当前位置:首页 >> 学科竞赛 >> 2011-2013年高中数学竞赛初试及加试试题(含答案)

2011-2013年高中数学竞赛初试及加试试题(含答案)


一、填空题(每小题 8 分,共 64 分) 1. 设集合 A ? {a1 , a 2 , a 3 , a 4 } , 若 A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为 B ? {?1, 3, 5, 8} , 则集合 A ? 2.函数 f ( x) ? 3.设
2



21 世纪教育网

x ?1 的值域为

x ?1

. . .

为正实数,

1 1 ? ? 2 2 , (a ? b) 2 ? 4(ab) 3 ,则 loga b ? a b

4.如果 cos5 ? ? sin5 ? ? 7(sin3 ? ? cos3 ? ) , ? ? [0,2? ) ,那么 ? 的取值范围是

二、解答题(本大题共 3 小题,共 56 分) 9. (16 分) 设函数 f ( x) ?| lg(x ? 1) | , 实数 a, b(a ? b) 满足 f (a) ? f (? 求 a , b 的值. 10.(20 分)已知数列 {a n } 满足: a1 ? 2t ? 3 (t ? R 且 t ? ?1) ,
a n ?1 ? (2t n ?1 ? 3)a n ? 2(t ? 1)t n ? 1 (n ? N * ) . a n ? 2t n ? 1

b ?1 ) ,f (10a ? 6b ? 21) ? 4 lg 2 , b?2

(1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)若 t ? 0 ,试比较 a n ?1 与 a n 的大小.
1 x2 y 2 11.(本小题满分 20 分)作斜率为 的直线 l 与椭圆 C : ? ? 1 交于 A, B 两点(如图所 3 36 4

示),且 P(3 2 , 2 ) 在直线 l 的左上方. (1)证明:△ PAB 的内切圆的圆心在一条 定直线上; (2)若 ?APB ? 60? ,求△ PAB 的面积.

y P O A x B

加 试 1. ( 40 分 ) 如 图 , P, Q 分 别 是 圆 内 接 四 边 形 ABCD 的 对 角 线 AC, BD 的 中 点 . 若 ?BPA? ?DPA,证明: ?AQB ? ?CQB .

2.( 40 分)证明:对任意整数 n ? 4 ,存在一个 n 次多项式
f ( x) ? x n ? a n?1 x n?1 ? ? ? a1 x ? a0

具有如下性质:

4.(50 分)设 A 是一个 3? 9 的方格表,在每一个小方格内各填一个正整数.称 A 中的一个
m ? n (1 ? m ? 3, 1 ? n ? 9) 方格表为“好矩形”,若它的所有数的和为 10 的倍数.称 A 中的一个 1?1

的小方格为“坏格”,若它不包含于任何一个“好矩形”.求 A 中“坏格”个数的最大值。

2011 全国高中数学联赛解答
1.【答案】 {?3,0, 2,6} . 【解析】提示: 显然,在 A 的所有三元子集中,每个元素均出现了 3 次,所以 3(a1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ) ? (?1) ? 3 ? 5 ? 8 ? 15 , 故 a1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ? 5 ,于是集合 A 的四个元素分别为 5-(-1)=6,5-3=2,5-5=0,5-8 =-3,因此,集合 A ? {?3, 0, 2, 6} .

4.【答案】 ?

? ? 5? ? , ? . 【解析】提示:不等式 cos5 ? ? sin5 ? ? 7(sin3 ? ? cos3 ? ) 4 4 ? ?

等价于 sin3 ? ? sin5 ? ? cos3 ? ? cos5 ? . 又 f ( x) ? x 3 ?

1 7

1 7

? 5? 1 5 (k ? x 是 (??,??) 上的增函数,所以 sin ? ? cos ? ,故 2k? ? ? ? ? 2k? ? 4 4 7
? ? 5? ? , ?. ?4 4 ?

Z).因为 ? ? [0,2? ) ,所以 ? 的取值范围是 ?

