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新课标数学讲座六


数学讲座六

主讲人: 贺才兴

本讲要旨
一、参数方程
参数方程是联系多个变量之间关系的桥梁,在解题过程中引 入参数或参数方程,使多个变量单一化,达到简化计算、解 决问题的目的.

1、几种常见的参数方程
? x ? x0 ? t cos ? (1)直线 ? , t 为参数; ? y ?

y0 ? t sin ?

? x ? a ? R cos ? (2)圆? , ? 为参数,其中圆心为(a, b),圆半径为R; ? y ? b ? R sin ?

本讲要旨
? x ? x0 ? a cos ? (3)椭圆? , ? 为参数,其中椭圆中心为( x0 , y0 ), ? y ? y0 ? b sin ? 长半轴长为a,短半轴长为b (a ? b).

? x ? x0 ? a sec? (4)双曲线 ? , ? 为参数,其中双曲线中心为( x0 , y0 ), ? y ? y0 ? b tan ? 实半轴长为a,虚半轴长为b.

? x ? 2 pt 2 p (5)抛物线 ? , t 为参数,其中焦点是 ( ,0),准线为 2 ? y ? 2 pt p x?? . 2

本讲要旨
2、基本方法
参数或参数方程可用于求轨迹方程、求最值和求变量的取值 范围等方面.

本讲要旨
二、极坐标 1、极坐标系
在极点与原点重合,极轴与 x 轴正半轴重合,单位长度一致 的条件下,点 P的极坐标为( ? ,? ),直角坐标为( x, y ),其中? 表示线段 OP的长度,称为点 P的极径,? 表示 ox 轴旋转到OP 所成角的大小,称为点 P的极角.
若限定 ? ? 0, 0 ? ? ? 2? (或 ? ? ? ? ? ? ),则除极点外,平面内 的点和极坐标是一一对应的.

?? 2 ? x2 ? y 2 ? x ? ? cos ? ? 2、极坐标与直角坐标的关系 ? ;? . y ? y ? ? sin ? ? tan ? ? ( x ? 0) x ?

本讲要旨
二、极坐标 3、极坐标系下曲线的方程
(1)直线:? ? ?0 ( ? ? R) 表示过极点且极角为?0 的直线;
其中O 为极点;

? cos(? ? ? 0 ) ? a 表示过点 A( a,? 0 ) 且垂直于 OA的直线,
(2)圆:? ? R 表示以极点为圆心,R为半径的圆;

? 2 ? ?0 2 ? 2 ??0 cos(? ? ?0 ) ? R 2 表示以 ( ?0 ,?0 )为圆心,
R为半径的圆.

本讲要旨
二、极坐标 3、极坐标系下曲线的方程
(3)圆锥曲线 ep ?? 1 ? e cos ? 表示离心率为e,焦点到相应准线距离为 p的圆锥曲线方程.
当0 ? e ? 1时,极点在椭圆的左焦点; 当e ? 1时,极点在抛物线的焦点;
当e ? 1时, 极点在双曲线的右焦点 . ? ? R 表示双曲线, ? ? R ? 表 示双曲线右支.

本讲要旨
二、极坐标 3、极坐标系下曲线的方程
(4)基本方法
极坐标和直角坐标的互化十分重要.极坐标系的优点在于将 距离和角度作为研究对象 .

典型例题
1、选择题
6? ? ? x ? 1 ? t sin 7 ? (1)直线的参数方程为 ? (t 为参数 ), 则它的倾斜角 ? y ? 2 ? t cos ? ? 7 ? 5? 6? ? 9? 为(D). A. B. C. D. 14 7 7 14



6? ? y?2 ? ? sin ? sin , ?消去 t , 得 ? ? cot 7 7 x ?1 7 ? ? ? 9? ? tan ? ? ? cot ? tan( ? ) ? tan , 7 2 7 14 9? 故倾斜角? ? . D 14

典型例题
? x ? 1 ? 2t (2)直线 ? (t 为参数 )被抛物线 y 2 ? 3 x 截得的弦长是 (B). ? y ? 2 ? 3t 4 4 A.2 B. 26 C.2 13 D. 2 3 3


