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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年高中数学苏教版必修4【备课资源】第1章1.1.2弧度制


1.1.2

1.1.2

弧度制

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【学习要求】 1.理解角度制与弧度制的概念,能对弧度和角度进行正确的转换. 2.体会引入弧度制的必要性,建立角的集合与实数集一一对应的 关系. 3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式. 【学法指导】 1.通过类比长度、重量的

不同度量制,体会一个量可以用不同的 单位制来度量,从而引出弧度制. 2.弄清 1 弧度的角的含义是了解弧度制,并能进行弧度与角度换 算的关键. 3.引入弧度制后,应与角度制进行对比,明确角度制和弧度制下 弧长公式和扇形面积公式的联系与区别.

填一填·知识要点、记下疑难点

1.1.2

1.1 弧度的角:把长度等于 半径长 的弧所对的圆心角叫做
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1 弧度的角,用符号 rad 表示,读作 弧度 . 2. 弧度制: 弧度 作为单位来度量角的单位制叫做弧度制. 用 3.角的弧度数的规定: 一般地,正角的弧度数是一个 正数 ,负角的弧度数是一 个 负数 ,零角的弧度数是 0 . 如果半径为 r 的圆的圆心角 α 所对弧的长为 l, 那么, α 角 l |α|=r 的弧度数的绝对值是 .这里,α 的正负由角 α 的 终边的旋转方向决定.

填一填·知识要点、记下疑难点

1.1.2

4.角度与弧度的互化: (1)角度转化为弧度:
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360° 2π =

π 1° 180 rad≈0.017 45 rad. =

rad;180° π rad; =

(2)弧度转化为角度: 2π rad= 360°;π rad= 180°; ?180? 1 rad=? π ?° ≈57.30° =57° 18′. ? ?

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1.1.2

探究点一

弧度制

本 问题 1 1 弧度的角是怎样规定的?1 弧度的角和圆半径的大 课 小有关吗?你能作出一个 1 弧度的角吗? 时 栏 答 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 目 开 弧度的角.1 弧度的角是一个定值,与所在圆的半 关

径无关.如图所示,∠AOB 就是 1 弧度的角.

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问题 2

1.1.2

如果一个半径为 r 的圆的圆心角 α 所对的弧长是 l,

那么 α 的弧度数与 l、r 之间有着怎样的关系?请你完成下 表,找出某种规律.
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A B 的长 OB 旋转的方向
—— 顺时针方向 逆时针方向 顺时针方向

∠AOB 的 弧度数

(

∠AOB 的度数

0 π r 2 πr 2πr

0
π -2


-90°
180°

π
-2π

-360°

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1.1.2

πr 180
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逆时针方向

π 180


?180? ? ?° ? π ?
?360? -? π ?° ? ?

r

逆时针方向 顺时针方向

1 -2

2r

规律:如果一个半径为 r 的圆的圆心角 α 所对的弧长为 l, l l α 的弧度数的绝对值是r |α|=r 那么 ,即 .

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1.1.2

问题 3 除了角度制, 数学还常用弧度制表示角. 请叙述一下 弧度制的内容.

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一般地,正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一

个负数,零角的弧度数是 0.如果半径为 r 的圆的圆心角 α 所 l 对弧的长为 l,那么,角 α 的弧度数的绝对值是|α|=r.这里,α 的正负由角 α 的终边的旋转方向决定.

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问题 4

1.1.2

角度制与弧度制换算时, 灵活运用下表中的对应关系,

请补充完整.
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角度化弧度 360° 2π = rad

弧度化角度 2π rad= 360° π rad= 180°
?180? rad=? π ?° ? ?

180° π rad = π 1° = rad 180

1

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探究点二 问题 1 弧度制下的弧长公式和扇形面积公式

1.1.2

我们已经学习过角度制下的弧长公式和扇形面积公

式,请根据“一周角(即 360° )的弧度数为 2π”这一事实化
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简上述公式.(设半径为 r,圆心角弧度数为 α).

nπr 答 半径为 r,圆心角为 n° 的扇形弧长公式为 l=180, nπr2 扇形面积公式为 S 扇= 360 . l |α| ∵ = ,∴l=|α|r. 2πr 2π
S扇 S扇 |α| 1 2 ∵ =πr2=2π,∴S 扇=2|α|r . S圆
1 1 ∴S 扇= |α|r2= lr. 2 2

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问题 2 角度制与弧度制下扇形的弧长及面积公式对比:

1.1.2

设扇形的半径为 R,弧长为 l,α (0<α<2π)为其圆心角,则
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度量单位 类 别 α 为角度制 α 为弧度制

扇形的弧长

απR l= 180 απR2 S= 360

l= αR
1 2 1 αR S= 2 = 2lR

扇形的面积

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探究点三 利用弧度制表示终边相同的角

1.1.2

在弧度制下,与 α 终边相同的角连同 α 在内可以表示为 2kπ +α(k∈Z),其中 α 的单位必须是弧度.
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问题 1

利用弧度制表示终边落在坐标轴上的角的集合. 终边所在的位置 x轴 y轴 坐标轴 角的集合

{α|α=kπ,k∈Z}
π {α|α=kπ+2,k∈Z}
kπ {α|α= 2 ,k∈Z}

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问题 2 利用弧度制表示终边落在各个象限的角的集合. α 终边所 在的象限
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1.1.2

