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平面向量补差材料 6Microsoft Word 文档 (2)


周末补课资料

向量部分(六)
知识点 一、 平面向量的基本概念 1.数量与向量的区别

2.零向量、单位向量

3.平行向量(共线向量)

4.相等向量

5.向量平行与线段平行的区别

例题 1.判断下列各命题的真假。 ① 向量 AB 的长度与向量

BA 的长度相等 ② 向量 a 与 b 平行,则 a 与 b 的方向相同或相反 ③ 向量 AB 与向量 CD 是共线向量,则 A,B,C,D 必在同一条直线上 例题 2.给出下列命题 ① 向量的长度是实数 ② 平行向量的方向一定相同 ③ 向量可以用有向线段表示 ④ 向量就是有向线段 其中正确命题的序号为___________________________ 例题 3.向量 a 与 b 都是非零向量,下面说法中,不正确的是 (A) 向量 a 与 b 反向,则向量 a ? b 与向量 a 的方向可能相同 (B) 向量 a 与 b 反向,则向量 a ? b 与向量 b 的方向可能相反 (C) 向量 a 与 b 反向,且 a ? b ,则向量 a ? b 与向量 a 的方向相同 (D) 向量 a 与 b 反向,且 a ? b ,则向量 a ? b 与向量 a 的方向相同

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二、 向量的加法运算及其几何意义

例题 4.若 O 是△ABC 内一点,满足 OA ? OB ? OC ? 0 ,则 O 是△ABC 的( A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心



例题 5.矩形 ABCD 中,长为 4,宽为 3,设 AB ? a, BC ? b, AC ? c ,求 a ? b ? c

三、 向量的减法运算及其几何意义 例题 5.给出下列命题 ① 向量 a 与 b 有相同的起点,以向量 b 的终点为起点,以向量 a 的终点为终点 的向量等于 b ? a ② 若 a 与 b 不共线,则 a ? b ? a ? b ③ ? a ? b ? ?(a ? b) , ? (?a) ? a , a ? b ? ?(b ? a) ④ (a ? b) ? c ? b ? c ? a 例题 6.若 P 是平行四边形 ABCD 外一点,则 A. PA ? PB ? PC ? PD ? 0 C. PA ? PB ? PC ? PD ? 0 B. PA ? PB ? PC ? PD ? 0 D. PA ? PB ? PC ? PD ? 0

例题 7.已知平面内有四边形 ABCD 和点 O, OA ? a , OB ? b, OC ? c, OD ? d , 若 a ? c ? b ? d ,判断四边形 ABCD 的形状

四、 向量的数乘及其几何意义

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例题 8.如图四边形 OADB 是以向量 OA ? a, OB ? b 为邻边的平行四边形,又
1 1 BM= BC ,CN= CD ,试用向量 a, b 表示 OM , ON, MN 3 3

例题 9.已知向量 a, b 满足: a ? 3, a ? b ? 5, a ? b ? 5 ,求 b

例 题

10. 设 e1 , e2

是 两 个 不 共 线 的 向 量 , 已 知

AB ? 2e1 ? k e2 , CB ? e1 ? 3e2 CD ? 2e1 ? e2 。
(1) 若 A、B、D 三点共线,求 k 的值 (2) A、B、C 能否共线?

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五、 平面向量基本定理

例题 11 已知梯形 ABCD 中,AB//CD,且 AB=2CD,M、N 分别是 DC、AB 的中 点,设 AD ? a, AB ? b ,试以 a、 为基底表示 DC 、 BC 、 MN b

检测 1. 在三角形 ABC 中, 为 BC 的中点, D 已知 AB ? a, AC ? b , AD 等于 则 (
1 1 1 1 A. ( a ? b ) B (b ? a ) . C. ( a ? b ) D. ? ( a ? b) 2 2 2 2 2. 有以下三种说法: 1)一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底 2)一个平面内有无数对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底 3)零向量不可作为基底中的向量 其中正确的是 ( ) A.1)2) B 2)3) C.1)3) D. 1)2)3)



3. i, j 是两个单位向量,则( A. i ? j B. i // j C. i ? ? j

) D. i ? j )

4.在直角坐标系中, OA ? 4, 则点 A 的集合构成的图形是( A.一个点 B.一条直线 C.一个圆 D.两个点

5.三角形 ABC 中,D、E、F 分别是 AB、BC、CA 的中点,则 AF ? DB 为( A. BC B. DA C. DB D. BE



6.点 P 为线段 AB 的中点, OA ? a,OB ? b ,则 OP =__________________

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7.设 e1 , e2 是不共线的向量,而 e1 ? 4e2 和 k e1 ? e2 共线,则 k 是____________ 8 . 已 知 函 数 f (x) 是 定 义 在 ?0,??? 上 的 增 函 数 , 且 满 足

f ( x) ? f ( x) ? f ( y), ( x, y ? ?0,???), f (2) ? 1
1)求 f (1) 2)求满足 f ( x) ? f ( x ? 3) ? 2 的 x 的取值范围

9.已知函数 f ( x) ? 2 sin( 2 x ?

?
3

) ?1

1)求 f (x) 的最大值及相应的 x 的值
?? ? ? 2)若不等式 f 2 ( x) ? 2m ? f ( x) ? m 2 ? 4 ? 0 在 x ? ? , ? 上恒成立,求实数 m 的 ?4 2?

取值范围

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1 10.在平行四边形 ABCD 中,点 M 是 AB 的中点,点 N 在 BD 上且 BN= BD,求 3 证:M、N、C 三点共线


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