将 x ? 1 ? 2t 和 y ? 2 ? 3t 代入 y 2 ? 3x, 得 9t 2 ? 18t ? 1 ? 0,

2 4 解得 t ? 1 ? 2,于是两个交点坐标分别为 (3 ? 2, ?1 ? 2 2), 3 3 4 (3 ? 2, ?1 ? 2 2), 3 8 4 2 2 B 得弦长 d ? ( 2) ? (?4 2) ? 26. 3 3

典型例题
( x ? 2) 2 (3)点 P ( x, y ) 在椭圆 ? ( y ? 1) 2 ? 1上, 则 x ? y 的最大值 4 是 (A). A.3 ? 5 B.5 ? 5 C.5 D.6



? x ? 2 ? 2cos? 由椭圆的参数方程 ? , ? y ? 1 ? sin ?
其中tan ? ? 2.

得 x ? y ? 3 ? sin ? ? 2cos ? ? 3 ? 5 sin(? ? ? ),

当sin(? ? ? ) ? 1 ,( x ? y ) max ? 3 ? 5. 时

A

典型例题
? x ? x0 ? at (4)已知直线 ? 上两点 A、B 所对应的参数为t1、t2 , ? y ? y0 ? bt 则 | AB |? (B).
A. | t1 ? t2 | B. a ? b | t1 ? t2 |
2 2

C.

| t1 ? t2 | a 2 ? b2

| t1 ? t2 | D. 2 a ? b2


A( x0 ? at1 , y0 ? bt1 ), B( x0 ? at2 , y0 ? bt2 )

?| AB |? a 2 (t1 ? t2 )2 ? b2 (t1 ? t2 )2 ? a 2 ? b2 | t1 ? t2 | .
B

典型例题
? x ? ?1 ? 2 2 cos ? (5)设 ?ABC 两顶点 A、B 是 ? 的两焦点, C 点在 ? y ? 2 ? 2sin ? 圆 x 2 ? y 2 ? 64 上移动, 则?ABC 的重心轨迹是 ( ). 2 2 4 2 64 A.( x ? ) ? ( y ? ) ? 3 3 9 4 2 2 2 8 C.( x ? ) ? ( y ? ) ? 3 3 3 2 2 4 2 64 B.( x ? ) ? ( y ? ) ? 3 3 9 2 2 4 2 8 D.( x ? ) ? ( y ? ) ? 3 3 3


( x ? 1) 2 ( y ? 2) 2 ? ? ? 1, c 2 ? a 2 ? b2 ? 8 ? 4 ? 4. 8 4 x0 ? 2 y0 ? 4 ? A(?3, 2), B(1, 2), C ( x0 , y0 ) ? 重心坐标 x ? ,y? 3 3

典型例题
? x ? ?1 ? 2 2 cos ? (5)设 ?ABC 两顶点 A、B 是 ? 的两焦点, C 点在 ? y ? 2 ? 2sin ? 圆 x 2 ? y 2 ? 64 上移动, 则?ABC 的重心轨迹是 (A). 2 2 4 2 64 A.( x ? ) ? ( y ? ) ? 3 3 9 4 2 2 2 8 C.( x ? ) ? ( y ? ) ? 3 3 3 2 2 4 2 64 B.( x ? ) ? ( y ? ) ? 3 3 9 2 2 4 2 8 D.( x ? ) ? ( y ? ) ? 3 3 3


? x0 ? 3x ? 2, y0 ? 3 y ? 4 ? x0 2 ? y0 2 ? (3x ? 2)2 ? (3 y ? 4)2 ? 64,
2 2 4 2 64 即 (x ? ) ? ( y ? ) ? . 3 3 9
A

典型例题
(6)若 ? ? R, 则极坐标方程 ? ? f (? ) 和方程 ? ? ? f (? ? ? ) 所表 示的曲线是 (C). A.关于极点对称的两条曲线 C. 同一条曲线 B.关于极轴对称的两条曲线 D.任意两条曲线


( ? ,? )、 ? ,? ? ? )、 ? ,? ? ? ) 均表示同一点. (? (?
C

典型例题
(7)在极坐标系下与圆? ? 4sin ? 相切的一条直线方程为(B). A.? sin ? ? 1 B.? cos ? ? 2 C.? sin ? ? 3 D.? cos ? ? 4


圆的方程为 x 2 ? y 2 ? 4 y, 即 x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4,

? cos? ? 2 即 x ? 2与圆相切.
B

典型例题
(8)极坐标方程 ? ? A.圆 5 3 ? 4cos ? ? 4sin ? B.椭圆 C.双曲线 所确定的曲线是 (C). D.抛物线


??
5 3 ? 4cos ? ? 4sin ? ? 5

5 ? ?ep ? 3 ? ? e ? 1. ? ?e ? 4 2 ? 3 ?