5.【答案】15000. 【解析】提示:由题设条件可知,满足条件的方案有两种情 形:
1 (1)有一个项目有 3 人参加,共有 C 73 ? 5!?C 5 ? 5! ? 3600种方案;

1 (2)有两个项目各有 2 人参加,共有 (C72 ? C52 ) ? 5!?C52 ? 5! ? 11400种方案; 2

[21 世纪教育网

所以满足题设要求的方案数为 3600?11400? 15000.

7.【答案】 (1,?2) 或 (9,?6) . 【 解 析 】 提 示 : 设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ), C (t 2 ,2t ) , 由 ?
y1 ? y 2 ? 8 , y1 ? y 2 ? ?4 .
? x ? 2 y ? 1 ? 0, 得 2 ? y ? 4 x,
y 2 ? 8y ? 4 ? 0 , 则

又 x1 ? 2 y1 ? 1, x 2 ? 2 y 2 ? 1 ,所以 x1 ? x 2 ? 2( y1 ? y 2 ) ? 2 ? 18 , x1 ? x 2 ? 4 y1 ? y 2 ? 2( y1 ? y 2 ) ? 1 ? 1 . 因为 ?ACB ? 90? ,所以 CA ? CB ? 0 ,即有 (t 2 ? x1 )(t 2 ? x 2 ) ? (2t ? y1 )(2t ? y 2 ) ? 0 , 即 t 4 ? ( x1 ? x 2 )t 2 ? x1 ? x 2 ? 4t 2 ? 2( y1 ? y 2 )t ? y1 ? y 2 ? 0 , 即 t 4 ? 14t 2 ? 16t ? 3 ? 0 , 即 (t 2 ? 4t ? 3)(t 2 ? 4t ? 1) ? 0 . 显然 t 2 ? 4t ? 1 ? 0 ,否则 t 2 ? 2 ? 2t ? 1 ? 0 ,则点 C 在直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 上,从而点 C 与点 A 或

点 B 重合.所以 t 2 ? 4t ? 3 ? 0 ,解得 t 1 ? ?1, t 2 ? ?3 . 故所求点 C 的坐标为 (1,?2) 或 (9,?6) . 8.【答案】15.
?3 【解析】提示: a n ? C n 200
200 ? n 3

?2

400 ? 5 n 6



9.【解析】因为 f (a) ? f (?

b ?1 b ?1 1 ) ,所以 | lg(a ? 1) |?| lg(? ? 1) |?| lg( ) |?| lg(b ? 2) | , b?2 b?2 b?2 所 以 a ? 1 ? b ? 2 或 (a ? 1)(b ? 2) ? 1 ,又因为 a ? b ,所以 a ? 1 ? b ? 2 ,所以 (a ? 1)(b ? 2) ? 1 .

又由 f (a) ?| lg(a ? 1) | 有意义知 0 ? a ?1,从而 0 ? a ? 1 ? b ? 1 ? b ? 2 , 于是 0 ? a ? 1 ? 1 ? b ? 2 . 所以 (10a ? 6b ? 21) ? 1 ? 10(a ? 1) ? 6(b ? 2) ? 6(b ? 2) ? 从而 f (10a ? 6b ? 21) ?| lg[6(b ? 2) ?
10 ? 1. b?2

10 10 ] |? lg[6(b ? 2) ? ]. b?2 b?2 10 ] ? 4 lg 2 , b?2

又 f (10a ? 6b ? 21) ? 4 lg 2 ,所以 lg[6(b ? 2) ? 故 6(b ? 2) ?
1 3

10 1 ? 16 .解得 b ? ? 或 b ? ? 1 (舍去). b?2 3 2 2 1 .所以 a ? ? b ? ? . 5 5 3

把 b ? ? 代入 (a ? 1)(b ? 2) ? 1 解得 a ? ?

