的,有时,这些是无形的,是在不经意中积淀的,但是,它们的作用确是长久 的、很大的。选修课程为学生开阔视野、增长见识提供了一个开阔的空间。有两 点,建议同学们认真思考。 有意识地发现、培养自己的兴趣。 在心理学上, 有的专家认为兴趣是先天的, 也有专家认为兴趣是后天形成的。 这些对我们来说不重要,重要的是知道“自己的兴趣是什么” 。兴趣概念是广泛 的,有人喜欢思考,有人喜欢动手;有人喜欢“理科” ,有人喜欢“工科” ,有人 喜欢 “文史科” , 有人喜欢 “医科” ;有人喜欢理论,有人喜欢应用;有人喜欢“电 影” ,有人喜欢“戏曲” ,等等。不同的人有不同的兴趣。也有一些人不知道自己 的兴趣所在,这总是个缺憾。发现、培养自己的兴趣会给自己带来快乐。 选修课的设置就是希望从不同的角度激发同学们学习数学的兴趣, 希望数学 能为同学们的发展提供帮助, 这是数学工作者的最高追求。我们将会想方设法努 力,让数学课程更有吸引力。也希望同学们努力发现、培养自己对数学的兴趣。 兴趣和职业的选择常常不尽如人意,这是很遗憾的,有些人拥有别人羡慕的 工作,但是,他们未必对自己的工作感兴趣。有人说:一个人最大的幸福是职业
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与兴趣的完美结合。同学们最大的优势是年轻,有选择的余地,发现、培养自己 的兴趣对你们未来的发展是非常重要的。 “兴趣”是成功的最持久的动力,有一次,当丁肇中教授被记者问及获得诺 贝尔奖的“秘诀”时,只说了两个字“兴趣” 。兴趣不仅促进人的成功,而且, 她会给人们的生活带来快乐。 有意识地发现、培养自己的特长。 特长和兴趣是有联系, 又有区别的。 在数学学习中, 有的学生善于计算, “数 感”非常好,善于发现“数、式”中的规律;有的学生图形想象力非常强,善于 发现“图形”中的规律;有的学生对数据有明锐的感觉,善于发现“数据”中的 有用信息;等等。每个人都有特长,不同的人特长不同,有一些人不知道自己的 特长所在,这也是个缺憾。 发现、培养自己的特长对同学们未来的发展同样是非常重要的。

四、 高中课程的整体把握
同学们在学习高中课程时要养成一个很基本的习惯, 就是要善于抓住贯穿整 个高中课程始终的几条主要脉络,我们把它们称之为主线。什么是主线?有哪些 主线?怎样抓住这些主线?我们下面提供一些建议, 有助于同学们在以后的学习 中更加的主动和积极? 主线之一——函数思想 为什么把必修 1 作为其它必修课程的基础? 最主要的原因是突出函数作为主线的作用和意义。 20 世纪初,在英国数学家贝利和德国数学家克莱因等人的大力倡导和推动 下, 函数进入了中学数学。 克莱因提出了一个重要的思想——以函数概念和思想 统一数学教育的内容,他认为: “函数概念,应该成为数学教育的灵魂。以函数 概念为中心,将全部数学教材集中在他周围,进行充分地综合。 ” 函数思想是贯穿整个高中数学课程始终的重要思想之一,因此,为了更好的 理解高中数学课程,需要弄清高中课程中函数思想的发展脉络。 1.在义务教育阶段,我们已经学习了函数的概念。在日常生活中,有两种 量——常量和变量。在义务教育阶段,通过大量的事实,帮助同学们了解在日常 生活中存在各种变量,例如,时间,路程、速度、加速度、温度、湿度等等。有 些变量和变量之间没有依赖关系,例如,速度和湿 度就没有依赖关系。有些变 量和变量之间存在着依赖关系,一个量的变化引起另一个量的变化。例如,在物 理中刻画物体运动时,路程随着时间的变化而变化,又例如,世界人口数量是随 着时间的变化而变化的。 这些变量之间都有着密切的依赖关系。这样的例子比比 皆是。通过大量的实例,就建立起了反映变量之间相互依赖关系——函数关系。 虽然这样的描述并不是十分严格,但是这是认识函数关系的重要视角。 2.在高中阶段,我们的知识更加丰富了。我们利用更丰富的实例认识到, 函数是刻画日常生活和其他学科规律的重要数学模型。在高中数学中,函数模型 应该占有很重要的地位。我们到任何一个生活情景中,例如邮局、加油站、机场
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等等。在这些地方,都会发现许多描述规律的函数关系。参看以下实例。 例如,人们早就发现了放射性物质的衰减(衰变)现象.在考古工作中,常 用碳 14C 的含量来确定有机物的年代.已知放射性物质的衰减服从指数规律: C(t)=C0e?rt. 其中 t 表示衰减的时间, C0 表示放射性物质的原始质量, C(t)表示经衰减了 ( t 年) 后尚存的质量,e 是一个无理数常数,约等于 2.72. 为计算衰减的年代,通常给出该物质质量衰减一半的时间,称其为该物质 的半衰期,碳 14C 的半衰期大约是 5730 年,由此可确定系数 r.人们又知道,放 射性物质的衰减速度是与其质量成正比的. 1950 年在巴比伦发现一根刻有 Hammurbi 王朝字样的木炭, 当 时测定,其碳
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C 分子的衰减速度为 4.09 个/每克每分钟,而新砍
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伐烧成的木炭中碳

C 的衰减速度为 6.68 个/每克每分钟.我们可

以估算出 Hammurbi 王朝所在年代. 事实上,因为碳 14C 的半衰期是 5730 年.所以建立方程
1 =e-5730r. 2

解得 r=0.000121,由此可知碳 14C 的衰减规律服从指数型函数 C(t)=C0e-0.000121t. 设发现 Hammurbi 王朝木炭的时间(1950 年)为 Hammurbi 王朝时期后的 t0 年.因为放射性物质的衰减速度是与其质量成正比的,所以
C (t 0 ) 4.09 ? . C0 6.68

于是 e ?0.000121t0 ?

4.09 . 6.68

两边取常用对数,得

-0.000121t0=ln4.09-ln6.68 .

得 t0=4054 (年).即 Hammurbi 王朝大约存在于公元前 2100 年. 3.在此基础上,我们进一步抽象概括出了函数的严格数学定义。函数关系 像一座桥梁把两个变量联系起来,形象的说,在直角坐标系中,函数图像就像一 座桥梁把变量 x 和 y 联系起来了。 4.知道了函数的定义之后,我们又如何去研究它的性质呢? 我们先来认识一些具体函数的模型,分段函数,简单的幂函数、指数函数与 对数函数、三角函数。结合这些函数,我们引入了刻画函数变化的单调性、周期 性、奇偶性等基本的性质。 单调性是中学阶段函数最基本的性质之一。 一旦我们弄清了一个函数的单调 性, 就能刻画出这个函数图形的基本形状, 以及这个函数变化的基本状况。 例如, 3 简单的幂函数 y=x ,当我们知道它在整个实数范围内是单调递增的,那么就可 以刻画出函数 y=x3 的图形的基本形状以及它的变化。 周期性也是中学阶段函数的一个最基本的性质。 我们生活在一个周期变化的
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世界里。因此,学会用周期的观点来看待周围事物的变化是非常重要的。周期函 数,比如,正余弦函数、正余切函数都是刻画周期变化的函数模型。用周期的观 点来研究函数,可以使我们集中研究函数在一个周期里的变化,在此基础上,就 可以了解函数在整个定义域内的变化情况。 奇偶性也是我们在中学阶段要研究的函数的性质,但是它不是最基本的性 质。 奇偶性反应的是函数图形的对称性质,可以帮助我们更加准确和集中的研究 函数的变化规律。 5.对函数的研究一定不能停留在抽象的讨论,同学们应该在头脑中建立起 几个重要的模型。 同学们应该在头脑中留下几个具体的实际模型,比如,分段函数,以及基本 的函数模型,比如,简单的幂函数、指数函数与对数函数、三角函数。结合这些 函数,不断地加深对于函数的定义、性质以及函数研究方法的理解。再通过这些 模型,理解函数与其他数学知识之间的联系,例如,指数函数的性质:a α+β=aα?aβ. 不严格地说,它把定义域中的加法运算变成了函数值的乘积运算。所以当 a>1 时,指数函数增长得很快的原因就在于此。 6.学习函数一定要突出函数图形的地位。不管是用解析式、图表法还是图 像法去刻画一个具体函数时, 我们都建议同学们在脑子里形成一个图形。只有把 握住图形才能把握住一个函数的整体情况, 这样的学习习惯有助于提高运用几何 思想、把握图形的能力。所以,我们常常说学习函数要体现数形结合。 7.函数是刻画客观世界的一个基本数学模型。因此,对于函数的学习,应 该与体会、 感受和运用函数解决问题有机的结合起来。同学们应该去思考函数的 应用问题。 思考函数在日常生活和其他学科的应用,可以在教学中渗透数学建模 的思想。 例如,心电图就是一种时间和心跳频率的函数关系

例如,股市行情图也是反映了一种函数关系。

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8.在高中数学课程中,我们通过函数的学习逐步形成了映射的思想和映射 的定义, 函数是两个实数集合之间的一种对应关系,而映射是两个集合之间的一 种对应关系。映射能够帮助我们更好的理解两类物体之间的“桥梁关系” 。映射 的思想和函数的思想在本质上是一样的,只是它们连接的两类对象不同。在运用 函数(映射)的思想解决问题的过程中,我们会不断加深对于函数桥梁作用的理 解。 例如,当环境温度改变时,人体代谢率也有相应的变化,实验数据如下: 环境温度(℃) 代谢率(4185J/h·m2) 4 60 10 44 20 30 38

40 40.5 54

这组数据能说明什么? 代 谢 率 在这个实际问题中出现了两个变量, 一个是环 2 (4185J/h·m ) 境温度,另一个是人体的代谢率.不难看出,对于 60 · · 每一个环境温度都有唯一的人体代谢率与之对应, 50 · · · 这就决定了一个函数关系. 实验数据已经给出了几 40 30 个特殊环境温度时的人体代谢率, 为了使函数关系 更直观, 我们将表中的每一对实验值在直角坐标系 中表示出来.在医学研究中,为了方便,常用折线 0 10 20 30 40 温度℃ 把它们连接起来,如图 4-5. 图 根据图象,可以看出下列性质: 4-5 (1) 代谢率曲线在小于 20℃的范围内是单调下降的,在大于 30℃的范围内 是单调上升的; (2) 环境温度在 20℃~30℃时,代谢率较低,并且较稳定,即温度变化时, 代谢率变化不大; (3) 环境温度太低或太高时,它对代谢率有较大影响. 所以,临床上做“基础代谢率”测定时,室温要保持在 20℃~30℃之间, 这样可以排除环境温度的影响. 在这个问题中,通过对实验数据的分析,可以确定变量之间的函数关系,它 是由{4,10,20,30,38}到{60,44,40,40.5,54}的一个映射,通过描点, 并且用折线将它们连接起来, 使我们得到了一个新的函数,定义域扩大到了区间
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[4, 38], 对于实际的环境温度与人体代谢率的关系来说,这是一个近似的函数关 系,它的函数图象,可以帮助我们更好地把握环境温度与人体代谢率的关系. 函数在温度和人体代谢这两类量之间建立起一座桥梁。 9. 函数的思想对于其他部分数学内容的学习,发挥了很大的作用。 当我们用函数的观点来看待方程的时候,由函数 y=f(x) 所决定的方程是 y=f(x)=0,求方程的解就变成了思考函数图形与 x 轴的相交关系,变成了考虑函 数的局部性质。 能否运用函数整体的性质去讨论方程的求解问题呢?在高中课程 中我们介绍了二分法求解方程。 这种二分法解方程体现了这样一种思想:用函数 的整体性质讨论函数的局部性质。具体的说,在 [a,b]上,给定一个连续函数,若 f(a)与 f(b)的符号不相同, 那么函数图像会从 (a, f(a)) 点出发穿过 x 轴到达 (b, f(b)) 点。这样的性质就能帮助我们运用二分法近似的求出方程的解。 例如,判断方程 x2?x?6=0 的根的存在性。 y A 1 解:考察函数 f(x)=x2?x?6,其图像为抛物线,如图 4-1。 4 容易看出,f(0) = ?6<0,f (4) = 6>0,f(?4) =14>0, 由于函数 f(x)的图像是连续曲线,因此点 B(0, ?6)与点 C(4, 6)之间的那部分曲线必然穿过 x 轴,即在区间(0, 4)内必有一点 x1,使 f(x1)=0;同样,在区间(?4, 0)内也必有一点 x2,使 f(x2) =0。所以,方程 x2?x?6=0 有两个实根。我们可以用学过的解方 程的方法来验证这个结论。 ?4 x 0 ?6 B 4 6 C