4 ? 3 ? 4 2 cos(? ? ) 1 ? 2 cos(? ? ) 4 3 4
C

?

?

5 3

典型例题
(9)已知 A( ?3, )、B(3, ), O 为极点, 则?AOB的面积为(B). 6 2 9 A. 4 9 3 B. 4 9 C. 2 9 3 D. 2

?

?


7? A(?3, )即为 A(3, ) 6 6 1 7? ? ? S?AOB ? | AO | ? | BO | sin( ? ) 2 6 2
1 2? 9 3 ? ? 3 ? 3 ? sin ? . 2 3 4
B

?

典型例题
(10)直线 l1 : ? sin(? ? ? ) ? a与直线 l2 : ? ? A. l1 //l2 B. l1与l2重合 C. l1 ? l2

?

2 D.l1与l2相交但不垂直

? ? 的位置关系是 (C).


? ? sin(? ? ? ) ? a ? ? sin ? cos ? ? ? cos? sin ? ? a,
即为 x sin ? ? y cos ? ? a,
而? ?
? kl1 ? ? tan ? ,

?

? ? ? tan ? ? tan( ? ? ) ? cot ? , ? kl2 ? cot ? , 2 2
C

?

故 kl1 ? kl2 ? ?1 ? l1 ? l2 .

典型例题
2、填空题
1 ? 2 ? x ? p (k ? k 2 ) ? (1)将参数方程 ? (k 为参数 ) 化为 ? y ? p( 1 ? k ) ? k ? y 2 ? p ( x.? 2 p ) 普通的直角坐标方程为 _______


1 2 2 1 y ? p ( ? k ) ? p ( 2 ? k 2 ? 2) k k ? p( x ? 2 p).
2 2

典型例题
? x ? et ? e ? t (2)参数方程 ? (t 为参数 ) 表示的曲线的直角坐标方 t ?t ?y ? e ? e y 2 ? x 2 ? .4 程为 _______


? x 2 ? e2t ? e ?2t ? 2, y 2 ? e 2t ? e ?2t ? 2,

? y 2 ? x 2 ? 4.

典型例题

x2 y 2 (3)过椭圆 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0)的长轴上一点 M ( M 不是原点), 作 a b x2 y 2 ? 2 ?1 2 b 垂直于长轴 AA '的弦 PP ', 则 A ' P '与AP交点 Q的轨迹方程是a_____ .



令 M (a cos? ,0), ? ? [0, 2? ), 则P(a cos? , b sin ? ), P '(a cos? , ?b sin ? ), A(?a,0), A '(a,0) ?b sin ? ? A ' P '方程为 y ? ( x ? a ), a (cos ? ? 1) b sin ? AP方程为 y ? ( x ? a) a (cos ? ? 1) ?b 2 sin 2 ? x2 y 2 ? y2 ? 2 ( x 2 ? a 2 ), 即 2 ? 2 ? 1. a (cos 2 ? ? 1) a b

典型例题
40 5 (4)二次曲线 ? ? 的焦距为 ______ . 7 3 ? 4cos ?



c 4 ? 3 ? e? ? ? ?a ? 4 c a 3 4 5 ? ? ? a 2 b2 5 ? 5 ? ?p ? c? ? ? ? ?b 2 ? c ?? 3 4 ? 4 c c 4 4 ? ? 1 ? cos ? 3 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? ? ? 3 2 5 20 40 2 ? ( c) ? c ? c ? c ? , ?焦距 2c ? . 4 4 7 7

典型例题

? ? 2 ? 2 ? cos ? ? 2 3? sin ? x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 3 y,
即 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 4,

(2, ? ) (5)圆? ? 2cos ? ? 2 3 sin ? 的圆心坐标为 ______ . 3

?

