当前位置:首页 >> 数学 >> 【浙江版】2013版高中全程复习方略数学理课时提能训练:选修4-5.3柯西不等式(人教A版·数学理)

【浙江版】2013版高中全程复习方略数学理课时提能训练:选修4-5.3柯西不等式(人教A版·数学理)


温馨提示: 此套题为 Word 版, 请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴, 调节合 适的观看比例,答案解析附后。

课时提能演练(七十二)
1 1 1.(2012·南京模拟)若正数 a, c 满足 a+b+c=1, b, 求 + 3a+2 3b+2 1 + 的最小值. 3c+2 1 1 1 2.已知 x,y,z 为正实数,且 + + =1,求 x+4y+

9z 的最小值及 x y z 取得最小值时 x,y,z 的值. 3.若 a, c 均为正数, a+b+c=6, b, 且 求 2a+ 2b+1+ 2c+3的 最大值. 4.设 P 是三角形 ABC 内的一点,x,y,z 是 P 到三边 a,b,c 的距离, R 是△ABC 外接圆的半径,证明 x+ y+ z≤ 1 a2+b2+c2. 2R

5.已知 a、b、c 均为正数,且 a+b+c=3, a+ b+ c≤|x-2| +|x-m|对任意的 x∈R 恒成立,求实数 m 的取值范围. 6.(易错题)已知 x,y,z 为实数,且 x+2y+3z= 7, (1)求 x2+y2+z2 的最小值; (2)设|2t-1|=x2+y2+z2,求实数 t 的取值范围. 1 1 7.已知 a,b,c 为实数,且 a+b+c+2-2m=0,a2+ b2+ c2+m-1 4 9 =0.

1 2 1 2 (a+b+c)2 (1)求证:a + b + c ≥ ; 4 9 14
2

(2)求实数 m 的取值范围. ab+2bc+cd 2+1 8.设 a, c, 是 4 个不全为零的实数, b, d 求证: 2 . 2 2 2≤ a +b +c +d 2 9.已知函数 f(x)=x+ x>1 恒成立. (1)试求函数 f(x)的最小值; (2)试求 a+2b+2c 的最大值. 10.(2012·南安模拟)将 12 cm 长的细铁线截成三条长度分别为 a、 b、 c 的线段, (1)求以 a、b、c 为长、宽、高的长方体的体积的最大值; (2)若这三条线段分别围成三个正三角形,求这三个正三角形面积和 的最小值. 1 ,x>1,且不等式 f(x)≥a2+b2+c2 对任意 x-1

答案解析
1.【解析】因为正数 a,b,c 满足 a+b+c=1, 1 1 1 所以( + + )[(3a+2)+(3b+2)+(3c+2)]≥(1+1 3a+2 3b+2 3c+2 +1)2, 1 1 1 即 + + ≥1,当且仅当 3a+2=3b+2=3c+2,即 a 3a+2 3b+2 3c+2

1 =b=c= 时,原式取最小值 1. 3 1 1 1 1 2.【解题指南】因为 + + =1,所以可构造 x+4y+9z=[( )2+ x y z x ( 1 2 1 ) +( )2][( x)2+(2 y)2+(3 z)2],然后利用柯西不等式求 y z

解. 【解析】由柯西不等式得 x+4y+9z =[( x)2+(2 y)2+(3 z)2]· [( 1 2 1 1 ) +( )2+( )2] x y z 1 1 1 +2 y· +3 z· )2=36. x y z

≥( x·

当且仅当 x=2y=3z 时等号成立,此时 x=6,y=3,z=2,所以当 x =6,y=3,z=2 时,x+4y+9z 取得最小值 36. 3.【解析】由柯西不等式得 ( 2a+ 1+2b+ 3+2c)2=(1× 2a+1× 2b+1+1× 2c+3)2 ≤(12+12+12)(2a+2b+1+2c+3) =3(2×6+4)=48. ? 2a+ 1+2b+ 3+2c≤4 3. 当且仅当 2a= 2b+1= 2c+3即 2a=2b+1=2c+3 时等号成立, 8 13 7 又 a+b+c=6,?a= ,b= ,c= 时, 2a+ 2b+1+ 2c+3有 3 6 6 最大值 4 3. 4.【证明】由柯西不等式得,

x+ y+ z= ax ≤ ax+by+cz·

1 + by a 1 1 1 + + , a b c

1 + cz b

1 c

设 S 为△ABC 的面积,则 ax+by+cz=2S=2· x+ y+ z≤ = abc abc = . 4R 2R ab+bc+ca abc

abc 2R

1 1 ab+bc+ca≤ a2+b2+c2, 2R 2R

故不等式成立. 5.【解析】≧a,b,c 均为正数,且 a+b+c=3, ?由柯西不等式可知, a+ b+ c≤ 12+12+12· ( a)2+( b)2+( c)2 =3, ?|x-2|+|x-m|≥3 对任意的 x∈R 恒成立. ≧|x-2|+|x-m|≥|(x-2)-(x-m)|=|m-2|, ?|m-2|≥3,解得 m≤-1 或 m≥5. ?m 的取值范围是(-≦,-1]∪[5,+≦). 6. 【解析】 (1)由柯西不等式得(12+22+32)(x2+y2+z2)≥(1· x+2· y 1 +3·z)2 即 14(x2+y2+z2)≥( 7)2=7,所以 x2+y2+z2≥ , 2 1 1 1 当且仅当|x|= |y|= |z|时取等号,即 x2+y2+z2 的最小值为 . 2 3 2