同学们应该注意用函数的观点来讨论不等式的问题。 不等式 图 4-1 是高中必修课程中一个重要的内容,例如,一元二次不等式,简 单的线性规划问题。 用函数的观点看待这些问题,有助于更好的理解这些知识本 身。 在高中课程中,函数与数列、函数与导数及其应用、函数与算法、函数与概 率中的随机变量、函数与选修 3、4 中的大部分专题内容都有着密切的联系。用 函数(映射)的思想去理解这些内容,是非常重要的一个出发点。反过来,通过 这些内容的学习,更加深了对于函数思想的认识。 10.在大学的数学中,函数(映射)的思想依然发挥着重要的作用。例如, 数学系的课程中,数学分析、实变函数、复变函数、常微分方程、偏微分方程、 泛函分析等等。 这些学科都是从不同角度研究函数所构成的课程。 值得一提的是, 在对其他课程的学习中函数(映射)思想仍然起到了重要的作用,例如,群结构 中的同态、同构;度量结构中的保距;拓扑结构中的连续、同胚;序结构中的保 序、同构;等等。这些都是极其重要的映射。 11.函数思想是高中数学课程的一条主线,从一个角度链接起了高中数学课 程的许多内容。 有了这条主线就可以把数学的知识编织在一起,这样可以使我们 对知识的掌握更牢固一些。我们学习数学是线性序,但数学本身不是线性的。我 们可以从一个知识出发,推出后面的知识,同样我们也可以从另一个知识出发, 按照一定的顺序推出来。 如果我们对这个网有了深刻的认识,可以从不同的角度 从局部到整体,再从整体到局部与所学的知识进行呼应。

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在高中数学课程中起重要的作用的基本思想还有:几何思想、算法思想、运 算思想、随机思想、统计思想。它们是贯穿整个高中数学课程最基本最重要的数 学思想。 他们同样也是高中数学课程的主线。这几条主线交织在一起就构成了一 张无形的网, 把整个高中数学课程的知识点融会贯通在一起。只要我们理清了这 张网,我们就能在高中数学的学习中任意驰骋、游刃有余。 主线之二——几何思想(把握图形的能力) 1. 几何思想主要是想培养同学们把握图形的能力。把握图形的能力包括空 间想象力、直观洞察力、用图形的语言来思考问题的能力。借助几何这个载体, 培养学生的逻辑推理能力。 2. 几何课程的设计分为两部分,一部分是几何本身;另一部分是运用几何 思想、把握图形的能力去思考其他的数学问题。 3. 几何内容分为立体几何和解析几何。立体几何分为必修中的“立体几何 初步”和选修 2-1 中的“空间向量与立体几何” 。解析几何分为必修的“解析几 何初步”和选修 1-1 和选修 2-1 中的“圆锥曲线” 。每一部分的定位我们将在选 修必修的内容分析时给予详细的说明。 4. 我们应该把几何思想(把握图形的能力)渗透到高中数学学习的各个方 面。例如,在函数的学习中,一定要突出函数图形的地位。又如,在思考数学问 题的时,能画图尽量画图,目的是把抽象的东西直观的表示出来,把本质的东西 显现出来。在数学学习时,应该帮助同学们养成一种用直观的图形语言,刻画、 思考问题的好习惯。 主线之三——算法思想 1. 算法思想是贯穿高中课程的一条主线,算法思想就是指按照一定的步骤, 一步一步去解决某个问题的程序化思想。 2. 在课程设计中算法分为两部分,一部分是介绍算法的基本思想和基本知 识。另一部分是把算法思想渗透到高中课程的其他内容中。 3. 算法的基本思想和基本知识的学习遵循以下原则:同学们通过熟悉的实 例和数学中的实例来学习,并且通过动手实践,在做中学习、体会、理解算法的 基本思想。 例如,在电视台的某个娱乐节目中,要求参与者快速猜出物品价格。主持人 出示某件物品,参与者每次估算出一个价格,主持人只能回答高了、低了或者正 确。下面是主持人和参与者的一段对话: 参与者:800 元! 主持人:高了! 参与者:400 元! 主持人:低了!
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参与者:600 元! 主持人:低了! ?? 如果你是参与者,你接下来会怎么猜? 分析: 如果我们用 P 表示商品的价格. 由主持人的第一个判断, P 在 0 至 800 元之间; 由主持人的第二个判断, P 在 400 至 800 元之间; 由主持人的第三个判断, P 在 600 至 800 元之间; 根据参与者的猜测,我们知道,首先参与者需要确定商品价格的范围,数学 上一般可以用区间来表示,然后报出区间中点,根据主持人的判断,将价格区间 缩小一半。 因此,我们知道下一步参与者要猜的数应是 700 元,根据主持人的判断继续 报价。 实际上,我们可以把上述过程概括如下: 1.报出首次价格; 2.根据主持人的判断确定价格区间 1) 报价小于商品价格, 则继续报出较高价格, 如果报出商品 准确价格,游戏结束;否则,某次价格 P1 会大于实际价 格 P,从而确定商品的价格区间为(P‘,P1),其中 P‘是 P1 之前报出的价格; 2) 如果报价大于商品价格,并记报价为 P1,则商品的价格区 间为(0, P1); 3) 如果报价等于商品价格,则游戏结束。 3.如果游戏没有结束,并设得到的价格区间为(T1,T2)报出价格区间的 中点 T3; 4.根据主持人的判断确定价格区间 1)如果 P> T3,则商品价格区间为(T3,T2) ; 2)如果 P< T3,则商品的价格区间为(T2, T3); 3)如果 P=T3,则游戏结束。 按照上述方法,继续判断,直到游戏结束。像这样的一系列步骤通常称为解决这 个问题的一个算法。 4. 介绍算法的基本思想和基本知识的几个步骤: 用自然语言描述算法; 用框图语言描述算法; 用基本语句(伪代码)描述算法。 有条件的地方可以使用程序语言描述算法,并上机操作。 5. 算法思想强调的是通性通法,而不去关注问题的特殊性。 6. 算法思想可以很好的培养同学们的逻辑推理能力。

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主线之四——运算思想(运算对象与运算性质) 1. 运算思想是数学中最重要的思想之一。代数问题就是运用运算法则可以 解决的问题。 2. 在高中课程中,有两部分内容集中的介绍了运算:一部分是向量,包括 平面向量和空间向量;另一部分是数系的扩充与复数。 3. 在高中课程的其他内容中,也渗透了一些其他的运算对象和运算规律, 例如,在指数、对数、三角函数等内容的学习中,蕴含着一些新的运算法则。又 例如, 在不等式的学习中, 非常重要的技能就是灵活的运用各种运算法则进行恒 等变形, 这是学习数学的基本功。全面地梳理高中课程中的运算对象和运算法则 是非常有意义的。 4. 从自然数、整数、有理数、实数、复数,构成了一个数系扩充的链。实 际的需求是数系扩充的动力之一, 保持运算的封闭和保持基本运算法则成立是数 系扩充的另一个动力。 5. 字母代替数,字母构成的代数式,以及它们所保持的运算法则,这些是 呈现高中课程内容的基本载体。 灵活的运用这些运算法则进行恒等变形,是掌握 高中课程内容的基本技能。 6. 向量进入中学,这是中学课程的一个重大的变化,向量是一个重要的运 算对象,向量的加法、向量的减法是向量自身的运算,向量的数乘是两种运算对 象的运算, 向量与向量的数量积是一种新的运算形式,它们蕴含着一些运算的规 律。从代数上来说,向量极大的丰富了运算规律,使得我们对运算的认识提高到 一个新的水平。还要特别指出的是,尽管向量的内涵很丰富,但是,作为数学研 究对象来说,它还是简单、易懂并且容易掌握的。这里我们仅从运算的角度介绍 了向量的作用,在必修和选修内容的分析中,我们还将详细的分析向量的作用。 我们可以进一步体会到,运算在研究其他数学问题中的作用。 主线之五——随机思想与统计思想 1. 随机思想是认识随机现象和统计规律的重要思想,统计思想主要体现在 把握数据的能力,养成会用数据“说事” ,收集数据,整理数据,分析数据,从 数据中提取信息, 并利用这些信息说明问题, 在这个过程中, 形成对数据的敏感, 养成会用数据“说事”的习惯。随机思想渗透在统计的过程中,这两部分内容联 系非常紧密,在中小学阶段,统计的分量要更大一些。在高中阶段,随机思想和 统计思想的介绍分为两部分,在必修中,设计了概率初步和统计初步的内容;在 选修 1-2 和选修 2-2 中,设计了统计案例;在选修 2-3 中,设计了对于概率的进 一步理解,理解随机变量和一些离散的随机变量模型。 2. 我们希望同学们通过对必修中统计课程的学习,对统计有一个初步的认 识。同学们可以通过案例体会统计的全过程:收集数据、利用图表整理和分析数 据、求出数据的数字特征、进行统计推断。在这个过程中,进一步体会随机思想
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和统计的重要性。 3.我们希望同学们通过必修中概率课程的学习,通过对日常生活中各种随机 现象的体会,能够对概率的概念有一个较好的认识,例如,降水概率、彩票的中 奖率等等随机现象。通过古典概型和随机模拟了解概率的意义和初步的应用。 4. 在选修 2-3 中, 我们能够认识到分布列是描述随机现象的规律。 通过一些 典型的分布列,例如二项分布、超几何分布等,进一步体会概率在研究随机现象 中的作用。 5. 在选修 1-2 和 2-2 中,介绍了几种常见的统计案例。 6. 随机思想与传统的数学思想有比较大的不同。有的方法看起来不难,但 是理解起来还是有困难的, 建议同学们通过大量具体案例的学习,来帮助自己理 解随机思想的实质。在统计课程中,案例教学是基本的教学模式,通过对案例的 学习体会数据处理的过程和思想。 以上对这几种基本思想作了一个初步分析, 它们彼此之间的联系是值得思考 的另一个重要问题。例如, “运算思想”与“几何思想”的联系,就是解析几何 的基本思想。同学们在学习的过程,应该不断地加以补充、完善。这也是我们留 给同学们思考的问题。

五、数学课程内容定位——必修与选修系列 1、2
“立体几何初步” (必修 1)与“空间向量与立体几何” (选修 2-1) 对于“立体几何初步” (必修 1)与“空间向量与立体几何” (选修 2-1) ,我 们建议同学们在学习的过程中,必须明确以下几点: 1. “立体几何初步”是所有学生都需要学习的内容。 “空间向量与立体几何” 是希望在理工科方面发展的学生需要学习的内容。 2. “立体几何初步”的教学目标主要是培养学生的空间想象能力,培养学生 用直观的图形语言描述、刻画、洞察图形的性质。在此基础上,学会论证一些简 单的几何性质和结果。 这部分内容的目标是能够定性的、直观的把握图形。为了实现这个目标,我 们设计了三个方面的内容。 一是,通过对三视图的学习,让同学们形成空间想象能力,以及立体图形与 平面图形之间转换的能力。在这一过程中,我们不仅要强调观察和操作,包括实 物操作和绘图操作。 在条件允许情况下, 也可以利用信息技术。 还应该强调的是, 同学们尽量用脑子去想象图形,学会把观察到的和动手操作的东西都印在脑子 里。例如,如下图所示,通过三视图培养同学们的空间想象能力

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二是,要学会画直观图。我们不仅要学会在平面上绘制空间的简单图形,与 此同时,还应该在脑子里印出所绘平面图形的空间形象。 三是,空间中点、线、面的位置关系。我们在这部分要经历两个过程: 一个过程就是,以长方体为载体认识点、线、面的位置关系。值得注意 的是, 长方体是认识基本图形位置关系的基本模型,我们建议教师在教授立体几 何时,要充分利用这个直观的基本模型。

a A α c (1) B b

A α

a b β

α β

(2)
图 1-16

(3)