?圆心 (1, ? 3)的极坐标为 (2, ? ). 3

?

典型例题
(6)过抛物线 y 2 ? 8 x的焦点作一条倾斜角为? 的弦, 若弦长不超
? 3? [_____ . 过 16, 则? 的取值范围是 , ] 4 4


4 , ? ? [0, ? ]. ? 2 p ? 8 ? p ? 4, ?其极坐标方程为 ? ? 1 ? cos ? 4 4 ? ? ? 16, 4 ? 4cos ? ? 4 ? 4cos ? ? 16(1 ? cos 2 ? ) 1 ? cos ? 1 ? cos ?
2

1 2 2 2 即 sin ? ? ?| sin ? |? , 得 ? 1 ? sin ? ? ? 或 ? sin ? ? 1. 2 2 2 2 ? 3? ?? ? [0, ? ], ?? ? [ , ]. 4 4

典型例题

3 3、经过点 P (?2,3), 且倾斜角为 ? 的直线与圆 x 2 ? y 2 ? 25的 4 交点为 A、B, 求 | PA | ? | PB | 的值.

? 2 t ? x ? ?2 ? ? 2 将直线的参数方程 ? (t 为参数 )代入圆的方程, ?y ? 3? 2 t ? 2 ? 2 得 t ? 5 2t ? 12 ? 0,
2 2 2 2 ? A(?2 ? t1 ,3 ? t1 ), B(?2 ? t2 ,3 ? t2 ) 2 2 2 2 ?| PA | ? | PB |?| t1 | ? | t2 |? 12.

典型例题
1 y 4、设 x ? y ? 4, 求 S ? 2 ? 的值域. x x
2 2


设 x ? 2sec? , y ? 2 tan ? ,
1 1 1 5 2 2 2 则 S ? cos ? ? sin ? ? (1 ? sin ? ) ? sin ? ? ? (sin ? ? 2) ? , 4 4 4 4 ? S ? [?1,1].

典型例题
5?、已知点 P 在圆x 2 ? ( y ? 4) 2 ? 1上移动,点 Q 在 x2 椭圆 ? y 2 ? 1上移动, 试求 | PQ | 的最大值. 9


设 Q(3cos? ,sin ? ), 圆心 M (0, 4),
1 2 则 | MQ |? 9cos ? ? (sin ? ? 4) ? ?8(sin ? ? ) ? 27 2
2 2

? | MQ |max ? 3 3 ? | PQ |max ? 3 3 ? 1.

典型例题
x2 5、已知椭圆 ? y 2 ? 1, F 为其左焦点,过 F 作两直线 l1 , l2 2 分别交椭圆于点 P, Q 和 M , N 且 l1 ? l2 ,求四边形PMQN 面积的最大值和最小值.

分析

1 四边形PMQN 的面积 S ? PQ ? MN , 2

PQ, MN 均为过焦点 F 的弦,

故可将椭圆转化为圆锥曲线统一方程处理.

典型例题
x2 5、已知椭圆 ? y 2 ? 1, F 为其左焦点,过 F 作两直线 l1 , l2 2 分别交椭圆于点 P, Q 和 M , N 且 l1 ? l2 ,求四边形PMQN 面积的最大值和最小值.


2 a ? 2, b ? 1, c ? 1, e ? , p ? 1. 2 以 F 为极点, Fx为极轴建立极坐标系,则椭圆方程为

2 2 ?? ? 2 1? cos ? 2

1 . 2 ? cos ?

典型例题
x2 5、已知椭圆 ? y 2 ? 1, F 为其左焦点,过 F 作两直线 l1 , l2 2 分别交椭圆于点 P, Q 和 M , N 且 l1 ? l2 ,求四边形PMQN 面积的最大值和最小值.
3? 依题意, 设 P ( ?1 ,? ), Q( ? 2 ,? ? ? ), M ( ?3 ,? ? ), N ( ? 4 ,? ? ), 2 2 其中? ? [0, 2? ), 1 1 2 2 ? PQ =?1+? 2 ? ? ? , 2 2 ? cos ? 2 ? cos ? 2 ? cos ? 1 1 2 2 MN ? ?3 ? ? 4 ? ? ? ? ? 2 ? sin 2 ? 2 ? cos(? ? ) 2 ? cos(? ? ) 2 2



?