1 1 1 3 (2)由(1)得|2t-1|≥ ,则 2t-1≥ 或 2t-1≤- ,解得 t≥ 或 t 2 2 2 4 1 1 3 ≤ ,即实数 t 的取值范围是(-≦, ]∪[ ,+≦). 4 4 4 1 1 7.【解析】(1)由柯西不等式得[a2+( b)2+( c)2]·(12+22+32)≥(a 2 3 1 1 1 1 +b+c)2 即(a2+ b2+ c2)×14≥(a+b+c)2,?a2+ b2+ c2≥ 4 9 4 9 (a+b+c)2 , 14 1 1 当且仅当|a|= |b|= |c|时取得等号. 4 9 1 1 (2)由已知得 a+b+c=2m-2,a2+ b2+ c2=1-m, 4 9 ?14(1-m)≥(2m-2)2 即 2m2+3m-5≤0, 5 ?- ≤m≤1, 2 1 1 又≧a2+ b2+ c2=1-m≥0,?m≤1, 4 9 5 ?- ≤m≤1. 2 8.【解题指南】可从欲证的不等式左边的分子入手,将其适当变形, 然后利用柯西不等式证明,注意应两次利用柯西不等式. 【证明】ab+2bc+cd=(ab+cd)+(bc-ad)+(bc+ad) ≤ 2[(ab+cd)2+(bc-ad)2]+ (b2+a2)(c2+d2) = 2· (a2+c2)(b2+d2)+ (a2+b2)(c2+d2) (a2+c2)+(b2+d2) (a2+b2)+(c2+d2) ≤ 2· + 2 2

= ?

2+1 2 (a +b2+c2+d2). 2 ab+2bc+cd 2+1 . 2 2 2 2≤ a +b +c +d 2

9.【解析】(1)≧x>1,x-1>0 ?f(x)=x+ 1 1 =(x-1)+ +1≥2+1=3. x-1 x-1

(当且仅当 x=2 时取“=”) (2)由(1)得 a2+b2+c2≤3 由柯西不等式得 (a2+b2+c2)(12+22+22)≥(1·a+2·b+2·c)2 ?(a+2b+2c)2≤3×9=27, ?a+2b+2c≤3 3.
?a 2 ? b 2 ? c 2 ? 3 3 2 3 2 3 当且仅当 ? a b c 即 a= ,b= ,c= 时取“=” ,即 a ? 3 3 3 ? ? ? ?0 ?1 2 2

+2b+2c 的最大值为 3 3. a+b+c 3 10.【解析】(1)a+b+c=12,V=abc≤( ) =64; 3 当且仅当 a=b=c=4 时,等号成立. (2)设正三角形的边长为 l,m,n,则 l+m+n=4 设这三个正三角形的面积和为 S,则: 3S= 3 2 2 2 3 (l +m +n )(12+12+12)≥ (l+m+n)2 4 4 4 3 . 3

=4 3 ? S≥

4 当且仅当 l=m=n= 时,等号成立. 3 4 3 即这三个正三角形面积和的最小值为 . 3


更多相关文档:

...复习方略数学理课时提能训练:9.8古典概型(人教A版·...

【浙江版】2013版高中全程复习方略数学理课时提能训练:9.8古典概型(人教A版·...3 4 (A) (B) (C) (D) 5 5 5 5 3.有 4 条线段,长度分别为 1,3...

...全程复习方略数学理课时提能训练:8.6椭圆(人教A版·...

【浙江版】2013版高中全程复习方略数学理课时提能训练:8.6椭圆(人教A版·数学理...5 4 (D) 3 ?1 4 4.(易错题)已知椭圆 x 2 y2 ? ? 1, 若此椭圆上...

...全程复习方略数学理课时提能训练:8.7双曲线(人教A版...

【浙江版】2013版高中全程复习方略数学理课时提能训练:8.7双曲线(人教A版·数学理) 隐藏>> 温馨提示: 此套题为 Word 版, 请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴, 调节合...

...复习方略数学理课时提能训练:8.3圆的方程(人教A版·...

【浙江版】2013版高中全程复习方略数学理课时提能训练:8.3圆的方程(人教A版·数学理)_数学_高中教育_教育专区。温馨提示: 此套题为 Word 版,请按住 Ctrl,滑动...

...方略数学理课时提能训练:9.3用样本估计总体(人教A版...

【浙江版】2013版高中全程复习方略数学理课时提能训练:9.3用样本估计总体(人教A版·数学理) 隐藏>> 温馨提示: 此套题为 Word 版, 请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴,...

...复习方略数学理课时提能训练:3.8应用举例(人教A版·...

【浙江版】2013版高中全程复习方略数学理课时提能训练:3.8应用举例(人教A版·数学...(A) 3 5 3 4 ) (B) 4 5 (C) 3 4 (D) 4 3 2.(预测题)线段 ...

...复习方略数学理课时提能训练:5.4数列求和(人教A版·...

【浙江版】2013版高中全程复习方略数学理课时提能训练:5.4数列求和(人教A版·数学...{1,2,3,4,5}, (1)求通项 an,bn; (2)求数列{an·bn}的前 n 项...

...理课时提能训练:5.2等差数列及其前n项和(人教A版·...

【浙江版】2013版高中全程复习方略数学理课时提能训练:5.2等差数列及其前n项和(人教A版·数学理) 隐藏>> 温馨提示: 此套题为 Word 版, 请按住 Ctrl,滑动鼠...

...复习方略数学理课时提能训练:2.6对数函数(人教A版·...

【浙江版】2013版高中全程复习方略数学理课时提能训练:2.6对数函数(人教A版·...2012·杭州模拟)已知 x 满足不等式(log2x)2-log2x2≤0, 求函数 y= 4 ...

...方略数学理课时提能训练:9.7随机事件的概率(人教A版...

4页 2财富值如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 【浙江版】2013版高中全程复习方略数学理课时提能训练:9.7随...
更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com