通过这个载体,我们可以清晰地看出空间图形点、线、面的基本关系,以及 它们所满足的性质。 另一个过程就是, 要学会用数学语言,特别是符号语言来叙述和刻画这 些基本图形的位置关系。 。 在这两个过程中, 我们建议同学们在教师的帮助下建立图形语言和符号语言 的关系。同学们应该养成通过具体图形,思考抽象问题的习惯。这是我们学习几 何学时的一个基本习惯, 也是我们学习数学其他内容的基本习惯。同时在经历这 两个过程中,我们也希望同学们能够证明一些图形的简单几何性质。 3. 在高中数学中,为什么要强调向量? 同学们已经学过很多的运算,向量蕴含着一种新的运算,它将给我们揭示很 多丰富的内涵。 首先,向量是代数的对象。它可以进行运算,而且运算是丰富的,例如,向 量的加法,向量的减法,向量的数乘,向量的内积等等。它们从不同的角度反映 了向量的基本性质。 这些运算蕴含着许多的运算规律,这些规律比数的运算规律 更丰富,通过这些运算可以解决很多问题。
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其次,向量是几何的对象。向量与点是一一对应的,用它可以表示点;一个 点和一个向量可以表示过这个点,且与这个向量平行的直线;一个点和一个向量 可以表示过这个点,且与这个向量垂直的平面。因此,向量可以描述、刻画和替 代几何中的基本研究对象——点、线、面,所以,向量也是几何对象。 所以,向量它不仅仅是一个计算的工具,更重要的就是,它还是连接代数与 几何的天然桥梁。一方面,向量的运算可以解决几何中的问题。比如,两直线是 否垂直的问题, 就可以转化为两个向量的点积是否为零的问题。向量就实现了利 用代数方法来解决几何问题。另一方面,对于代数问题,通过向量可以给予几何 的解释。比如,两个向量的点积为零,那么就说明这两个向量所表示的直线是相 互垂直的。 向量所发挥的作用, 是用代数方法处理几何问题思想的集中反映。我们就是 在空间想象能力的基础上,通过向量这个载体,实现立体几何中的演绎、证明和 计算的。 向量还具有强烈的物理学的实际背景, 物理学中有两种基本量: 标量和矢量。 矢量遍布在物理学的很多分支,比如重力、摩擦力、位移、速度、加速度等。虽 然,物理学中的矢量与数学中的向量并不完全相同的,例如,力,它除了有方向 和大小,还有作用点,数学中的向量则只有方向和大小,没有作用点。但是,这 并不影响向量在物理学中的作用。 4. “空间向量与立体几何” 在这部分有两个基本问题,一个是空间中图形的位置关系(相交和平行) , 另一个是空间中图形的度量关系(点到线、点到面、线到面的距离和线与线、线 与面、面与面的角度) 。 我们可以发挥向量的作用,用向量的方法来解决空间图形的问题。 (删去) 我们可以发挥向量的作用,用向量的方法来解决空间图形的问题。例如,可 以用向量来证明三垂线定理, 若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该 平面内的投影,则这两条直线垂直。

证明:如图所示,已知 a∈π ,n⊥π ,a⊥c,则需证 a⊥b. 设直线 a、b、c、n 的方向向量分别是 a、b、c、n。 因为 b、c、n 共面,根据平面向量基本定理,存在实数λ μ 使得 b=λ c+μ n, 所以 a·b=λ (a·c)+μ (a·n) 。 又由于 a⊥c,所以 a·c =0; 因为 a∈π ,n⊥π 所以 a⊥n,即 a·n =0。 所以 a·b=0,即 a⊥b. 又例如,求平面外一点到平面的距离,用向量的方法就很容易解决。

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如上图所示, 已知空间一点 P 和向量 n, 设π 是过点 P 垂直于向量 n 的平面, A 是平面π 外一定点。 设 AA, ⊥π ,垂足为 A,,则点 A 到平面π 的距离等于线段 AA,的长度。而向 量 P A 在 n 上的投影大小| P A ·n0|等于线段 AA,得长度,所以点 A 到平面π 的距 离 d=| P A ·n0| 5.我们没有必要把较复杂的证明内容放在必修的“立体几何初步”中。这 样做既不公平,又会使得两极分化过早的出现。所以,我们在必修中尽量选择简 单的图形性质来进行推理和证明。 对于优秀的同学, 要建立好的直观能力和空间想象能力也并非易事,而好的 几何直观能力和空间想象能力, 对同学们的长远发展是非常重要的。对于一般的 学生, 当他们有了一定的几何直观基础之后,再去理解较复杂的推理和论证就更 加容易了。因此,如何开设必修内容,如何设计出便于学生学习和接受的课程资 源, 这些问题都需要教师和同学们不断的思考,我们也希望教师能够不断地开发 课程资源来满足学生学习的需要。 “解析几何初步” (必修 2)与“圆锥曲线” (选修 1-1、选修 2-1) 1.解析几何是我们比较了解的内容,解析几何有两个核心的东西:一个就 是建立坐标系;另一个就是在坐标系中建立曲线与方程的关系。 在“解析几何初步”这部分内容中,我们对于直角坐标系进行了更加深入的 再认识,而后,我们以圆和一般的直线为研究对象,讨论曲线和方程的关系,展 示了解析几何的基本思想。 在“圆锥曲线”这部分内容中,我们以圆锥曲线——椭圆、抛物线和双曲线 为研究对象,在直角坐标系中,讨论圆锥曲线和相应曲线方程的关系。进一步加 深了我们对于解析几何核心思想的理解。 2.圆锥曲线是重要的数学对象,是我们生活中最基本的图形。圆锥曲线无 论是在人文社会科学,还是在理工自然科学中,都是需要重点掌握的内容。其原 因分析如下: ①圆锥曲线能很好的体现解析几何的思想。即便是在大学数学系的学习中, 解析几何仍然是重要的基础课。 ②圆锥曲线(面)是在我们生活的世界中,一个最基本的图形。它可以帮助 我们刻画最基本的运动。例如,太阳系中,九大行星的运动轨迹都是椭圆。
? ? ?

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例如,2003 年 10 月 15 日,我国自行研制的首个载人宇宙飞船“神州五号” 在酒泉卫星发射中心胜利升空, 实现了中华民族千年的飞天梦,飞船进入的是距 地球表面近地点高度约 200 公里,远地点约 350 公里的椭圆轨道(地球半径约为 6370 公里) 。

③光学性质和圆锥曲线是密不可分的。 基本的光学性质都是由圆锥曲线体现 出来的。例如,探照灯就是利用抛物线的光学性质制作而成,因此它发出的光线 是平行光,才能照射到足够远的地方。 3. 我们一定要把握好必修和选修之间的差异,还一定要控制好必修和选修 的难度。 解析几何的内容是可以无限拓展的,可以设计出很困难的习题。而在中学阶 段,我们只能通过解方程来实现,但是这种方法不是讨论解析几何的主要方法, 将来我们还要引进更好的工具来解决复杂的解析几何问题。因此,在中学阶段, 我们主要是希望帮助学生掌握解析几何的两个核心——建立坐标系和在坐标系 中建立曲线与方程的关系。 4.在解析几何的教学中,我们一定不要忘记解析几何是几何学的一个组成 部分。因此,我们随时随地都需要运用直观的图形语言,帮助我们理解解析几何 中的问题。值得提出来的是,在解决解析几何中的问题时,画图(示意图)应该 是一个基本的学习习惯。 “概率” (必修 3)与“概率” (选修 2-3) 1.不论是“概率” (必修 3)还是“概率” (选修 2-3) ,我们的基本目标都 是,希望能够帮助同学们对随机思想有一个更清晰的理解。 我们希望同学们通过“概率” (必修 3)和“概率” (选修 2-3)的学习, 能够解释日常生活中出现的随机现象的问题。 2.在必修 1 中,我们通过三个方面的努力,逐渐加深了对于随机思想的认 识。这三方面指的是:i.通过日常生活中的随机事件,体会随机性。例如,对 降水概率的理解。ii.介绍了两个基本的刻画随机现象的模型——古典概型和几 何概型。iii.介绍了体现随机思想的模拟方法。 3.在选修 2—3 中,我们又以离散的随机变量及其分布为载体,进一步体 会如何刻画随机事件,以及如何更加透彻的理解随机思想。 4.古典概型和排列组合的关系。古典概型是体现随机现象的一种模型。介 绍古典概型的目的是为了加深对随机现象的认识,以及加深对随机思想的理解。 这是基本的目标。 在计算古典概型时,我们需要估计基本事件的总数和某个随机 事件的结果包含的随机事件的总数。这二者的比值就是古典概率。但是这是属于
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计数问题。 排列组合会加大计数问题的难度, 会淡化对计数结果所起作用的理解。 所以, 我们要求这一类计数问题都能够通过穷举的办法去实现计数的目标。这样 就突出了对随机思想的体会。 否则就会喧宾夺主, 冲击我们对于教育目标的实现。 例如,两个黑球和两个白球除颜色外均相同。现将球依次取出,求第二次取 到黑球的概率。 解法一 把这四个球编号,例如黑球编号为 1、2,白球编号为 3、4,把这 四个球依次取出有 4×3×2=24 种可能。第二次取到黑球有 2×3×2=12 种可能。 则第二次取到黑球的概率为
12 ? 0 .5 24

解法二

只需考虑取到前两个球时的情况,从四个球中依次取出两个有 4×3=12 种可能 第二次取到黑球有 2×3=6 种可能。则所求概率为
6 ? 0 .5 12

解法三 不考虑球的编号,把 4 个球依次取出,相当于在 4 个位置上放两 个相同的黑球和两个相同的白球,一共有 6 种放法,其中第二个位置放黑球有 3 种放法。 则所求概率为
3 ? 0.5 6

解法四 只关心第二次取到的球,无非是 1、2、3、4 号球 4 种可能。取 到黑球即:取到第 1 或第 2 号球。则所求的概率为
2 ? 0.5 4

当然,在进行选修 2—3 中计数问题的讲授时,也可以选一些古典概率的问 题。 5)新内容——例如,算法 算法是课标中新增加的内容,算法思想是贯穿高中数学课程始终的重要思 想。 1. 通过同学们熟悉的、学过的数学和生活中的实例,例如,解一元二次方 程,解二元一次方程组等。帮助同学们对于算法思想初步理解。 2. 同学们通过具体实例,学会用自然语言来描述算法。 3. 通过具体实例,用框图来描述算法。希望同学们掌握几种基本的结构: 顺序结构、选择结构和循环结构。其中,循环结构相比而言更加困难,因为循环 结构要能清楚的确定循环体的起始和结束,而确定循环体的起始和结束,关键要 用变量来刻画起始和结束的条件,本质上还是体现函数的思想。 4. 用基本语句来描述算法,在这里我们强调的是最基本、最通用的语句: 输入输出语句、赋值语句、选择语句和循环语句。
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例如,二分法求解方程。我们知道,对[-1,5]上的函数 y=f(x),若 f(-1)· f(5)<0, 则存在ξ ∈ [-1,5],使 f(ξ )=0。如何求出方程 f(x)=0 的近似解呢?即如何求出 c ∈ [-1,5],使|c-ξ |<0.001? 首先,用自然语言表达求解步骤 第一步,确定有解区间[a,b] 第二步,取[a,b]的中点 第三步,计算函数在中点处的函数值 第四步,判断中点处函数值是否为 0 第五步,判断新的有解区间的长度是否小于ε 再用框图语言表达求解步骤

最后,用基本语句表达求解步骤 输入ε ; a:=-1; b:=5; repeat If a?b f( ) ?0 2 then 跳出 repeat 循环; else if a?b f(a) ? f ( ) ?0 2
a?b then b:= 2

else a:=

a?b 2

until b-a < ε ; 输出
a?b 2

.

