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正弦定理课件


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2013-8-13 14:47:40

现实生活中有许多测绘问题,如:测量楼高、隧道长等, 往往由于地形条件的制约,有一些量不易被直接测量。这时 就需要能够根据其它易测量的数据来计算。如下面一例: 如图在河岸一侧有A、B两点,现要测量这两点距河对岸 点C处的距离。现可以测量AB的长以及图中角A和角B的大小, 如何利用这三个条件去求AC、BC间的长度呢?
B A


C



上述问题实际上是:利用边和角去求另外的边和角的解 三角形问题。若上述条件放在什么样的三角形中可以解决。
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2013-8-13 14:47:40

现在我们来研究三角形边与角之间的关系: 在初中我们学过解直角三角形.

我们再来研究,在任意三角形中这一关系是否成立呢?

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2013-8-13 14:47:40

当⊿ABC是锐角三角形时,设边AB上 的高是CD,根据三角函数的定义。

CD ? a sin B CD ? b sin A
所以 a sin B ? b sin A.

a b ? . 得到 sin A sin B b c ? . 同理,在⊿ABC中, sin B sin C
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2013-8-13 14:47:40

正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的 比相等。即
a b c ? ? . sin A sin B sin C

注: ⑴正弦定理可以解决下列三角问题: ①已知两角和任一边,求其它两边和一角。 ②已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角。 ⑵公式的变形: ①a:b:c=sinA:sinB:sinC ②a=ksinA, b=ksinB, c=ksinC 正弦定理有两个方面的作用: 解三角形和实现边角转化来研究三角函数的问题.

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正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦之
间的一个关系式。由正弦函数在区间上的单调性可知,正弦 定理非常好的描述了任意三角形中边与角的一种数量关系。

一般地,把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a, b,c叫做三角形的元素,已知三角形的几个元素求其他元 素的过程叫做解三角形。

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例1 在⊿ABC中,A=32.0°,B=81.8°,a=42.9 cm,解 三角形。 解 根据三角形内角和定理, C=180°-(A+B) =180°-(32.0°+81.8°) =66.2°. 根据正弦定理, a sin B 42.9 sin 81.8? b? ? ? 80.1(cm); ? sin A sin 32.0 根据正弦定理, a sin C 42.9 sin 66.2? c? ? ? 74.1(cm). ? sin A sin 32.0

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2013-8-13 14:47:40

例2 在⊿ABC中,已知a=20 cm,b=28 cm,A=40°,解三角 形。(角度精确到1°,边长精确到1 cm)

由我们学过的全等 三角形的知识,上面的 条件能确定一个三角形 吗?

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2013-8-13 14:47:40

解 根据正弦定理,
b sin A 28sin 40? sin B ? ? ? 0.8999 ; a 20

因为0°<B<180°,所以B≈64°,或B≈116°. (1) 当B≈64°时,
C ? 180? ? ( A ? B) ? 180? ? (40? ? 64? ) ? 76? ,
a sin C 20sin 76? c? ? ? 30(cm). ? sin A sin 40

(2) 当B≈116°时,
C ? 180? ? ( A ? B) ? 180? ? (40? ? 116? ) ? 24? ,
a sin C 20sin 24? c? ? ? 13(cm). ? sin A sin 40

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2013-8-13 14:47:40

例3 在⊿ABC中,∠A=75°, ∠A=45°,∠C= 3 ,求b。



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2013-8-13 14:47:40

课堂练习
1、在△ABC中,已知:a=10,C=30?,A=45?, 求:b (保留两个有效数字)。

参考答案:b≈14

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2、在△ABC中,已知:a=10,b=15,B=30?, 求:A (精确到1?) 。

参考答案:A≈19°.

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2013-8-13 14:47:40

思考:在△ABC中,已知:a=10,b=20,C=45?,能用正弦 定理直接求出A吗?

a b c 解 :由 = = 知 sin A sin B sin C b c 要求A需可求 或 sin B sin C 而只知b和C , 不能求出A.

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2013-8-13 14:47:40

课堂练习

课本第10页

习题1.1 A组

第1、2题

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