典型例题
x2 5、已知椭圆 ? y 2 ? 1, F 为其左焦点,过 F 作两直线 l1 , l2 2 分别交椭圆于点 P, Q 和 M , N 且 l1 ? l2 ,求四边形PMQN 面积的最大值和最小值.


1 4 16 ? S ? PQ ? MN ? ? . 2 2 2 2 2 ? cos ? sin ? 8 ? sin 2?
? 0 ? sin 2 2? ? 1, ?
2

16 ? S ? 2. 9
2

当sin 2? ? 0时, Smax ? 2; 当sin 2? ? 1时, Smin

16 ? . 9

典型例题
x2 5、已知椭圆 ? y 2 ? 1, F 为其左焦点,过 F 作两直线 l1 , l2 2 分别交椭圆于点 P, Q 和 M , N 且 l1 ? l2 ,求四边形PMQN 面积的最大值和最小值.

说明
研究圆锥曲线的焦半径、焦点弦问题时, 通常用圆锥曲线的统一极坐标方程比较方便.

典型例题
6、以 A为圆心, 2cos ? (0 ? ? ?

?

2 | AB |? 2sin ? , 设过 B 且与圆 A外切于点 C 的圆的圆心为M .

)为半径的圆外有一点 B.已知

(1)当? 取某个值时, 说明点 M 的轨迹 P 是什么曲线?
(2)点 M 是轨迹 P 上的动点,点 N 是圆 A上的动点, 记 | MN | 的 最小值为 f (? ),求 f (? )的取值范围.

典型例题
6、以 A为圆心, 2cos ? (0 ? ? ?

?

2 | AB |? 2sin ? , 设过 B 且与圆 A外切于点 C 的圆的圆心为M .

)为半径的圆外有一点 B.已知

(1)当? 取某个值时, 说明点 M 的轨迹 P 是什么曲线?


(1)设以 M 为圆心的圆的半径为rM , 则 | MA |? 2cos ? ? rM , | MB |? rM ,
? | MA | ? | MB |? 2cos ? , 故当? 取定某个值时,点 M 的轨

迹 P 是以 A, B 为焦点,实轴长为

2cos? 的双曲线靠近点 B的一支.

典型例题
2 | AB |? 2sin ? , 设过 B 且与圆 A外切于点 C 的圆的圆心为M . (2)点 M 是轨迹 P 上的动点,点 N 是圆 A上的动点, 记 | MN | 的
最小值为 f (? ),求 f (? )的取值范围.

6、以 A为圆心, 2cos ? (0 ? ? ?

?

)为半径的圆外有一点 B.已知


(2)以 AB 所在直线为 x 轴建立直角坐标系, 使 A(? cos? ,0),
则圆 A的方程为( x ? cos ? ) 2 ? y 2 ? 4cos 2 ? .

当 | MN | 最小时,即 | AB | 在 连心线上,此时 N (cos ? ,0),

典型例题
2 | AB |? 2sin ? , 设过 B 且与圆 A外切于点 C 的圆的圆心为M . (2)点 M 是轨迹 P 上的动点,点 N 是圆 A上的动点, 记 | MN | 的
最小值为 f (? ),求 f (? )的取值范围.

6、以 A为圆心, 2cos ? (0 ? ? ?

?

)为半径的圆外有一点 B.已知

1 | AB | ? | AN |? 2rM , rM ? (2sin ? ? 2cos ? ) ? sin ? ? cos ? 2 ? ? f (? ) ? rM ? sin ? ? cos? ? 2 sin(? ? ). 4 ? ? ? sin ? ? cos? , ?? ? ( , ), 4 2 ? f (? ) ? (0,1).



典型例题
x2 y 2 7、过点 P (2,1) 作椭圆 ? ? 1的弦, 使得 P 是弦的中点, 16 4 求弦所在的直线方程和弦长.