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5. 我们建议,条件允许的地方,同学们不妨上机操作、调试程序。 6. 可喜的是,通过一年的试验,算法这部分内容,还是对同学们还是(删 去)很有吸引力的内容,是提高学生兴奋点的内容。 7. 在算法的讲授过程中,最重要的是这里提到的前三点。

六、高中数学课程内容定位——选修系列 3、4
对于选修系列 3、4 的专题,同学们可以从几个不同视角来认识。 选修系列 3 的六个专题可以按照以下方式进行分类: 文化类:选修 3-1 代数类:选修 3-6 选修 3-4 几何类:选修 3-3 选修 3-5 应用类:选修 3-2 数学史选讲 三等分角与数域扩充 对称与群 球面几何 欧拉公式与闭曲面分类 信息安全与密码

选修系列 4 的十个专题可以按照以下方式进行分类: 代数类:选修 4-5 不等式选讲 选修 4-4 坐标系与参数方程 选修 4-6 初等数论初步 几何类:选修 4-2 矩阵与变换 选修 4-1 几何证明选讲 分析类:选修 4-3 数列与差分 应用类:选修 4-7 优选法与试验设计初步 选修 4-10 开关电路与布尔代数 选修 4-9 风险与决策 选修 4-8 统筹法与图论初步

下面我们就选修系列 3、4 中,在各专题中起关键作用的数学思想的进行 具体分析,希望同学们能够从中得到启示和数学感悟。 (删去) 下面我们对选修系列 3、4 的专题进行具体的分析,希望同学们能够从中 得到启示和数学感悟。 选修 3: 选修 3-2 信息安全与密码 a)信息安全与密码研究什么问题呢?这个问题的答案其实是同学们很容 易理解的。比如,有一个信息,我们要把它告诉甲,并且不希望甲以外的人知 道这个信息的含义。为此我们就需要对这个信息加密,然后再传输给甲,甲再 通过解密就可以获取信息。这个过程可以用图示清晰地表示出来。
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b)在解决这件事情的过程中,加密和解密是最重要的。从上 图不难 看出, 加密的过程其实就是函数作用的过程,就是一个函数作用在一个数上得 到一个函数值的过程; 解密的过程其实就是函数反作用的过程,就是把函数值 还原成自变量的值的过程。所以,我们不难看出,加密函数和解密函数是互为 反函数的, 显然, 加密函数也肯定是一个一一对应的映射, 这样就可以保证 “加 得进去”也能“解得出来” 。 c)加密和解密的方法是在不断发展的,是随着人们对于安全要求的增加 而不断提高的。 ①加密函数和解密函数是互为反函数的, 因此每传输一个信息就要有一对 这样的函数。 如果 100 个人之间要传输信息,那么每两个人传输一条信息都需
2 要一对加密解密函数。那情况就变得很复杂,一共需要 c100 对,大约是 5000

多对。 ②这 100 个人要相互传输信息,则每个人都需要掌握 99 对加解密函数。 这样显得很繁琐,能不能每个人只用一对加解密函数,就可以与 100 个人通信 了呢?这样一来加密函数就必须公开。要是有一种单向函数,即,它所确定的 加密解密函数对, 解密函数一般不易破解出来。 那么保密的问题就迎刃而解了。 于是,利用单向函数我们就可以建立起与多个人通信的公开密钥系统。 ③公开密钥系统只需要 100 对加解密函数,就可以实现 100 个人互相通信 了。具体工作原理如下: 用户A1需要把信息(明文)x发给用户A2,操作程序如下: i.用户A1在公钥簿上查找到A2的公钥E2; ii.用E2对信息 x 进行加密,得到y=E2(x),并将密文y发给用户A2; iii.用户A2收到密文y,用自己的私钥D2进行解密,得到 D2(y)=D2(E2(x) )=x。 这样用户A2就收到了用户A1发来的信息 x。 其他人即使知道密文y是发给用户A2的,也能查到A2的公钥E2,但是 由于从E2求D2非常困难,在需要的保密时间内是不能把y恢复成明文 x。 这样,100 个用户只需要拥有 100 对函数对{Ek,Dk} ,其中Ek(1≤ k≤100)完全公开,用户Ak只需保留自己的一个私钥Dk就可以与 100 各用 户自由通信。 采用这种公开密钥体制, 保密通信体系就大大减少了每个用户保存的密钥 数量,从可以减少很多失误。信息安全水平因此大大提高了。 d)不难看出,函数的思想是本专题的核心思想。 e)关于建立单向函数需要数论的知识,是有一定难度的。我们在这里选 择一些简单的单向函数,让同学们能够初步体会它的作用。 选修 3-3 球面几何 a)我们都很熟悉平面几何,平面几何有两个基本的图形——点和直线,由
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此产生了很多平面图形。再从一些基本的事实,比如,平行线的性质、勾股定 理等出发,可以得到平面图形的基本性质。 b)在球面上有直线吗?如果有,会是什么样的呢?和平面上直线的性质相 同吗?这种与平面几何类比的思想,以及在平面几何中的“公理”思想(从一些 基本的事实出发,利用演绎推证构成一个体系) ,这些是研究球面几何的基本思 路。 c)我们就利用这个基本思路来研究球面几何。从球面上的一些基本事实出 发,通过演绎推证,这样就形成了球面几何的体系。 d)还值得我们思考的是,平面几何中的结论,在球面几何中哪些成立?哪些 不成立? e)我们要不断体会在球面和平面上的图形性质的差异:哪些是相同的?哪些 是不同的? 在这个过程中, 我们能逐渐感受到,产生这些差异的本质原因是平行公理的 差异。在平面上,过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行。而在球面 上任意两条直线都相交,不存在相互平行的直线。 f)公理思想和类比的思想是我们研究球面几何的基本思想,建议同学们在学 习这部分时,要突出这样的一种思想。 g)学习球面几何的最基本的能力,就是空间想象能力。为了更好的提高这种 能力,使用信息技术可以帮助同学们去形成空间想象能力。 选修 3-4 对称与群 a)通过丰富的不同的对称几何图形,同学们可以体会和感受到对称性的作 用。 b)如何描述具有不同对称性的图形呢?因此我们引入了对称变换, 例如轴对 称变换。 c)进而我们讨论一些特殊的对称图形,这些对称图形的所有对称变换之间的 关系。 任意两个对称变换的合成还是对称变换,就像两个实数相加得到的还是实 数一样。所以对称变换就相当于数,对称变换的合成就相当于加法运算。于是, 我们就用这种代数的结构刻画了对称图形的对称性。 d)在此基础上,我们又讨论了其他的对称形式。多项式的对称性、数字排列 的对称性等等。 e)通过大量实际问题帮助我们形成了代数上的重要概念——群。 综上的分析可以体会到, 对称变换是这一部分的一个核心概念。对称变换实 质上是一种特殊的映射,所以函数的思想在研究对称与群中起到了重要的作用。 同学们要花一点功夫去理解这样一种思想。 选修 3-5 欧拉公式与闭曲面分类 a) 在义务教育阶段同学们就了解了很多立体图形,特别是多面体。而且对 于欧拉公式我们也有一定的了解。 b) 同学们可以试着体会一下研究多面体和平面多边形的差异。在研究平面 多边形时,我们只需要用边和角,就能很好的区分平面多边形。可是在研究多面 体时,单纯用边、角和面都不行,而是需要综合的考虑面、边和点的关系,即欧 拉公式:面数-边数+点数=2。 除了凸多面体,还有一些空间图形,例如,蹄形磁铁(如图所示) ,也满足
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欧拉公式。还有哪些图形与凸多面体一样满足欧拉公式呢?

c) 如图所示,把一个多面体放进一个球的内部,在多面体中找一个点,然 后向外作射线,则每个点都能映在球面上。就好像往多面体内吹气,最后这个多 面体就变得跟球“差不多”了。

所以我们可以得到这样的结论: ①球面也满足欧拉公式 ②多面体在球内的变换 f 称为一个同胚变换(一一对应,f 连续,f 的逆也连 续) 因此,凡是同胚变换的图形,它的像依然满足欧拉公式。 d) 有没有不满足欧拉公式的图形呢?如下图所示

这个掏空的长方体与“游泳圈”同胚。所以,这个“长方体”不满足欧拉公 式,则“游泳圈”也不满足欧拉公式。 从 c)和 d)可以看出,同是闭曲面还是存在着本质的不同。那么,球和“游 泳圈”究竟怎么区分呢?对于闭曲面应该怎么分类呢? e) 为了对闭曲面进行分类,我们引入亏格和欧拉示性数的概念。 f) 几何直观思想是本专题的核心思想。能够很好的把握图形的能力也是我 们设置本专题的主要目的,同学们要在教师的帮助下建立这种几何直观的能力。 拓扑变换的思想也就是函数思想,也贯穿在本专题的始终。另外,本专题体现的 这种分类的思想,其实就是几何的本质,也是需要同学们深切体会的重要思想。 选修 3-6 三等分角与数域扩充
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a) 在义务教育阶段,有关几何的学习中,我们已经把三大几何作图问题, 以数学文化的方式呈现给同学们了。三大几何作图问题在数学发展中的重要作 用,是同学们应该通过本专题的学习好好体会的。 b) 为了更好的理解尺规三等分角的问题。同学们应该知道的是,如果使用 更丰富的工具是能解决三等分角的问题的。 三等分角是有前提的, 它的前提就是, 必须只使用直尺和圆规。 c) 在初中几何讨论作图题目时,我们更多的考虑是如何做,如何更具体的 讨论作图问题。在历史上很长一段时间,人们也都按照这样一个思路去思考解三 等分角的问题。 随着历史的发展,人们改变了思考解决这个问题的思路。 我们先要考虑如何刻画出只用圆规和直尺画出的图形的范围。 把圆规和直尺 作图的范围转化成能够做出的实数的范围,这是非常大飞跃。这个过程可以粗略 的分析如下: 首先,给定单位长度之后,用尺规可以做出整数;其次,可以做出全体有理 数;然后,再此基础上,我们可以做出任意两条线段以及线段之间的加、减、乘 和除,进而可以做出 2 。 因此可以做出形如 r1+r2 2 的线段,以及这样线段之间的加、减、乘和除。 按照这样的思路, 我们就可以确定尺规的可作图形的范围。运用上述过程不 断拓展可作图的范围,这个过程数学上通常称之为数域的扩充 d) 我们已经刻画了可作图的范围,那么尺规是不是只能作出这些图形呢? 就这一点的理解,对同学们来说是比较困难的。同学们可以在教师的指导下,采 取适当的措施来突破这个难点。 e) 当我们知道了尺规的作图范围,并且也说明了只能作出的范围。那么下 面的问题就是,三等分角是否也在这个范围里呢? 我们选择 60 度的角为例,求出它的三等分角的问题,这个问题就转化为求 一个数的问题。我们的目标就是要想办法判断这个数是否在可作实数的范围以 内。 f) 通过证明这个数不在可作实数的范围之内,我们可以证明用尺规三等分 角是不可能的过程(删去) 。这样的一种证明的思路是数学中经常用到。也是解 决数学问题的一个常见的过程。这也与我们做习题的过程有很大的不同。 在教学中,首先,同学们应该在教师的帮助下建立起解决这个问题的大的 步骤。然后,同学们再去思考每个步骤的细节,如果离开解决问题的大的步骤 而陷入细小的步骤中,那么就会不知所“为” 。 g) 本专题所体现的数学论证方法对同学们来说,我们认为还是有一定的难 度的。在学习中,同学们应该根据自己的特点和不同的要求,在教师的指导下体 会其中蕴含的数学思想方法。 选修 4: 选修 4-2 矩阵与变换 a) 在初中的几何学习中,同学们已经熟悉了对称变换、轴对称变换、中心 对称变换(旋转 180 度的旋转变换) 、平移变换、放缩变换等。这些变换我们能
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用相应的语言去刻画。 从本质上来讲,这些变换都是把平面上的一个点变成平面 上的另一个点。 b) 我们再来看看向量与平面上的点的关系。平面上的点是可以唯一确定的 (删去) ,可以用以原点为起点这个点为终点的向量唯一确定。不难看出,平面 上的点与这样的向量是一一对应的关系。 我们可以用过原点的向量来刻画平面上 的点。所以,平面上点的变换也常用向量来刻画。 c) 本专题中,我们介绍了一种反映变换的代数形式——二阶矩阵。二阶矩 阵作用在一个向量上可以得到一个新的向量。这里的矩阵就是映射。例如,

?1 0?? a ? ? a ? ?? 1 0?? a ? ? - a ? ?0 0?? a ? ? 0 ? ?0 0?? a ? ? 0 ? ?0 1?? ?? ?? ?? ? ? ??? ? ? ?,? ? ? ??? ? ? ?,? ? ? ??? ? ? ?,? ? ? ??? ? ? ? ? ?? b ? ? b ? ? 0 1?? b ? ? b ? ?1 0?? b ? ? a ? ?0 0?? b ? ? 0 ?
可以看出,二阶矩阵把平面上的每一个点都变成唯一的点。 d) 在此基础上,一方面,我们可以用矩阵来刻画我们熟悉的几个几何变换。 另一方面,矩阵变换也具有一定的几何意义。例如,

?0 0?? a ? ? 0 ? ? ? 1 0? ? a ? ? - a ? ?0 1?? ? b? ??? ? b? ? 就表示向量(a,b)在 y 轴上的投影。 ? 0 1?? ? ? ??? ? ? ? 就表 ? ?? ? ? ? ? ?? b ? ? b ?
示向量(a,b)关于 y 轴对称。 e) 我们还将了解到,变换也可以复合,比如对于一个点的变换,我们可以 先旋转再平移,也可以先平移再旋转,并且这两种变换的复合结果是不一样的。 对应这种变换的复合能用矩阵的运算来表示吗?矩阵的乘法运算就能很好地表 示这种变换的复合。例如,

?0 0? ?? 1 0?? a ? ? 0 ? ?0 1? ? 0 1?? ? ? ??? ? ? ? 就表示向量(a,b)先关于 y 轴对称,再在 y 轴上投 ? ?? ?? b ? ? b ?
影。 f) 大部分的变换都有逆变换,这种逆变换就对应矩阵的逆矩阵。例如,

? ? 1 0? ? a ? ? - a ? ? 0 1?? ? ? ??? ? ? ? 的逆变换就是再作一次关于 y 轴的对称,用矩阵表示即为: ? ?? b ? ? b ? ? ? 1 0? ? - a ? ? a ? ? ? 1 0? ? 0 1?? ?b? ??? ?b? ? 可以看出,这是两个互逆的变换, ? 0 1? 和它自己为互逆 ? ?? ? ? ? ? ?
矩阵。 变换的逆和矩阵的逆本质上体现了一一对应的思想。 g) 在本专题我们还讨论了用变换的思想来认识二元一次方程组。例如,