10.【解 析】(1)由原式变形得 a n ?1

2(a n ? 1) a n ?1 ? 1 2(a n ? 1) 2(t n ?1 ? 1)(a n ? 1) t n ?1 . ? ? 1 ,则 ? ? a n ? 2t n ? 1 t n ?1 ? 1 a n ? 2t n ? 1 a n ? 1 ?2 t n ?1

记 又

2b n an ?1 a ? 1 2t ? 2 , b1 ? 1 ? bn ,则 b n ?1 ? ? ?2. n bn ? 2 t ?1 t ?1 t ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 n a ?1 2 2(t n ? 1) ? ? , ? , 从而有 ? ? (n ? 1) ? ? , 故 nn 于是有 a n ? ? , ?1 . bn ?1 bn 2 b1 2 bn b1 2 2 t ?1 n n 2(t ? 1) 2(t n ?1 ?1) 2(t n ?1) ?n(1 ? t ? ? ? t n ?1 ? t n ) ? (n ? 1)(1 ? t ? ? ? t n ?1 )? ? ? n(n ? 1) n ?1 n

(2) a n ?1 ? a n ?
? ?

2(t ? 1) ?nt n ? (1 ? t ? ? ? t n ?1 )? ? 2(t ? 1) ?(t n ? 1) ? (t n ? t ) ? ? ? (t n ? t n ?1 )? n(n ? 1) n(n ? 1) 2(t ? 1) 2 n ?1 n ? 2 ?(t ? t ? ? ? 1) ? t (t n ? 2 ? t n ?3 ? ? ? 1) ? ? ? t n ?1 ? , n(n ? 1)

显然在 t ? 0 (t ? 1) 时恒有 a n ?1 ? a n ? 0 ,故 a n ?1 ? a n .

(2)若 ?APB ? 60? 时,结合(1)的结论可知 k PA ? 3, k PB ? ? 3 . 直线 PA的方程为: y ? 2 ? 3 ( x ? 3 2 ) ,代入
x2 y 2 ? ? 1 中,消去 y 得 36 4

14x 2 ? 9 6 (1 ? 3 3 ) x ? 18(13 ? 3 3 ) ? 0 .

它的两根分别是 x 1 和 3 2 ,所以 x1 ? 3 2 ?

18(13 ? 3 3 ) 3 2 (13 ? 3 3 ) ,即 x1 ? .所以 14 14
3 2 (3 3 ? 1) . 7

| PA |? 1 ? ( 3 ) 2 ? | x1 ? 3 2 |?

同理可求得 | PB |?

3 2 (3 3 ? 1) . 7

1 S?PAB ? ? | PA | ? | PB | ? sin 60? 2 1 3 2(3 3 ? 1) 3 2(3 3 ? 1) 3 ? ? ? ? 所以 . 2 7 7 2 ? 117 3 . 49

2. 【解析】令 f ( x) ? ( x ? 1)( x ? 2) ? ( x ? n) ? 2 ,



将①的右边展开即知 f ( x) 是一个首项系数为 1 的正整数系数的 n 次多项式. 下面证明 f ( x) 满足性质(2). 对任意整数 t ,由于 n ? 4 ,故连续的 n 个整数 t ? 1, t ? 2, ? , t ? n 中必有一个为 4 的倍数,从而 由①知 f (t ) ? 2(mod 4) . 因此,对任意 k (k ? 2) 个正整数 r1 , r2 , ?, rk ,有 f (r1 ) f (r2 ) ? f (rk ) ? 2 k ? 0(mod 4) . 但对任意正整数 m ,有 f (m) ? 2(mod 4) ,故 f (m) ? ? f (r1 ) f (r2 ) ? f (rk )(mod 4) , 从而 f (m) ? f (r1 ) f (r2 ) ? f (rk ) . 所以 f ( x) 符合题设要求.
21 世纪教育网

4.【解析】 首先证明 A 中“坏格”不多于 25 个. 用反证法.假设结论不成立,则方格表 A 中至多有 1 个小方格不是“坏格”.由表格的对称

性,不妨假设此时第 1 行都是“坏格”. 设方格表 A 第 i 列从上到下填的数依次为 a i , bi , c i , i ? 1,2, ? ,9 .记
S k ? ? a i , Tk ? ? (bi ? c i ), k ? 0,1,2, ? ,9 ,
i ?1 i ?1 k k

