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甘肃省兰州一中2013-2014学年高二下学期期末考试数学文试题


甘肃兰州一中 2013—2014 学年度下学期期末考试

高二数学文试题
一.选择题 (共 10 题,每题 3 分) 1.不等式 x ? 2 ? x ? 2 的解集是 A. (??, 2) B. (??, ??) C. (2, ??) D. (??, 2) ? (2, ??)

2.已知点 P 的极坐标为 (1, ? ) ,则过点 P 且垂直于极轴的直线方程为 A. ? ? 1 3.参数方程 ? B. ? ? cos? C. ? ? ?

1 cos ?

D. ? ?

1 cos ?

? x ? 2cos ? ( ? 为参数)和极坐标方程 ? ? ?6cos ? 所表示的图形分别是 ? y ? sin ?
B.直线和直线 C.椭圆和直线 D.椭圆和圆

A.圆和直线

4.如图在△ ABC 中, MN ∥ BC , MC , NB 交于点 O ,则图中相似三角形的对数为 A.1 B.2 C.3 D.4

5.经过点 M (1,5)且倾斜角为 参数的参数方程是

? 的直线,以定点 M 到动点 P 的位移 t 为 3
1 ? x ? 1? t ? 2 ? C. ? ?y ? 5 ? 3 t ? 2 ? 1 ? x ? 1? t ? 2 ? D. ? ?y ? 5 ? 3 t ? 2 ?

1 ? x ? 1? t ? 2 ? A. ? ?y ? 5 ? 3 t ? 2 ?

1 ? x ? 1? t ? 2 ? B. ? ?y ? 5 ? 3 t ? 2 ?

6.园的极坐标方程分别是 ? ? 2 cos? 和 ? ? 4 sin ? ,两个圆的圆心距离是 A.2 B. 2 C.

5

D. 5

7.函数 y ? x ? 4 ? x ? 6 的最小值为 A.2 B. 2 C.4 D.6

8.下列四个不等式:
·1 ·

①x?

1 c c a?m a ? 2( x ? 0) ;② ? (a ? b ? c ? 0) ;③ ? (a, b, m ? 0) , x a b b?m b



a 2 ? b2 a?b 2 ?( ) 恒成立的是 2 2
A.3 B.2 C .1 D .0

9.若曲线 ? A. 2 7

? x ? 2 ? t sin 300 ? ( t 为参数) 与曲线 ? ? 2 2 相交于 B , C 两点,则 | BC | 的值为 0 ? ? y ? ?1 ? t sin 30
B. 60 C. 7 2 D. 30
0

10.如图,过圆内接四边形 ABCD 的顶点 C 引圆的切线 MN , AB 为圆直径,若∠ BCM = 38 , 则∠ ABC = A. 38
0

N B. 52
0

D A O

C B M

C. 680

D. 42 0

二.填空题(共 5 题,每题 4 分)

11. 已 知 直 线 l1 : ?

? x ? 1 ? 2t ? x ? s, ( t 为参数) , l2 : ? ( s 为 参 数 ) , 若 l1 ? l2 , 则 实 数 ? y ? 1 ? 2s. ? y ? 2 ? kt

k?



12.在直角坐标系中,曲线 C1 的参数方程为 ?

?x ? cos? , ? ? [0, ? ] ,曲线 C 2 的方程为 y ? x ? b .若 ? y ? sin ?


曲线 C1 与 C 2 有两个不同的交点,则实数 b 的取值范围是

q, r 为正实数,且 13. 若 p ,

1 1 1 ? ? ? 1 ,则 p ? q ? r 的最小值是 p q r

.

二. 填空题(共 5 题,每题 4 分)
题号 答案
·2 ·

11

12

13

14

15

14. 如图,圆 O 上一点 C 在直径 AB 上的射影为 D . AD ? 2 , AC ? 2 5 , 则 AB ? ____ __, CD ? ___ __. C A B

D O
B

15. 如图, AC 为⊙O 的直径,OB ? AC ,弦 BN 交 AC 于点 M .若 OC ? 3 ,OM ? 1 ,则 MN 的长为 .
C

M O N

A

三.解答题(共 5 题,50 分)
16. (10 分) 设函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | x ? 3 | . (1)解不等式 f ( x) ? 0 ; (2)已知关于 x 的不等式 a ? 3 ? f ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围.