? 3x ? 5y ? 2 方程组 ? ,就可以用矩阵表示出来: ?? 6x ? 11y ? 10 ? 3 5 ?? x ? ? 2 ? ?? 6 11?? ? ? ??? ? ? ? ? ?? y ? ?10?
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h) 那么在变换的过程中有不变的性质吗?变换所对应矩阵的特征值和特 征向量就是变换中的不变性质。 i) 我们从上述的分析可以看出 ①函数——映射的思想是贯穿本专题始终的重要思想。 ②本专题与大学《线性代数》中讲解矩阵的区别就在于,大学是把矩阵作 为一个代数对象。 我们这里把矩阵作为几何变换的一种表示,着重突出矩阵的几 何意义,矩阵的运算的几何意义,矩阵的逆的几何意义,矩阵的特征值、特征向 量的几何意义。为进一步从代数的角度认识矩阵提供了一个直观的、生动的、具 体的模型。 选修 4-4 坐标系与参数方程 a) 我们对解析几何都应该有一定的了解。解析几何有两个核心——建立坐 标系和在坐标系中建立曲线与方程的关系。 在初中,我们学习了直角坐标系,并且也学习过在直角坐标系中,表示一些 直线,比如,过原点的直线都可用y=kx 形式的方程来表示。并且我们知道, 在这个直线上的点都满足y=kx 这个形式。反之,满足y=kx 的点都在过原 点的直线上。这是数学上的重要思想,是联系几何和代数的重要桥梁。 b)在高中的必修和选修系列1、2中,我们又加深了对这种思想的进一步 认识。 在必修中,我们又以圆和一般的直线为研究对象,讨论曲线和方程的关系, 展示了解析几何的基本思想。 在选修系列1、 2中, 圆锥曲线的内容中, 又以圆锥曲线——椭圆、 抛物线、 双曲线为研究对象, 帮助学生进一步理解曲线与方程的关系,又一次展示了解析 几何的思想。 c) 除了直角坐标系还有没有其他坐标系呢?还有没有可以帮助我们更好的 反映曲线与方程的联系的坐标系呢?这是本专题要讨论的第一个问题。 在坐标系与参数方程这个专题,我们引入了另外几种坐标系——极坐标系、 柱坐标系、球坐标系等等。 在这些新的坐标系下,我们讨论了直线、圆、圆锥曲线、摆线等曲线与方程 的关系。 并且讨论了他们与直角坐标系的区别和联系及转换关系。最后还给出了 一些简单的应用。 d)综合上述分析,我们不难体会到,本专题的目的是帮助我们进一步体会 解析几何的思想——建立坐标系和在坐标系中建立曲线与方程的关系。 e)我们建议教师在教授和学习本专题时,要特别注意起点。是在义务教育 的基础上, 还是在学完必修的基础上,还是在学完圆锥曲线之后呢?教师将根据 不同的起点,设计不同的教学内容。 (删去) e)本专题可以拓展的空间是很大的,同学们可以收集相关的资料,拓宽视野, 又可以鼓励学生对自己感兴趣的问题进行积极的探索。 选修 4-7 试验设计与优选法 a) 在现实生活中和科学试验中, 人们往往需要用做试验的办法去解决问题。 做试验就需要设计试验的方案。例如:我们要对某一艾滋病易感人群进行检测。 设人群有 1000 人,其中共有 10 个感染者。我们希望通过血样检验的方法,找出
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这 10 个感染者。进一步分析理解这个问题,我们可以一个一个的进行检验,在 最坏的情况下, 需要做 999 次检验。 为了减少化验次数, 常采用分组化验的办法。 即把几个人的血样混在一起,先化验一次。若化验合格,则说明这几个人全部正 常;若混合血样不合格,说明这几个人中有病人,再对他们做进一步的化验(逐 个化验,或者分成小组化验)。 b) 本专题分成两个部分,一部分是针对多因素问题如何设计试验方案,以 求得实现试验次数少,且试验效果好的目的。在这部分内容中,我们介绍了两种 选择试验方案的工具。一种是拉丁方;另一种是正交表。我们通过具体的实例, 具体给出了设计试验方案的步骤及分析试验结果的方法和步骤。 这部分内容体现了数学中一种重要的思想——“均衡搭配”的思想,即要在 几个维度下都能反映出好的试验效果。同学们可以通过对具体实例的分析,体会 “均衡搭配”的思想。由于这部分的内容在数学技能上的难度不大,所以,同学 们的学习重点应该放在理解“均衡搭配”的思想上。 c) 本专题的第二部分内容就是优选法,在生产实践和科学试验中,人们为 了达到优质、高产、低消耗等目的,需要对有关因素的最佳点进行选择。这些选 择最佳点的问题,都称之为选优问题。解决这些选优问题的方法称为优选法。上 世纪 70 年代,我国著名数学家华罗庚在全国推广和普及了优选法,大大地提高 了我国科技工作者、管理工作者、普通大众的科学素养和数学水平。 例如,在某化工生产中,一种产品的产量随加工的温度而变化。生产中,通 常选用的加工温度在 70? C ~ 80? C 之间,随着温度的升高,产量随之加大。但当 温度达到一定程度以后,随着温度的升高,产量反而降低了。 现在,我们考虑通过做试验的方法,找到这个最佳温度,那么,如何设计我 们的试验呢? 分析这个例子可知, 对试验结果产生影响的因素只有一个——温度。 实际上, 产量与温度的关系可以用一元函数 y ? f ( x) 刻画,其中 x 为温度, y 为产量。但 是函数的具体表达式是不知道的。 从这个例子我们可以得到以下结论: ①不难看出,产量是温度的函数。 ②随着自变量的增加,函数的变化趋势是,先单调递增,再单调递减。这样 的函数我们通常称之为单峰函数,但是峰值在哪儿,我们并不知道,它可以出现 在定义域的任何地方。 ③先做一次试验得到一个结果,再做一次试验在得到一个结果。如图所示,
y y

y

O a x1

x2 b x

O a x1

x2 b x

O a x1

x2 b x

当在 x2 的产量大于 x1 时,就有如上图的两种峰值的情况。我们就可以根据
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这两次试验的情况,缩小因素的取值范围。 用做试验的办法解决单因素选优问题,并不是同时做好几个试验,而是先做 两次试验,通过对试验结果的比较,去掉不含最佳点的区间,缩小因素的取值范 围。 第三次试验的结果与上次保留的试验结果加以比较,再次去掉不含最佳点的 区间。如此继续下去,不断的缩小因素的取值区间,迅速的找到最佳点。 这就是解决单因素选优问题的基本思想。 根据这样的基本思想,如果限定试验次数,我们设计了分数法。如果不限制 试验次数,我们又设计了 0.618 法。 对于单因素的情况,我们还介绍了二分法等其他方法。 对于两个以上因素的情况的优选法,我们简洁的介绍了几种优选的方法。例 如,纵横对折法和 0.618 法等。 在这部分内容的学习中, 同学们要把握好优选的基本思想。同学们还可以把 这种方法和在必修 1 中所学的二分法求方程的解作比较, 探索它们之间的本质联 系。 d) 我们建议同学们在教师的引导下对于本专题的内容进行分析和整理,写 出一个好的读书报告, 这个工作对于同学们学习能力的提高是个好的方法,也便 于一个好的学习习惯的养成。 选修 4-8 统筹法与图论初步 a) 本专题由两部分内容组成,一部分是统筹法,另一部分是图论初步。 b) 统筹方法是我们日常生活、生产实践中常用的一种数学方法,它可以帮 助我们合理安排人力、物力等资源。1964 年,中国著名数学家华罗庚在全国对 这种方法进行了大力推广, 提高了广大科学工作者、管理人员和普通群众的科学 素养。本章将通过实例介绍统筹方法的数学原理和应用。 c) 在统筹法中有几个重要的步骤: 例如,生活中经常需要沏茶。如果当时的情况是:没有开水,开水壶、茶壶、 茶杯都要洗,还需要准备茶叶,应该怎么安排? 办法甲:先做好准备工作,洗开水壶、茶壶、茶杯,拿茶叶。一切就绪后, 灌水,烧水,等水开了泡茶喝。 办法乙:洗净开水壶后,灌水,烧水。等水开了之后,洗茶壶、茶杯,拿茶 叶,泡茶喝。 办法丙:洗净开水壶后,灌水,烧水。利用等待水开的时候,洗茶壶、茶杯, 拿茶叶,等水开了泡茶喝。 哪种办法节省时间?显然是办法丙,因为前两种办法都“窝工”了。 事实上,洗开水壶是烧开水的先决条件:没开水,没茶叶,不洗茶壶、茶杯, 就不能泡茶,因而这些都是泡茶的先决条件。而烧开水,洗茶壶、茶杯,拿茶叶 没有严格的先后关系。可以用图 1-1 来直观地表示以上三种办法。 甲:

乙:

丙:
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图 1-1 假设洗开水壶需要1分钟,把水烧开需要 10 分钟,洗茶壶、茶杯需要2分 钟,拿茶叶需要1分钟,而泡茶需要1分钟。从图 1-1 中可以看出,办法丙总共 要 12分钟(而办法甲、乙需要 15分钟) 。如果要缩短工时,提高效率,主要是 烧开水这一环节,而不是拿茶叶这一环节;同时,洗茶壶、茶杯,拿茶叶总共需 要 3 分钟,完全可以利用“等水开”的时间来做。 这虽是小事,却引出一种计划和管理的有效方法。从事一项生产或工程,如 果工作环节太多,关系复杂时,这样做就非常必要,它可以避免由于一、两个零 件没完成,而耽误一架复杂机器的出厂时间,也不会由于抓的不是关键环节,连 夜加班,急急忙忙的完成这一环节,却又坐等别的环节完成才能继续。 由这个例子可以看出统筹法有几个关键的步骤: ①要学会确定工序和工序的结构,即要知道哪道工序是哪道工序的紧前工 序。 ②应该学会用统筹图把工序之间的关系清晰直观的描述出来。 ③要学会确定统筹图中的关键路线,并且知道每个工序的最迟发生时间。这 样就可以适当的安排人力物力保证整个工程的进度。 d) 统筹方法在数学上没有太大的难度, 可是建立统筹思想却是非常重要的。 在本专题的学习中, 同学们应该利用具体实例来建立统筹思想,并能运用到日常 生活中去解决一些简单的问题。 e) 本专题的第二部分内容就是图论初步。图论是数学中有广泛实际应用的 一个分支。心理学、化学、电工学、运输规划、管理学、销售学以及教育学等各 个不同领域内的许多问题都可以描述为图论的问题。 在这一部分我们将介绍有关 图论的基本概念和图论中的几个基本问题。 例如, 最短路问题、 最小生成树问题、 一笔画问题等。 体会图论反映的基本数学思想及其在其它领域中的广泛应用。例 如,下图所示
北京