? x ? 2 ? t cos? 设所求直线方程为? (t 是参数 ), 代入椭圆方程, 得 ? y ? 1 ? t sin ?
t 2 (cos 2 ? ? 4sin 2 ? ) ? 4(cos ? ? 2sin ? )t ? 8 ? 0,

2 ? t1 cos? ? 2 ? t2 cos ? 设其根为t1 , t2 , P为中点, 则由 ? 2, 2 ?4(cos? ? 2sin ? ) 得 t1 ? t2 ? 0, 即 ? 0 ? cos? ? 2sin ? ? 0, 2 2 cos ? ? 4sin ?

典型例题
x2 y 2 7、过点 P (2,1) 作椭圆 ? ? 1的弦, 使得 P 是弦的中点, 16 4 求弦所在的直线方程和弦长.


1 于是由 cos? ? 2sin ? ? 0, 得 tan ? ? ? , 2 1 故所求的直线方程为 y ? 1 ? ? ( x ? 2) ? x ? 2 y ? 4 ? 0, 2
32 ? 2 5. 弦长为 (t1 ? t2 ) ? (t1 ? t2 ) ? 4t1t2 ? 2 2 cos ? ? 4sin ?
2 2

典型例题
x2 y2 8、已知椭圆 ? ? 1, 直线 x ? 2 y ? 18 ? 0, 试在椭圆上 9 4 求一点 P, 使 P 到直线的距离最短.


在椭圆上任取点 M (3cos? , 2sin ? ),则点 M 到直线的距离
| 3cos ? ? 4sin ? ? 18 | | 5sin(? ? ? ) ? 18 | d? ? 5 5 13 ? 3 ? d min ? , 此时? ? ? ? ? , 其中 tan ? ? . 2 4 5 ? 9 x ? 3cos ? ? 3cos(? ? ? ) ? ?3sin ? ? ? , 2 5

典型例题
x2 y2 8、已知椭圆 ? ? 1, 直线 x ? 2 y ? 18 ? 0, 试在椭圆上 9 4 求一点 P, 使 P 到直线的距离最短.


8 y ? 2sin ? ? 2sin(? ? ? ) ? ?2cos ? ? ? , 2 5 9 8 ? P(? , ? ). 5 5

?

典型例题
x2 y 2 9、椭圆 ? ? 1上有两点 P、Q, O 是原点, 若 OP、OQ的 16 4 1 斜率之积为 ? ,求证 : | OP |2 ? | OQ |2 为定值. 4


设 P(4cos ? , 2sin ? ), Q(4cos ? , 2sin ? ),
则 kOP ? kOQ sin ? sin ? 1 ? ? ? ? ,得 2cos ? 2cos ? 4

cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? 0, 即 cos(? ? ? ) ? 0
? ? ? ? ? 2k? ?

?
2

(k ? Z )

典型例题
x2 y 2 9、椭圆 ? ? 1上有两点 P、Q, O 是原点, 若 OP、OQ的 16 4 1 斜率之积为 ? ,求证 : | OP |2 ? | OQ |2 为定值. 4


故 | OP |2 ? | OQ |2 ? 16cos 2 ? ? 4sin 2 ? ? 16cos 2 ? ? 4sin 2 ?

? 16cos (2k? ?
2

?
2

? ? ) ? 4sin (2k? ?
2

?
2

? ? ) ? 16cos 2 ? ? 4sin 2 ?

? 16sin 2 ? ? 4cos 2 ? ? 16cos 2 ? ? 4sin 2 ?
? 20.

典型例题
x2 y 2 10、设动直线 l 垂直于 x 轴,与椭圆 ? ? 1交于 A、B两点, 4 2 P 是 l 上满足 | PA | ? | PB |? 1的点, 求 P 点的轨迹方程.


设 P( x, y ), A(2cos ? , 2 sin ? ), B(2cos ? , ? 2 sin ? ), 则 x ? 2cos ? , 且 | 2 sin ? ? y | ? | 2 sin ? ? y | ? 1, 即 | 2sin 2 ? ? y 2 | ? 1, x 2 2 2 ? y ? 2sin ? ? 1 ? 2 ? 2cos ? ? 1. 把 cos ? ? 代入, 2 2 2 2 1 2 x y x 2 得 y ? 2 ? x ? 1, 即 ? ? 1或 ? y 2 ? 1. 2 6 3 2 ? x ? 2cos? , 且 l 与椭圆交于两点,

??2 ? x ? 2, 这是 P点轨迹的范围.