这里 S 0 ? T0 ? 0 . 我们证明:三组数 S 0 , S 1 , ? , S 9 ; T0 , T1 , ? , T9 及 S 0 ? T0 , S1 ? T1 , ? , S 9 ? T9 都是模 10 的完全剩余 系. 事实上 ,假如存在 m, n, 0 ? m ? n ? 9 ,使 S m ? S n (mod 10) ,则
i ? m ?1

?a

n

i

? S n ? S m ? 0(mod 10) ,

即第 1 行的第 m ?1 至第 n 列组成一个“好矩形”,与第 1 行都是“坏格”矛盾. 又假如存在 m, n, 0 ? m ? n ? 9 ,使 Tm ? Tn (mod 10) ,则
i ? m ?1

? (b

n

i

? c i ) ? Tn ? Tm ? 0(mod 10) ,

2012年全国高中数学联赛
一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分.把答案填在题中的横线上.

2 ( x ? 0 )的图 像上任意一点,过点 P 分别向 x 直线 y ? x 和 轴作垂线,垂足分别为 A, B ,则 PA ? PB 的值是_____________.
1.设 P 是函数 y ? x ?

6.设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x .若对任意的 x ? [a, a ? 2] ,不等 式 f ( x ? a) ? 2 f ( x) 恒成立,则实数 a 的取值范围是_____________.
?

1 ? 1 ? sin ? 的所有正整数 n 的和是_____________. 4 n 3 8.某情报站有 A, B, C , D 四种互不相同的密码,每周使用其中的一种密码,且每周都是从上周未 使用的三种密码中等可能地随机选用一种.设第1周使用A种密码,那么第7周也使用 A 种密码的
7.满 足 概率是_____________.(用最简分数表示) 二、 解答题:本大题共3小题,共56分.解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤. 9.(本小题满分16分)已知函数 f ( x) ? a sin x ?

(1)若对任意 x ? R ,都有 f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围;

1 3 1 cos 2 x ? a ? ? , a ? R, a ? 0 2 a 2

(2)若 a ? 2 ,且存在 x ? R ,使 得 f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围.

10.(本小题满分20分)已知数列 ?an ? 的各项均为非零实数,且对于任意的 正整数 n ,都有
3 3 3 (a1 ? a2 ? ? an )2 ? a1 ? a2 ? ? an (1)当 n ? 3 时,求所有满足条件的三项组成的数列 a1 , a2 , a3 ;

(2)是否存在满足条件的无穷数列 {an } ,使得 a2013 ? ?2012? 若存在,

求出这样的无穷数列的一个通项公式;若不存在,说明理由.

11.(本小题 满分20分) 如图5,在平面直角坐标系 XOY 中,菱形 ABCD 的边长为 4 ,且 OB ? OD ? 6 . (1)求证: | OA | ? | OC | 为定值; (2)当点A在半 圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 ( 2 ? x ? 4 )上运动时,求 点 C 的轨迹.

三、(本题满分 50 分) 设P , Pn 是平面上 n ? 1 个点,它们两两间的距离的最小值为 d (d ? 0) 0, P 1, P 2, 求证: P0 P 1 ? P 0P 2 ?

d P0 Pn ? ( ) n (n ? 1)! 3

四、(本题满分 50 分)

1 ,n 是正整数. 证明: 对满足 0 ? a ? b ? 1 的任意实数 a , b , 数列 {Sn ? [ Sn ]} n 中有无穷多项属于 ( a, b) .这里, [ x ] 表示不超过实数 x 的最大整数.
设 Sn ? 1 ?

1 ? 2

?

2012年全国高中数学联赛一试及加试试题 参考答案及详细评分标准(A卷word版) 一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分.把答案填在题中的横线上. 1. 设 P 是函数 y ? x ? 线,垂 足分别为 A, B ,则 PA ? PB 的值是 .