17.(10 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 3 . (1)若不等式 f ( x ? 1) ? f ( x) ? a 的解集为空集,求 a 的范围; (2)若 a ? 1, b ? 1 ,且 a ? 0 ,求证: f (ab ) ? a f ( ) .

b a

·3 ·

? ?x ? 1 ? 18. (10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 的参数方程为 ? ?y ? 2 ? ?
? x ? 4t 2 (t为参数) 抛物线 ? 交于 A, B 两点,求线段 AB 的长. ? y ? 4t

2 t, 2 ( t 为参数),直线 l 与 2t 2

19. (10 分)在直角坐标系 xoy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?
[

? x ? 3 cos? ? y ? sin ?

, ( ? 为参数) ,以原点 O 为

极点, x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C 2 的极坐标方程为 ? sin(? ? (1) 求曲线 C1 的普通方程与曲线 C 2 的直角坐标方程;

?
4

) ? 4 2.

(2) 设 P 为曲线 C1 上的动点,求点 P 到 C 2 上点的距离的最小值,并求此时点 P 的坐标.

·4 ·

A 为切点, C 两点, 20. (10 分) 如图所示, 已知 PA 与⊙ O 相切, 过点 P 的割线交圆于 B 、 弦 CD ∥ AP , AD 、 BC 相交于点 E , F 为 CE 上一点,且 DE 2 ? EF ? EC .
(1)求证: CE ? EB ? EF ? EP ; (2)若 CE : EB ? 3: 2 , DE ? 3 , EF ? 2 ,求 PA 的长.

参考答案
一.选择题 (共 10 题,每题 3 分)
题 号 答 案 A C D B D C A A D B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

二.填空题(共 5 题,每题 4 分)
题号 11 12 13 9 14 15

答案

?1

1? b ? 2

10 4

1

三.解答题(共 5 题,50 分)
16. 解 (1) f ( x) ? 0 的解集为: (??, ?4) ? ( , ??) (2)

2 3

· · · · · · · · · · 5分 · · · · · · · · · · 10 分 …………………5 分

a??

13 2

17. 解 (1)? x ? 4 ? 3 ? x ? ?x ? 4? ? ?3 ? x? ? 1? a ? 1

2 2 (2) 要证 f (ab ) ? a f ( ) ,只需证 | ab ? 1 |?| b ? a | ,只需证 (ab ? 1) ? (b ? a)

b a

而 (ab ? 1) ? (b ? a) ? a b ? a ? b ? 1 ? (a ? 1)(b ? 1) ? 0 ,
2 2 2 2 2 2 2 2

·5 ·

从而原不等式成立.18. 解 直线 l: x ? y ? 3 抛物线方程: y 2 ? 4 x

---------------------------------10 分

· · · · · · · · · · 5分

直线 l: x ? y ? 3 代入抛物线方程 y 2 ? 4 x 并整理得 x 2 ? 10 x ? 9 ? 0

2) , B(9 , ? 6) ,故 | AB |? 8 2 ∴ 交点 A(1 ,

· · · · · · · · · 10 分

? x ? 3 cos? 19. 解: (1)由曲线 C1 : ? ? y ? sin ?

? x ? cos? ? 得? 3 ? ? y ? sin ?

即:曲线 C1 的普通方程为:

x2 ? y2 ? 1 3

...........2 分

由曲线 C 2 : ? sin(? ?

?
4

) ? 4 2 得:

2 ? (sin ? ? cos? ) ? 4 2 2
...........5 分

即:曲线 C 2 的直角坐标方程为: x ? y ? 8 ? 0 (2) 由(1)知椭圆 C1 与直线 C 2 无公共点, 椭圆上的点 P( 3 cos? , sin ? ) 到直线 x ? y ? 8 ? 0 的距离为

d?

3 cos? ? sin ? ? 8 2

2 sin(? ? ? 2

?
3

) ?8

所以当 sin(? ?

?

3 1 ) ? 1 时, d 的最小值为 3 2 ,此时点 P 的坐标为 ( , ) 3 2 2

----10 分

20.(I)∵DE ? EF ? EC ,∴?EDF ? ?C , 又∵?P ? ?C ,∴?EDF ? ?P ,∴?EDF ∽?PAE ∴EA ? ED ? EF ? EP 又∵EA ? ED ? CE ? EB ,∴CE ? EB ? EF ? EP
2

· · · 5分

(II) BE ? 3 , CE ?

9 15 , BP ? 2 4

PA 是⊙O 的切线, PA2 ? PB ? PC , PA ?

15 3 4

· · · · · · · 10 分

·6 ·


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