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2-9 函数的模型及其应用


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[A 组 基础演练· 能力提升] 一、选择题 1.(2014 年浏阳一中高三检测)如图是张大爷晨练时离家的距离(y)与行走时间(x)之间的 函数关系的图象.若用黑点表示张大爷家的位置,则张大爷散步行走的路线可能是( )

解析:根据图象可得,张大爷先是离家越来越远,后离家距离保持不变,最后慢慢回到 家,符合的只

有 D. 答案:D 2.某天清晨,小明同学生病了,体温上升,吃过药后感觉好多了,中午时他的体温基 本正常,但是下午他的体温又开始上升,直到半夜才感觉身上不那么发烫了.下面大致能反 映出小明这一天(0 时~24 时)体温的变化情况的图是( )

解析:由题意,清晨体温在上升,吃药后到 12 点下降至体温基本正常,下午又上升, 然后再又下降,只有 C 选项符合. 答案:C 3.下面的四个容器高度都相同,将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中,注 满为止. 用下面对应的图象表示该容器中水面的高度 h 和时间 t 之间的关系, 其中不正 确的 有( )

解析:将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中,容器中水面的高度 h 和时间 t 之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来, 图①应该是匀速的, 故对应的图象不正
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确,②中的变化率应该是越来越慢的,图象正确;③中的变化规律是先慢后快,图象正确; ④中的变化规律是先快后慢,图象正确,故只有①是错误的.故选 A. 答案:A 4. 某位股民购进某支股票, 在接下来的交易时间内, 他的这支股票先经历了 n 次涨停(每 次上涨 10%),又经历了 n 次跌停(每次下跌 10%),则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其 他费用)为( ) B.略有亏损 D.无法判断盈亏情况

A.略有盈利 C.没有盈利也没有亏损

解析:设该股民购这支股票的价格为 a,则经历 n 次涨停后的价格为 a(1+10%)n= a×1.1n,经历 n 次跌停后的价格为 a×1.1n×(1-10%)n=a×1.1n×0.9n=a×(1.1×0.9)n= 0.99n· a<a,故该股民这支股票略有亏损. 答案:B 5.2013 届大学毕业生小赵想开一家服装专卖店,经过预算,该门面需要门面装修费为 20 000 元,每天需要房租、水电等费用 100 元,受经营信誉度、销售季节等因素的影响, 1 ? ?400x-2x2,0≤x≤400, 专卖店销售总收益 R 与门面经营天数 x 的关系式是 R=R(x)=? 则 ? ?80 000,x>400, 总利润最大时,该门面经营的天数是( A.100 B.150 ) D.300

C.200

解析:由题意,知总成本 C=20 000+100x. 所以总利润 P=R-C x ? ?300x- 2 -20 000,0≤x≤400, =? ? ?60 000-100x,x>400,
? ?300-x,0≤x≤400, 则 P′=? ?-100,x>400. ?
2

令 P′=0,得 x=300,易知当 x=300 时,总利润最大. 答案:D 6.某种细菌经 60 分钟培养,可繁殖为原来的 2 倍, 且知该细菌的繁殖规律为 y=10ekt, 其中 k 为常数,t 表示时间(单位:小时),y 表示细菌个数,10 个细菌经过 7 小时培养,细 菌能达到的个数为( A.640 C.2 560 ) B.1 280 D.5 120

解析 :由题意可得,当 t=0 时,y=10,当 t=1 时,y=10ek=20,可得 ek=2.故 10 个 细菌经过 7 小时培养,能达到的细菌个数为 10e7k=10×(ek)7=1 280.
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答案:B 二、 填空题 7.A,B 两只船分别从在东西方向上相距 145 km 的甲、乙两地同时开出.A 从甲地自 东向西行驶, B 从乙地自北向南行驶, A 的速度是 40 km/h, B 的速度是 16 km/h, 经过________ 小时,A,B 间的距离最短. 解析:设经过 x h,A,B 相距 y km, 则 y2=(145-40x)2+(16x)2 =1 856x2-11 600x+1452, 由二次函数的性质可得, 11 600 25 当 x= = 时,AB2 取得最小值, 2×1 856 8 25 故当 x= 时,A,B 间的距离最短. 8 25 答案: 8 8.有一批材料可以建成 200 m 长的围墙, 如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形 场地,中间用同样材料隔成三个面积相等的小矩形 (如图所示),则围成场地的最大面积为 ________.(围墙厚度不计)

解析:设矩 形场地的宽为 x m,则矩形场地的长为(200-4x) m,面积 S=x(200-4x)= -4(x-25)2+2 500.故当 x=25 时,S 取得最大值 2 500,即围成场地的最大面积为 2 500 m2. 答案:2 500 m2 9.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图),为降低消耗,开源节流,现要从这 些边角料上截取矩形铁片(如 图阴影部分)备用,则截取的矩形面积的最大值为________.