2 ( x ? 0 )的图像上任意一点,过点 P 分别向直线 y ? x 和 y 轴作垂 x

2. 则

设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且满足 a cos B ? b cos A ? .

3 c, 5

tan A 的值是 tan B

【答案】4

[ 来源:21 世纪教育网]

3.设 x, y, z ?[0,1] ,则 M ? | x ? y | ? | y ? z | ? | z ? x | 的最大值是 【答案】 2 ? 1 因为
[21世纪教育网]

.

【解析】不妨设 0 ? x ? y ? z ? 1, 则 M ?

y ? x ? z ? y ? z ? x.

y ? x ? z ? y ? 2[( y ? x) ? ( z ? y)] ? 2( z ? x).

所以 M ? 2( z ? x) ? z ? x ? ( 2 ?1) z ? x ? 2 ?1.

当且仅当 y ? x ? z ? y , x ? 0, z ? 1, y ?

1 时上式等号同时成立.故 M max ? 2 ?1. 2

4.抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,准线为l, A, B 是抛物线上的两个动点,且满足

?AFB ?

| MN | ? .设线段AB的中点 M 在l上的投影为 N ,则 的最大值 3 | AB |
.
21世纪教育网

是 【答案】1

AF ? BF . 2 ? 2 2 2 在 ?AFB 中,由余弦定理得 AB ? AF ? BF ? 2 AF ? BF cos 3 AF ? BF 2 AF ? BF 2 2 ) ?( ) ? MN . ? ( AF ? BF )2 ? 3 AF ? BF ? ( AF ? BF )2 ? 3( 2 2 MN 当且仅当 AF ? BF 时等号成立.故 的最大值为1. AB
【解析】由抛物线的定义及梯形的中位线定理得 MN ? 5.设同底的两个正三棱锥 P ? ABC 和 Q ? ABC 内接于同一个球.若正三棱锥 P ? ABC 的侧面 与底面所成的角为 45 ,则正三棱锥 Q ? ABC 的侧面与底面所成角的正切值 是 .

6. 设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x .若对任意的 x ? [a, a ? 2] ,不等 式 f ( x ? a) ? 2 f ( x) 恒成立,则实数 a 的取值范围是 .
?

【答案】 [ 2, ??).

7.满足

1 ? 1 ? sin ? 的所有正整数 n 的和是 4 n 3



【答案】33 【解析】由正弦函数的凸性,有当 x ? (0,

?
6

) 时,

3

1 ? 3 ? 1 ? ,sin ? ? ? , 13 13 4 12 ? 12 4 ? ? 1 ? 3 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? sin ? ? ,sin ? ? ? . 所以 sin ? ? sin ? sin ? sin ? ? sin . 10 10 3 9 ? 9 3 13 4 12 11 10 3 9 1 ? 1 故满足 ? sin ? 的正整数 n 的所有值分别为 10,11,12, 它们的和为 33 . 4 n 3 sin ?
8.某情报站有 A, B, C , D 四种互不相同的密码,每周使用其中的一种密码,且每周都是从上周 未使用的三种密码中等可能地随 机选用一种.设第1周使用A种密码,那么第7周也使用A种密 码的概率是 .(用最简分数表示)

?

?

?

x ? sin x ? x, 由此得

二、解答题:本大题共3小题,共56分.解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤. 9.(本小题满分16分)已知函数 f ( x) ? a sin x ?

(1)若对任意 x ? R ,都有 f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围;

1 3 1 cos 2 x ? a ? ? , a ? R, a ? 0 2 a 2

(2)若 a ? 2 ,且存在 x ? R ,使得 f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围.