西安

重庆

上海

广州

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通常我们把这个图表示为:G(V,E) , 其中: 点的集合为:V={北京,上海,广州,重庆,西安}。 边的集合为: E={(北京,上海) , (北京,广州) , (北京,重庆) , (北京, 西安) , (上海,广州) , (西安,重庆) , (重庆,广州)}。 我们就是需要研究这个图可以提供给我们哪些好处? f) 在图论初步这部分内容中,我们主要介绍最小生成树和最短路两个方面 的内容。 对于寻找一个图的最小生成树来说,解决问题的思想其实很简单。数是没有 回路的图,我们只需要把每一个回路去掉一个边,直到找到最小生成树为止。同 学们应该通过具体实例建立这样的思想。 同学们还可以通过最短路的问题进一步体会图论的作用。 本专题的这部分内容的难点在于对数学思想的理解。 这方面是同学们在学习 中特别要注意的地方。 图论是离散数学的范畴。 在日常生活中经常会碰到离散数学的问题。只要我 们对离散数学有了初步的了解, 那对于以后的生活和自身发展都是有意义的。教 师应把这样一种思想渗透给学生。 (删去)这种思想在高中的其他课程中也有体 现。比如,数列、差分等问题,都体现了用离散的方法去讨论问题的思想。 选修 4-10 开关电路与布尔代数 a) 在初中物理中,我们都学习了三种(删去) 基本的电路——串联电路和 并联电路。 我们已经熟悉了这些电路的基本功能,也能熟练的利用这些电路搭建 较为复杂的电路。 那么我们能不能用数学来帮助我们刻画这些现象呢?这就是本专题将要解 决的问题。 b) 我们先对这些基本电路进行抽象,即对这些电路进行数学表示,并且进 一步引出了运算的概念。 c) 我们通过 0—1 上的三种运算,即加法运算、乘法运算和求反运算。建立 了布尔代数。 d) 这种新的运算与实数运算是有差异的。 布尔加法、乘法运算满足: ①加法对乘法的分配律:x+yz=(x+y)(x+z); ②吸收律:x+xy=x,x(x+y)=x ; ③幂等律:x+x=x,x·x=x ; ④加法的 0-1 律:x+1=1. 但实数 R 上的加法、乘法运算不满足加法对乘法的分配律、吸收律、幂等律 和加法的 0-1 律。 体会布尔代数和实数运算的差异,可以丰富我们对于运算思想的认识。 e) 在新的运算对象和运算规律的基础上,我们引入了一种特殊的函数—— 布尔函数。这与在实数上引入函数是一样的,实数是运算对象,满足许多运算规 律,这些是引入函数的基础。由于布尔函数有特殊的运算性质,所以布尔函数也 有一些特殊的性质。 f) 如何确定布尔多项式函数呢?我们这里采用了一种通用的方法——拉格 朗日插值法。 设要构造的布尔多项式函数是 f(x1,x2)
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第一步,确定其特征函数。 列表求出二元布尔多项式函数 f(x1,x2)

x1 0 0 1 1

x2 0 1 0 1

f(x1,x2) b1 b2 b3 b4

点 (0,0)的特征函数是,f1(x1,x2)= x1’x2’ 点 (0,1)的特征函数是,f2(x1,x2)= x1’x2 点 (1,0)的特征函数是,f3(x1,x2)= x1x2’ 点 (1,1)的特征函数是,f4(x1,x2)= x1x2 第二步,给出特征函数的线性组合。 b1 x1’x2’+ b2 x1’x2+ b3 x1x2’+ b4 x1x2 则,f(x1,x2)= b1 x1’x2’+ b2 x1’x2+ b3 x1x2’+ b4 x1x2 g) 在我们学习了用布尔函数刻画电路状态之后,将利用布尔函数的性质进 行简单的电路设计。例如,电子锁的设计等。 h) 运算的思想是本专题的核心思想。运算的对象一旦变化了,就会得到一 种新的代数。而且,在有运算的集合里就会产生函数,因此函数的思想也是本专 题的重要思想。 建议同学们在教师的帮助下认真体会本专题反映出的这些重要的 数学思想。 前面我们已经介绍了一些专题在整个高中的作用。不等式选讲和初等数论 是大家熟悉的专题。 如何理解它在高中课程中的作用?我们想换一种方式来帮助 同学们理解。 下面我们提一些问题,同学们可以思考和通用过查阅资料等方法来 探讨这些问题。 (删去) 选修 4-5 不等式选讲 a) 本专题我们主要介绍以下内容 (1)不等式的基本性质和基本不等式; (2)绝对值不等式及其几何意义,并能利用绝对值不等式的几何意义证明 和求解一些绝对值不等式; (3)认识柯西不等式的几种不同形式及其几何意义,用参数配方法讨论柯 西不等式的一般情况; (4)用向量递归方法讨论排序不等式; (5)了解数学归纳法的原理及其使用范围,会用数学归纳法证明一些简单 问题; (6)会用数学归纳法证明贝努利不等式; (7)会用上述(删去)不等式证明一些简单问题。能够利用平均值不等式、 柯西不等式求一些特定函数的极值; (8)通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分
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析法、反证法、放缩法。 b) 恒等关系是义务教育数学学习中的一种基本的关系。同学们可以思考一 下,在义务教育的学习过程中, (删去)有哪些恒等关系是重要的?决定这些恒 等关系的基本数学思想是什么?这些数学思想是怎么发挥作用的? c) 在义务教育阶段也引入了事物之间的不等关系,同时也引出了一些重要 的不等关系,例如,实数中的不等关系。我们还引出了一些不等关系的性质,例 如,实数 a、b、c 有以下关系 a>b>0,b>c>0 就可以得出,a>c。建议同学们梳理 一下在义务教育阶段所学的不等关系,体会不等关系与恒等关系的区别。 d) 在高中的必修 5, 我们设置了不等式的内容。 它大体上由四部分内容组成。 我们建议同学们认真梳理复习这四部分内容。 第一部分是,一些基本不等式的性质,例如,a>b,c>0 得出,ac>bc 等。 第二部分是,在学会解一元一次不等式的基础上,引入了一元二次不等式。 a?b ? ab ,a 第三部分是,介绍了我们(删去)一个经常使用的不等式, 2 ≥0,b≥0。这个重要的不等式有许多不同的呈现形式,值得一提的是,它还有很 多重要的几何形式。 第四部分是, 简单的线性规划问题。解决线性规划问题是按照以下基本步骤 实现的: 1)确定目标函数 2)确定目标函数的约束条件,即讨论这个目标函数的可行区域。 利用不等式刻画目标函数的约束条件。 3)观察目标函数在可行区域内的变化趋势。 4)确定使得目标函数达到最大或最小值的解。 同学们应该思考的是, 在讨论这些不等式的过程中什么思想发挥了作用? e) 在我们上面分析的这些内容的学习中,我们可以体会到由运算思想所体 现的恒等变换的能力。 这种能力在研究不等式中发挥了重要的作用。建议同学们 在教师的帮助下更好的发挥这种能力。 f) 由运算思想所体现的恒等变换的能力,是一种重要的逻辑推理的能力。 在本专题中,提高这种能力是本专题的基本定位。建议教师思考在本专题中,如 何体现这样一个基本定位?(删去) g) 我们知道基本不等式,a2+b2≥2ab,它有着重要的几何背景。如图所示:

令 AF=a,BF=b,则 AB2=a2+b2,而 S 正方形 ABCD≥4S⊿ABF
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1 2 2 a×b,所以,a +b ≥2ab, 2 当 AF=BF 时,正方形 EFGH 缩为一点,S 正方形 ABCD=44S⊿ABF

即,a +b ≥4×

2

2

实际上每一个好的不等式都有重要的数学背景,特别是重要的几何背景。 同学们应该认真体会和认识不等式的几何背景, 以及这些几何背景在证明不 等式的过程中发挥的作用? 选修 4-6 初等数论初步 a) 初等数论是大家比较熟悉的内容。但是以往主要是强调数论知识在数学 竞赛中的技巧。 而本专题与数学竞赛的导向是不同的,我们希望同学们通过对本 专题的学习,体会其中重要的数学思想及其在高中课程中的定位。 b) 整数有加、减、乘、除的运算,除法是大家熟悉的运算。但是它的作用 在以往的课程中没有很好的突出。本专题的第一个重要概念就是除法,特别是带 余除法。它可以很好的反映整数的性质,能够很好的对整数进行分类。我们建议 同学们体会除法运算及其性质在本专题的作用。同学们也可以查阅一些资料,帮 助自己去体会除法在今后学习中发挥的作用。例如,在拓扑学中商空间的概念, 就是除法的一个拓展。 c) 素数是数论的一个核心概念。同时我们要明确的是,素数和互素是两个 不同的概念。 同学们应该在教师的引导下去发现和探索素数、互素概念在初等数 论中所发挥的作用。 d) 同余反映了整数之间的一种新的关系。同余类又为我们提供了一种新的 运算平台。同学们可以运用类比的思想去探索同余运算与一般运算的异同。 同余方程是一种新的方程形式。同学们可以采用类比的方式,把我们学过的 方程与同余方程比较。探索它们在概念、求解等方面体现了怎样的数学思想。例 如, 求解一元二次方程的主要方法是配方和降幂,求解二元一次方程组的主要方 法是消元。那么,在同余方程中,反映的是哪种数学思想呢? 同余方程组的求解是本专题的重点内容之一, 我们认为这部分内容同学们在 学习中会有一定的困难。但是可以通过具体实例来了解大衍求一术的求解步骤, 体会大衍求一术的思想本质,最好与整数函数的插值法进行比较。 e) 在本专题的学习中重要的是,希望同学们理解初等数论给我们提供的重 要的数学思想,而不在于数学的技巧。这是学好本专题内容的关键所在。 选修系列 3、4 在整个高中数学课程中发挥的作用 选修系列 3、4 在整个高中数学课程中发挥的作用,应该站在一个较高的角 度来看待。下面我们以下列专题为例,来具体讲述选修 3、4 在整个高中数学课 程中发挥的作用。 选修 3: (删去) 选修 3-1 数学史选讲 a)数学史选讲主要介绍了以下内容: (1)数学发展概论; (2)数与符号; (3)几何学发展史;
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(4)数学史上的丰碑——微积分; (5)无限; (6)名题赏析。 b)数学史选讲是一个受同学们欢迎的专题,可以开拓同学们的视野,提高 同学们对数学作用的认识。 对于将来在各行各业工作的同学们来说,都会起到积 极的作用。 c)数学史选讲是不进入高考的,我们希望同学们不要以过分“功利”的眼 光来看待这件事情, 应该值得思考的地方就是, 一旦提高了自身学习数学的兴趣, 增强了学习数学的动力, 了解了学习数学的作用,那么数学史选讲的潜在能量是 不可估量的。 选修 4: 选修 4-1 几何证明选讲 a) 几何类课程在高中数学课程中占有非常重要的地位。它将帮助同学们逐 步形成空间想象能(删去)力,运用直观的图形语言刻画、描述、洞察和论证问 题的能力和逻辑推理能力。 这些能力不仅仅是在几何课程中,在整个高中数学课 程中都是非常重要的能力。 我们设置几何证明选讲, 其基本目的就是进一步加强这些能力的培养。为同 学们进一步学习和工作奠定基础。 b)在本专题中,我们是在义务教育数学课程学习的基础上,设置了两部分 的内容。一部分内容是以直线与圆的关系为载体,利用相似的理论,讨论圆与直 线的位置关系, 及其位置关系中的一些几何结果。这部分内容可以成为一个相对 独立的体系。对于提高同学们的逻辑推理能力会发挥一些作用。 另一部分内容是关于用综合几何的方法,讨论圆锥曲线的基本性质。我们借 助于锥面与平面的关系,讨论它们所截成的曲线的几何特征。在这部分讨论中, 我们建议同学们注意两个方面:第一是空间想象能力;第二是演绎推理的能力。 当然,这两者应该有机的结合起来。没有几何直观,推理就会变得比较困难。反 之就会比较简单。 (删去) c) 我们希望通过本专题的学习,能够进一步培养同学们用直观的图形语言 去描述、刻画、洞察和论证问题的习惯。希望同学们养成这样一种习惯,并把这 种习惯带到学习任何数学知识的过程中。 d) 在本专题的教学中,有一种学习方式是值得倡导的,那就是从问题出发 的探索式学习方式。同学们应该积极地提出问题、主动地去思考和解决问题、查 阅资料。如果一时做不出来,没有关系。可以暂时放下,在将来的学习过程中, 可以不断地完善。 e) 同学们应该仔细地去体会这样一种思想:对于同一个数学问题,我们常 常要根据需要运用不同的数学方法去解决。例如,圆锥曲线的研究方法,就既可 以运用综合几何的方法去研究,也可以利用解析几何的方法去研究。 选修 4-3 数列与差分 a) 数列是一种特殊的函数。有时候也把它称为“离散”的函数。它不仅是 数学中一种重要的研究对象, 也是研究数学问题的一种重要的方法和工具。这种 方法我们常常称之为离散的方法。
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在近代数学的发展过程中, 用离散的思想研究数学是一个值得关注的研究方 式。 在解决数学的问题时, 我们通常希望算出最后的结果, 例如, 对于一个方程, 我们不仅关心它的解的存在性,还需要得到满足一定精度的近似解。这时,我们 就可以运用离散的思想,在计算机的帮助下,很容易得到方程的近似解。 b) 数列是特殊的函数,是函数的离散形式。差分是微分的离散形式。我们 知道导数与微分在微积分中的重要地位。所以,差分也很重要,同学们要仔细体 会差分的作用,以及它给我们带来的好处。 c) 对于同学们来说,差分方程是比微分方程更容易理解的概念。在大学的 数学教学中, 我们常常是先讲微分, 然后仅仅是在数值计算中才讲到差分。 所以, 教师常常愿意由微分引出差分。这时教师的思维定势。 (删去)但是在本专题课 程的设置中,我们采取与大学讲授相反的方式,先讲差分,因为这是同学们比较 容易接受的概念。教师在讲授完这部分内容之后,可以再向学生介绍差分与微分 的关系。 (删去) d) 差分方程是这个专题的难点。我们不希望在本专题追求差分方程的系统 性,而应该着重介绍解决差分方程的基本思想。 e) 突出函数的思想是贯穿在本专题始终的基本思想。在学习本专题的过程 中,同学们应该梳理学过的有关函数的知识、技能和思想方法。这样不仅可以有 效地提高自身对于函数思想的认识,还可以大大地提高整个高中数学的学习效 率。 选修 4-9 风险与决策 a) 高中数学课程的一个基本目标就是,不断地加深对统计思想的理解,提 高数据处理能力。 同学们知道什么是统计问题吗?什么是解决统计问题过程吗? 这些都是同学们在学习中自始至终应该思考的问题。 在必修阶段, 基于我们在义务教育阶段所了解的统计思想,我们又提出了让 同学们掌握解决统计问题基本过程的要求。 每一个统计问题大体上都应该经历这 样一个过程:收集数据、整理数据、从数据中提取信息和利用这些信息讨论统计 问题。 必修阶段和义务教育阶段相比较而言,我们又增加了两个知识点,一个是随 机取样的方法;另一个是用样本估计总体的思想。 在选修 1、2 中还设计了统计案例的学习内容。例如,回归分析和独立性检 验。在这部分的学习中,我们仍是希望通过回归分析和独立性检验这两种方法, 让同学们体会统计的全过程。 在高中数学课程中, 不管选择怎样的知识载体,我们的目标都是要让同学们 能够经历统计的全过程和培养同学们数据处理的能力。 b) 风险与决策是统计概率理论的一种应用。一个随机现象中, “损失”是 一个随机变量, “损失”的均值就叫做“风险” ,在做决策时,希望平均“损失” 达到最小,即“风险”最小。在本专题的教学中,一方面仍应突出这样一个目标, 就是通过对具体问题的分析, 经历统计的全过程,并且不断地加深对于风险问题 的认识。 另一方面,在统计问题中,我们还应该认识到“损失”的随机性。因此,不 断地加深对于随机思想的认识,是学好本专题教学的关键。在必修 1 中,我们通 过三个方面的努力,逐渐加深了对于随机思想的认识。这三方面指的是:i 通过
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日常生活中的随机事件,体会随机性。例如,对降水概率的理解。ii 介绍了两个 基本的刻画随机现象的模型——古典概型和几何概型。 iii 介绍了体现随机思想的 模拟方法。 在选修 2—3 中,我们又以离散的随机变量及其分布为载体,进一步体会如 何刻画随机事件,以及如何更加透彻的理解随机思想。 本专题中, 离散的随机变量及其数学期望和方差是三个核心的概念。是刻画 “风险”的三个核心概念。 c) 无论是在选修 2—3 中的 “随机变量” 的学习还是在风险与决策的学习中, 我们都建议同学们从具体的实例出发,建立起离散随机变量的概念,以及离散随 机变量在刻画离散随机现象中的作用。最好不要从抽象的定义出发,去建立离散 随机变量的概念之后,在去刻画随机现象。 d)还要注意的是, “风险”是一个相对概念。在日常生活中,有的人喜欢 冒险,而有的人则喜欢追求平稳。对于前者来说, “风险”越大他们越喜欢,对 于后者来说, “风险”越小他们越满意。在学习中,同学们应特别注意说明“风 险”的相对性,以避免产生误解。 e)本专题在知识技能上没有什么难度,难就难在对于概念的理解。同学们 要特别注意如何更好的理解其中的基本概念。 f)要跟同学们特别指出的是,本专题所介绍的“风险”实例,都是通过加 工后的实例。在实际问题中要更加复杂一些。 在选修系列 3、4 学习中应该注意的几个问题: 选修系列 3、4 是数学中的基础内容。 选修系列 3、4 不是为学习大学数学的预备课程,也不是为将来准备进入数 学系学习的学生做准备。 选修系列 3、4 的学习中,应该把重点放在理解基本的数学思想。 选修系列 3、4 的学习中,要不断地开发学习资源,把难的东西变容易,用 具体来反映一般,用直观来反映抽象。

