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集合学生讲义


集合是高中数学中最原始、最基础的概念,也是高中数学的起始单元,是整个高中数学 的基础.它的基础性体现在:集合思想、集合语言和集合的符号在高中数学的很多章节如函 数、数列、方程与不等式、立体几何与解析几何中都被广泛地使用.在高考试题和数学竞赛 中,很多问题可以用集合的语言加以叙述.集合不仅是中学数学的基础,也是支撑现代数学 大厦的基石之一,本章主要介绍集合思想在数学竞赛中出现的问题

.

§1.1 集合的概念与运算
【基础知识】
一.集合的有关概念 1.集合:具有某些共同属性的对象的全体,称为集合.组成集合的对象叫做这个集合的 元素. 2.集合中元素的三个特征:确定性、互异性、无序性. 3.集合的分类:无限集、有限集、空集 ? . 4. 集合间的关系: 二.集合的运算 1.交集、并集、补集和差集 差集:记 A、B 是两个集合,则所有属于 A 且不属于 B 的元素构成的集合记作 A \ B . 即 A \ B ? {x ? A 且 x ? B} . 2.集合的运算性质 (1) A ? A ? A , A ? A ? A (幂等律); (2) A ? B ? B ? A , A ? B ? B ? A (交换律); (3) ( A ? B) ? C ? A ? ( B ? C ) , ( A ? B) ? C ? A ? ( B ? C ) (结合律); (4) A ? ( B ? C ) ? ( A ? B) ? ( A ? C ) , A ? ( B ? C ) ? ( A ? B) ? ( A ? C ) (分配律); (5) A ? ( B ? A) ? A , A ? ( A ? B) ? A (吸收律); (6) CU (CU A) ? A (对合律); (7) CU ( A ? B) ? (CU A) ? (CU B) , CU ( A ? B) ? (CU A) ? (CU B) (摩根律) (8) A \ ( B ? C ) ? ( A \ B) ? ( A \ C ) , A \ ( B ? C ) ? ( A \ B) ? ( A \ C ) . 3.集合的相等 (1)两个集合中元素相同,即两个集合中各元素对应相等; (2)利用定义,证明两个集合互为子集; (3)若用描述法表示集合,则两个集合的属性能够相互推出(互为充要条件),即等价; (4)对于有限个元素的集合,则元素个数相等、各元素的和相等、各元素之积相等是两集 合相等的必要条件.

【典例精析】
【例 1】在集合 {1,2, ?, n} 中,任意取出一个子集,计算它的各元素之和.则所有子集的元素之

和是

.

【例 2】 已知集合 A ? {x | x 2 ? 3x ? 2 ? 0}, B ? {x | x 2 ? 4ax ? 3a 2 ? 0} 且 A ? B ,求参数 a 的取值范围. 【例 3】 已知 x ? R, y ? R ? ,集合 A ? {x ? x ? 1,? x,? x ? 1}, B ? {? y,?
2

y , y ? 1} .若 A ? B , 2

则 x 2 ? y 2 的值是( A.5

) B.4 C.25 D.10

【例 4】 已知集合 A ? {x, y, lg( xy)}, B ? {0, | x |, y} .若 A ? B ,求 ( x ?

1 1 ) ? ( x 2 ? 2 ) ? …… y y

+ (x

2008

?

1 y
2008

) 的值.

【例 5 已知集合 P ? {x | x 2 ? 3x ? 2 ? 0}, S ? {x | x 2 ? 2ax ? a ? 0} ,若 S ? P ,求实数 a 的 取值组成的集合 A.
2 2 2 2 【例 6 知集合 A ? {a1 , a2 , a3 , a4 } , B ? {a1 , a2 , a3 , a4 } ,其中 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ,

a1 , a2 , a3 , a4 ? N .若 A ? B ? {a1 , a4 } , a1 ? a4 ? 10 .且 A ? B 中的所有元素之和为 124,求
集合 A、B. 【例 7 足条件 | g ( x1 ) ? g ( x2 ) |? 4 | x1 ? x2 | 的函数 g (x) 形成了一个集合 M,其中 x1 , x2 ? R , 并且 x1 , x2 ? 1 ,求函数 y ? f ( x) ? x ? 3x ? 2( x ? R) 与集合 M 的关系.
2 2 2

例 8 人数是 5 的倍数的且不少于 1000 人的游行队伍,若按每横排 4 人编队,最后差 3 人; 若按每横排 3 人编队,最后差 2 人;若按每横排 2 人编队,最后差 1 人,求这支游行队伍的 人数最少是多少?


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