角 α 的集合

Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ

π {α|2kπ<α<2kπ+ ,k∈Z} 2
π {α|2kπ+ <α<2kπ+π, k∈Z} 2

3π {α|2kπ+π<α<2kπ+ 2 ,k∈Z} 3π {α|2kπ+ 2 <α<2kπ+2π,k∈Z}

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[典型例题] 例1

1.1.2

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(1)把 112° 30′化成弧度; 7π (2)把- 化成角度. 12 π 解 先将 112° 30′化为 112.5° ,然后乘以 rad,即可将 180

7π 180° 112° 30′化成弧度,-12乘以 π 即可化为角度. ?225? 225 π 5π 所以,(1)∵112° 30′=112.5° ? 2 ?° 2 ×180= 8 . = = ? ? 7π 7π ?180? (2)- =- ×? π ?° =-105° . 12 12 ? ? 小结 将角度转化为弧度时,要把带有分、秒的部分化为度
之后,牢记 π rad=180° 即可解.把弧度转化为角度时,直接 180° 用弧度数乘以 即可. π

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1.1.2

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跟踪训练 1 将下列角按要求转化: 5π (1)300° =________rad; 3 π -8 (2)-22° 30′=________rad; 8π 288 (3) =________度. 5

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1.1.2

例 2 已知一扇形的周长为 40 cm, 当它的半径和圆心角取什 么值时,才能使扇形的面积最大?最大面积是多少? 解 设扇形的圆心角为 θ,半径为 r,弧长为 l,面积为 S,
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则 l+2r=40,∴l=40-2r. 1 1 ∴S= lr= ×(40-2r)r=20r-r2=-(r-10)2+100. 2 2 ∴当半径 r=10 cm 时,扇形的面积最大,最大值为 100 cm2, l 40-2×10 此时 θ= = rad=2 rad. r 10 所以当扇形的圆心角为 2 rad,半径为 10 cm 时,扇形的面积 最大为 100 cm2. 小结 灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解

决此类问题的关键,有时运用函数思想、转化思想解决扇形 中的有关最值问题,将扇形面积表示为半径的函数,转化为 r 的二次函数的最值问题.

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1.1.2

跟踪训练 2 一个扇形的面积为 1,周长为 4,求圆心角的弧 度数. 解 设扇形的半径为 R,弧长为 l,则 2R+l=4, 1 ∴l=4-2R,根据扇形面积公式 S= lR, 2 1 得 1= (4-2R)· R, 2 l 2 ∴R=1,∴l=2,∴α= = =2, R 1
即扇形的圆心角为 2 rad.

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1.1.2

例 3 把下列各角化成 2kπ+α (0≤α<2π,k∈Z)的形式,并 指出是第几象限角: 23π (1)-1 500° ; (2) ; (3)-4. 6 解 (1)∵-1 500° =-1 800° +300° =-5×360° +300° . 5π ∴-1 500° 可化成-10π+ 3 ,是第四象限角. 23π 11π (2)∵ 6 =2π+ 6 , 23π 11π ∴ 6 与 6 终边相同,是第四象限角. π (3)∵-4=-2π+(2π-4),2<2π-4<π. ∴-4 与 2π-4 终边相同,是第二象限角. 小结 在同一问题中,单位制度要统一,角度制与弧度制不
能混用.

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1.1.2

跟踪训练 3 将-1 485° 化为 2kπ+α (0≤α<2π,k∈Z)的形式 7π -10π+ 4 是____________.
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解析 ∵-1 485° =-5×360° +315° , 7π ∴-1 485° 可以表示为-10π+ 4 .

练一练·当堂检测、目标达成落实处

1.1.2

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三 1.若 α=-3,则角 α 的终边在第________象限.
解析 ∵α=-3 rad=-3×57° 18′=-171° 54′, 而-171° 54′为第三象限角,∴α=-3 为第三象限角.

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1.1.2

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π -6 rad 2.时针经过一小时,时针转过了________弧度.

解析

时针经过一小时,转过-30° , π -30° =- rad. 6

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1.1.2

3.已知扇形的周长是 6 cm,面积是 2 cm2,则扇形的中心角 的弧度数是________. 1或4
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解析 设扇形半径为 r,中心角弧度数为 α, ?2r+αr=6 ?r=1 ?r=2 ? ? ? ? 则由题意得?1 2 ,∴ 或? . ?α=4 ?α=1 ? ? ?2αr =2 ?

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1.1.2

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11 4.把- π 表示成 θ+2kπ(k∈Z)的形式,使|θ|最小的 θ 值是 34 - π 4 ________. ? 3 ? ? 3 ? 11 解析 - 4 π=-2π+?-4π?=2×(-1)π+?-4π?. ? ? ? ?
3 ∴θ=-4π.

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1.1.2

1.角的概念推广后,在弧度制下,角的集合与实数集 R 之间
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建立起一一对应的关系:每一个角都有惟一的一个实数(即 这个角的弧度数)与它对应;反过来,每一个实数也都有惟 一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应. 2.解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180° = π rad”这一关系式. ?180? π 易知:度数×180 rad=弧度数,弧度数×? π ?° =度数. ? ? 3.在弧度制下,扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化,具 体应用时,要注意角的单位取弧度.


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