七、数学建模与数学探究
1)数学探究和数学建模的意义和作用 数学探究和数学建模是贯穿于整个高中数学课程的重要内容, 这些内容不单 独设置,渗透在每个模块或专题中。 什么是数学探究呢?数学探究就是高中数学课程中引入的一种新的学习方 式, 同学们通过数学探究可以初步了解数学概念和结论产生的过程,初步理解直 观和严谨的关系,初步尝试数学研究的过程,体验创造的激情,建立严谨的科学 态度和不怕困难的科学精神; 同学们通过数学探究可以养成勇于质疑和善于反思 的习惯,提高发现、提出、解决数学问题的能力;同时,同学们的创新意识和实 践能力也会得到进一步的发展。 什么是数学建模呢?数学建模就是运用数学思想、 方法和知识解决实际问题
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的过程,数学建模可以通过以下框图体现:

实际情境 提出问题 数学模型 数学结果 检验 合乎实际 可用结果 不合乎实际

数学建模是我们学习数学的一种新的方式,同学们可以在自主学习的空间 里, 体验数学在解决实际问题中的价值和作用,体验数学与日常生活和其他学科 的联系,体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程,增强应用意识;通过数 学建模这个“建”的过程,同学们学习数学的兴趣会大大提高,创新意识和实践 能力也会明显增强。 2)在高中开展数学探究和数学建模活动的要求 开展数学探究活动的要求 a)数学探究课题的选择 数学探究课题的选择, 可以是教师选择一些有助于学生对数学的理解,有助 于学生体验数学研究的过程, 有助于同学们体验数学研究的过程,有助于学生形 成发现、 探究问题的意识, 有助于鼓励学生发挥自己的想象力和创造性的探究课 题。也可以同学们自己发现问题,发现一些开放性的,不超出自己所学知识范畴 的课题。 数学探究课题是很丰富的, 可以是某些数学结果的推广和深入,不同数学内 容之间的联系和类比,也可以是发现和探索对同学们来说是新的数学结果。 b)数学探究的过程 同学们在数学探究的过程中,应该学会查询资料、收集信息、阅读文献。 同学们在数学探究的过程中,应养成独立思考和勇于质疑的习惯,同时也应 学会与他人交流合作,建立严谨的科学态度和不怕困难的顽强精神。 同学们通过经历数学探究的过程,可以初步了解数学概念和结论的产生过 程, 体验数学研究的过程和创造的激情, 提高发现、 提出、 解决数学问题的能力, 发挥自己的想象力和创新精神。 c)数学探究活动的安排 在高中阶段同学们至少应经历 1 次数学探究活动。 活动的时间可以根据学校 和教师具体安排。例如,可以结合方程的近似求解、导数的应用等内容安排数学
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探究活动。 数学探究的结果以课题报告或课题论文的方式呈现。课题报告包括课题名 称、问题背景、对事实的观察分析、对结果的猜测、对结果的论证、合作情形、 对探究结果的体会或评论、引证的文献资料等方面。 同学们可以通过小组报告、班级报告、答辩会等方式交流探究成果,通过师 生之间和同学之间的讨论来评价探究学习的成绩。 同学们的数学探究报告及评语可以记入同学们的成长记录, 作为反映同学们 数学学习过程的资料和推荐依据。 对于其中优秀的报告或论文会给予表扬、 评奖、 推荐杂志发表、编辑出版、向高等学校推荐等多种形式。 (删去) 开展数学建模活动的要求: a)数学建模问题的选择 数学建模的问题是关键。 数学建模问题的选择是多种多样的,同学们可以从 自己的日常生活、现实世界、其他学科等多方面选择数学建模的问题。同时,解 决数学建模问题所涉及的知识、思想、方法也是与高中数学课程内容有联系的。 同学们可以根据自己的生活经验发现并提出问题,对同样的问题,可以发挥 自己的特长和个性,从不同的角度、层次探索解决的方法,从而获得综合运用知 识和方法解决实际问题的经验,发展创新意识。 b)数学建模的过程 同学们在发现和解决数学建模问题的过程中, 应学会通过查询资料等手段获 取信息。 同学们在数学建模中还可以采取各种合作方式解决问题, 养成与人交流的习 惯,并获得良好的情感体验。 c)数学建模活动的安排 在高中阶段同学们至少应经历 1 次数学建模活动。 活动的时间可以根据学校 和教师具体安排。例如,可以结合统计、线性规划、数列等内容安排数学建模活 动。 数学建模活动的结果以数学建模小论文的方式呈现。小论文包括论文名称、 问题背景、数学建模的过程、对结论的验证、合作情形、对建模结果的体会或评 论、引证的文献资料等方面。 同学们可以通过小组报告、班级报告、答辩会等方式交流探究成果,通过师 生之间和同学之间的讨论来评价数学建模的成绩。 同学们的数学建模小论文及评语可以记入同学们的成长记录, 作为反映同学 们数学学习过程的资料和推荐依据。对于其中优秀的论文会给予表扬、评奖、推 荐杂志发表、编辑出版、向高等学校推荐等多种形式(删去) 。