典型例题
x2 y 2 10、设动直线 l 垂直于 x 轴,与椭圆 ? ? 1交于 A、B两点, 4 2 P 是 l 上满足 | PA | ? | PB |? 1的点, 求 P 点的轨迹方程.

说明:求出轨迹的参数方程, 还须转化为直角坐标方程, 但要注意转化过程中范围的等价性.

典型例题
y2 11、给定双曲线 x 2 ? ? 1. 2 (1)过点 A(2,1)的直线 l 与所给双曲线交于点 P 与 P2 ,求线段 PP2 1 1
的中点 P的轨迹方程; (2)过点 B(1,1)能否作直线 m, 使 m与所给双曲线交于点 Q1 与Q2 ,

且点 B 是线段 Q1Q2 的中点 ? 若存在,求出它的方程; 若不存在, 说明理由.

典型例题
y2 11、给定双曲线 x 2 ? ? 1. 2 (1)过点 A(2,1)的直线 l 与所给双曲线交于点 P 与 P2 ,求线段 PP2 1 1
的中点 P的轨迹方程;

? x ? 2 ? t cos? (1)设直线 l 的参数方程为? , 代入双曲线方程, 得 ? y ? 1 ? t sin ? (2cos 2 ? ? sin 2 ? )t 2 ? 2(4cos ? ? sin ? )t ? 5 ? 0, 2cos 2 ? ? sin 2 ? ? 0.
设 t1 ? AP , t2 ? AP2 为上述方程的两个根, 1
?2(4cos ? ? sin ? ) 则 t1 ? t2 ? . 2 2 2cos ? ? sin ?



典型例题
(1)过点 A(2,1)的直线 l 与所给双曲线交于点 P 与 P2 ,求线段 PP2 1 1 的中点 P的轨迹方程;

1 sin ? ? 4cos ? ? AP ? t ? (t1 ? t2 ) ? , 2 2 2 2cos ? ? sin ? sin ? ? 4cos ? ?点 P的坐标 : x ? 2 ? cos ? , 2 2 2cos ? ? sin ? sin ? ? 4cos ? y ? 1? sin ? , 消去? , 得 2 2 2cos ? ? sin ? sin ? ? 4cos ? 2 2 2( x ? 2) ? ( y ? 1) ? (sin ? ? 4cos ? ) 2 2 2cos ? ? sin ? ? 2 x 2 ? y 2 ? 4 x ? y ? 0. ? y ? 1 ? 4( x ? 2)



典型例题
(2)过点 B(1,1)能否作直线 m, 使 m与所给双曲线交于点 Q1 与Q2 , 且点 B 是线段 Q1Q2 的中点 ? 若存在,求出它的方程; 若不存在, 说明理由.

? x ? 1 ? t cos? (2)过点 B(1,1)的直线 m的参数方程为? ? y ? 1 ? t sin ? ? (2cos 2 ? ? sin 2 ? )t 2 ? 2(2cos ? ? sin ? )t ? 1 ? 0,
? ? 8cos 2 ? (3 ? 2 tan ? ), 3 ?当tan ? ? 时, ? ? 0, 直线 m与双曲线无交点. 2 3 若 B为Q1Q2 的中点,则 2cos ? ? sin ? ? 0, tan ? ? 2 ? , 2 故这样的直线不存在.



典型例题
3 ? 12、曲线 ? ? 与曲线 C 关于直线? ? 对称, 2cos ? ? 5sin ? 6 求曲线 C 的方程 .


在 C 上任取一点 M ( ? ,? ),
其关于直线? ?

?

3 M ? 应在曲线 ? ? 上, 2cos ? ? 5sin ? 3 3 ? . ?? ? ? ? 2cos( ? ? ) ? 5sin( ? ? ) ( 5 3 ? 1) cos ? ? ( 3 ? 5 )sin ? 3 3 2 2

6

对称的点为 M ?( ? ,

?
3

? ? ),

典型例题
6 13、求双曲线 ? ? 的直角坐标方程. 1 ? 2cos ?