20-x y-8 5 解析:依题意知: = ,即 x= (24-y), x 4 24-y ∴阴影部分的面积 5 5 5 S=xy= (24-y)y= (-y2+24y)=- (y-12)2+180, 4 4 4 ∴当 y=12 时,S 有最大值为 180. 答案:180
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三、解答题 10.某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品,其生产的总成本 y(万元)与年产 x2 量 x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为 y= -48x+8 000,已知此生产线年产量最大 5 为 210 吨. (1)求年产量为多少吨时,生产每吨 产品的平均成本最低,并求最低成本; (2)若每吨产品平均出厂价为 40 万元,那么当年产量为多少吨时,可以获得最大利润? 最大利润是多少? y 解析:(1)每吨平均成本为 (万元). x y x 8 000 则 = + -48≥2 x 5 x x 8 000 · -48=32, 5 x

x 8 000 当且仅当 = ,即 x=200 时取等号. 5 x ∴年产量为 200 吨时,每吨平均成本最低为 32 万元. (2)设年获得总利润为 R(x)万元, x2 则 R(x)=40x-y=40x- +48x-8 000 5 x2 =- +88x-8 000 5 1 =- (x-220)2+1 680(0≤x≤210). 5 ∵R(x)在[0,210]上是增函数,
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∴x=210 时,R(x)有最大值为 1 R(210)=- (210-220)2+1 680=1 660(万元). 5 ∴年产量为 210 吨时,可获得最大利润 1 660 万元. 11.某书商为提高某套丛书的销量,准备举办一场展销会.据市场调查,当每套丛书售 价定为 x 元时,销售量可达到 15-0.1x 万套.现出版社为配合该书商的活动,决定进行价 格改革,将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分,其中固定价格为 30 元, 浮动价格(单位:元)与销售量(单位:万套)成反比,比例系数为 10.假设不计其他成本,即销 售每套丛书的利润=售价-供货价格.问: (1)每套丛书售价定为 100 元时,书商能获利的总利润是多少万元? (2)每套从书售价定为多少元时,单套丛书的利润最大? 解析:(1)每套丛书售价定为 100 元时,销售量为 15-0.1×100=5(万套),此时每套供 10 货价格为 30+ =32(元),书商所获得的总利润为 5×(100-32)=340(万元). 5 (2)每套丛书售价定为 x 元时,
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备课大师:免费备课第一站! ? ?15-0.1x>0, 由? ?x>0, ?

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解得 0<x<150. 依题意,单套丛书利润 10 100 P=x-?30+15-0.1x?=x- -30, ? ? 150-x 100 ∴P=-??150-x?+150-x?+120.

?

?

∵0<x<150,∴150-x>0, 100 由(150-x)+ 150-x ≥2 100 ?150-x?· =2×10=20, 150-x
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100 当且仅当 150-x= , 即 x=140 时等号成立, 此时, Pmax=-20+120=100. 150-x

∴当每套丛书售价定为 100 元时,书商获得总利润为 340 万元,每套丛书售价定为 140 元时,单套丛书的利润最大,最大值为 100 元. 12.(能力提升)在一条直线型的工艺流水线上有 3 个工作台,将工艺流水线用如图所示 的数轴表示,各工作台的坐标分别为 x1,x2,x3,每个工作台上有若干名工人.现要在 x1 与 x3 之间修建一个零件供应站,使得各工作台上的所有工人到供应站的距离之和最短. (1)若每个工作台上只有一名工人,试确定供应站的位置; (2)设从左到右工作台上的工人人数依次为 2,1,3,试确定供应站的位置,并求所有工人 到供应站的距离之和的最小值.