八、如何学好数学?
如何学习数学?如何提高学习数学的效率?如何结合自身的情况形成一种 好的数学学习习惯? 如何教数学?如何提高数学教学、特别数学课堂教学的效率?如何在教学中 帮助学生更好地学习数学?(删去) 数学的学习方法是很重要的,但是这个方面不是本书的重点。在这里,我们 仅就几个容易忽视的问题,提醒同学们予以重视。有些问题也在前面以不同的形
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式呈现。 (1)学会“数学阅读” 在中小学,我们会遇到这样的情况,当同学向教师问问题时,一些教师常常 会说:请你把问题再读两遍;请你把问题讲一讲;请你把问题抄一遍;等等。这 些教师要表达的是一个意思,请你再读一读,再理解一下。 我们讲一个真实的故事。在大学,每年都要举办一次“数学建模竞赛” ,竞 赛的问题都是一些实际问题,要求三人一组,工作三天,共同完成一篇解决问题 的“论文” ,可以借助各种图书、网上资源和工具(包括计算机和软件等) 。1993 或 1994 年,首都师范大学第一次组队参加,让我们担任指导教师,我们十分为 难,首都师范大学的学生要与北大、清华的学生一起考试,差距是明显的,是多 方面的。我们分析,感到最大的差距是:独立地学习和理解数学的习惯和能力。 我们改变了辅导的方式,让学生选择内容,学生讲,我们听。开始阶段,我们总 会说:对不起,我们没有听懂,请你重新准备。有的学生讲过四、五遍,当我们 感到他真的懂了,再学别的。这种方法很好,大部分学生经历了一次这样的过程 以后, 再报告其他的内容就变得比较顺利了。这些学生在竞赛中得到了很好的成 绩。 在学习外语时, 有一种基本能力: 阅读理解。 我们感到在数学的学习中, “数 学阅读”也是非常基本的。这些年我们接触了一些中小学的教学实际,中小学生 独立进行“数学阅读”的要求和机会越来越少。教师是好意,为了使学生尽快地 提高考试成绩,为了“多讲一些” ,为了“节约时间” ,教师替代学生做得太多了。 我们希望同学们认识到, 提高数学阅读能力是学好数学的基本功之一。我们曾经 做过一个调查, 在地质学科的论文中, 数学公式的出现次数是平均每页六次之多。 在其他的学科中也有类似的情况。为了更好的说明数学阅读在中小学的重要性, 我们以数学“应用问题”为例加以说明。 在中小学数学教学中, “应用问题”常常是难点,为什么难?主要两个理由, 一个理由是背景丰富,都是一元二次方程,但是,可以用各种背景去展示,很难 归为题型,如果归为“一元二次方程的应用题” ,就好像没有归类,如果从背景 归类,又会十分庞杂。 第二个理由是问题和条件不像“传统的数学习题”那样规范,有时需要自己 从叙述中明确“要求的结论和要证的结论” , “条件”和“结论”的关系不像“传 统的数学习题”那样“可丁可卯” ,即条件不可多也不可少。这样,需要分析和 判断哪些条件有用,哪些条件没用,而分析和判断的依据是因题而异。对目前中 小学教学的基调——题型,这些是不匹配的。 应用问题“难”在需要“数学阅读理解”能力, “难”在这种能力不能突击 培养、不容易模式化, “难”在教师不能替代。 应用问题,包括数学建模,她的教育作用有两方面。一方面,体会数学与 日常生活、 数学与其他学科的联系, 数学在社会发展中的作用, 体会数学的价值。 另一方面,从另一个角度体会做数学的过程,数学不仅仅是从概念到概念,从定 理到定理,从一些结果到一个新的结果;数学是有背景的,这些背景中蕴含着深 刻的数学内涵, 这些背景在数学思考中发挥了重要的作用; 做数学会有一个过程, 是一个很有趣的过程,需要我们发现问题,提出猜想,分析和寻求条件,并且, 还会不断地修正,甚至反复,等等。 “数学阅读理解”能力是一种基本能力,同学们应该予以重视。当然,提高
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这种能力需要长期的积累。 在中小学数学教学中,有一个认识上的障碍,一些人认为: “学习数学就是 做数学习题” ,也有人认为: “做习题能力是实的,其他都是虚的。 ”这种看法是 有一定道理的, 特别是在对付考试时会起一定的作用。做数学习题的能力是反映 数学能力的一个重要方面,通过做习题有助于对一些数学技能、方法的理解。但 是,数学的学习还包含更丰富的内容,关于这些我们在前面已经讲了很多。 希望同学们把思路开阔一些,除了做习题,还能提出一些值得思考的问题, 并养成思考问题的习惯, 我们在北大数学系读书时, 曾问过丁石孙老师一个问题, 大体意思是:什么样的学生算好学生?丁先生的回答使我们终生难忘, “没有问 题的学生恐怕不能算好学生” 。对很多学生来说,除了不会做的习题,大概没有 值得思考的问题。在数学的阅读中,应该不断的提出问题,把自己对数学的理解 深入下去。 (2)养成好的数学学习习惯 在这次课程改革中,提出三维目标,其中“过程”也作为一个目标。 “学习 习惯”是过程的一个很好的体现。 什么是学习习惯? 有的同学放学回家就做作业(一般是做习题) ,做完,就算完成学习任务。 有的同学,回家后,先把教师讲授内容的教材认真地读一遍,然后,再做 作业,做完,再想一想,今天学的与以前学的有什么联系。 有的同学有总结的习惯,学习一个段落的内容,一定要整理一下,写下来。 有的同学不喜欢写,喜欢想,常常会坐在那儿发呆,把学过的回忆一遍。 ?? 不同的同学有不同的学习习惯。养成一个适合自身的,好的学习习惯,会 提高学习的效率,会自然地保持下去,会一生受益。 数学学习有自身的特点,例如,很多人在讲解数学时,喜欢画图,总会用最 直观、形象的语言来解释本质的内容;有些人在讲解抽象数学概念时,总喜欢选 择一些大家非常熟悉的例子, 一下子就会把抽象概念很清晰地表示出来;有些人 在教授数学时,总让人有一种整体的感觉,来源、过程、结果、应用等,哪一部 分都是不可缺少的,十分自然。用直观的图像来表述抽象的概念;用具体的事例 来理解一般的事物; 不断地形成整体知识框架; 等等。 这些都是非常好的 “习惯” 。 这些好习惯的形成需要长时间的积累,希望同学们自觉、主动的在学习中, 成为有心人, 形成一些适合自身条件、 行之有效的好习惯, 改变一些不好的习惯, 提高学习效率。 (3)学会“索取”——主动学习 从教师的角度, 总希望千方百计把自己的东西给学生。有的同学不知道该如 何接受这些东西;有的同学不论好坏全收;有的会挑挑拣拣,好得留下,重要的 收好;等等。但是,一般地,教师最喜欢会主动“索取”的同学。 我们常说“授之以鱼,不如授之以渔。 ”如何“授鱼” ,一般教师想得多一些, 如何“授渔” ,这是极具挑战的,前面说的“好的学习习惯”就是“扑鱼”的范 畴。 “授渔” ,有两个方面,一是方法, “好的学习习惯”是方法;另一个是动力, “好奇” , “兴趣” , “上进心” , “对数学价值的认识” ,这些都是动力。二者是不
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可分的, “信心”就体现了二者的联系,学好数学,需要花些力气,碰到难处, 要坚持一下,我们的一些硕士或博士学生做论文时,常常碰到一些“坎” ,除了 我们一起分析讨论之外,我们总会要求“再坚持一下” ,这个过程不仅能帮助他 们建立自信,也会“逼迫”他们总结出“方法” 。很多优秀的教师在这方面是很 有办法的。 从同学们的角度,同学们的主要任务是学习,不仅要学会“知识” ,把别人 的变成自己的;也要学会“索取知识” ,不断得到自己需要的,这两者也是相辅 相成的。需要思考。 (删去)例如,在做题时,有的同学有一种很好的习惯,做 完总要想一想, 对题目作一个评价,是不是好题?给我留下了什么?这些思考使 得他们的学习“事半功倍” ,这就是他们索取知识的办法。 (4)独立思考与研讨交流 学习数学,需要独立思考,对于背景、问题、概念、定理、应用以及它们之 间的联系,都需要自己思考,让它们自然地留在我们的头脑中,做问题、习题也 需要独立完成,即或请教了别人,最后,还是需要自己来完成。 目前,各种不同形式的讨论班( seminar)已经成为研究数学的一种基本的 工作模式,在研究生和部分本科生的教学中,也越来越多地采用讨论班的形式, 讨论的形式不同,水平不同,人数不同,但是,基本的形式是一样的,有明确的 讨论问题,参加的成员应事先认真思考准备,有主题报告,又充分地讨论交流。 在中小学也可借鉴这种形式,教师和学生一起组织,大家都会受益。 借助网络,搭建专题讨论的平台,已经出现了一批,特别是一些“名师工作 室” ,采用这样的形式,如果能多一些讨论就更好了。这是信息技术给我们带来 的最大方便,我们应该把技术充分地利用起来。

九、评价
评价、考试是最受关注的问题,课程改革了,评价会不会变化,特别是高考 会不会变化,数学的考试会不会变化。这是大家都在考虑的问题。在这里,简单 地介绍一下我们感受到的评价的一些变化,另外,对把评价与日常教学活动结合 起来,谈一点意见和建议。有些是在数学以外,但是,还希望同学们能够有所了 解。这些建议仅仅是我们的一些思考,供同学们参考。 评价的变化 1.评价的观念 一些评价的基本观念需要变化。例如,考什么,就学什么;怎么考,就怎么 教;量化的评价体系才是科学的体系;高考是评价高中办学的指标,中考是评价 初中办学的指标;等等。与评价目的的转化一样,在现阶段,这种转化也是异常 艰苦的。在新课程中,倡导一些新的评价理念,例如,在评价的目标上不仅关注 同学们的学习成绩,还要关注同学们的学习习惯和学习兴趣。在评价性目标上, 不仅有终结性评价还有过程性评价,不仅关注同学们的学习结果,还要关注同学 们形成知识的过程。对同学们来说,不仅要关注自己学到了什么知识,还要关注 自己所学知识的过程,知识掌握得是否牢靠。
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2.评价的目标多元化 新课程提出多元化的评价目标,以往的评价更多的关注同学们的成就,关注 同学们的表现,特别是以知识技能评价为主、以书面评价为主要方式的评价。评 价更多地强调甄别和选拔的功能,忽视其他方面的功能,这种评价取向在很大程 度上限制了同学们的全面发展。针对同学们的评价,其目标应是多元的,至少应 包括以下几方面的功能: (1)反映同学们数学学习的成就和进步,激励同学们的数学学习; (2)诊断同学们在学习中存在的困难,及时调整和改善教学过程; (3)全面了解同学们数学学习的历程,帮助同学们认识自己在解题策略、 思维方法或学习习惯上的长处和不足; (4)使同学们形成正确的学习预期,形成对数学积极的态度、情感和价值 观,帮助同学们认识自我,树立信心。 3.评价的内容多维度 在《标准》中对同学们在高中阶段的数学学习提出了六个方面的要求: (1)获得必要的数学基础知识和基本技能 (2)提高空间想像、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能 力。 (3)提高数学地提出、分析和解决问题(包括实际应用问题)的能力,数 学表达和交流的能力,发展独立获取数学知识的能力。 (4)发展数学应用意识和创新意识,力求对现实世界中蕴涵的一些数学模 式进行思考和做出判断。 (5)提高学习数学的兴趣,树立学好数学的信心,形成锲而不舍的钻研精 神和科学态度。 (6)具有一定的数学视野,逐步认识数学的应用价值、科学价值和文化价 值,形成批判性的思维习惯,崇尚数学的理性精神,体会数学的美学意义, 从而进一步树立辩证唯物主义和历史唯物主义世界观。 评价的内容会围绕这些方面具体展开,形成多维度、全面性的评价内容体系。 4.评价的方法多样化 评价中会针对不同时期的同学的特点和具体内容的特征,选择恰当有效的方 法。对同学们知识技能掌握情况的评价,应当将定量评价和定性评价相结合,结 果评价与过程性评价相结合; 数学思考和解决问题方面的评价,更多地在同学们 学习过程和解决实际问题过程中进行考查; 情感与态度方面的评价主要通过教学 过程中对同学们的参与和投入等方面进行考查。 不同的评价方法在评价过程中起 着不同的作用, 不能希望一种评价方法会解决所有的问题。例如表现性评价就是 一种值得重视和探索的评价方法。 它是通过学生完成实际任务来展现学习成就的 评价方法,是通过为同学们提供一个具有一定任务性的,具体情景,在同学们完 成这一任务的过程中,考查同学们各方面的表现。 高考评价 1.高考试卷的结构
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在新的课程体系下,由于增加了选择性,同学们将会选择不同的发展方向, 就会面对不同的高考试卷。例如,根据《标准》 ,同学们有五种基本的选择: 如果同学们选择在艺术、体育、和一些职业高校方面发展,那就应该努力把 必修课程学好,适当地在选修 3、4 中选择一些有兴趣的专题。可以把自己的大 部分精力放在主攻方向上。对作这种选择的同学,高考的试题是以必修课程为基 础。 如果希望在人文、 社会科学等方面发展的学生,在完成 10 个必修学分的基础 上,可以有两种选择。一种是,在系列 1 中学习选修 1-1 和选修 1-2,获得 4 学 分;在系列 3 中任选 2 个专题,获得 2 学分,共获得 16 学分。另一种是,如果 学生对数学有兴趣,并且希望获得较高数学素养,除了按上面的要求获得 16 学 分,同时在系列 4 中获得 4 学分,总共获得 20 学分。 根据两种不同的选择,会有不同的试卷,高考试题分为两部分,第一部分以 必修和选修 1 的内容为命题的基础, 另一部分考题以选修 4 的十个专题的内容为 命题基础。对于只学过必修和选修 1 的同学,就可以只做第一部分试题。对于获 得 20 学分的同学,除了完成第一部分试题,还可以做自己学过的选修 4 的相关 试题。 希望在理工(包括部分经济类)等方面发展的同学,在完成 10 个必修学分的 基础上,可以有两种选择。一种是,在系列 2 中学习选修 2-1,选修 2-2 和选修 2-3,获得 6 学分;在系列 3 中任选 2 个专题,获得 2 学分;在系列 4 中任选 2 个专题,获得 2 学分,共获得 20 学分。另一种是,如果学生对数学有兴趣,希 望获得较高数学素养,除了按上面的要求获得 20 学分,同时在系列 4 中选修 4 个专题,获得 4 学分,总共获得 24 学分。 根据两种不同的选择,也会有不同的试卷,高考试题分为两部分,第一部分 以必修和选修 2 的内容为命题的基础, 另一部分考题以选修 4 的十个专题的内容 为命题基础。不同选择的同学可以做不同的试题。 2.高考试卷的内容 近几年, 数学高考命题导向也发生变化。 例如, 强调通性通法, 淡化 “技巧” 。 这种导向是积极的。 随着新课程试验不断深入,我们感到评价命题会在以下方面 不断探索: 1) 高考还是特别强调基础知识的,特别强调对重要的基本数学概念和数学 思想的理解。 我们在数学技能训练方面的考查积累了很丰富的经验。对重要的基 本数学概念和数学思想的理解方面的考查还会不断的深入。 2) 对数学应用的重视还应进一步加强,要出好一个有价值的应用问题是比 较困难的,需要进一步打开思路。前面我们也分析了应用问题的作用,同学们应 该注意的是,有背景的数学问题也会成为我们创造新题型的内容。 3) 数学与其他学科联系方面的问题会成为创造新题型的一条思路。 4) 开放性问题仍然是我们需要探索的一个方向,开放性问题的设置要能适 合改卷评分。

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5) 由于增加了统计、算法等内容,会促进同学们对于“过程性问题”的思 考。统计、算法等内容的学习,多会采用“案例”的学习方式,同学们通过“完 成一项工作的过程” ,学习和体会数学的内容和思想,那么如何评价这部分内容 的学习呢?我们认为除了采用传统的习题之外,还会创造出一些新的题型模式。 例如,在算法中,可以画框图;可以解读框图;可以补充不完善的框图;可以说 明框图某部分特点,如,分析循环变量,等等。

主要参考文献 [1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(实验).人民教育出版社.2003 [2]严士健,张奠宙,王尚志. 普通高中数学课程标准解读.江苏教育出版社.2004 [3] 课程教材研究所.20 世纪中国中小学课程标准·教学大纲汇编(数学卷).人 民教育出版社.2001 [4]柯朗,罗宾. 什么是数学.译者,左平、张饴慈.复旦大学出版社.2005.5 [5]李文林. 数学史概论.高等教育出版社.2000.8 [6]张顺燕. 数学的源与流.高等教育出版社. 2000 [7] 王尚志,张饴慈,马芳华普通高中选课与学习指南·数学 . 北京大学出版 社.2005.12

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