10.(本小题满分20分)已知数列 ?an ? 的各项均为非零实数,且对于任意的正整数 n ,都有
3 3 3 (a1 ? a2 ? ? an )2 ? a1 ? a2 ? ? an (1)当 n ? 3 时,求所有满足条件的三项组成的 数列 a1 , a2 , a3 ;

(2)是否存在满足条件的无穷数列 {an } ,使得 a2013 ? ?2012? 若存在, 求出这样的无穷数列的一个通项公式;若不存在,说明理由.

11.(本小题满分20分) 如图5,在平面直角坐标系 XOY 中,菱形 ABCD 的边长为 4 ,且 OB ? OD ? 6 . (1)求证 : | OA | ? | OC | 为定值;
2 2 (2)当点A在半圆 ( x ? 2) ? y ? 4 ( 2 ? x ? 4 )上运动时,求

点 C 的轨迹. 【解 析】因为 OB ? OD , AB ? AD ? BC ? CD , 所以 O, A, C 三点共线 如图,连结 BD ,则 BD 垂直平分线段 AC ,设垂足为 K ,于是有

OA ? OC ? ( OK ? AK )( OK ? AK )
? OK ? AK ? ( OB ? BK ) ? ( AB ? BK ) ? OB ? AB ? 62 ? 42 ? 20 ( 定值)
(2)设 C ( x, y), A(2 ? 2cos ? , 2sin ? ), 其中 ? ? ?XMA(?
2
2 2 2 2 2 2 2 2

?
2

?? ?

?
2

), 则 ?XOC ?

?
2

.

2 2 2 因为 OA ? (2 ? 2 cos ? ) ? (2sin ? ) ? 8(1 ? cos ? ) ? 16 cos

?
2

, 所以 OA ? 4 cos

?
2
? [?5,5].

由(1)的结论得 OC cos

?
2

? 5, 所以 x ? OC cos

?
2

? 5. 从而 y ? OC sin

?
2

? 5 tan

?

故点 C 的轨迹是一条线段,其两个端点的坐标分别为 A(5,5), B(5, ?5) 2012 年全国高中数学联赛加试试题(
21 世纪教育网

2

A 卷)

一、(本题满分40分) 如图,在锐角 ?ABC 中, AB ? AC , M , N 是 BC 边上不同的两点,使得 ?BAM ? ?CAN . 设

?ABC 和 ?AMN 的外心分别为 O1, O2 ,求证: O1 , O2 , A 三点共线。

证法一:令 b ? mx, b ? 1 ? 2 由 于 (2
k ?1

k ?1

y, 消去 b 得 2k ?1 y ? mx ? 1.

k ?1 ? ? x ? x0 ? 2 t 其中 t ? z,( x0 , y0 ) 为方程的特解. , m) ? 1, 这方程必有整数解; ? y ? y ? mt ? 0 ? ? k ?1 ? ? 把最小的正整数解记为 ( x , y ), 则 x ? 2 ,故 b ? mx? ? 2a ?1, 使 b(b ? 1) 是 2 a 的倍数.??40

分 证法二:由于 (2
k ?1

, m) ? 1, 由中国剩余定理知,同余方程组

? x ? 0(mod 2 ) k ?1 在 区 间 (0, 2 m) 上 有 解 x ? b, 即 存 在 b ? 2a ? 1, 使 b(b ? 1) 是 2 a 的 倍 ? ? x ? m ? 1(mod m)
k ?1

数.????40 分 证法三 : 由于 (2, m) ? 1, 总存在 r (r ? N , r ? m ? 1), 使 2 ? 1(mod m) 取 t ? N , 使 tr ? k ? 1, 则
r ? ?

2tr ? 1(mod m) tr k ?1 存在 b ? (2 ?1) ? q ? (2 m) ? 0, q ? N , 使 0 ? b ? 2a ? 1, k ?1 此时 m b ,2 m ?1, 因而 b(b ? 1) 是 2 a 的倍数.?????40 分
三、(本题满分50分) 设P , Pn 是平面上 n ? 1 个点,它们两两间的距离的最小值为 d (d ? 0) 0, P 1, P 2,

求证: P0 P 1 ? P 0P 2 ?

d P0 Pn ? ( ) n (n ? 1)! 3

四、(本题满分50分)

1 , n是正整数. 证明: 对满足 0 ? a ? b ? 1 的任意实数 a , b , 数列 {Sn ? [ Sn ]} n 中有无穷多项属于 ( a, b) .这里, [ x ] 表示不超过实数x的最大整数.
设 Sn ? 1 ?