6 ?? ? , 即 ? ? 2 ? cos? ? 6 ? 2 x ? 6, 1 ? 2cos?
? x 2 ? y 2 ? (2 x ? 6)2 ,

( x ? 4) 2 y 2 即 y 2 ? 3x 2 ? 24 x ? 36, 整理得 ? ? 1. 4 12

典型例题
14、过抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0)的焦点 F 作弦 PP2 , 1 1 1 求 ? 的值. | FP | | FP2 | 1


p 该抛物线的极坐标方程为? ? , 1 ? cos ?

设 P ( ?1 ,?1 ), P2 ( ?2 ,?2 ), 则? 2 ? ?1 ? ?, 1 p p p ? ?1 ? ,? 2 ? ? , 1 ? cos ?1 1 ? cos(?1 ? ? ) 1 ? cos ?1
1 1 1 1 1 ? cos ?1 1 ? cos ?1 2 故 ? ? ? ? ? ? . | FP | | FP2 | ?1 ? 2 p p p 1

典型例题
15、从极点 O 作直线 l 与直线 ? cos ? ? 4 相交于 M , 在 OM 上取点 P, 使得 | OM | ? | OP |? 12, 求点 P的轨迹方程 .


设P( ? ,? ), M ( ?1 ,? ),

? ?1 cos ? ? 4 则? ? ? ? 3cos? ( ? ? 0). ? ?1? ? 12

典型例题
16、圆A的圆心 A(0,1), 半径为1, Q 是圆A上任一点, 在射线 OQ 上取一点 P, 使得 P 到Q的距离等于P 到直线 y ? 2的距离, 求点 P的轨迹方程.


以原点 O为极点, Ox 轴为极轴建立极坐标系,则圆A的方程为

? ? 2sin ? . 设 P( ? ,? )、Q( ?1 ,? ),则 ? ? ?1 ? 2 ? ? sin ? ,
即 ? ? 2sin ? ? 2 ? ? sin ?
?? ? 2或? ? ?

?

? ( ? ? 2)(1 ? sin ? ) ? 0,

2 ? ? P 在射线 OQ 上, ?所求轨迹方程为? ? 2 (0 ? ? ? ? )或? ? ? , 2 化为直角坐标方程为 x 2 ? y 2 ? 4 ( y ? 0) 或 x ? 0 ( y ? 0).

( ? ? R).

典型例题
x2 y2 17、已知椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0)的内接平行四边形的一组 a b 对边经过它的两个焦点, 求此平行四边形面积的最大值.


以左焦点为极点, x 轴正方向为极轴建立极坐标系, ep 则椭圆方程化为? ? . 1 ? e cos ? 2ep 设A( ?1 , ? ), B( ? 2 ,? ? ? ), 则 | AB |? ?1 ? ? 2 ? . 2 2 1 ? e cos ? ?两平行线间距离h ? | F1F2 | sin ? ? 2c sin ? , c b2 4 ? ? ? c sin ? 2ep c ? S? ? | AB | ?h ? ? 2c sin ? ? a 2 1 ? e2 cos 2 ? c 1 ? 2 cos 2 ? a

典型例题
x2 y2 17、已知椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0)的内接平行四边形的一组 a b 对边经过它的两个焦点, 求此平行四边形面积的最大值.


4ab 2c sin ? 4ab 2c sin ? 4ab 2c 即 S? ? 2 2 ? 2 ? 2 . 2 2 2 a ? c cos ? b ? c sin ? b ? c 2 sin ? sin ?
4ab 2c b b ? 2ab; 当0 ? ? 1时, ? c 2 sin ? ? 2bc ? S? ? 2bc c sin ?
2

b b2 b 2 2 2 当 ? 1时, ? ? c sin ? ? sin ? ? ( ) ? 1, c sin ? c

典型例题
x2 y2 17、已知椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0)的内接平行四边形的一组 a b 对边经过它的两个焦点, 求此平行四边形面积的最大值.

b2 ? ? c 2 sin ? 取不到最小值 2bc, sin ? b2 1 2 2 2 2 此时 ? c sin ? ? b ? c ? b ( ? 1) ? c 2 (1 ? sin ? ) sin ? sin ? b2 ? (1 ? sin ? )( ? c2 ) ? 0 sin ? b2 4ab 2c 4b 2c ? ? c 2 sin ? ? b 2 ? c 2 ? a 2 ? S? ? ? . 2 sin ? a a




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