解析:设供应站坐标为 x,各工作台上的所有工人到供应站的距离之和为 d(x). (1)由题设,知 x1≤x≤x3,所以 d(x)=x-x1+|x-x2|+x3-x=|x-x2|-x1+x3, 故当 x=x2 时,d(x)取最小值,此时供应站的位置为 x=x2. (2) 由 题 设 , 知 x1≤x≤x3 , 所 以 d(x) = 2(x - x1) + |x - x2| + 3(x
?-2x+3x3+x2-2x1,x1≤x<x2, ? ? ?3x3-x2-2x1,x2≤x≤x3. ?
3

- x) =

因此,函数 d(x)在区间[x1,x2]上是减函数,在区间[x2,x3]上是常数. 故供应站位置位于区间[x2,x3]上任意一点时,均能使函数 d(x)取得最小值,且最小值 为 3x3-x2-2x1. [B 组 因材施教· 备选练习] 1.(2014 年石家庄模拟)如图,有一块边长为 1(单位:百米)的正方形区域 ABCD,在点 A 处有一个可转动的探照灯,其照射角∠PAQ 始终为 45° (其中点 P,Q 分别在边 BC,CD 上),
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设∠PAB=θ,tan θ=t.

(1)用 t 表示出 PQ 的长度,并探求△CPQ 的周长 l 是否为定值; (2)问探照灯照射在正方形 ABCD 内部区域的面积 S 最大为多少? BP 解析:(1)由 tan θ= =t,得 BP=t(0≤t≤1),可得 CP=1-t. AB ∵ ∠ DAQ = 45° - θ , ∴ DQ = tan (45° - θ) = CP2+CQ2= 2t 1+t2 ?1-t?2+?1+t?2= ? ? 1+t , 1-t 1-t 2t , CQ = 1 - = , ∴ PQ = 1+t 1+t 1+t

2 2t 1+t ∴△CPQ 的周长 l=CP+PQ+CQ=1-t+ + =2 为定值. 1+t 1+t

t 1 1-t 1 2 (2)∵S=S 正方形 ABCD-S△ABP-S△ADQ=1- - × =2- (t+1+ )≤2- 2,当且仅 2 2 1+t 2 t+1 2 当 t+1= ,即 t= t+1 2-1 时等号成立.

∴探照灯照射在正方形 ABCD 内部区域的面积 S 最大为(2- 2)平方百米. 2.因发生意外交通事故,一辆货车上的某种液体泄漏到一鱼塘中,为了治污,根据环 保部门的建议,现决定在鱼塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂.已知每投放 a(1≤a≤4,且 a∈R)个单位的药剂,它在水中释放的浓度 y( 克/升)随 着时间 x(天)变化的函

?8-x-1?0≤x≤4? 数关系式近似为 y=a· f(x),其中 f(x)=? 1 ?5-2x?4<x≤10?
度不低于 4(克/升)时,它才能起到有效治污的作用.

16

,若多次投放,则某一时刻水

中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和. 根据经验, 当水中药剂的浓

(1)若一次投放 4 个单位的药剂,则有效治污时间可达几天? (2) 若第一次投放 2 个单位的药剂,6 天后再投放 a 个单位的药剂,要使接下来的 4 天 中能够持续有效治污,试求 a 的最小值.(精确到 0.1,参考数据: 2取 1.4). 解析:(1)因为 a=4, 64 ? ?8-x-4?0≤x≤4? 所以 y=? . ? ?20-2x?4<x≤10?
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64 则当 0≤x≤4 时,由 -4≥4,解得 x≥0,所以 此时 0≤x≤4; 8-x 当 4<x≤10 时,由 20-2x≥4,解得 x≤8,所以此时 4<x≤8. 综上,可得 0≤x≤8,即一次投放 4 个单位的药 剂,有效治污时间可达 8 天. (2)当 6≤x≤10 时, 1 ? ? 16 -1? y=2×? ?5-2x?+a 8-?x-6?

?

?

16a =10-x+ -a 14-x

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16a =(14-x)+ -a-4, 14-x 因为 14-x∈[4,8],而 1≤a≤4, 所以 4 a∈[4,8], 故当且仅当 14-x=4 a时,y 有最小值为 8 a-a-4. 令 8 a-a-4≥4,解得 24-16 2≤a≤4, 所以 a 的最小值为 24-16 2≈1.6.
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