1 ? 2

?

【解析】证法一:(1)对任意 n ? N ,有

?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? n ? 1? ? ( 1 ? 2 ) ? ( n ?1 ? ? n) 2 3 2 2 2 ?1 2 2 ?1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 1? ? ( 2 ? 2 ) ? ? ( n ? ? n ) ? 1? ? ? ? ? n 2 2 2 2 2 2 2 2 2 S 2n ? 1 ?

证法二:(1) S2n ? 1 ?

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? n ? 1? ? ( 1 ? 2 ) ? ( n ?1 ? 2 3 2 2 2 ?1 2 2 ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 1? ? ( 2 ? 2 ) ? ? ( n ? ? n ) ? 1? ? ? ? ? n 2 2 2 2 2 2 2 2 2

?

1 ) 2n

2013 年全国高中数学联合竞赛一试试题
一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.

1.设集合 A ? {2,0,1,3} ,集合 B ? {x ? x ? A, 2 ? x 2 ? A} .则集合 B 中所有元素的和为 __________. 2.在平面直角坐标系 xOy 中,点 A, B 在抛物线 y 2 ? 4 x 上,满足 OA ? OB ? ?4 . F 是抛物线 的焦点,则 S?OFA ? S?OFB ? ______________. 3.在 ?ABC 中,已知 sin A ? 10sin B sin C,cos A ? 10cos B cos C ,则 tan A 的值为_______. 4.已知正三棱锥 P ? ABC 的底面边长为 1,高为 2 ,则其内切球半径为__________. 5.设 a , b 为实数,函数 f ( x) ? ax ? b 满足:对任意 x ? [0,1] ,有 f ( x) ? 1.则 ab 的最大值 为_________. 6.从 1,2,?,20 中任取 5 个不同的数,其中至少有两个是相邻数的概率为_________. 7.若实数 x , y 满足 x ? 4 y ? 2 x ? y ,则 x 的取值范围是____________________. 8.已知数列 {an } 共有 9 项,其中 a1 ? a9 ? 1 ,且对每个 i ?{1, 2,

,8} ,均有

ai ?1 1 ?{2,1, ? } , ai 2

则这样的数列的个数为_________. 二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9.(本题满分 16 分)给定正数数列 {xn } 满足 Sn ? 2Sn?1 , n ? 2,3, 证明:存在常数 C ? 0 ,使得 xn ? C ? 2n , n ? 1, 2, .这里 Sn ? x1 ?

? xn .

x2 y 2 10.(本题满分 20 分)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆的方程为 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) , a b

A1 , A2 分别为椭圆的左、右顶点, F1 , F2 分别为椭圆的左、右焦点. P 为椭圆上不同于 A1 , A2 的任意一点.若平面中两个点 Q, R 满足 QA1 ? PA1 , QA2 ? PA2 , RF1 ? PF1 , RF2 ? PF2 , 试确定线段 QR 的长度与 b 的大小关系,并给出证明.
11.(本题满分 20 分)设函数 f ( x) ? ax ? b ,求所有的正实数对 ( a, b) ,使得对任意实数
2

x , y ,有 f ( xy) ? f ( x ? y) ? f ( x) f ( y)

2013 年全国高中数学联合竞赛加试试题
一、(本题满分 40 分)如图, AB 是圆 ? 的一条弦, P 为弧 AB 内一点, E , F 为线段 AB

上两点,满足 AE ? EF ? FB .连接 PE, PF 并延长,与圆 ? 分别相交于点 C , D .求证:

E F? C D? A C ? BD

.

二、(本题满分 40 分)给定正整数 u , v .数列 {an } 定义如下: a1 ? u ? v ,对整数 m ? 1 ,

?a2m ? am ? u, ? ?a2m?1 ? am ? v.
记 Sm ? a1 ? a2 ?

? am ( m ? 1, 2,

).证明:数列 {Sn } 中有无穷多项是完全平方数.

三、(本题满分 50 分)一次考试共有 m 道试题,n 个学生参加,其中 m, n ? 2 为给定的整数.每道 题的得分规则是:若该题恰有 x 个学生没有答对,则每个答对该题的学生得 x 分,未答对的学生得 零分.每个学生的总分为其 m 道题的得分总和.将所有学生总分从高到低排列为 p1 ? p2 ? 求 p1 ? pn 的最大可能值.

? pn ,

四、(本题满分 50 分)设 n, k 为大于 1 的整数, n ? 2 .证明:存在 2 k 个不被 n 整除的整数,若
k

将它们任意分成两组,则总有一组有若干个数的和被 n 整除.


更多相关文档:

2011-2013年高中数学竞赛初试及加试试题(含答案)

2011-2013年高中数学竞赛初试及加试试题(含答案)_学科竞赛_高中教育_教育专区。一、填空题(每小题 8 分,共 64 分) 1. 设集合 A ? {a1 , a 2 , a 3...

2013年高中数学竞赛初试及加试试题(含答案)

2013年高中数学竞赛初试及加试试题(含答案)_学科竞赛_高中教育_教育专区。2013 年全国高中数学联合竞赛一试试题一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 ...

2011年全国高中数学联赛试题参考答案

高中数学联赛(含参考答案)2011 年全国高中数学联合竞赛一试试题(A 卷)考试时间...APB ? 60? ,求△ PAB的面积. 2011 年全国高中数学联合竞赛加试试题(A 卷)...

2013年全国高中数学联合竞赛试题(一试+加试)(word版,含扫描版答案)

2013年全国高中数学联合竞赛试题(一试+加试)(word版,含扫描版答案)_学科竞赛_高中教育_教育专区。2013年全国高中数学联合竞赛试题(一试+加试)(word版,含扫描版答...

2011年全国高中数学联赛试题(加试A卷)

2011 年全国高中数学联合竞赛加试试题(A 卷)考试时间:2011 年 10 月 16 日 9:40—12:10 一、 (本题满分 40 分)如图,P, Q 分别是圆内接四边形 ABCD的...

2011年全国高中数学联赛试题参考答案

APB ? 60? ,求△ PAB 的面积. 2 3 2011 年全国高中数学联合竞赛加试试题(A 卷)考试时间:2011 年 10 月 16 日 9:40—12:10 3 4 4 5 5 6 6 7 ...

2011年全国高中数学联赛试题及参考答案

APB ? 60? ,求△ PAB 的面积. 2011 年全国高中数学联合竞赛加试试题(A 卷)考试时间:2011 年 10 月 16 日 9:40—12:10 二、 (本题满分 40 分)证明:...

2011年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准A卷

2011年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准A卷_学科竞赛_高中教育_教育专区。2011 年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准 A 卷 2011 年全国...

2011年高中数学联赛试题一二试

答案填在横线上. 1 .设集合 A ? {a1 , a 2 , a 3 , a 4 }...APB ? 60? ,求△ PAB 的面积. 2011 年全国高中数学联合竞赛加试试题(A 卷...

2011年全国中学生数学联赛试题及详解答案(含一试和加试)

2011年全国中学生数学联赛试题及详解答案(含一试和加试)_数学_高中教育_教育专区。今日推荐 180份文档 2014证券从业资格考试 2014证券资格证券交易高分突破试卷及答案...
更多相关标签:
2016高中数学竞赛加试 | 古诗词竞赛题含答案 | 托福加试试题 | 信息学竞赛初试 | unity面试题 含答案 | 法宣在线试题库含答案 | 一次函数测试题含答案 | 美学原理试题 含答案 |
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com